Сингония: различия между версиями

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску
Интерактивная навигация по истории
[непроверенная версия][отпатрулированная версия]
← Предыдущая правка
Содержимое удалено Содержимое добавлено
ВизуальныйВики-текст
м бот: замена ручного оформления на шаблон:Букв.
 
(не показано 189 промежуточных версий 70 участников)
Строка 1: Строка 1:
[[Файл:Rhodonite-122153.jpg|мини|Триклинный [[родонит]]]]
'''Синго́ния''' (от {{lang-el|σύν}}, «согласно, вместе», и {{lang-el2|γωνία}}, «угол» - дословно «сходноугольность») — одно из подразделений кристаллов по признаку симметрии их [[элементарная ячейка|элементарной ячейки]] при одинаковых [[система координат|системах]] координатных осей. Сингония характеризует [[симметрия|симметрию]] [[трехмерное пространство|трехмерных]] [[структура|структур]] с [[трансляция (кристаллография)|трансляционной]] симметрией в трех направлениях<!-- , имеющей дискретный класс точечных групп-->.
[[Файл:Vivianite-229556.jpg|мини|Моноклинный [[вивианит]]]]
[[Файл:Fayalite between Sanidine - Ochtendung, Eifel, Germany.jpg|мини|Ромбический [[фаялит]]]]
[[Файл:Anatase-131663.jpg|мини|Тетрагональный [[анатаз]]]]
[[Файл:Hematite-37914.jpg|мини|Тригональный [[гематит]]]]
[[Файл:Beryl-Albite-207519.jpg|мини|Гексагональный [[берилл]]]]
[[Файл:Spessartine-spess-11b.jpg|мини|Кубический [[спессартин]]]]


'''Сингони́я''' (от {{lang-el|[[син-|σύν]]}} «согласно, вместе, рядом» + {{lang-el2|γωνία}} «угол»; {{букв|сходноугольность}}) — классификация кристаллографических [[Группы симметрии|групп симметрии]], [[кристалл]]ов и [[Кристаллическая решётка|кристаллических решёток]] в зависимости от [[Система координат|системы координат]] (''координатного репера''); группы симметрии с единой координатной системой объединяются в одну сингонию. Кристаллы, принадлежащие к одной и той же сингонии, имеют подобные углы и рёбра [[Элементарная ячейка|элементарных ячеек]].
В основном применяется в [[кристаллография|кристаллографии]] для категоризации [[кристалл]]ов. Но представление о сингонии само по себе является одной из тем трехмерной [[евклидова геометрия|евклидовой геометрии]].


'''Кристалли́ческая систе́ма''' — классификация кристаллов и кристаллографических групп, основанная на наборе [[элементы симметрии|элементов симметрии]], описывающих кристалл и принадлежащих кристаллографической группе.
== Категоризация ==
Существует 6 различных сингоний (1 подсингония). Они разделены на три категории:
* Низшая категория — a≠b≠c
# [[Триклинная сингония|Триклинная]] — наименее симметричная [[примитивная ячейка]], оси координат выбираются по направлению трансляций, нет [[ось симметрии|осей симметрии]], кроме [[инверсия|инверсионной]];
# [[Моноклинная сингония|Моноклинная]] — имеет одну ось симметрии 2-го порядка (зеркально-поворотная), или зеркальную [[плоскость симметрии]];
# [[Ромбическая сингония|Ромбическая]] — имеет три зеркально-поворотных оси 2-го порядка, или три зеркальные плоскости симметрии, или одну ось 2-го порядка и две зеркальные плоскости;
* Средняя категория — структура обладает одним выделенным направлением порядком больше двух
# [[Тетрагональная сингония|Тетрагональная]] — имеет одну ось симметри 4-го порядка;
# [[Тригональная сингония|Тригональная подсингония]], также называет ромбоэдрическая — имеет одну ось 3-го порядка;
# [[Гексагональная сингония|Гексагональная]] — имеет одну ось 6-го порядка;
* Высшая категория — в структуре несколько выделенных направлений порядком больше двух
# [[Кубическая сингония|Кубическая]], иначе изометрическая — имеет четыре оси 3-го порядка;


'''Систе́ма решётки''' — классификация кристаллических решёток в зависимости от их [[Симметрия|симметрии]].
Имеется ряд [[пространственная группа|пространственных групп]] на каждую сингонию 2, 13, 59, 68, 25, 27 и 36 соответственно, всего — 230 групп. Они представлены ниже в таблице:

<!--
В литературе существует путаница всех трёх понятий: сингонии<ref>{{cite web|url=http://reference.iucr.org/dictionary/Crystal_family|title=Crystal family - Online Dictionary of Crystallography|archiveurl=https://www.webcitation.org/6FHHaojOC?url=http://reference.iucr.org/dictionary/Crystal_family|archivedate=2013-03-21|access-date=2009-02-22|deadlink=no}}</ref>, кристаллической системы<ref>{{cite web|url=http://reference.iucr.org/dictionary/Crystal_system|title=Crystal system - Online Dictionary of Crystallography|archiveurl=https://www.webcitation.org/6FHHbYqzk?url=http://reference.iucr.org/dictionary/Crystal_system|archivedate=2013-03-21|access-date=2009-02-22|deadlink=no}}</ref> и системы решётки<ref>{{cite web|url=http://reference.iucr.org/dictionary/Lattice_system|title=Lattice system - Online Dictionary of Crystallography|archiveurl=https://www.webcitation.org/6GFRNXTaB?url=http://reference.iucr.org/dictionary/Lattice_system|archivedate=2013-04-29|access-date=2013-04-29|deadlink=no}}</ref>, — которые часто используются как [[синонимы]].
The following mini-table gives a breakdown of the various different things per crystal system -

В русскоязычной литературе термин «система решётки» пока не используется. Обычно авторы смешивают это понятие с кристаллической системой. В книге «Основы кристаллографии»<ref>Шубников А. В., Бокий Г. Б., Флинт Е. Е., Основы кристаллографии, Изд-во АН СССР, 1940</ref> авторы используют термин «Сингония решётки» («''По симметрии узлов пространственные решетки могут быть разделены на семь категорий, называемых сингониями решеток''»). У тех же авторов сингонии называются системами («''Наиболее установившейся классификацией групп является их разделение на шесть систем по признаку симметрии комплексов граней''»).

== Сингония ==
Исторически первой классификацией кристаллов было деление на сингонии, в зависимости от кристаллографической системы координат. За координатные оси выбирались оси симметрии кристалла, а при их отсутствии — ребра кристалла. В свете современного знания о структуре кристаллов таким направлениям соответствуют [[Трансляция (кристаллография)|трансляции кристаллической решётки]], и за систему координат выбираются трансляции [[Решётка Браве|ячейки Браве]] в стандартной установке. В зависимости от соотношения между длинами этих трансляций и углами между ними <math>\alpha, \beta, \gamma</math> выделяют '''''шесть''''' различных сингоний, которые распадаются на три категории в зависимости от числа равных длин трансляций<ref>{{книга
| автор = Загальская Ю.Г., Литвинская Г.П., Егоров-Тисменко Ю.К.
| заглавие = Геометрическая кристаллография
| ссылка =
| ответственный =
| место = М
| издательство = Издательство Московского университета
| год = 1986
| том =
| страниц = 168
| страницы =
| isbn =
| ref =
}}</ref>:

* Низшая категория (все трансляции не равны друг другу)
** [[Триклинная сингония|Триклинная]]: <math>a\ne b \ne c</math>, <math>\alpha \ne \beta \ne \gamma \ne 90 ^\circ </math>
<!-- # [[Триклинная сингония|Триклинная]] — имеет наименее симметричную элементарную ячейку, в которой нет [[ось симметрии|осей симметрии]], кроме инверсионной оси <math>\overline{1}</math> ([[центр симметрии]]);
-->
-->
** [[Моноклинная сингония|Моноклинная]]: <math>a\ne b \ne c</math>, <math>\alpha = \gamma = 90^\circ, \beta\ne90^\circ</math>
<!-- # [[Моноклинная сингония|Моноклинная]] — имеет одну ось симметрии 2-го порядка (зеркально-поворотная), или зеркальную [[плоскость симметрии]];-->
** [[Ромбическая сингония|Ромбическая]]: <math>a\ne b \ne c</math>, <math>\alpha = \beta = \gamma = 90^\circ</math>
<!-- # [[Ромбическая сингония|Ромбическая]] — имеет три зеркально-поворотных оси 2-го порядка, или три зеркальные плоскости симметрии, или одну ось 2-го порядка и две зеркальные плоскости;-->


* Средняя категория (две трансляции из трёх равны между собой)
{|cellpadding=4 cellspacing=0
** [[Тетрагональная сингония|Тетрагональная]]: <math>a=b \ne c</math>, <math>\alpha = \beta = \gamma = 90^\circ</math>
|-align=center
** [[Гексагональная сингония|Гексагональная]]: <math>a=b \ne c</math>, <math>\alpha = \beta =90^\circ, \gamma = 120^\circ</math>
|bgcolor=#e0e0e0 width=200|'''Сингония'''
<!-- # [[Гексагональная сингония|Гексагональная]] — имеет одну ось 6-го порядка;-->
|bgcolor=#e0e0e0 width=160|'''No. [[точечная группа|точечных групп]]
|bgcolor=#e0e0e0 width=160|'''No. [[Бравэ ячейка|ячейки Бравэ]]'''
|bgcolor=#e0e0e0 width=160|'''No. [[пространственная группа|пространственной группы]]'''
|-align=center
|[[Триклинная сингония|Триклинная]]
|2
|1
|2
|-align=center
|bgcolor=#f4f4f4|[[Моноклинная сингония|Моноклинная]]
|bgcolor=#f4f4f4|3
|bgcolor=#f4f4f4|2
|bgcolor=#f4f4f4|13
|-align=center
|[[Ромбическая сингония|Ромбическая]]<br /> (орторомбическая)
|3
|4
|59
|-align=center
|bgcolor=#f4f4f4|[[Тетрагональная сингония|Тетрагональная]]
|bgcolor=#f4f4f4|7
|bgcolor=#f4f4f4|2
|bgcolor=#f4f4f4|68
|-align=center
|[[Тригональная сингония|Тригональная]] (ромбоэдрическая)
|5
|1
|25
|-align=center
|bgcolor=#f4f4f4|[[Гексагональная сингония|Гексагональная]]
|bgcolor=#f4f4f4|7
|bgcolor=#f4f4f4|1
|bgcolor=#f4f4f4|27
|-align=center
|[[Кубическая сингония|Кубическая]]
|5
|3
|36
|-align=center bgcolor=#e0e0e0
|'''Всего'''
|32
|14
|230
|}
<!--
Within a crystal system there are two ways of categorizing space groups:
*by the linear parts of symmetries, i.e. by crystal class, also called crystallographic point group; each of the 32 crystal classes applies for one of the 7 crystal systems
*by the symmetries in the translation [[Lattice (group)|lattice]], i.e. by Bravais lattice; each of the 14 Bravais lattices applies for one of the 7 crystal systems.


* Высшая категория (все трансляции равны между собой)
The 73 symmorphic space groups (see [[space group]]) are largely combinations, within each crystal system, of each applicable point group with each applicable Bravais lattice: there are 2, 6, 12, 14, 5, 7, and 15 combinations, respectively, together 61.
** [[Кубическая сингония|Кубическая]]: <math>a=b=c</math>, <math>\alpha = \beta = \gamma = 90^\circ</math>
<!-- # [[Кубическая сингония|Кубическая]], иначе изометрическая — имеет четыре оси 3-го порядка;-->


== Кристаллическая система ==
Разбиение на кристаллические системы выполняется в зависимости от набора элементов симметрии, описывающих [[Кристаллы|кристалл]]. Такое деление приводит к '''''семи''''' кристаллическим системам, две из которых — тригональная (с одной осью 3-го порядка) и гексагональная (с одной осью 6-го порядка) — имеют одинаковую по форме элементарную ячейку и поэтому относятся к одной, гексагональной, сингонии. Иногда говорят, что гексагональная сингония подразделяется на две подсингонии<ref>{{cite web|url=http://geo.web.ru/db/msg.html?mid=1163834&uri=03.htm|title="Ю. К. Егоров-Тисменко, Г. П. Литвинская, Теория симметрии кристаллов, ГЕОС, 2000. Глава III. Координатные системы, категории, сингонии."|access-date=2021-01-12|archive-date=2021-01-13|archive-url=https://web.archive.org/web/20210113074546/http://geo.web.ru/db/msg.html?mid=1163834&uri=03.htm|deadlink=no}}</ref> или гипосингонии.<ref>Фёдоров Е. С., Курс кристаллографии. Изд. 3-е, 1901 [https://books.google.com/books?id=H14vAQAAMAAJ&pg=PA40&#v=onepage online]</ref>


Кристаллические системы также разбиваются на три категории, в зависимости от числа осей высшего порядка (осей выше второго порядка).
==Кристаллографические точечные группы==
{{main|Кристаллографические точечные группы}}


Возможные в трехмерном пространстве кристаллические системы с определяющими их элементами симметрии, то есть элементами симметрии, наличие которых необходимо для отнесения кристалла или точечной группы к определенной кристаллической системе:
A [[symmetry group]] consists of isometric [[affine transformation]]s; each is given by an [[orthogonal matrix]] and a translation vector (which may be the zero vector). Space groups can be grouped by the matrices involved, i.e. ignoring the translation vectors (see also [[Euclidean group]]). This corresponds to discrete symmetry groups with a fixed point. There are infinitely many of these [[point groups in three dimensions]]. However, only part of these are compatible with translational symmetry: the crystallographic point groups. This is expressed in the [[crystallographic restriction theorem]]. (In spite of these names, this is a geometric limitation, not just a physical one.)


