Числа харшад: различия между версиями

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску
Интерактивная навигация по истории
[отпатрулированная версия][отпатрулированная версия]
← Предыдущая правка
Содержимое удалено Содержимое добавлено
ВизуальныйВики-текст
м оформление, стилевые правки
Спасено источников — 2, отмечено мёртвыми — 0. Сообщить об ошибке. См. FAQ.) #IABot (v2.0.9.5
 
(не показаны 24 промежуточные версии 19 участников)
Строка 1: Строка 1:
'''Число харшад''' — это [[натуральное число]], делящееся нацело на сумму своих цифр.
'''Числа харшад''', или '''числа Нивена''', — [[натуральные числа]], делящиеся нацело на [[Сумма цифр|сумму своих цифр]]<ref name="mw" /><ref name="nap" /><ref name="oeis-a005349" /><ref name="mactutor" />.
Таким числом является, например, [[1729 (число)|1729]], так как <span style="white-space:nowrap">1729 = (1 + 7 + 2 + 9) &times; 91</span>.
Таким числом является, например, {{num1|1729}}, так как {{s|1=1729 = (1 + 7 + 2 + 9) &times; 91}}.


Очевидно, что ''все числа от 1 до 10'' являются числами харшад.
Очевидно, что ''все числа от 1 до 10'' являются числами харшад.


Первые 50 чисел харшад, не меньших 10<ref name="oeis-a005349" />:
Первые 50 чисел харшад, не меньших 10: [[10]], [[12]], [[18]], [[20]], [[21]], [[24]], [[27]], [[30]], [[36]], [[40]], [[42]], [[45]], [[48]], [[50]], [[54]], [[60]], [[63]], [[70]], [[72]], [[80]], [[81]], [[84]], [[90]], [[100]], [[102]], [[108]], [[110]], [[111]], [[112]], [[114]], [[117]], [[120 (число)|120]], [[126]], [[132]], [[133]], [[135]], [[140]], [[144]], [[150]], [[152]], [[153]], [[156]], [[162]], [[171]], [[180]], [[190]], [[192]], [[195]], [[198]], [[200]] — {{OEIS|A005349}}.
: {{nums|link=nrl|10|12|18|20|21|24|27|30|36|40}}, 42, 45, 48, 50, 54, 60, 63, 70, 72, 80, 81, 84, 90, 100, 102, 108, 110, 111, 112, 114, 117, 120, 126, 132, 133, 135, 140, 144, 150, 152, 153, 156, 162, 171, 180, 190, 192, 195, 198, 200.


Имеет смысл также рассматривать числа харшад в других системах счисления. Числа, которые являются числами харшад ''во всех системах счисления'', называются '''обобщёнными числами харшад'''. Их всего четыре: 1, 2, 4, 6.
Имеет смысл также рассматривать числа харшад в других [[система счисления|системах счисления]]. Числа, которые являются числами харшад ''во всех системах счисления'', называются '''обобщёнными числами харшад'''. Их всего четыре: 1, 2, 4, 6.


== История ==
Понятие «чисел харшад» было введено индийским математиком {{Не переведено|есть=:en:D._R._Kaprekar|надо=Капрекар, Даттарая Рамчандра|текст=Даттараей Рамчандрой Капрекаром|язык=англ.|nocat=1}}. Слово «харшад» происходит от [[санскрит]]ского {{IAST|harṣa}} ‘великая радость’.
Числа харшад были исследованы индийским математиком [[Капрекар, Даттарая Рамчандра|Даттараей Рамчандрой Капрекаром]]. Слово «харшад» происходит от [[санскрит]]ского {{IAST|harṣa}} «великая радость»<ref name="mactutor" />.


== Оценка плотности распределения чисел харшад ==
== Оценка плотности распределения чисел харшад ==
⚫
Пусть <math>N(x)</math> — количество чисел харшад, не больших <math>x</math>, тогда для любого ε > 0


⚫
: <math>x^{1-\varepsilon} \ll N(x) \ll \frac{x\log\log x}{\log x}.</math>
⚫
Пусть <math>N(x)</math> — количество чисел харшад, не больших <math>x</math>, тогда для любого ε > 0,


Жан-Мари де Конинк, Николас Доён<ref>{{citation|first1=Jean-Marie|last1=De Koninck|first2=Nicolas|last2=Doyon|title=On the number of Niven numbers up to ''x''|journal=[[Fibonacci Quarterly]]|volume=41|issue=5|date=November 2003|pages=431–440}}.</ref> и Катаи<ref>{{citation|first1=Jean-Marie|last1=De Koninck|first2=Nicolas|last2=Doyon|first3=I.|last3=Katái|title=On the counting function for the Niven numbers|journal=[[Acta Arithmetica]]|volume=106|year=2003|pages=265–275|doi=10.4064/aa106-3-5}}.</ref> показали и доказали, что
⚫
: <math>x^{1-\varepsilon} \ll N(x) \ll \frac{x\log\log x}{\log x}</math>


