Числа харшад: различия между версиями
Перейти к навигации
Перейти к поиску
| [отпатрулированная версия] | [отпатрулированная версия] |
Содержимое удалено Содержимое добавлено
ESyr (обсуждение | вклад) Нет описания правки |
Спасено источников — 2, отмечено мёртвыми — 0. Сообщить об ошибке. См. FAQ.) #IABot (v2.0.9.5 |
||
| (не показано 45 промежуточных версий 36 участников) | |||
| Строка 1: | Строка 1: | ||
'''Числа харшад''', или '''числа Нивена''', — [[натуральные числа]], делящиеся нацело на [[Сумма цифр|сумму своих цифр]]<ref name="mw" /><ref name="nap" /><ref name="oeis-a005349" /><ref name="mactutor" />. |
|||
'''Число Харсхада''' — это [[натуральное число]], делящееся на сумму своих цифр. |
|||
Таким числом является, например, |
Таким числом является, например, {{num1|1729}}, так как {{s|1=1729 = (1 + 7 + 2 + 9) × 91}}. |
||
Очевидно, что все числа от 1 до 10 являются числами |
Очевидно, что ''все числа от 1 до 10'' являются числами харшад. |
||
Первые 50 чисел харшад, не меньших 10<ref name="oeis-a005349" />: |
|||
: {{nums|link=nrl|10|12|18|20|21|24|27|30|36|40}}, 42, 45, 48, 50, 54, 60, 63, 70, 72, 80, 81, 84, 90, 100, 102, 108, 110, 111, 112, 114, 117, 120, 126, 132, 133, 135, 140, 144, 150, 152, 153, 156, 162, 171, 180, 190, 192, 195, 198, 200. |
|||
Имеет смысл также рассматривать числа |
Имеет смысл также рассматривать числа харшад в других [[система счисления|системах счисления]]. Числа, которые являются числами харшад ''во всех системах счисления'', называются '''обобщёнными числами харшад'''. Их всего четыре: 1, 2, 4, 6. |
||
== История == |
|||
| ⚫ | |||
Числа харшад были исследованы индийским математиком [[Капрекар, Даттарая Рамчандра|Даттараей Рамчандрой Капрекаром]]. Слово «харшад» происходит от [[санскрит]]ского {{IAST|harṣa}} «великая радость»<ref name="mactutor" />. |
|||
| ⚫ | |||
Пусть |
Пусть <math>N(x)</math> — количество чисел харшад, не больших <math>x</math>, тогда для любого ε > 0 |
||
:<math>x^{1-\varepsilon} \ll N(x) \ll \frac{x\log\log x}{\log x}</math> |
: <math>x^{1-\varepsilon} \ll N(x) \ll \frac{x\log\log x}{\log x}.</math> |
||
Жан-Мари де Конинк, Николас Доён<ref>{{citation|first1=Jean-Marie|last1=De Koninck|first2=Nicolas|last2=Doyon|title=On the number of Niven numbers up to ''x''|journal=[[Fibonacci Quarterly]]|volume=41|issue=5|date=November 2003|pages=431–440}}.</ref> и Катаи<ref>{{citation|first1=Jean-Marie|last1=De Koninck|first2=Nicolas|last2=Doyon|first3=I.|last3=Katái|title=On the counting function for the Niven numbers|journal=[[Acta Arithmetica]]|volume=106|year=2003|pages=265–275|doi=10.4064/aa106-3-5}}.</ref> показали и доказали, что |
|||
как показали Jean-Marie De Koninck и Nicolas Doyon; более того, De Koninck, Doyon и Kátai доказали, что |
|||
:<math>N(x)=(c+o(1))\frac{x}{\log x}</math> |
: <math>N(x)=(c+o(1))\frac{x}{\log x},</math> |
||
где |
где |
||
:<math>c = \frac{14}{27} |
: <math>c = \frac{14}{27} \ln 10 \approx 1{,}1939.</math> |
||
== См. также == |
|||
{{math-stub}} |
|||
* [[Нивен, Айвен]] |
|||
[[Категория:Целые числа]] |
|||
== Примечания == |
|||
[[da:Harshad-tal]] |
|||
{{примечания|1|refs = |
|||
[[de:Harshad-Zahl]] |
|||
[[en:Harshad number]] |
|||
<ref name="mw">{{MathWorld3|Harshad Number}}</ref> |
|||
[[es:Número de Harshad]] |
|||
[[fr:Nombre Harshad]] |
|||