* Низшая категория (нет осей высшего порядка)
The point group of a crystal, among other things, determines the symmetry of the crystal's [[crystal optics|optical properties]]. For instance, one knows whether it is [[birefringence|birefringent]], or whether it shows the [[Pockels effect]], by simply knowing its point group.
** [[Триклинная сингония|Триклинная]]: нет симметрии или только центр инверсии <math>\overline{1}</math>
** [[Моноклинная сингония|Моноклинная]]: одна ось <math>2</math>-го порядка и/или плоскость симметрии <math>m</math>
** [[Ромбическая сингония|Ромбическая]]: три взаимно-перпендикулярных оси <math>2</math>-го порядка и/или плоскости симметрии <math>m</math> (направлением плоскости симметрии считается перпендикуляр к ней)
* Средняя категория (одна ось высшего порядка)
** [[Тетрагональная сингония|Тетрагональная]]: одна ось <math>4</math>-го порядка или <math>\overline{4}</math>
** [[Тригональная сингония|Тригональная]]: одна ось <math>3</math>-го порядка
** [[Гексагональная сингония|Гексагональная]]: одна ось <math>6</math>-го порядка или <math>\overline{6}</math>
* Высшая категория (несколько осей высшего порядка)
** [[Кубическая сингония|Кубическая]]: четыре оси <math>3</math>-го порядка

Кристаллическая система пространственной группы определяется системой соответствующей ей точечной группы. Например, группы Pbca, Cmcm, Immm, Fddd ([[Список кристаллографических групп#Список всех 230 групп|класс]] mmm) принадлежат к ромбической системе.

Современное определение кристаллической системы (применимое не только к обычным трёхмерным группам, но и для пространств любых размерностей) относит точечные группы (и производные от них пространственные группы) к одной кристаллической системе, если эти группы могут комбинироваться с одними и теми же типами решёток Браве. Например, группы mm2 и 222 обе принадлежат ромбической системе, так как для каждой из них существуют пространственные группы со всеми типами ромбической решётки (Pmm2, Cmm2, Imm2, Fmm2 и P222, C222, I222, F222), в то же время группы 32 и {{overline|6}} не принадлежат одной кристаллической системе, так как для группы 32 допустимы примитивная и дважды-центрированная гексагональные ячейки (группы P321 и R32), а группа {{overline|6}} комбинируется только с примитивной гексагональной ячейкой (есть группа P{{overline|6}}, но не существует R{{overline|6}}).

== Система решётки (Lattice system) ==
Описывает типы кристаллических решёток. Вкратце: решётки относятся к одному типу, если их точечные группы симметрии (при рассмотрении решёток как геометрических объектов) одинаковы. Такие точечные группы, описывающие симметрию решётки, называются [[голоэдрия|голоэдрией]].<ref>{{cite web|url=http://reference.iucr.org/dictionary/Holohedry|title=Holohedry - Online Dictionary of Crystallography|archiveurl=https://www.webcitation.org/6FHHcERYL?url=http://reference.iucr.org/dictionary/Holohedry|archivedate=2013-03-21|access-date=2013-01-30|deadlink=no}}</ref>

Всего существует семь систем решёток, которые, аналогично предыдущим классификациям (сингония и кристаллическая система) делятся на три категории.
* Низшая категория (все трансляции не равны друг другу)
** [[Триклинная сингония|Триклинная]]: <math>a\ne b \ne c</math>, <math>\alpha \ne \beta \ne \gamma \ne 90 ^\circ </math>
<!-- # [[Триклинная сингония|Триклинная]] — имеет наименее симметричную элементарную ячейку, в которой нет [[ось симметрии|осей симметрии]], кроме инверсионной оси <math>\overline{1}</math> ([[центр симметрии]]);
-->
-->
** [[Моноклинная сингония|Моноклинная]]: <math>a\ne b \ne c</math>, <math>\alpha = \gamma = 90^\circ, \beta\ne90^\circ</math>
<!-- # [[Моноклинная сингония|Моноклинная]] — имеет одну ось симметрии 2-го порядка (зеркально-поворотная), или зеркальную [[плоскость симметрии]];-->
** [[Ромбическая сингония|Ромбическая]]: <math>a\ne b \ne c</math>, <math>\alpha = \beta = \gamma = 90^\circ</math>
<!-- # [[Ромбическая сингония|Ромбическая]] — имеет три зеркально-поворотных оси 2-го порядка, или три зеркальные плоскости симметрии, или одну ось 2-го порядка и две зеркальные плоскости;-->


* Средняя категория
==Обзор точечных групп сингоний==
** [[Тетрагональная сингония|Тетрагональная]]: <math>a=b \ne c</math>, <math>\alpha = \beta = \gamma = 90^\circ</math>
** [[Гексагональная сингония|Гексагональная]]: <math>a=b \ne c</math>, <math>\alpha = \beta =90^\circ, \gamma = 120^\circ</math>
** [[Тригональная сингония|Ромбоэдрическая]]: <math>a = b = c</math>, <math>\alpha = \beta = \gamma < 120^\circ \ne 90^\circ</math>
<!-- # [[Гексагональная сингония|Гексагональная]] — имеет одну ось 6-го порядка;-->

* Высшая категория (все трансляции равны между собой)
** [[Кубическая сингония|Кубическая]]: <math>a=b=c</math>, <math>\alpha = \beta = \gamma = 90^\circ</math>
<!-- # [[Кубическая сингония|Кубическая]], иначе изометрическая — имеет четыре оси 3-го порядка;-->

Не следует путать ромбоэдрическую систему решётки с тригональной кристаллической системой. Кристаллы ромбоэдрической системы решётки всегда принадлежат тригональной кристаллической системе, но тригональные кристаллы могут принадлежать как ромбоэдрической, так и гексагональной системам решётки. Например, группы R{{overline|3}} и P321 (обе из тригональной кристаллической системы) принадлежат к разным системам решётки (ромбоэдрической и гексагональной, соответственно).

Общее определение, применимое для пространств любых размерностей — Решётки относятся к одному типу, если они комбинируются с одними и теми же точечными группами. Например, все ромбические решётки (ромбическая P, ромбическая C, ромбическая I и ромбическая F) относятся к одному типу, так как они комбинируются с точечными группами 222, mm2 и mmm, образуя пространственные группы P222, Pmm2, Pmmm; C222, Cmm2, Cmmm; I222, Imm2, Immm; F222, Fmm2, Fmmm. В то же время ячейки гексагональной сингонии (примитивная P и дважды центрированная R) соответствуют разным системам решётки: обе комбинируются с точечными группами тригональной кристаллической системы, но с группами гексагональной системы комбинируется только примитивная ячейка (существуют группы P6, P{{overline|6}}, P6/m, P622, P6mm, P{{overline|6}}m2, P6/mmm, но не существует групп R6, R{{overline|6}}, R6/m, R622, R6mm, R{{overline|6}}m2, R6/mmm).

Связь между сингонией, кристаллической системой и системой решётки в трёхмерном пространстве дана в следующей таблице:
{|class="wikitable" cellpadding=4 cellspacing=0
|-align=center
!bgcolor=#e0e0e0|'''Сингония'''
!Кристаллическая система
!bgcolor=#e0e0e0|'''[[Кристаллографическая точечная группа симметрии|Точечные группы]]
!bgcolor=#e0e0e0 width=160|'''Число [[пространственная группа|пространственных групп]]'''
!bgcolor=#e0e0e0 width=160|'''[[Решётка Браве]]'''<ref>de Wolff et al., Nomenclature for crystal families, Bravais-lattice types and arithmetic classes, Acta Cryst. (1985). A41, 278—280. [http://www.iucr.org/resources/commissions/crystallographic-nomenclature/bravais online] {{Wayback|url=http://www.iucr.org/resources/commissions/crystallographic-nomenclature/bravais |date=20130127024825 }}</ref>
!Система решётки
![[Голоэдрия]]
|-
|colspan=2|[[Триклинная сингония|Триклинная]]
|align=center| ''1, {{overline|1}}''
|align=center| 2
|align=center| ''aP''
|align=center|[[Триклинная сингония|Триклинная]]
|align=center| ''{{overline|1}}''
|-
|colspan=2|[[Моноклинная сингония|Моноклинная]]
|align=center| ''2, m, 2/m''
|align=center|13
|align=center|''mP, mS''
|align=center|[[Моноклинная сингония|Моноклинная]]
|align=center| ''2/m''
|-
|colspan=2|[[Ромбическая сингония|Ромбическая]]
|align=center| ''222, mm2, mmm''
|align=center|59
|align=center|''oP, oS, oI, oF''
|align=center|[[Ромбическая сингония|Ромбическая]]
|align=center| ''mmm''
|-
|colspan=2|[[Тетрагональная сингония|Тетрагональная]]
|align=center| ''4, {{overline|4}}, 422, 4mm, {{overline|4}}2m, 4/m, 4/mmm''
|align=center|68
|align=center|''tP, tI''
|align=center|[[Тетрагональная сингония|Тетрагональная]]
|align=center| ''4/mmm''
|-
|rowspan=3|[[Гексагональная сингония|Гексагональная]]
|rowspan=2|[[Тригональная сингония|Тригональная]]
|rowspan=2 align=center| ''3, {{overline|3}}, 32, 3m, {{overline|3}}m''
|align=center|7
|align=center|''hR''
|align=center|Ромбоэдрическая
|align=center| ''{{overline|3}}m''
|-
|align=center|18
|align=center rowspan=2|''hP''
|align=center rowspan=2|[[Гексагональная сингония|Гексагональная]]
|align=center rowspan=2|''6/mmm''
|-
|[[Гексагональная сингония|Гексагональная]]
|align=center|''6, {{overline|6}}, 622, 6mm, {{overline|6}}m2, 6/m, 6/mmm''
|align=center|27
|-
|colspan=2|[[Кубическая сингония|Кубическая]]
|align=center|''23, m{{overline|3}}, {{overline|4}}3m, 432, m{{overline|3}}m''
|align=center|36
|align=center|''cP, cI, cF''
|align=center|[[Кубическая сингония|Кубическая]]
|align=center|''m{{overline|3}}m''
|-
!'''Всего:''' 6 ||7 ||32 ||230 ||14 ||7
|}


