Формула Остроградского — Гаусса: различия между версиями

Интерактивная навигация по истории

(Показать все непатрулированные изменения)

[отпатрулированная версия]

[непроверенная версия]

← Предыдущая правка

Содержимое удалено Содержимое добавлено

ВизуальныйВики-текст

Линейный

Текущая версия от 19:11, 23 января 2024

Фо́рмула Остроградского — Гаусса связывает поток непрерывно-дифференцируемого векторного поля через замкнутую поверхность и интеграл от дивергенции этого поля по объёму, ограниченному этой поверхностью.

Формула применяется для преобразования объёмного интеграла в интеграл по замкнутой поверхности и наоборот.

Формулировка

Поток вектора $\mathbf {a}$ через замкнутую поверхность $S$ равен интегралу от $\operatorname {div} \mathbf {a} ,$ взятому по объему $V$ , ограниченному поверхностью $S$ ^[1]

\iint \limits _{S}\mathbf {a} \cdot d\mathbf {s} =\iiint \limits _{V}\operatorname {div} \mathbf {a} \cdot d\mathbf {v}

В координатной записи формула Остроградского — Гаусса принимает вид:

\iint \limits _{S}a_{x}\,dy\,dz+a_{y}\,dz\,dx+a_{z}\,dx\,dy=\iiint \limits _{V}\left({\frac {\partial a_{x}}{\partial x}}+{\frac {\partial a_{y}}{\partial y}}+{\frac {\partial a_{z}}{\partial z}}\right)\,dx\,dy\,dz

a_{x},a_{y},a_{z}

- проекции вектора

\mathbf {a}

Следствия из теоремы Остроградского — Гаусса:

1) в бездивергентном поле (

\operatorname {div} \mathbf {a} =0

) поток вектора

\mathbf {a}

через любую замкнутую поверхность

S

, являющуюся полной границей некоторого тела

V

, равен нулю.

2) если внутри замкнутой поверхности

S

имеется источник или сток, то поток вектора

\mathbf {a}

через эту поверхность, убывающий с расстоянием как

1/r^{2}

, не зависит от её формы.

Замечания

В работе Остроградского формула записана в следующем виде:

\int \left({\frac {dP}{dx}}+{\frac {dQ}{dy}}+{\frac {dR}{dz}}\right)d\omega =\int (P\cos \alpha +Q\cos \beta +R\cos \gamma )\,ds,

где $d\omega$ и $ds$ — дифференциалы объёма и поверхности соответственно. $P=P(x,\;y,\;z),\;Q=Q(x,\;y,\;z),\;R=R(x,\;y,\;z)$ — функции, непрерывные вместе со своими частными производными первого порядка в замкнутой области пространства, ограниченного замкнутой гладкой поверхностью^[2].

Современная запись формулы:

\int \left({\frac {dP}{dx}}+{\frac {dQ}{dy}}+{\frac {dR}{dz}}\right)d\Omega =\int (P\cos \alpha +Q\cos \beta +R\cos \gamma )dS,

где $\cos \alpha \,{dS}={dy}{dz}$ , $\cos \beta \,{dS}={dz}{dx}$ и $\cos \gamma \,{dS}={dx}{dy}$ . В современной записи $\omega =d\Omega$ — элемент объёма, $s=dS$ — элемент поверхности^[2].

Обобщением формулы Остроградского является формула Стокса для многообразий с краем.

История

Впервые теорема была установлена Лагранжем в 1762^[3].

Общий метод преобразования тройного интеграла к поверхностному впервые показал Карл Фридрих Гаусс (1813, 1830) на примере задач электродинамики^[4].

В 1826 году М. В. Остроградский вывел формулу в общем виде, представив её в виде теоремы (опубликовано в 1831 году). Многомерное обобщение формулы М. В. Остроградский опубликовал в 1834 году^[4]. С помощью данной формулы Остроградский нашёл выражение производной по параметру от $n$ -кратного интеграла с переменными пределами и получил формулу для вариации $n$ -кратного интеграла.

За рубежом формула, как правило, называется «теоремой о дивергенции» (англ. divergence theorem), иногда — формулой Гаусса или «формулой (теоремой) Гаусса — Остроградского».

