Внутренняя метрика: различия между версиями

[отпатрулированная версия]

Содержимое удалено Содержимое добавлено

Линейный

Текущая версия от 04:00, 30 декабря 2023

Внутренняя метрика — метрика в пространстве, определяемая с помощью функционала длины, как инфимум длин всех путей (кривых), соединяющих данную пару точек.

Определения

Метрика $\rho$ на пространстве $X$ называется внутренней, если для любых двух точек $x,y\in X$ расстояние между ними определяется формулой $\rho (x,y)=\inf\{L(\gamma )\},$ где $L(\gamma )$ обозначает длину пути $\gamma$ и точная нижняя грань берётся по всем путям $\gamma$ , соединяющим точки $x,y\in X$ .

Связанные определения

Пусть $x,y\in X$ — две произвольные точки метрического пространства $\rho ,X$ и $\varepsilon$ — произвольное положительное число. Точка $z_{\varepsilon }\in X$ называется их $\varepsilon$ -серединой, если $\rho (x,z_{\varepsilon }),\ \rho (y,z_{\varepsilon })<{\tfrac {1}{2}}\rho (x,y)+\varepsilon .$

Метрическое пространство $(X,\rho )$ называется геодезическим, если любые две точки $X$ можно соединить кратчайшей.

Свойства

Если $(X,\rho )$ $(X,\rho )$ — пространство с внутренней метрикой, то для любых двух точек $x,y\in X$ $x,y\in X$ и любого $\varepsilon >0$ $\varepsilon >0$ существует их $\varepsilon$ -середина.
- Лемма Менгера: В случае, когда метрическое пространство $(X,\rho )$ полное, имеет место и обратное утверждение: если для любых двух точек $x,y\in X$ и любого $\varepsilon >0$ существует их $\varepsilon$ -середина, то эта метрика внутренняя.
Полное метрическое пространство $(X,\rho )$ с внутренней метрикой обладает следующим свойством: для любых двух точек $x,y\in X$ и $\varepsilon >0$ найдётся кривая длины $<\rho (x,y)+\varepsilon ,$ соединяющая точки $x$ и $y$ .
В полном метрическом пространстве с внутренней метрикой длина кратчайшей совпадает с расстоянием между её концами.
Теорема Хопфа — Ринова: Если $(X,\rho )$ — локально компактное полное метрическое пространство с внутренней метрикой, то любые две точки $X$ можно соединить кратчайшей. Более того, пространство $X$ является ограниченно компактным (то есть все ограниченные замкнутые подмножества $X$ являются компактными).
Локально компактное пространство с внутренней метрикой является геодезическим.

Примеры

Литература

Бураго Д.Ю., Бураго Ю.Д., Иванов С.В., Курс метрической геометрии. — Москва-Ижевск, Институт компьютерных исследований, 2004. ISBN 5-93972-300-4