== Обзор точечных групп ==
{| cellpadding="4" align="center" rules="all" style="margin: 1em 1em; background: #ffffff; border: 2px solid #aaa;"
{{Основной источник|<ref>Вайнштейн Б.К. Современная кристаллография. Том 1. Симметрия кристаллов, методы структурной кристаллографии. Наука, Москва, 1979.</ref><ref>Сиротин Ю.И., Шаскольская М.П. Основы кристаллофизики. Наука, Москва, 1979.</ref><ref>Флинт Е.Е. Практическое руководство по геометрической кристаллографии. Изд-е 3-е, перараб. и доп., Госгеолтехиздат, Москва, 1956.</ref>}}
{|class="wikitable"
|-----
|-----
! Кристаллическая система
! сингония
! [[точечная группа]] / класс симметрии
! [[Кристаллографическая точечная группа симметрии|точечная группа]] / класс симметрии
! [[Символ Шёнфлиса]]
! [[Символ Шёнфлиса]]
! Международный символ
! [[Символика Германа — Могена|Международный символ]]
! [[Кристаллографическая точечная группа симметрии#Символы Шубникова|Символ Шубникова]]
! [[orbifold]](?)
! Тип
! Тип
|-----
|-----
| rowspan=2 | [[Триклинная сингония|триклинная]]
| rowspan=2 | [[Триклинная сингония|триклинная]]
| триклино-педиальный (моноэдрический)
| моноэдрический
| C<sub>1</sub>
| C<sub>1</sub>
| <math>1\ </math>
| <math>1\ </math>
| <math>1\ </math>
| 11
| [[Хиральность|энантиоморфный]] [[плоскость симметрии|полярный]]
| [[Хиральность|энантиоморфный]] [[Пироэлектрики|полярный]]
|-----
|-----
| триклинно-пинакоидальный
| пинакоидальный
| C<sub>i</sub>
| C<sub>i</sub>
| <math>\bar{1}</math>
| <math>\bar{1}</math>
| <math>\tilde{2}</math>
| 1x
| [[центр симметрии|центросимметричный]]
| [[центр симметрии|центросимметричный]]
|-----
|-----
| rowspan=3 | [[моноклинная сингония|моноклинная]]
| rowspan=3 | [[моноклинная сингония|моноклинная]]
| моноклино-сфеноидальный (диэдрический осевой)
| диэдрический осевой
| C<sub>2</sub>
| C<sub>2</sub>
| <math>2\ </math>
| <math>2\ </math>
| <math>2\ </math>
| 22
| [[Хиральность|энантиоморфный]] [[плоскость симметрии|полярный]]
| [[Хиральность|энантиоморфный]] [[Пироэлектрики|полярный]]
|-----
|-----
| моноклинно-доматический
| диэдрический безосный (доматический)
| C<sub>s</sub>
| C<sub>s</sub>
| <math>m\ </math>
| <math>m\ </math>
| <math>m\ </math>
| 1*
| полярный
| [[Пироэлектрики|полярный]]
|-----
|-----
| [[Призма (геометрия)|призматический]]
| моноклинно-[[призма]]тический
| C<sub>2h</sub>
| C<sub>2h</sub>
| <math>2/m\ </math>
| <math>2/m\ </math>
| <math>2:m\ </math>
| 2*
| [[центр симметрии|центросимметричный]]
| [[центр симметрии|центросимметричный]]
|-----
|-----
| rowspan=3 | [[Ромбическая сингония|Ромбическая]]<br /> орторомбическая
| rowspan=3 | [[Ромбическая сингония|Ромбическая]]
| ромбо-сфеноидальный (ромбо-тетраэдрический)
| ромбо-тетраэдрический
| D<sub>2</sub>
| D<sub>2</sub>
| <math>222\ </math>
| <math>222\ </math>
| <math>2:2\ </math>
| 222
| [[Хиральность|энантиоморфный]]
| [[Хиральность|энантиоморфный]]
|-----
|-----
| ромбо-[[Пирамида (геометрия)|пирамидальный]]
| ромбо-[[пирамида]]льный
| C<sub>2v</sub>
| C<sub>2v</sub>
| <math>mm2\ </math>
| <math>mm2\ </math>
| <math>2 \cdot m\ </math>
| *22
| [[плоскость симметрии|полярный]]
| [[Пироэлектрики|полярный]]
|-----
|-----
| ромбо-дипирамидальный ([[бипирамида]]льный)
| ромбо-дипирамидальный
| D<sub>2h</sub>
| D<sub>2h</sub>
| <math>mmm\ </math>
| <math>mmm\ </math>
| <math>m \cdot 2:m\ </math>
| *222
| [[центр симметрии|центросимметричный]]
| [[центр симметрии|центросимметричный]]
|-----
|-----
| rowspan=7 | [[Тетрагональная сингония|Тетрагональная]]
| rowspan=7 | [[Тетрагональная сингония|Тетрагональная]]
| тетрагонально-пирамидальный
| тетрагонально-пирамидальный
| C<sub>4</sub>
| C<sub>4</sub>
| <math>4\ </math>
| <math>4\ </math>
| <math>4\ </math>
| 44
| [[Хиральность|энантиоморфный]] [[плоскость симметрии|полярный]]
| [[Хиральность|энантиоморфный]] [[Пироэлектрики|полярный]]
|-----
|-----
| тетрагонально-дисфеноидальный (тетраэдрический)
| тетрагонально-тетраэдрический
| S<sub>4</sub>
| S<sub>4</sub>
| <math>\bar{4}</math>
| <math>\bar{4}</math>
| <math>\tilde{4}</math>
| 2x
|
|
|-----
|-----
| тетрагонально-дипирамидальный
| тетрагонально-дипирамидальный
| C<sub>4h</sub>
| C<sub>4h</sub>
| <math>4/m\ </math>
| <math>4/m\ </math>
| <math>4:m\ </math>
| 4*
| [[центр симметрии|центросимметричный]]
| [[центр симметрии|центросимметричный]]
|-----
|-----
| тетрагонально-[[трапеция|трапециоэдрический]]
| тетрагонально-трапецоэдрический
| D<sub>4</sub>
| D<sub>4</sub>
| <math>422\ </math>
| <math>422\ </math>
| <math>4:2\ </math>
| 422
| [[Хиральность|энантиоморфный]]
| [[Хиральность|энантиоморфный]]
|-----
|-----
| дитетрагонально-пирамидальный
| дитетрагонально-пирамидальный
| C<sub>4v</sub>
| C<sub>4v</sub>
| <math>4mm\ </math>
| <math>4mm\ </math>
| <math>4 \cdot m\ </math>
| *44
| [[плоскость симметрии|полярный]]
| [[Пироэлектрики|полярный]]
|-----
|-----
| тетрагонально-скаленоэдрический
| тетрагонально-скаленоэдрический
| D<sub>2d</sub>
| D<sub>2d</sub>
| <math>\bar{4}2m\ </math> or <math>\bar{4}m2</math>
| <math>\bar{4}2m\ </math> или <math>\bar{4}m2</math>
| <math>\tilde{4}\cdot m</math>
| 2*2
|
|
|-----
|-----
| дитетрагонально-дипирамидальный
| дитетрагонально-дипирамидальный
| D<sub>4h</sub>
| D<sub>4h</sub>
| <math>4/mmm\ </math>
| <math>4/mmm\ </math>
| <math>m \cdot 4:m\ </math>
| *422
| [[центр симметрии|центросимметричный]]
| [[центр симметрии|центросимметричный]]
|-----
|-----
| rowspan=5 | [[Тригональная сингония|Тригональная]]<br />(ромбоэдрическая)
| rowspan=5 | [[Тригональная сингония|Тригональная]]
| тригонально-пирамидальный
| тригонально-пирамидальный
| C<sub>3</sub>
| C<sub>3</sub>
| <math>3 \!</math>
| <math>3</math>
| <math>3\ </math>
| 33
| [[Хиральность|энантиоморфный]] [[плоскость симметрии|полярный]]
| [[Хиральность|энантиоморфный]] [[Пироэлектрики|полярный]]
|-----
|-----
| ромбоэдрический
| ромбоэдрический
| S<sub>6</sub> (C<sub>3i</sub>)
| S<sub>6</sub> (C<sub>3i</sub>)
| <math>\bar{3}</math>
| <math>\bar{3}</math>
| <math>\tilde{6}</math>
| 3x
| [[центр симметрии|центросимметричный]]
| [[центр симметрии|центросимметричный]]
|-----
|-----
| тригонально-трапецоэдрический
| тригонально-трапецоэдрический
| D<sub>3</sub>
| D<sub>3</sub>
| <math>32\ </math> или <math>321\ </math> или <math>312\ </math>
| <math>32\ </math> или <math>321\ </math> или <math>312\ </math>
| <math>3:2\ </math>
| 322
| [[Хиральность|энантиоморфный]]
| [[Хиральность|энантиоморфный]]
|-----
|-----
| дитригонально-пирамидальный
| дитригонально-пирамидальный
| C<sub>3v</sub>
| C<sub>3v</sub>
| <math>3m\ </math>or <math> 3m1\ </math> или <math>31m\ </math>
| <math>3m\ </math> или <math> 3m1\ </math> или <math>31m\ </math>
| <math>3 \cdot m\ </math>
| *33
| [[плоскость симметрии|полярный]]
| [[Пироэлектрики|полярный]]
|-----
|-----
| дитригонально-скаленоэдрический
| дитригонально-скаленоэдрический
| D<sub>3d</sub>
| D<sub>3d</sub>
| <math>\bar{3} m\ </math> или <math>\bar{3} m 1</math> или <math>\bar{3} 1 m </math>
| <math>\bar{3} m\ </math> или <math>\bar{3} m 1</math> или <math>\bar{3} 1 m </math>
| <math>\tilde{6}\cdot m</math>
| 2*3
| [[центр симметрии|центросимметричный]]
| [[центр симметрии|центросимметричный]]
|-----
|-----
| rowspan=7 | [[Гексагональная сингония|Гексагональная]]
| rowspan=7 | [[Гексагональная сингония|Гексагональная]]
| гексагонально-пирамидальный
| гексагонально-пирамидальный
| C<sub>6</sub>
| C<sub>6</sub>
| <math>6\ </math>
| <math>6\ </math>
| <math>6\ </math>
| 66
| [[Хиральность|энантиоморфный]] [[плоскость симметрии|полярный]]
| [[Хиральность|энантиоморфный]] [[Пироэлектрики|полярный]]
|-----
|-----
| тригонально-дипирамидальный
| тригонально-дипирамидальный
| C<sub>3h</sub>
| C<sub>3h</sub>
| <math>\bar{6}</math>
| <math>\bar{6}</math>
| <math>3:m\ </math>
| 3*
|
|
|-----
|-----
| гексагонально-дипирамидальный
| гексагонально-дипирамидальный
| C<sub>6h</sub>
| C<sub>6h</sub>
| <math>6/m\ </math>
| <math>6/m\ </math>
| <math>6:m\ </math>
| 6*
| [[центр симметрии|центросимметричный]]
| [[центр симметрии|центросимметричный]]
|-----
|-----
| гексагонально-трапецоэдрический
| гексагонально-трапецоэдрический
| D<sub>6</sub>
| D<sub>6</sub>
| <math>622\ </math>
| <math>622\ </math>
| <math>6:2\ </math>
| 622
| [[Хиральность|энантиоморфный]]
| [[Хиральность|энантиоморфный]]
|-----
|-----
| дигексагонально-пирамидальный
| дигексагонально-пирамидальный
| C<sub>6v</sub>
| C<sub>6v</sub>
| <math>6mm\ </math>
| <math>6mm\ </math>
| <math>6 \cdot m\ </math>
| *66
| [[плоскость симметрии|полярный]]
| [[Пироэлектрики|полярный]]
|-----
|-----
| дитригонально-дипирамидальный
| дитригонально-дипирамидальный
| D<sub>3h</sub>
| D<sub>3h</sub>
| <math>\bar{6}m2</math> или <math>\bar{6}2m</math>
| <math>\bar{6}m2</math> или <math>\bar{6}2m</math>
| <math>m \cdot 3:m\ </math>
| *322
|
|
|-----
|-----
| дигексагонально-дипирамидальный
| дигексагонально-дипирамидальный
| D<sub>6h</sub>
| D<sub>6h</sub>
| <math>6/mmm\ </math>
| <math>6/mmm\ </math>
| <math>m \cdot 6:m\ </math>
| *622
| [[центр симметрии|центросимметричный]]
| [[центр симметрии|центросимметричный]]
|-----
|-----
| rowspan=5 | [[Кубическая сингония|Кубическая]]
| rowspan=5 | [[Кубическая сингония|Кубическая]]
| тетартоидальный (тритетраэдрический)
| тритетраэдрический
| T || <math>23\ </math>
| T || <math>23\ </math>
| <math>3/2\ </math>
| 332
| [[Хиральность|энантиоморфный]]
| [[Хиральность|энантиоморфный]]
|-----
|-----
| диплоидальный (дидодекаэдрический)
| дидодекаэдрический
| T<sub>h</sub>
| T<sub>h</sub>
| <math>m\bar{3}\ </math>
| <math>m\bar{3}\ </math>
| <math>\tilde{6}/2</math>
| 3*2
| [[центр симметрии|центросимметричный]]
| [[центр симметрии|центросимметричный]]
|-----
|-----
| гексатетраэдрический
| гироидальный (триоктаэдрический)
| T<sub>d</sub>
| <math>\bar{4}3m</math>
| <math>3/\tilde{4}</math>
|
|-----
| триоктаэдрический
| O
| O
| <math>432\ </math>
| <math>432\ </math>
| <math>3/4\ </math>
| 432
| [[Хиральность|энантиоморфный]]
| [[Хиральность|энантиоморфный]]
|-----
| тетраэдрический (гексатетраэдрический)
| T<sub>d</sub>
| <math>\bar{4}3m</math>
| *332
|
|-----
|-----
| гексоктаэдрический
| гексоктаэдрический
| O<sub>h</sub>
| O<sub>h</sub>
| <math>m\bar{3}m</math>
| <math>m\bar{3}m</math>
| <math>\tilde{6}/4</math>
| *432
| [[центр симметрии|центросимметричный]]
| [[центр симметрии|центросимметричный]]
|}
|}
<!--
The [[crystal structure]]s of biological molecules (such as [[protein]] structures) can only occur in the 11 [[Chirality (chemistry)|enantiomorphic]] point groups, as biological molecules are invariably [[Chirality (chemistry)|chiral]]. The protein assemblies themselves may have symmetries other than those given above, because they are not intrinsically restricted by the [[Crystallographic restriction theorem]]. For example the [[Rad52]] DNA binding protein has an 11-fold rotational symmetry (in human), however, it must form crystals in one of the 11 [[Chirality (chemistry)|enantiomorphic]] point groups given above.
-->
==Классификация решеток ==