⚫
: <math>N(x)=(c+o(1))\frac{x}{\log x},</math>
Жан-Мари де Конинк, Николас Доён и Катаи показали и доказали, что

⚫
: <math>N(x)=(c+o(1))\frac{x}{\log x}</math>


где
где


: <math>c = \frac{14}{27} ln 10 \approx 1.1939</math>.
: <math>c = \frac{14}{27} \ln 10 \approx 1{,}1939.</math>

== См. также ==
* [[Нивен, Айвен]]

== Примечания ==
{{примечания|1|refs =

<ref name="mw">{{MathWorld3|Harshad Number}}</ref>

<ref name="nap">{{cite web |url=http://www.numbersaplenty.com/set/Harshad_number/ |title=Harshad numbers |publisher=Numbers Aplenty |access-date=2015-11-05 |archive-date=2015-10-13 |archive-url=https://web.archive.org/web/20151013021030/http://www.numbersaplenty.com/set/Harshad_number/ |url-status=live }}</ref>

<ref name="mactutor">{{cite web |url=http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/history/Biographies/Kaprekar.html |title=Dattatreya Ramachandra Kaprekar |author=J. J. O'Connor, E. F. Robertson |publisher=MacTutor History
of Mathematics archive |date=08-2007 |access-date=2015-11-05 |archive-date=2016-03-05 |archive-url=https://web.archive.org/web/20160305013507/http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/history/Biographies/Kaprekar.html |url-status=live }}</ref>

<ref name="oeis-a005349">{{OEIS long|A005349|en=Niven (or Harshad) numbers: numbers that are divisible by the sum of their digits}}</ref>

}}

{{ВС}}


[[Категория:Целочисленные последовательности, зависящие от системы счисления]]
{{math-stub}}
[[Категория:Числа]]

Текущая версия от 18:57, 31 декабря 2023

Числа харшад, или числа Нивена, — натуральные числа, делящиеся нацело на сумму своих цифр[1][2][3][4]. Таким числом является, например, 1729, так как 1729 = (1 + 7 + 2 + 9) × 91.

Очевидно, что все числа от 1 до 10 являются числами харшад.

Первые 50 чисел харшад, не меньших 10[3]:

10, 12, 18, 20, 21, 24, 27, 30, 36, 40, 42, 45, 48, 50, 54, 60, 63, 70, 72, 80, 81, 84, 90, 100, 102, 108, 110, 111, 112, 114, 117, 120, 126, 132, 133, 135, 140, 144, 150, 152, 153, 156, 162, 171, 180, 190, 192, 195, 198, 200.

Имеет смысл также рассматривать числа харшад в других системах счисления. Числа, которые являются числами харшад во всех системах счисления, называются обобщёнными числами харшад. Их всего четыре: 1, 2, 4, 6.

История

[править | править код]

Числа харшад были исследованы индийским математиком Даттараей Рамчандрой Капрекаром. Слово «харшад» происходит от санскритского IAST: harṣa «великая радость»[4].

Оценка плотности распределения чисел харшад

[править | править код]

Пусть  — количество чисел харшад, не больших , тогда для любого ε > 0

Жан-Мари де Конинк, Николас Доён[5] и Катаи[6] показали и доказали, что

где

См. также

[править | править код]

Примечания

[править | править код]
  1. ↑ Weisstein, Eric W. Harshad Number (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
  2. ↑ Harshad numbers. Numbers Aplenty. Дата обращения: 5 ноября 2015. Архивировано 13 октября 2015 года.
  3. ↑ 1 2 Последовательность A005349 в OEIS = Niven (or Harshad) numbers: numbers that are divisible by the sum of their digits
  4. ↑ 1 2 J. J. O'Connor, E. F. Robertson. Dattatreya Ramachandra Kaprekar. MacTutor History of Mathematics archive (август 2007). Дата обращения: 5 ноября 2015. Архивировано 5 марта 2016 года.
  5. ↑ De Koninck, Jean-Marie; Doyon, Nicolas (November 2003), "On the number of Niven numbers up to x", Fibonacci Quarterly, 41 (5): 431—440.
  6. ↑ De Koninck, Jean-Marie; Doyon, Nicolas; Katái, I. (2003), "On the counting function for the Niven numbers", Acta Arithmetica, 106: 265—275, doi:10.4064/aa106-3-5.
Источник — https://ru.wikipedia.org/ruwiki/w/index.php?title=Числа_харшад&oldid=135261667