<ref name="nap">{{cite web |url=http://www.numbersaplenty.com/set/Harshad_number/ |title=Harshad numbers |publisher=Numbers Aplenty |access-date=2015-11-05 |archive-date=2015-10-13 |archive-url=https://web.archive.org/web/20151013021030/http://www.numbersaplenty.com/set/Harshad_number/ |url-status=live }}</ref> |
|||
[[ko:하샤드 수]] |
|||
[[it:Numero di Harshad]] |
|||
<ref name="mactutor">{{cite web |url=http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/history/Biographies/Kaprekar.html |title=Dattatreya Ramachandra Kaprekar |author=J. J. O'Connor, E. F. Robertson |publisher=MacTutor History |
|||
[[he:מספר הרשאד]] |
|||
of Mathematics archive |date=08-2007 |access-date=2015-11-05 |archive-date=2016-03-05 |archive-url=https://web.archive.org/web/20160305013507/http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/history/Biographies/Kaprekar.html |url-status=live }}</ref> |
|||
[[hu:Harshad-szám]] |
|||
[[nl:Harshadgetal]] |
|||
<ref name="oeis-a005349">{{OEIS long|A005349|en=Niven (or Harshad) numbers: numbers that are divisible by the sum of their digits}}</ref> |
|||
[[ja:ハーシャッド数]] |
|||
[[sl:Harshadovo število]] |
|||
}} |
|||
[[fi:Harshad-luku]] |
|||
[[uk:Числа Харсхада]] |
|||
{{ВС}} |
|||
[[zh:哈沙德數]] |
|||
[[Категория:Целочисленные последовательности, зависящие от системы счисления]] |
|||
Текущая версия от 18:57, 31 декабря 2023
Числа харшад, или числа Нивена, — натуральные числа, делящиеся нацело на сумму своих цифр[1][2][3][4]. Таким числом является, например, 1729, так как 1729 = (1 + 7 + 2 + 9) × 91.
Очевидно, что все числа от 1 до 10 являются числами харшад.
Первые 50 чисел харшад, не меньших 10[3]:
- 10, 12, 18, 20, 21, 24, 27, 30, 36, 40, 42, 45, 48, 50, 54, 60, 63, 70, 72, 80, 81, 84, 90, 100, 102, 108, 110, 111, 112, 114, 117, 120, 126, 132, 133, 135, 140, 144, 150, 152, 153, 156, 162, 171, 180, 190, 192, 195, 198, 200.
Имеет смысл также рассматривать числа харшад в других системах счисления. Числа, которые являются числами харшад во всех системах счисления, называются обобщёнными числами харшад. Их всего четыре: 1, 2, 4, 6.
История
[править | править код]Числа харшад были исследованы индийским математиком Даттараей Рамчандрой Капрекаром. Слово «харшад» происходит от санскритского IAST: harṣa «великая радость»[4].
Оценка плотности распределения чисел харшад
[править | править код]Пусть — количество чисел харшад, не больших , тогда для любого ε > 0
Жан-Мари де Конинк, Николас Доён[5] и Катаи[6] показали и доказали, что
где
См. также
[править | править код]Примечания
[править | править код]- ↑ Weisstein, Eric W. Harshad Number (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
- ↑ Harshad numbers. Numbers Aplenty. Дата обращения: 5 ноября 2015. Архивировано 13 октября 2015 года.
- ↑ 1 2 Последовательность A005349 в OEIS = Niven (or Harshad) numbers: numbers that are divisible by the sum of their digits
- ↑ 1 2 J. J. O'Connor, E. F. Robertson. Dattatreya Ramachandra Kaprekar. MacTutor History of Mathematics archive (август 2007). Дата обращения: 5 ноября 2015. Архивировано 5 марта 2016 года.
- ↑ De Koninck, Jean-Marie; Doyon, Nicolas (November 2003), "On the number of Niven numbers up to x", Fibonacci Quarterly, 41 (5): 431—440.
- ↑ De Koninck, Jean-Marie; Doyon, Nicolas; Katái, I. (2003), "On the counting function for the Niven numbers", Acta Arithmetica, 106: 265—275, doi:10.4064/aa106-3-5.
 |
|---|