== Классификация решеток ==
{| align=left border=1 style=margin-left:1em
{|class="wikitable"
|'''Сингония'''
!rowspan=2 | Сингония
|colspan=4 align=center| '''[[кристаллическая решетка|Решётки]] Бравэ'''
!colspan=5 | Тип центрировки [[Решётка Браве|ячейки Браве]]
|-
|colspan=1 align=center| [[Триклинная сингония|Триклинная]]<br /> ([[параллелепипед]])
|| [[Image:Triclinic.svg|80px|Triclinic]]
|-
|rowspan=2 align=center| [[Моноклинная сингония|Моноклинная]]<br />(правильная [[призма]] с [[параллелограмм]]ом в основании (изображен сверху);
|align=center| простая
|align=center| базоцентрированная
|-
|| [[Image:Monoclinic.svg|80px|Monoclinic, simple]]
|| [[Image:Monoclinic-base-centered.svg|80px|Monoclinic, centered]]
|-
|-
!width="120" | примитивная || базо-<br />центрированная || объёмно-<br />центрированная || гране-<br />центрированная || дважды<br />объёмно-<br />центрированная
|rowspan=2 align=center| [[Ромбическая сингония|Ромбическая]]<br />([[ромбоэдр]])
|align=center| простая
|align=center| базоцентрированная
|align=center| объёмноцентрированная
|align=center| гранецентрированная
|-
|-
|align=center| [[Триклинная сингония|Триклинная]]<br /> ([[параллелепипед]])
|| [[Image:Orthorhombic.svg|80px|Orthohombic, simple]]
|align=center| [[Файл:Triclinic.svg|80px|Triclinic]] || || || ||
|| [[Image:Orthorhombic-base-centered.svg|80px|Orthohombic, base-centered]]
|| [[Image:Orthorhombic-body-centered.svg|80px|Orthohombic, body-centered]]
|| [[Image:Orthorhombic-face-centered.svg|80px|Orthohombic, face-centered]]
|-
|-
|rowspan=2 align=center| [[Тетрагональная сингония|Тетрагональная]]<br /> (прямой [[параллелепипед]])
|align=center| [[Моноклинная сингония|Моноклинная]]<br />([[Призма (геометрия)|призма]] с [[параллелограмм]]ом в основании)
|align=center|простая
|align=center| [[Файл:Monoclinic.svg|80px|Monoclinic, simple]]
|align=center| [[Файл:Base-centered monoclinic.svg|80px|Monoclinic, centered]] || || ||
|align=center|объёмноцентрированная
|-
|-
|align=center| [[Ромбическая сингония|Ромбическая]]<br />([[прямоугольный параллелепипед]])
|| [[Image:Tetragonal.svg|80px|Tetragonal, simple]]
|| [[Image:Tetragonal-body-centered.svg|80px|Tetragonal, body-centered]]
|align=center| [[Файл:Orthorhombic.svg|80px|Orthohombic, simple]]
|align=center| [[Файл:Orthorhombic-base-centered.svg|80px|Orthohombic, base-centered]]
|align=center| [[Файл:Orthorhombic-body-centered.svg|80px|Orthohombic, body-centered]]
|align=center| [[Файл:Orthorhombic-face-centered.svg|80px|Orthohombic, face-centered]] ||
|-
|-
|align=center| [[Тригональная сингония|Тригональная]]<br>(ромбоэдрическая) (равносторонний [[ромбоэдр]])
|align=center| [[Тетрагональная сингония|Тетрагональная]]<br /> ([[прямоугольный параллелепипед]] с [[квадрат]]ом в основании)
| [[Image:Rhombohedral.svg|80px|Rhombohedral]]
|align=center| [[Файл:Tetragonal.svg|80px|Tetragonal, simple]] ||
|align=center| [[Файл:Tetragonal-body-centered.svg|80px|Tetragonal, body-centered]] || ||
|-
|-
|align=center| [[Гексагональная сингония|Гексагональная]] <br />([[призма]] с основанием правильного центрированного [[шестиугольник]]а)
|align=center| [[Гексагональная сингония|Гексагональная]]<br /> ([[Призма (геометрия)|призма]] с основанием правильного центрированного шестиугольника)
| [[Image:Hexagonal lattice.svg|80px|Hexagonal]]
|align=center| [[Файл:Hexagonal latticeFRONT.svg|100px|Hexagonal]] || || ||
|align=center| [[Файл:Hexagonal latticeR.svg|100px|Hexagonal]]
|-
|-
|rowspan=2 align=center| [[Кубическая сингония|Кубическая]] <br>(правильный [[куб]])
|align=center| [[Тригональная сингония|Тригональная]] <br /> (равносторонний [[параллелепипед]] —[[ромбоэдр]])
|align=center| простая
|align=center| [[Файл:Rhombohedral.svg|80px|Rhombohedral]]|| || || ||
|align=center| объёмноцентрированная
|align=center| гранецентрированная
|-
|-
|align=center| [[Кубическая сингония|Кубическая]] <br />([[куб]])
|| [[Image:Cubic.svg|80px|Cubic, simple]]
| [[Image:Cubic-body-centered.svg|80px|Cubic, body-centered]]
|align=center| [[Файл:Cubic.svg|80px|Cubic, simple]] ||
| [[Image:Cubic-face-centered.svg|80px|Cubic, face-centered]]
|align=center| [[Файл:Cubic-body-centered.svg|80px|Cubic, body-centered]]
|align=center| [[Файл:Cubic-face-centered.svg|80px|Cubic, face-centered]]||
|}
|}
{{-}}
{{-}}
<!--
<!--
In [[geometry]] and [[crystallography]], a '''Bravais lattice''' is a category of [[symmetry group]]s for [[translational symmetry]] in three directions, or correspondingly, a category of translation [[Lattice (group)|lattice]]s.
In [[geometry]] and [[crystallography]], a '''Bravais lattice''' is a category of [[symmetry group]]s for [[translational symmetry]] in three directions, or correspondingly, a category of translation [[Lattice (group)|lattices]].


Such symmetry groups consist of translations by vectors of the form
Such symmetry groups consist of translations by vectors of the form


:<math>\mathbf{R} = n_1 \mathbf{a}_1 + n_2 \mathbf{a}_2 + n_3 \mathbf{a}_3,</math>
: <math>\mathbf{R} = n_1 \mathbf{a}_1 + n_2 \mathbf{a}_2 + n_3 \mathbf{a}_3,</math>


where ''n''<sub>1</sub>, ''n''<sub>2</sub>, and ''n''<sub>3</sub> are [[integer]]s and ''a''<sub>1</sub>, ''a''<sub>2</sub>, and ''a''<sub>3</sub> are three non-coplanar vectors, called ''primitive vectors''.
where ''n''<sub>1</sub>, ''n''<sub>2</sub>, and ''n''<sub>3</sub> are [[integer]]s and ''a''<sub>1</sub>, ''a''<sub>2</sub>, and ''a''<sub>3</sub> are three non-coplanar vectors, called ''primitive vectors''.


These lattices are classified by [[space group]] of the translation lattice itself; there are 14 Bravais lattices in three dimensions; each can apply in one crystal system only. They represent the maximum symmetry a structure with the translational symmetry concerned can have.
These lattices are classified by [[space group]] of the translation lattice itself; there are 14 Bravais lattices in three dimensions; each can apply in one crystal system only. They represent the maximum symmetry a structure with the translational symmetry concerned can have.
Строка 361: Строка 428:
For convenience a Bravais lattice is depicted by a unit cell which is a factor 1, 2, 3 or 4 larger than the [[primitive cell]]. Depending on the symmetry of a crystal or other pattern, the [[fundamental domain]] is again smaller, up to a factor 48.
For convenience a Bravais lattice is depicted by a unit cell which is a factor 1, 2, 3 or 4 larger than the [[primitive cell]]. Depending on the symmetry of a crystal or other pattern, the [[fundamental domain]] is again smaller, up to a factor 48.


The Bravais lattices were studied by [[Moritz Ludwig Frankenheim]] (1801-1869), in [[1842]], who found that there were 15 Bravais lattices. This was corrected to 14 by [[Auguste Bravais|A. Bravais]] in [[1848]]
The Bravais lattices were studied by [[Moritz Ludwig Frankenheim]] (1801—1869), in [[1842]], who found that there were 15 Bravais lattices. This was corrected to 14 by [[Auguste Bravais|A. Bravais]] in [[1848]]


--- or 1849 or 1850, Britannica has two different years.
— or 1849 or 1850, Britannica has two different years.
-->


== История ==
Первая геометрическая классификация кристаллов была дана независимо [[Вейс, Христиан Самуэль|Христианом Вейсом]] и [[Моос, Карл Фридрих Христиан|Фридрихом Моосом]] в начале 19 века. Оба учёных классифицировали кристаллы по симметрии их внешней формы (огранки). При этом Вейс фактически вводит понятие кристаллографической оси (оси симметрии). По Вейсу «Ось есть линия, господствующая над всей фигурой кристалла, так как вокруг неё все части расположены подобным образом и относительно неё они соответствуют друг другу взаимно»<ref>[[Вейс, Христиан Самуэль|C. S. Weiss]] ''De indagando formarum crystallinarum charactere geometrico principali dissertatio. '' Lipsiae [Leipzig] 1809</ref>. В своей работе «Наглядное представление об естественных делениях систем кристаллизации» Вейс классифицировал кристаллы по наличию осей на четыре больших раздела кристаллических форм, «систем кристаллизации», соответствующих современному понятию сингонии<ref>[[Вейс, Христиан Самуэль|C. S. Weiss]]: ''Ueber die natürlichen Abtheilungen der Crystallisations Systeme.'' Abhandl. k. Akad. Wiss., Berlin 1814—1815, S. 290—336.</ref>. В скобках даны современные названия.


* 1 раздел — «правильная», «сфероэдрическая», «равноосная», «равночленная» (кубическая) система: три измерения одинаковы, образуя между собой прямые углы.
-->
** подраздел гомосфероэдрическая система (кристаллы симметрии m{{overline|3}}m)
** подраздел гемисфероэдрическая система (кристаллы симметрии 432, 43m и m{{overline|3}})
* 2 раздел — «четырёхчленная» (тетрагональная) система: оси образуют между собой прямые углы, две оси равны между собой и не равны третьей.
* 3 раздел — «двучленная» система: все три оси неравны и образуют между собой прямые углы.
** подраздел «дву-и-двучленная» (ромбическая) система
** подраздел «дву-и-одночленная» (моноклинная) система
** подраздел «одно-и-одночленная» (триклинная) система
* 4 раздел — одна неравная ось перпендикулярна трём равным осям, образующим между собой углы в 120°.
** подраздел «шестичленная» (гексагональная) система:
** подраздел «три-и-тричленная» или «ромбоэдрическая» (тригональная) система:


Для моноклинной и триклинной сингонии Вейс использовал прямоугольную систему координат (современные кристаллографические координатные системы для этих сингоний являются косоугольными).
== См.также ==

Примерно в то же время Фридрих Моос развил концепцию кристаллических систем<ref>[[Моос, Карл Фридрих Христиан|Friedrich Mohs]]: ''Grund-Riß der Mineralogie. Erster Theil. Terminologie, Systematik, Nomenklatur, Charakteristik.'' Dresden 1822</ref>. Каждая система характеризуется простейшей, «основной формой», граней, из которой можно вывести все остальные формы данной системы. Таким образом Моос получил следующие четыре системы:

* 1. Ромбоэдрическая система (гексагональная сингония). Основная форма — ромбоэдр.
* 2. Пирамидальная система (тетрагональная сингония). Основная форма — тетрагональная бипирамида.
* 3. Тессулярная система (кубическая сингония). Основные формы — куб и октаэдр.
* 4. Призматическая система (ромбическая сингония). Основная форма — ромбическая бипирамида.
** Гемипризматическая подсистема (моноклинная сингония)
** Тетартопризматическая подсистема (триклинная сингония)

В обоих классификациях Вейс и Моос выделяет всего четыре системы, хотя перечислены все шесть сингоний, только моноклинную и триклинную сингонии они рассматривают как подсистемы ромбической. Согласно его собственному утверждению, Моос развил эту концепцию в 1812-14 годах, что и послужило предметом спора с Вейсом о приоритете открытия кристаллических систем. В отличие от Вейса, Моос указал на необходимость косоугольной системы осей для моноклинных и триклинных кристаллов.