@@ Строка 2: / Строка 2: @@
 == Определения ==
+Метрика <math>\rho</math> на пространстве <math>X</math> называется ''внутренней'', если для любых двух точек <math>x,y\in X</math> расстояние между ними определяется формулой <math>\rho(x,y) = \inf \{ L(\gamma) \},</math> где <math>L(\gamma)</math> обозначает длину пути <math>\gamma</math> и точная нижняя грань берётся по всем путям <math>\gamma</math>, соединяющим точки <math>x,y\in X</math>.
-Пусть задано [[топологическое пространство]] <math>X</math> и выбран класс некоторых ''допустимых путей'' <math>\Gamma</math>, содержащийся во множестве всех непрерывных путей в <math>X</math>.
-* На пространстве <math>X</math> задан ''функционал длины'', если на множестве <math>\Gamma</math> задана функция <math>L \colon \Gamma \to \mathbb{R}_+ \cup \infty</math>, ставящая в соответствие каждому <math>\gamma \in \Gamma</math> значение <math>L(\gamma)</math> (неотрицательное число или бесконечность), которое называется ''длиной пути'' <math>\gamma</math>.
-* Метрика <math>\rho</math> на пространстве <math>X</math> называется ''внутренней'', если для любых двух точек <math>x,y\in X</math> расстояние между ними определяется формулой <math>\rho(x,y) = \inf \{ L(\gamma) \},</math> где инфинум берётся по всех допустимым путям, соединяющим точки <math>x,y\in X</math>.
 === Связанные определения ===
-* Пусть <math>x,y\in X</math> — две произвольные точки метрического пространства <math>\rho, X</math> и <math>\varepsilon</math> — произвольное положительное число. Точка <math>z_\epsilon \in X</math> называется их ''<math>\varepsilon</math>-серединой'', если <math>\rho(x,z_\varepsilon),\ \rho(y,z_\varepsilon)<\tfrac12\rho(x,y)+\varepsilon.</math>
+* Пусть <math>x,y\in X</math> — две произвольные точки метрического пространства <math>\rho, X</math> и <math>\varepsilon</math> — произвольное положительное число. Точка <math>z_\varepsilon \in X</math> называется их ''<math>\varepsilon</math>-серединой'', если <math>\rho(x,z_\varepsilon),\ \rho(y,z_\varepsilon)<\tfrac12\rho(x,y)+\varepsilon.</math>
 * Метрическое пространство <math>(X,\rho)</math> называется ''геодезическим'', если любые две точки <math>X</math> можно соединить [[кратчайшая|кратчайшей]].
 == Свойства ==
-* Если <math>(X,\rho)</math> — пространство с внутренней метрикой, то для любых двух точек <math>x,y\in X</math> и любого <math>\varepsilon>0</math> существует их ''<math>\varepsilon</math>-середина''. В случае, когда [[метрическое пространство]] <math>(X,\rho)</math> [[Полное метрическое пространство|полное]], имеет место и обратное утверждение: если для любых двух точек <math>x,y\in X</math> и любого <math>\varepsilon>0</math> существует их ''<math>\varepsilon</math>-середина'', то эта метрика внутренняя.
+* Если <math>(X,\rho)</math> — пространство с внутренней метрикой, то для любых двух точек <math>x,y\in X</math> и любого <math>\varepsilon>0</math> существует их ''<math>\varepsilon</math>-середина''.
+**Лемма Менгера: В случае, когда [[метрическое пространство]] <math>(X,\rho)</math> [[Полное метрическое пространство|полное]], имеет место и обратное утверждение: если для любых двух точек <math>x,y\in X</math> и любого <math>\varepsilon>0</math> существует их ''<math>\varepsilon</math>-середина'', то эта метрика внутренняя.
-* Полное метрическое пространство <math>(X,\rho)</math> с внутренней метрикой обладает следующим свойством: для любых двух точек <math>x,y\in X</math> и <math>\varepsilon>0</math> найдётся кривая длины <math><\rho(x,y)+\varepsilon,</math> соединяющая точки <math>x</math> и <math>y</math>. Кроме того, в полном метрическом пространстве с внутренней метрикой длина кратчайшей совпадает с расстоянием между её концами.
+* Полное метрическое пространство <math>(X,\rho)</math> с внутренней метрикой обладает следующим свойством: для любых двух точек <math>x,y\in X</math> и <math>\varepsilon>0</math> найдётся кривая длины <math><\rho(x,y)+\varepsilon,</math> соединяющая точки <math>x</math> и <math>y</math>.
+*В полном метрическом пространстве с внутренней метрикой длина кратчайшей совпадает с расстоянием между её концами.
 * [[Теорема Хопфа — Ринова]]: Если <math>(X,\rho)</math> — [[локально компактное пространство|локально компактное]] [[Полное метрическое пространство|полное]] [[метрическое пространство]] с внутренней метрикой, то любые две точки <math>X</math> можно соединить кратчайшей. Более того, пространство <math>X</math> является [[ограниченно компактное пространство|ограниченно компактным]] (то есть все [[ограниченное множество|ограниченные]] [[замкнутое подмножество|замкнутые подмножества]] <math>X</math> являются [[компактное пространство|компактными]]).
+*Локально компактное пространство с внутренней метрикой является геодезическим.
-== См. также ==
+== Примеры ==
 * [[Риманово многообразие]]
 * [[Субриманово многообразие]]

Внутренняя метрика: различия между версиями

Текущая версия от 04:00, 30 декабря 2023

Содержание

Определения

Связанные определения

Свойства

Примеры

Литература

Навигация

Внутренняя метрика: различия между версиями

Текущая версия от 04:00, 30 декабря 2023

Определения

Связанные определения

Свойства

Примеры

Литература

Навигация

Поиск