Окончательно развил и ввёл в кристаллографию косоуголные системы его ученик [[Науман, Карл Фридрих|Карл Фридрих Науман]]. Науман положил в основу классификации кристаллографические оси и углы между ними, таким образом впервые выделив все шесть сингоний<ref>[[Науманн, Карл Фридрих|Carl Friedrich Naumann]], Lehrbuch der Mineralogie Mineralogie, 1828 [https://books.google.com/books?id=B5s5AAAAcAAJ&pg=PA20&#v=onepage online]</ref><ref>[[Науманн, Карл Фридрих|Carl Friedrich Naumann]], Lehrbuch der reinen und angewandten Krystallographie, 1830 [https://books.google.com/books?id=ZuRHAAAAIAAJ&pg=PA67&#v=onepage online]</ref>. Интересно, что уже в 1830 году Науман использует названия сингоний, которые идентичны или близки современным (названия ''тетрагональная'', ''гексагональная'' и ''ромбическая'' были изначально предложены Брейтгауптом).
* 1. Тессеральная (от ''tessera'' — куб) — все три угла между координатными осями прямые, все три оси равны.
* 2. Тетрагональная — все три угла прямые, две оси равны.
* 3. Гексагональная — единственная четырёхосевая система: одна неравная ось перпендикулярна трём равным осям, образующим между собой углы в 60°.
* 4. Ромбическая — все три угла прямые, все оси неравны.
* 5. Моноклиноэдрическая — два прямых угла и один косой.
* 6. Диклиноэдрическая — два косых угла и один прямой.
* 7. Триклиноэдрическая — все три угла косые.

Поскольку в то время теория симметрии только развивалась, в списке систем появилась необычная диклиноэдрическая (диклинная) система. Такая кристаллическая система в принципе невозможна в трёхмерном пространстве, так как наличие оси симметрии всегда гарантирует наличие перпендикулярных к оси трансляций, выбираемых за координатные оси. Диклинная система просуществовала в кристаллографии примерно полвека (хотя уже в 1856 году Дюфренуа показал, что это лишь частный случай триклинной системы). В 1880 году [[Дана, Джеймс Дуайт|Дана]] в своей знаменитой книге «Система минералогии»<ref>Edward Salisbury Dana, James Dwight Dana, A text-book of mineralogy, 1880 [https://books.google.com/books?id=L6QJAAAAIAAJ&pg=PA9&#v=onepage online]</ref> упоминает «так называемую диклинную систему», но при этом отмечает, что не известно ни одного природного или искусственного кристалла, принадлежащего данной системе, и что более того, математически доказано, что существует всего шесть кристаллических систем. Сам Науман до конца жизни верил в диклинную сингонию, и в девятом издании «Оснований минералогии»<ref>Carl Friedrich Naumann, Elemente der mineralogie, 1874 [https://books.google.com/books?id=xGwKAAAAMAAJ&pg=PA9&#v=onepage online] </ref>, вышедшем в 1874 году посмертно, эта сингония по-прежнему присутствует в списке, хотя Науман и замечает, что эта система встречается только в нескольких искусственных солях, и далее не рассматривает её.

Названия кристаллографических сингоний у авторов XIX века

{| class="wikitable"
|-
! Автор !! Кубическая!! Тетрагональная!! Гексагональная!! Ромбическая!! Моноклинная!! Триклинная
|-
| Вейс || Правильная, Сферическая, Шаровая, Сферономическая, Равноосная, Равночленная || Четырёхчленная, Дву‑и‑одноосная || Шестичленная, Три‑и‑одноосная || Дву‑и‑двучленная, Одно‑и‑одноосная || Дву‑и‑одночленная || Одно‑и‑одночленная
|-
| Моос || Тессулярная, Тесселярная || Пирамидальная || Ромбоэдрическая || Призматическая, Ортотипная || Гемипризматическая, Гемиортотипная || Тетартопризматическая, Анортотипная
|-
| Брейтгаупт || || Тетрагональная || Гексагональная || Ромбическая || Гемиромбическая || Тетарторомбическая
|-
| Науман || Тессеральная || Тетрагональная || Гексагональная || Ромбическая, Анизометрическая || Моноклиноэдрическая, Клиноромбическая || Триклиноэдрическая, Триклинометрическая
|-
| Гаусман || Изометрическая || Монодиметрическая ||Монотриметрическая || Триметрическая, Орторомбическая || Клиноромбическая, Орторомбоидическая || Клиноромбоидическая
|-
| Миллер 1839|| Октаэдрическая || Пирамидальная || Ромбоэдрическая || Призматическая || Наклонно-призматическая || Дважды-наклонно-призматическая
|-
| Гадолин || Правильная || Квадратная || Гексагональная || Ромбическая || Моноклиноэдрическая|| Триклиноэдрическая
|-
| Другие авторы|| Тетраэдрическая (Бёдан), Кубическая (Дюфренуа)|| Диметрическая || || Двучленная (Квенштедт) ||Моноклинометрическая (Франкенгейм),<BR> Авгитовая (Гайдингер) || Триклиническая (Франкенгейм), <BR> Анортическая (Гайдингер)
|}

Впервые деление на семь кристаллографических систем дано в 1850 году в работе [[Браве, Огюст|Огюста Браве]] «Мемуар о системах точек, правильно распределённых на плоскости или в пространстве»<ref>Bravais, A. (1850) Mémoire sur les systèmes formés par les points distribués régulièrement sur un plan ou dans l’espace. Journal de L’Ecole Polytechnique.</ref>. Фактически это первое деление, основанное на элементах симметрии, а не на системах координат. Поэтому все предыдущие классификации соответствуют сегодняшнему определению сингонии, в то время как классификация Браве — это классификация по кристаллическим системам (строго говоря, системам решётки).

Браве делит решётки в зависимости от их симметрии на 7 систем (классы совокупностей).
* 1. Тричетверные (кубическая система)
* 2. Шестерные (гексагональная система)
* 3. Четверные (тетрагональная система)
* 4. Тройные (ромбоэдрическая система)
* 5. Тридвойные (ромбическая система)
* 6. Двойные (моноклинная система)
* 7. Асимметричные (триклинная система)

При этом сам Браве отмечает, что ещё Гаюи делил решётки гексагональной системы (по классификации Наумана) «на кристаллы, порожденные правильной гексагональной призмой, и кристаллы, порожденные ядром в виде ромбоэдра».

== Классификация групп в многомерных пространствах ==
Во второй половине XX века были изучены и классифицированы кристаллографические группы в четырёхмерном, пятимерном и шестимерном пространствах. С увеличением размерности число групп и классов значительно возрастает<ref>B. Souvignier: «Enantiomorphism of crystallographic groups in higher dimensions with results in dimensions up to 6». Acta Crystallographica Section A, vol.59, pp.210-220, 2003.</ref>. В скобках указано число энантиоморфных пар.
{| class="wikitable"
|-
! Размерность пространства: !!width=120 |1 !!width=120| 2 !!width=120| 3 !!width=120| 4 !!width=120| 5 !!width=120| 6
|-
| Число сингоний || 1 || 4|| 6 || 23 (+6)|| 32 || 91
|-
| Число систем решёток || 1 || 4 || 7 || 33 (+7)|| 57 || 220
|-
| Число кристаллических систем || 1 || 4 || 7 || 33 (+7) || 59 || 251
|-
| Число решёток Браве || 1 || 5 || 14 || 64 (+10) || 189 || 841
|-
| Число точечных групп || 2 || 10 || 32 || 227 (+44) || 955 || 7103
|-
| Число пространственных групп || 2 || 17 || 219 (+11) || 4783 (+111) || 222018 (+79) || 28927915 (+?)<ref>{{cite web|url=http://wwwb.math.rwth-aachen.de/carat/index.html|title=The CARAT Homepage|accessdate=2015-05-05|archive-date=2016-03-05|archive-url=https://web.archive.org/web/20160305052603/http://wwwb.math.rwth-aachen.de/carat/index.html|deadlink=no}} Часть вычислений в работе Souvignier (2003) для шестимерного пространства опиралась на ошибочный вариант программы CARAT.</ref>
|}

В четырёхмерном пространстве элементарная ячейка определяется четырьмя сторонами (<math>a, b, c, d</math>) и шестью углами между ними (<math>\alpha, \beta, \gamma, \delta, \epsilon, \zeta</math>). Следующие соотношения между ними определяют 23 сингонии:
# Гексаклинная: <math>a\ne b \ne c \ne d, \alpha \ne \beta \ne \gamma \ne \delta \ne \epsilon \ne \zeta \ne 90 ^\circ</math>
# Триклинная: <math>a\ne b \ne c \ne d, \alpha \ne \beta \ne \gamma \ne 90 ^\circ, \delta = \epsilon = \zeta = 90 ^\circ</math>
# Диклинная: <math>a\ne b \ne c \ne d, \alpha \ne 90 ^\circ, \beta = \gamma = \delta = \epsilon = 90 ^\circ, \zeta \ne 90 ^\circ</math>
# Моноклинная: <math>a\ne b \ne c \ne d, \alpha \ne 90 ^\circ, \beta = \gamma = \delta = \epsilon = \zeta = 90 ^\circ</math>
# Ортогональная: <math>a\ne b \ne c \ne d, \alpha = \beta = \gamma = \delta = \epsilon = \zeta = 90 ^\circ</math>
# Тетрагональная моноклинная: <math>a\ne b = c \ne d, \alpha \ne 90 ^\circ, \beta = \gamma = \delta = \epsilon = \zeta = 90 ^\circ</math>
# Гексагональная моноклинная: <math>a\ne b = c \ne d, \alpha \ne 90 ^\circ, \beta = \gamma = \delta = \epsilon = 90 ^\circ, \zeta = 120 ^\circ</math>
# Дитетрагональная диклинная: <math>a = d \ne b = c, \alpha = \zeta = 90 ^\circ, \beta = \epsilon \ne 90 ^\circ, \gamma \ne 90 ^\circ, \delta = 180 ^\circ - \gamma </math>
# Дитригональная диклинная: <math>a = d \ne b = c, \alpha = \zeta = 120 ^\circ, \beta = \epsilon \ne 90 ^\circ, \gamma \ne \delta \ne 90 ^\circ, \cos \delta = \cos \beta - \cos \gamma</math>
# Тетрагональная ортогональная: <math>a\ne b = c \ne d, \alpha = \beta = \gamma = \delta = \epsilon = \zeta = 90 ^\circ</math>
# Гексагональная ортогональная: <math>a\ne b = c \ne d, \alpha = \beta = \gamma = \delta = \epsilon = 90 ^\circ, \zeta = 120 ^\circ</math>
# Дитетрагональная моноклинная: <math>a = d \ne b = c, \alpha = \gamma = \delta = \zeta = 90 ^\circ, \beta = \epsilon \ne 90 ^\circ</math>
# Дитригональная моноклинная: <math>a = d \ne b = c, \alpha = \zeta = 120 ^\circ, \beta = \epsilon \ne 90 ^\circ, \gamma = \delta \ne 90 ^\circ, \cos \gamma = -\color{Black}\tfrac{1}{2} \cos \beta</math>
# Дитетрагональная ортогональная: <math>a = d \ne b = c, \alpha = \beta = \gamma = \delta = \epsilon = \zeta = 90 ^\circ</math>
# Гексагональная тетрагональная: <math>a = d \ne b = c, \alpha = \beta = \gamma = \delta = \epsilon = 90 ^\circ, \zeta = 120 ^\circ</math>
# Дигексагональная ортогональная: <math>a = d \ne b = c, \alpha = \zeta = 120 ^\circ, \beta = \gamma = \delta = \epsilon = 90 ^\circ</math>
# Кубическая ортогональная: <math>a = b = c \ne d, \alpha = \beta = \gamma = \delta = \epsilon = \zeta = 90 ^\circ</math>
# Октагональная: <math>a = b = c = d, \alpha = \gamma = \zeta \ne 90 ^\circ, \beta = \epsilon = 90 ^\circ, \delta = 180 ^\circ - \alpha</math>
# Декагональная: <math>a = b = c = d, \alpha = \gamma = \zeta \ne \beta = \delta = \epsilon, \cos \beta = -0.5 - \cos \alpha</math>
# Додекагональная: <math>a = b = c = d, \alpha = \zeta = 90 ^\circ, \beta = \epsilon = 120 ^\circ, \gamma = \delta \ne 90 ^\circ</math>
# Ди-изогексагональная ортогональная: <math>a = b = c = d, \alpha = \zeta = 120 ^\circ, \beta = \gamma = \delta = \epsilon = 90 ^\circ</math>
# Икосагональная: <math>a = b = c = d, \alpha = \beta = \gamma = \delta = \epsilon = \zeta, \cos \alpha = -\color{Black}\tfrac{1}{4}</math>
# Гиперкубическая: <math>a = b = c = d, \alpha = \beta = \gamma = \delta = \epsilon = \zeta = 90 ^\circ</math>

Связь между сингонией, кристаллической системой и системой решётки в четырёхмерном пространстве дана в следующей таблице<ref>E. J. W. Whittaker, An atlas of hyperstereograms of the four-dimensional crystal classes. Clarendon Press (Oxford Oxfordshire and New York) 1985.</ref><ref>H. Brown, R. Bülow, J. Neubüser, H. Wondratschek and H. Zassenhaus, Crystallographic Groups of Four-Dimensional Space. Wiley, NY, 1978.</ref>. Звёздочками отмечены энантиоморфные системы. В скобках указано число энантиоморфных групп (или решёток).
{|class="wikitable" cellpadding=4 cellspacing=0
|-align=center
!Номер<br> сингонии
!Сингония
!Кристаллическая система
!Номер<br> системы
!Число [[Кристаллографическая точечная группа симметрии|точечных групп]]
!width=120|Число [[пространственная группа|пространственных групп]]
!Число [[Решётка Браве|решёток Браве]]
!Система решётки
|-
| I ||colspan=2| Гексаклинная || 1
|2
|2
|1
|Гексаклинная P
|-
| II || colspan=2| Триклинная || 2
|3
|13
|2
|Триклинная P, S
|-
| III ||colspan=2| Диклинная || 3
|2
|12
|3
|Диклинная P, S, D
|-
|IV || colspan=2| Моноклинная || 4
|4
|207
|6
|Моноклинная P, S, S, I, D, F
|-
|rowspan=3| V ||rowspan=3| Ортогональная
|rowspan=2|Безосная ортогональная || rowspan=2| 5
|rowspan=2|2
|2
|1
|Ортогональная KU
|-
|112
|rowspan=2|8
|rowspan=2|Ортогональная P, S, I, Z, D, F, G, U
|-
|Осевая ортогональная || 6
|3
|887
|-
| VI || colspan=2| Тетрагональная моноклинная || 7
|7
|88
|2
|Тетрагональная моноклинная P, I
|-
|rowspan=3| VII ||rowspan=3| Гексагональная моноклинная
|rowspan=2|Тригональная моноклинная ||rowspan=2| 8
|rowspan=2|5
|9
|1
|Гексагональная моноклинная R
|-
|15
|rowspan=2|1
|rowspan=2|Гексагональная моноклинная P
|-
|Гексагональная моноклинная || 9
|7
|25
|-
| VIII || colspan=2| Дитетрагональная диклинная* ||10
|1 (+1)
|1 (+1)
|1 (+1)
|Дитетрагональная диклинная P*
|-
|IX || colspan=2| Дитригональная диклинная* ||11
|2 (+2)
|2 (+2)
|1 (+1)
|Дитригональная диклинная P*
|-
|rowspan=3| X ||rowspan=3| Тетрагональная ортогональная
|rowspan=2|Инверсионная тетрагональная ортогональная ||rowspan=2| 12
|rowspan=2|5
|7
|1
|Тетрагональная ортогональная KG
|-
|351
|rowspan=2|5
|rowspan=2|Тетрагональная ортогональная P, S, I, Z, G
|-
|Поворотная тетрагональная ортогональная || 13
|10
|1312
|-
|rowspan=3|XI ||rowspan=3| Гексагональная ортогональная
|rowspan=2|Тригональная ортогональная ||rowspan=2| 14
|rowspan=2|10
|81
|2
|Гексагональная ортогональная R, RS
|-
|150
|rowspan=2|2
|rowspan=2|Гексагональная ортогональная P, S
|-
|Гексагональная ортогональная || 15
|12
|240
|-
| XII || colspan=2| Дитетрагональная моноклинная* || 16
|1 (+1)
|6 (+6)
|3 (+3)
|Дитетрагональная моноклинная P*, S*, D*
|-
| XIII || colspan=2| Дитригональная моноклинная* || 17
|2 (+2)
|5 (+5)
|2 (+2)
|Дитригональная моноклинная P*, RR*
|-
|rowspan=3| XIV ||rowspan=3| Дитетрагональная ортогональная
|rowspan=2|Крипто-дитетрагональная ортогональная ||rowspan=2| 18
|rowspan=2|5
|10
|1
|Дитетрагональная ортогональная D
|-
|165 (+2)
|rowspan=2|2
|rowspan=2|Дитетрагональная ортогональная P, Z
|-
|Дитетрагональная ортогональная ||19
|6
|127
|-
|XV ||colspan=2| Гексагональная тетрагональная || 20
|22
|108
|1
| Гексагональная тетрагональная P
|-
|rowspan=5| XVI || rowspan=5| Дигексагональная ортогональная
|rowspan=2| Крипто-дитригональная ортогональная* || rowspan=2|21
|rowspan=2|4 (+4)
|5 (+5)
|1 (+1)
|Дигексагональная ортогональная G*
|-
|5 (+5)
|rowspan=3|1
|rowspan=3|Дигексагональная ортогональная P
|-
|Дигексагональная ортогональная || 23
|11
|20
|-
|rowspan=2| Дитригональная ортогональная || rowspan=2| 22
|rowspan=2| 11
|41
|-
|16
|1
|Дигексагональная ортогональная RR
|-
|rowspan=3| XVII ||rowspan=3| Кубическая ортогональная
|rowspan=2|Простая кубическая ортогональная ||rowspan=2| 24
|rowspan=2|5
|9
|1
|Кубическая ортогональная KU
|-
|96
|rowspan=2|5
|rowspan=2|Кубическая ортогональная P, I, Z, F, U
|-
|Сложная кубическая ортогональная || 25
|11
|366
|-
| XVIII ||colspan=2| Октагональная* || 26
|2 (+2)
|3 (+3)
|1 (+1)
| Октагональная P*
|-
| XIX ||colspan=2| Декагональная || 27
|4
|5
|1
| Декагональная P
|-
| XX ||colspan=2| Додекагональная* ||28
|2 (+2)
|2 (+2)
|1 (+1)
| Додекагональная P*
|-
|rowspan=3| XXI ||rowspan=3| Ди-изогексагональная ортогональная
|rowspan=2| Простая ди-изогексагональная ортогональная || rowspan=2| 29
|rowspan=2|9 (+2)
|19 (+5)
|1
|Ди-изогексагональная ортогональная RR
|-
|19 (+3)
|rowspan=2|1
|rowspan=2|Ди-изогексагональная ортогональная P
|-
|Сложная ди-изогексагональная ортогональная ||30
|13 (+8)
|15 (+9)
|-
|XXII ||colspan=2| Икосагональная || 31
|7
|20
|2
| Икосагональная P, SN
|-
|rowspan=3| XXIII ||rowspan=3| Гиперкубическая
|rowspan=2| Октагональная гиперкубическая||rowspan=2|32
|rowspan=2|21 (+8)
|73 (+15)
|1
|Гиперкубическая P
|-
|107 (+28)
|rowspan=2|1
|rowspan=2|Гиперкубическая Z
|-
|Додекагональная гиперкубическая || 33
|16 (+12)
|25 (+20)
|- bgcolor=#e0e0e0
|'''Всего:'''
|23 (+6)
|33 (+7)
|
|227 (+44)
|4783 (+111)
|64 (+10)
|33 (+7)
|}

== См. также ==
* [[Кристаллическая структура]]
* [[Кристаллическая структура]]
* [[Точечная группа]]
* [[Точечная группа]]
* [[Кристаллографическая точечная группа симметрии]]
* [[Символ Пирсона]]


== Примечания ==
[[Категория:Кристаллография]]
{{примечания}}
[[Категория:Симметрия]]
[[Категория:Свойства минералов]]


== Ссылки ==
[[cs:Krystalografická soustava]]
* [http://reference.iucr.org/dictionary/Main_Page Словарь терминов] на сайте [[Международный союз кристаллографов|Международного союза кристаллографов]]
[[de:Kristallsystem]]
{{Сингония}}
[[en:Crystal system]]
{{Идентификация минералов}}
[[es:Sistema cristalino]]

[[et:Süngoonia]]
[[Категория:Сингонии| ]]
[[fr:Système cristallin]]
[[Категория:Свойства минералов]]
[[it:Sistema cristallino]]
[[Категория:Научные классификации]]
[[ko:결정계]]
[[pl:Układ krystalograficzny]]
[[sk:Kryštálová sústava]]
[[sr:Кристалне системе]]
[[zh:晶系]]

Текущая версия от 16:32, 18 декабря 2023

Триклинный родонит
Моноклинный вивианит
Ромбический фаялит
Тетрагональный анатаз
Тригональный гематит
Гексагональный берилл
Кубический спессартин

Сингони́я (от греч. σύν «согласно, вместе, рядом» + γωνία «угол»; дословно — «сходноугольность») — классификация кристаллографических групп симметрии, кристаллов и кристаллических решёток в зависимости от системы координат (координатного репера); группы симметрии с единой координатной системой объединяются в одну сингонию. Кристаллы, принадлежащие к одной и той же сингонии, имеют подобные углы и рёбра элементарных ячеек.

Кристалли́ческая систе́ма — классификация кристаллов и кристаллографических групп, основанная на наборе элементов симметрии, описывающих кристалл и принадлежащих кристаллографической группе.

Систе́ма решётки — классификация кристаллических решёток в зависимости от их симметрии.

В литературе существует путаница всех трёх понятий: сингонии[1], кристаллической системы[2] и системы решётки[3], — которые часто используются как синонимы.

В русскоязычной литературе термин «система решётки» пока не используется. Обычно авторы смешивают это понятие с кристаллической системой. В книге «Основы кристаллографии»[4] авторы используют термин «Сингония решётки» («По симметрии узлов пространственные решетки могут быть разделены на семь категорий, называемых сингониями решеток»). У тех же авторов сингонии называются системами («Наиболее установившейся классификацией групп является их разделение на шесть систем по признаку симметрии комплексов граней»).

Сингония

[править | править код]

Исторически первой классификацией кристаллов было деление на сингонии, в зависимости от кристаллографической системы координат. За координатные оси выбирались оси симметрии кристалла, а при их отсутствии — ребра кристалла. В свете современного знания о структуре кристаллов таким направлениям соответствуют трансляции кристаллической решётки, и за систему координат выбираются трансляции ячейки Браве в стандартной установке. В зависимости от соотношения между длинами этих трансляций и углами между ними выделяют шесть различных сингоний, которые распадаются на три категории в зависимости от числа равных длин трансляций[5]:

  • Низшая категория (все трансляции не равны друг другу)
    • Триклинная: ,
    • Моноклинная: ,
    • Ромбическая: ,
  • Средняя категория (две трансляции из трёх равны между собой)
    • Тетрагональная: ,
    • Гексагональная: ,
  • Высшая категория (все трансляции равны между собой)
    • Кубическая: ,

Кристаллическая система

[править | править код]

Разбиение на кристаллические системы выполняется в зависимости от набора элементов симметрии, описывающих кристалл. Такое деление приводит к семи кристаллическим системам, две из которых — тригональная (с одной осью 3-го порядка) и гексагональная (с одной осью 6-го порядка) — имеют одинаковую по форме элементарную ячейку и поэтому относятся к одной, гексагональной, сингонии. Иногда говорят, что гексагональная сингония подразделяется на две подсингонии[6] или гипосингонии.[7]

Кристаллические системы также разбиваются на три категории, в зависимости от числа осей высшего порядка (осей выше второго порядка).

Возможные в трехмерном пространстве кристаллические системы с определяющими их элементами симметрии, то есть элементами симметрии, наличие которых необходимо для отнесения кристалла или точечной группы к определенной кристаллической системе:

  • Низшая категория (нет осей высшего порядка)
    • Триклинная: нет симметрии или только центр инверсии
    • Моноклинная: одна ось -го порядка и/или плоскость симметрии
    • Ромбическая: три взаимно-перпендикулярных оси -го порядка и/или плоскости симметрии (направлением плоскости симметрии считается перпендикуляр к ней)
  • Средняя категория (одна ось высшего порядка)
  • Высшая категория (несколько осей высшего порядка)

Кристаллическая система пространственной группы определяется системой соответствующей ей точечной группы. Например, группы Pbca, Cmcm, Immm, Fddd (класс mmm) принадлежат к ромбической системе.

Современное определение кристаллической системы (применимое не только к обычным трёхмерным группам, но и для пространств любых размерностей) относит точечные группы (и производные от них пространственные группы) к одной кристаллической системе, если эти группы могут комбинироваться с одними и теми же типами решёток Браве. Например, группы mm2 и 222 обе принадлежат ромбической системе, так как для каждой из них существуют пространственные группы со всеми типами ромбической решётки (Pmm2, Cmm2, Imm2, Fmm2 и P222, C222, I222, F222), в то же время группы 32 и 6 не принадлежат одной кристаллической системе, так как для группы 32 допустимы примитивная и дважды-центрированная гексагональные ячейки (группы P321 и R32), а группа 6 комбинируется только с примитивной гексагональной ячейкой (есть группа P6, но не существует R6).

Система решётки (Lattice system)

[править | править код]

Описывает типы кристаллических решёток. Вкратце: решётки относятся к одному типу, если их точечные группы симметрии (при рассмотрении решёток как геометрических объектов) одинаковы. Такие точечные группы, описывающие симметрию решётки, называются голоэдрией.[8]

Всего существует семь систем решёток, которые, аналогично предыдущим классификациям (сингония и кристаллическая система) делятся на три категории.

  • Низшая категория (все трансляции не равны друг другу)
    • Триклинная: ,
    • Моноклинная: ,
    • Ромбическая: ,
  • Средняя категория
    • Тетрагональная: ,
    • Гексагональная: ,
    • Ромбоэдрическая: ,
  • Высшая категория (все трансляции равны между собой)
    • Кубическая: ,

Не следует путать ромбоэдрическую систему решётки с тригональной кристаллической системой. Кристаллы ромбоэдрической системы решётки всегда принадлежат тригональной кристаллической системе, но тригональные кристаллы могут принадлежать как ромбоэдрической, так и гексагональной системам решётки. Например, группы R3 и P321 (обе из тригональной кристаллической системы) принадлежат к разным системам решётки (ромбоэдрической и гексагональной, соответственно).

Общее определение, применимое для пространств любых размерностей — Решётки относятся к одному типу, если они комбинируются с одними и теми же точечными группами. Например, все ромбические решётки (ромбическая P, ромбическая C, ромбическая I и ромбическая F) относятся к одному типу, так как они комбинируются с точечными группами 222, mm2 и mmm, образуя пространственные группы P222, Pmm2, Pmmm; C222, Cmm2, Cmmm; I222, Imm2, Immm; F222, Fmm2, Fmmm. В то же время ячейки гексагональной сингонии (примитивная P и дважды центрированная R) соответствуют разным системам решётки: обе комбинируются с точечными группами тригональной кристаллической системы, но с группами гексагональной системы комбинируется только примитивная ячейка (существуют группы P6, P6, P6/m, P622, P6mm, P6m2, P6/mmm, но не существует групп R6, R6, R6/m, R622, R6mm, R6m2, R6/mmm).

Связь между сингонией, кристаллической системой и системой решётки в трёхмерном пространстве дана в следующей таблице:

Сингония Кристаллическая система Точечные группы Число пространственных групп Решётка Браве[9] Система решётки Голоэдрия
Триклинная 1, 1 2 aP Триклинная 1
Моноклинная 2, m, 2/m 13 mP, mS Моноклинная 2/m
Ромбическая 222, mm2, mmm 59 oP, oS, oI, oF Ромбическая mmm
Тетрагональная 4, 4, 422, 4mm, 42m, 4/m, 4/mmm 68 tP, tI Тетрагональная 4/mmm
Гексагональная Тригональная 3, 3, 32, 3m, 3m 7 hR Ромбоэдрическая 3m
18 hP Гексагональная 6/mmm
Гексагональная 6, 6, 622, 6mm, 6m2, 6/m, 6/mmm 27
Кубическая 23, m3, 43m, 432, m3m 36 cP, cI, cF Кубическая m3m
Всего: 6 7 32 230 14 7

Обзор точечных групп

[править | править код]
Основной источник: [10][11][12]
Кристаллическая система точечная группа / класс симметрии Символ Шёнфлиса Международный символ Символ Шубникова Тип
триклинная моноэдрический C1 энантиоморфный полярный
пинакоидальный Ci центросимметричный
моноклинная диэдрический осевой C2 энантиоморфный полярный
диэдрический безосный (доматический) Cs полярный
призматический C2h центросимметричный
Ромбическая ромбо-тетраэдрический D2 энантиоморфный
ромбо-пирамидальный C2v полярный
ромбо-дипирамидальный D2h центросимметричный
Тетрагональная тетрагонально-пирамидальный C4 энантиоморфный полярный
тетрагонально-тетраэдрический S4
тетрагонально-дипирамидальный C4h центросимметричный
тетрагонально-трапецоэдрический D4 энантиоморфный
дитетрагонально-пирамидальный C4v полярный
тетрагонально-скаленоэдрический D2d или
дитетрагонально-дипирамидальный D4h центросимметричный
Тригональная тригонально-пирамидальный C3 энантиоморфный полярный
ромбоэдрический S6 (C3i) центросимметричный
тригонально-трапецоэдрический D3 или или энантиоморфный
дитригонально-пирамидальный C3v или или полярный
дитригонально-скаленоэдрический D3d или или центросимметричный
Гексагональная гексагонально-пирамидальный C6 энантиоморфный полярный
тригонально-дипирамидальный C3h
гексагонально-дипирамидальный C6h центросимметричный
гексагонально-трапецоэдрический D6 энантиоморфный
дигексагонально-пирамидальный C6v полярный
дитригонально-дипирамидальный D3h или
дигексагонально-дипирамидальный D6h центросимметричный
Кубическая тритетраэдрический T энантиоморфный
дидодекаэдрический Th центросимметричный
гексатетраэдрический Td
триоктаэдрический O энантиоморфный
гексоктаэдрический Oh центросимметричный

Классификация решеток

[править | править код]
Сингония Тип центрировки ячейки Браве
примитивная базо-
центрированная		 объёмно-
центрированная		 гране-
центрированная		 дважды
объёмно-
центрированная
Триклинная
(параллелепипед) 		Triclinic
Моноклинная
(призма с параллелограммом в основании) 		Monoclinic, simple Monoclinic, centered
Ромбическая
(прямоугольный параллелепипед) 		Orthohombic, simple Orthohombic, base-centered Orthohombic, body-centered Orthohombic, face-centered
Тетрагональная
(прямоугольный параллелепипед с квадратом в основании) 		Tetragonal, simple Tetragonal, body-centered
Гексагональная
(призма с основанием правильного центрированного шестиугольника) 		Hexagonal Hexagonal
Тригональная
(равносторонний параллелепипед —ромбоэдр) 		Rhombohedral
Кубическая
(куб) 		Cubic, simple Cubic, body-centered Cubic, face-centered

История

[править | править код]

Первая геометрическая классификация кристаллов была дана независимо Христианом Вейсом и Фридрихом Моосом в начале 19 века. Оба учёных классифицировали кристаллы по симметрии их внешней формы (огранки). При этом Вейс фактически вводит понятие кристаллографической оси (оси симметрии). По Вейсу «Ось есть линия, господствующая над всей фигурой кристалла, так как вокруг неё все части расположены подобным образом и относительно неё они соответствуют друг другу взаимно»[13]. В своей работе «Наглядное представление об естественных делениях систем кристаллизации» Вейс классифицировал кристаллы по наличию осей на четыре больших раздела кристаллических форм, «систем кристаллизации», соответствующих современному понятию сингонии[14]. В скобках даны современные названия.

  • 1 раздел — «правильная», «сфероэдрическая», «равноосная», «равночленная» (кубическая) система: три измерения одинаковы, образуя между собой прямые углы.
    • подраздел гомосфероэдрическая система (кристаллы симметрии m3m)
    • подраздел гемисфероэдрическая система (кристаллы симметрии 432, 43m и m3)
  • 2 раздел — «четырёхчленная» (тетрагональная) система: оси образуют между собой прямые углы, две оси равны между собой и не равны третьей.
  • 3 раздел — «двучленная» система: все три оси неравны и образуют между собой прямые углы.
    • подраздел «дву-и-двучленная» (ромбическая) система
    • подраздел «дву-и-одночленная» (моноклинная) система
    • подраздел «одно-и-одночленная» (триклинная) система
  • 4 раздел — одна неравная ось перпендикулярна трём равным осям, образующим между собой углы в 120°.
    • подраздел «шестичленная» (гексагональная) система:
    • подраздел «три-и-тричленная» или «ромбоэдрическая» (тригональная) система:

Для моноклинной и триклинной сингонии Вейс использовал прямоугольную систему координат (современные кристаллографические координатные системы для этих сингоний являются косоугольными).

Примерно в то же время Фридрих Моос развил концепцию кристаллических систем[15]. Каждая система характеризуется простейшей, «основной формой», граней, из которой можно вывести все остальные формы данной системы. Таким образом Моос получил следующие четыре системы:

  • 1. Ромбоэдрическая система (гексагональная сингония). Основная форма — ромбоэдр.
  • 2. Пирамидальная система (тетрагональная сингония). Основная форма — тетрагональная бипирамида.
  • 3. Тессулярная система (кубическая сингония). Основные формы — куб и октаэдр.
  • 4. Призматическая система (ромбическая сингония). Основная форма — ромбическая бипирамида.
    • Гемипризматическая подсистема (моноклинная сингония)
    • Тетартопризматическая подсистема (триклинная сингония)

В обоих классификациях Вейс и Моос выделяет всего четыре системы, хотя перечислены все шесть сингоний, только моноклинную и триклинную сингонии они рассматривают как подсистемы ромбической. Согласно его собственному утверждению, Моос развил эту концепцию в 1812-14 годах, что и послужило предметом спора с Вейсом о приоритете открытия кристаллических систем. В отличие от Вейса, Моос указал на необходимость косоугольной системы осей для моноклинных и триклинных кристаллов.

Окончательно развил и ввёл в кристаллографию косоуголные системы его ученик Карл Фридрих Науман. Науман положил в основу классификации кристаллографические оси и углы между ними, таким образом впервые выделив все шесть сингоний[16][17]. Интересно, что уже в 1830 году Науман использует названия сингоний, которые идентичны или близки современным (названия тетрагональная, гексагональная и ромбическая были изначально предложены Брейтгауптом).

  • 1. Тессеральная (от tessera — куб) — все три угла между координатными осями прямые, все три оси равны.
  • 2. Тетрагональная — все три угла прямые, две оси равны.
  • 3. Гексагональная — единственная четырёхосевая система: одна неравная ось перпендикулярна трём равным осям, образующим между собой углы в 60°.
  • 4. Ромбическая — все три угла прямые, все оси неравны.
  • 5. Моноклиноэдрическая — два прямых угла и один косой.
  • 6. Диклиноэдрическая — два косых угла и один прямой.
  • 7. Триклиноэдрическая — все три угла косые.

Поскольку в то время теория симметрии только развивалась, в списке систем появилась необычная диклиноэдрическая (диклинная) система. Такая кристаллическая система в принципе невозможна в трёхмерном пространстве, так как наличие оси симметрии всегда гарантирует наличие перпендикулярных к оси трансляций, выбираемых за координатные оси. Диклинная система просуществовала в кристаллографии примерно полвека (хотя уже в 1856 году Дюфренуа показал, что это лишь частный случай триклинной системы). В 1880 году Дана в своей знаменитой книге «Система минералогии»[18] упоминает «так называемую диклинную систему», но при этом отмечает, что не известно ни одного природного или искусственного кристалла, принадлежащего данной системе, и что более того, математически доказано, что существует всего шесть кристаллических систем. Сам Науман до конца жизни верил в диклинную сингонию, и в девятом издании «Оснований минералогии»[19], вышедшем в 1874 году посмертно, эта сингония по-прежнему присутствует в списке, хотя Науман и замечает, что эта система встречается только в нескольких искусственных солях, и далее не рассматривает её.

Названия кристаллографических сингоний у авторов XIX века

Автор Кубическая Тетрагональная Гексагональная Ромбическая Моноклинная Триклинная
Вейс Правильная, Сферическая, Шаровая, Сферономическая, Равноосная, Равночленная Четырёхчленная, Дву‑и‑одноосная Шестичленная, Три‑и‑одноосная Дву‑и‑двучленная, Одно‑и‑одноосная Дву‑и‑одночленная Одно‑и‑одночленная
Моос Тессулярная, Тесселярная Пирамидальная Ромбоэдрическая Призматическая, Ортотипная Гемипризматическая, Гемиортотипная Тетартопризматическая, Анортотипная
Брейтгаупт Тетрагональная Гексагональная Ромбическая Гемиромбическая Тетарторомбическая
Науман Тессеральная Тетрагональная Гексагональная Ромбическая, Анизометрическая Моноклиноэдрическая, Клиноромбическая Триклиноэдрическая, Триклинометрическая
Гаусман Изометрическая Монодиметрическая Монотриметрическая Триметрическая, Орторомбическая Клиноромбическая, Орторомбоидическая Клиноромбоидическая
Миллер 1839 Октаэдрическая Пирамидальная Ромбоэдрическая Призматическая Наклонно-призматическая Дважды-наклонно-призматическая
Гадолин Правильная Квадратная Гексагональная Ромбическая Моноклиноэдрическая Триклиноэдрическая
Другие авторы Тетраэдрическая (Бёдан), Кубическая (Дюфренуа) Диметрическая Двучленная (Квенштедт) Моноклинометрическая (Франкенгейм),
Авгитовая (Гайдингер)		 Триклиническая (Франкенгейм),
Анортическая (Гайдингер)

Впервые деление на семь кристаллографических систем дано в 1850 году в работе Огюста Браве «Мемуар о системах точек, правильно распределённых на плоскости или в пространстве»[20]. Фактически это первое деление, основанное на элементах симметрии, а не на системах координат. Поэтому все предыдущие классификации соответствуют сегодняшнему определению сингонии, в то время как классификация Браве — это классификация по кристаллическим системам (строго говоря, системам решётки).

Браве делит решётки в зависимости от их симметрии на 7 систем (классы совокупностей).

  • 1. Тричетверные (кубическая система)
  • 2. Шестерные (гексагональная система)
  • 3. Четверные (тетрагональная система)
  • 4. Тройные (ромбоэдрическая система)
  • 5. Тридвойные (ромбическая система)
  • 6. Двойные (моноклинная система)
  • 7. Асимметричные (триклинная система)

При этом сам Браве отмечает, что ещё Гаюи делил решётки гексагональной системы (по классификации Наумана) «на кристаллы, порожденные правильной гексагональной призмой, и кристаллы, порожденные ядром в виде ромбоэдра».

Классификация групп в многомерных пространствах

[править | править код]

Во второй половине XX века были изучены и классифицированы кристаллографические группы в четырёхмерном, пятимерном и шестимерном пространствах. С увеличением размерности число групп и классов значительно возрастает[21]. В скобках указано число энантиоморфных пар.

Размерность пространства: 1 2 3 4 5 6
Число сингоний 1 4 6 23 (+6) 32 91
Число систем решёток 1 4 7 33 (+7) 57 220
Число кристаллических систем 1 4 7 33 (+7) 59 251
Число решёток Браве 1 5 14 64 (+10) 189 841
Число точечных групп 2 10 32 227 (+44) 955 7103
Число пространственных групп 2 17 219 (+11) 4783 (+111) 222018 (+79) 28927915 (+?)[22]

В четырёхмерном пространстве элементарная ячейка определяется четырьмя сторонами () и шестью углами между ними (). Следующие соотношения между ними определяют 23 сингонии:

  1. Гексаклинная:
  2. Триклинная:
  3. Диклинная:
  4. Моноклинная:
  5. Ортогональная:
  6. Тетрагональная моноклинная:
  7. Гексагональная моноклинная:
  8. Дитетрагональная диклинная:
  9. Дитригональная диклинная:
  10. Тетрагональная ортогональная:
  11. Гексагональная ортогональная:
  12. Дитетрагональная моноклинная:
  13. Дитригональная моноклинная:
  14. Дитетрагональная ортогональная:
  15. Гексагональная тетрагональная:
  16. Дигексагональная ортогональная:
  17. Кубическая ортогональная:
  18. Октагональная:
  19. Декагональная:
  20. Додекагональная:
  21. Ди-изогексагональная ортогональная:
  22. Икосагональная:
  23. Гиперкубическая:

Связь между сингонией, кристаллической системой и системой решётки в четырёхмерном пространстве дана в следующей таблице[23][24]. Звёздочками отмечены энантиоморфные системы. В скобках указано число энантиоморфных групп (или решёток).

Номер
сингонии 		Сингония Кристаллическая система Номер
системы 		Число точечных групп Число пространственных групп Число решёток Браве Система решётки
I Гексаклинная 1 2 2 1 Гексаклинная P
II Триклинная 2 3 13 2 Триклинная P, S
III Диклинная 3 2 12 3 Диклинная P, S, D
IV Моноклинная 4 4 207 6 Моноклинная P, S, S, I, D, F
V Ортогональная Безосная ортогональная 5 2 2 1 Ортогональная KU
112 8 Ортогональная P, S, I, Z, D, F, G, U
Осевая ортогональная 6 3 887
VI Тетрагональная моноклинная 7 7 88 2 Тетрагональная моноклинная P, I
VII Гексагональная моноклинная Тригональная моноклинная 8 5 9 1 Гексагональная моноклинная R
15 1 Гексагональная моноклинная P
Гексагональная моноклинная 9 7 25
VIII Дитетрагональная диклинная* 10 1 (+1) 1 (+1) 1 (+1) Дитетрагональная диклинная P*
IX Дитригональная диклинная* 11 2 (+2) 2 (+2) 1 (+1) Дитригональная диклинная P*
X Тетрагональная ортогональная Инверсионная тетрагональная ортогональная 12 5 7 1 Тетрагональная ортогональная KG
351 5 Тетрагональная ортогональная P, S, I, Z, G
Поворотная тетрагональная ортогональная 13 10 1312
XI Гексагональная ортогональная Тригональная ортогональная 14 10 81 2 Гексагональная ортогональная R, RS
150 2 Гексагональная ортогональная P, S
Гексагональная ортогональная 15 12 240
XII Дитетрагональная моноклинная* 16 1 (+1) 6 (+6) 3 (+3) Дитетрагональная моноклинная P*, S*, D*
XIII Дитригональная моноклинная* 17 2 (+2) 5 (+5) 2 (+2) Дитригональная моноклинная P*, RR*
XIV Дитетрагональная ортогональная Крипто-дитетрагональная ортогональная 18 5 10 1 Дитетрагональная ортогональная D
165 (+2) 2 Дитетрагональная ортогональная P, Z
Дитетрагональная ортогональная 19 6 127
XV Гексагональная тетрагональная 20 22 108 1 Гексагональная тетрагональная P
XVI Дигексагональная ортогональная Крипто-дитригональная ортогональная* 21 4 (+4) 5 (+5) 1 (+1) Дигексагональная ортогональная G*
5 (+5) 1 Дигексагональная ортогональная P
Дигексагональная ортогональная 23 11 20
Дитригональная ортогональная 22 11 41
16 1 Дигексагональная ортогональная RR
XVII Кубическая ортогональная Простая кубическая ортогональная 24 5 9 1 Кубическая ортогональная KU
96 5 Кубическая ортогональная P, I, Z, F, U
Сложная кубическая ортогональная 25 11 366
XVIII Октагональная* 26 2 (+2) 3 (+3) 1 (+1) Октагональная P*
XIX Декагональная 27 4 5 1 Декагональная P
XX Додекагональная* 28 2 (+2) 2 (+2) 1 (+1) Додекагональная P*
XXI Ди-изогексагональная ортогональная Простая ди-изогексагональная ортогональная 29 9 (+2) 19 (+5) 1 Ди-изогексагональная ортогональная RR
19 (+3) 1 Ди-изогексагональная ортогональная P
Сложная ди-изогексагональная ортогональная 30 13 (+8) 15 (+9)
XXII Икосагональная 31 7 20 2 Икосагональная P, SN
XXIII Гиперкубическая Октагональная гиперкубическая 32 21 (+8) 73 (+15) 1 Гиперкубическая P
107 (+28) 1 Гиперкубическая Z
Додекагональная гиперкубическая 33 16 (+12) 25 (+20)
Всего: 23 (+6) 33 (+7) 227 (+44) 4783 (+111) 64 (+10) 33 (+7)

См. также

[править | править код]

Примечания

[править | править код]
  1. ↑ Crystal family - Online Dictionary of Crystallography. Дата обращения: 22 февраля 2009. Архивировано 21 марта 2013 года.
  2. ↑ Crystal system - Online Dictionary of Crystallography. Дата обращения: 22 февраля 2009. Архивировано 21 марта 2013 года.
  3. ↑ Lattice system - Online Dictionary of Crystallography. Дата обращения: 29 апреля 2013. Архивировано 29 апреля 2013 года.
  4. ↑ Шубников А. В., Бокий Г. Б., Флинт Е. Е., Основы кристаллографии, Изд-во АН СССР, 1940
  5. ↑ Загальская Ю.Г., Литвинская Г.П., Егоров-Тисменко Ю.К. Геометрическая кристаллография. — М.: Издательство Московского университета, 1986. — 168 с.
  6. ↑ "Ю. К. Егоров-Тисменко, Г. П. Литвинская, Теория симметрии кристаллов, ГЕОС, 2000. Глава III. Координатные системы, категории, сингонии.". Дата обращения: 12 января 2021. Архивировано 13 января 2021 года.
  7. ↑ Фёдоров Е. С., Курс кристаллографии. Изд. 3-е, 1901 online
  8. ↑ Holohedry - Online Dictionary of Crystallography. Дата обращения: 30 января 2013. Архивировано 21 марта 2013 года.
  9. ↑ de Wolff et al., Nomenclature for crystal families, Bravais-lattice types and arithmetic classes, Acta Cryst. (1985). A41, 278—280. online Архивная копия от 27 января 2013 на Wayback Machine
  10. ↑ Вайнштейн Б.К. Современная кристаллография. Том 1. Симметрия кристаллов, методы структурной кристаллографии. Наука, Москва, 1979.
  11. ↑ Сиротин Ю.И., Шаскольская М.П. Основы кристаллофизики. Наука, Москва, 1979.
  12. ↑ Флинт Е.Е. Практическое руководство по геометрической кристаллографии. Изд-е 3-е, перараб. и доп., Госгеолтехиздат, Москва, 1956.
  13. ↑ C. S. Weiss De indagando formarum crystallinarum charactere geometrico principali dissertatio. Lipsiae [Leipzig] 1809
  14. ↑ C. S. Weiss: Ueber die natürlichen Abtheilungen der Crystallisations Systeme. Abhandl. k. Akad. Wiss., Berlin 1814—1815, S. 290—336.
  15. ↑ Friedrich Mohs: Grund-Riß der Mineralogie. Erster Theil. Terminologie, Systematik, Nomenklatur, Charakteristik. Dresden 1822
  16. ↑ Carl Friedrich Naumann, Lehrbuch der Mineralogie Mineralogie, 1828 online
  17. ↑ Carl Friedrich Naumann, Lehrbuch der reinen und angewandten Krystallographie, 1830 online
  18. ↑ Edward Salisbury Dana, James Dwight Dana, A text-book of mineralogy, 1880 online
  19. ↑ Carl Friedrich Naumann, Elemente der mineralogie, 1874 online
  20. ↑ Bravais, A. (1850) Mémoire sur les systèmes formés par les points distribués régulièrement sur un plan ou dans l’espace. Journal de L’Ecole Polytechnique.
  21. ↑ B. Souvignier: «Enantiomorphism of crystallographic groups in higher dimensions with results in dimensions up to 6». Acta Crystallographica Section A, vol.59, pp.210-220, 2003.
  22. ↑ The CARAT Homepage. Дата обращения: 5 мая 2015. Архивировано 5 марта 2016 года. Часть вычислений в работе Souvignier (2003) для шестимерного пространства опиралась на ошибочный вариант программы CARAT.
  23. ↑ E. J. W. Whittaker, An atlas of hyperstereograms of the four-dimensional crystal classes. Clarendon Press (Oxford Oxfordshire and New York) 1985.
  24. ↑ H. Brown, R. Bülow, J. Neubüser, H. Wondratschek and H. Zassenhaus, Crystallographic Groups of Four-Dimensional Space. Wiley, NY, 1978.

Ссылки

[править | править код]
Источник — https://ru.wikipedia.org/ruwiki/w/index.php?title=Сингония&oldid=134945545