См. также

Примечания

↑ Воднев В. Г., Наумович А. Ф., Наумович Н. Ф. Теорема Остроградского // Математический словарь высшей школы (рус.). — Издательство МПИ. — С. 437.
↑ ¹ ² Ильин В. А., Садовничий В. А., Сендов Бл. X. Математический анализ. Продолжение курса (рус.) / Под ред. А. Н. Тихонова. — М.: Изд-во МГУ, 1987. — 358 с.
↑ В работе по теории звука в 1762 г. Лагранж рассматривает частный случай теоремы: Lagrange (1762) «Nouvelles recherches sur la nature et la propagation du son» (Новые исследования о природе и распространении звука), Miscellanea Taurinensia (Mélanges de Turin), 2: 11 — 172. Репринтное издание: «Nouvelles recherches sur la nature et la propagation du son» Архивная копия от 15 мая 2016 на Wayback Machine в кн.: J.A. Serret, ed., Oeuvres de Lagrange, (Paris, France: Gauthier-Villars, 1867), vol. 1, pages 151—316; на страницах 263—265 Архивная копия от 13 мая 2016 на Wayback Machine Лагранж преобразовывает тройные интегралы в двойные с помощью интегрирования по частям.
↑ ¹ ² Александрова Н. В. Математические термины.(справочник). М.: Высшая школа, 1978, стр. 150—151.

Литература

Остроградский М. В. Note sur les integrales definies. // Mem. l’Acad. (VI), 1, стр. 117—122, 29/Х 1828 (1831).
Остроградский М. В. Memoire sur le calcul des variations des integrales multiples. // Mem. l’Acad., 1, стр. 35—58, 24/1 1834 (1838).

[1] Воднев В. Г., Наумович А. Ф., Наумович Н. Ф. Теорема Остроградского // Математический словарь высшей школы (рус.). — Издательство МПИ. — С. 437.

[Ilin-2] ¹ ² Ильин В. А., Садовничий В. А., Сендов Бл. X. Математический анализ. Продолжение курса (рус.) / Под ред. А. Н. Тихонова. — М.: Изд-во МГУ, 1987. — 358 с.

[3] В работе по теории звука в 1762 г. Лагранж рассматривает частный случай теоремы: Lagrange (1762) «Nouvelles recherches sur la nature et la propagation du son» (Новые исследования о природе и распространении звука), Miscellanea Taurinensia (Mélanges de Turin), 2: 11 — 172. Репринтное издание: «Nouvelles recherches sur la nature et la propagation du son» Архивная копия от 15 мая 2016 на Wayback Machine в кн.: J.A. Serret, ed., Oeuvres de Lagrange, (Paris, France: Gauthier-Villars, 1867), vol. 1, pages 151—316; на страницах 263—265 Архивная копия от 13 мая 2016 на Wayback Machine Лагранж преобразовывает тройные интегралы в двойные с помощью интегрирования по частям.

[A-4] ¹ ² Александрова Н. В. Математические термины.(справочник). М.: Высшая школа, 1978, стр. 150—151.

[1]

[2]

[3]

[4]

@@ Строка 1: / Строка 1: @@
+{{дзт|Формула Гаусса}}
-{{другие значения|Список объектов, названных в честь Гаусса}}
-'''Фо́рмула Гаусса — Остроградского''' связывает [[поток векторного поля|поток непрерывно-дифференцируемого векторного поля]] через замкнутую [[поверхность]] и [[интеграл]] от [[дивергенция|дивергенции]] этого поля по [[объём]]у, ограниченному этой поверхностью.
+'''Фо́рмула Остроградского — Гаусса '''связывает [[поток векторного поля|поток непрерывно-дифференцируемого векторного поля]] через замкнутую [[поверхность]] и [[интеграл]] от [[дивергенция|дивергенции]] этого поля по [[объём]]у, ограниченному этой поверхностью.
 Формула применяется для преобразования объёмного интеграла в интеграл по замкнутой поверхности и наоборот.
-==Формулировка==
+== Формулировка ==
+Поток вектора <math>\mathbf{a}</math> через замкнутую поверхность <math>S</math> равен интегралу от <math>\operatorname{div}\mathbf a,</math> взятому по объему <math>V</math>, ограниченному поверхностью <math>S</math><ref>{{книга|автор=Воднев В. Г., Наумович А. Ф., Наумович Н. Ф.|часть=Теорема Остроградского|заглавие=Математический словарь высшей школы|оригинал= |ссылка=|издание=|ответственный=|место=|издательство=Издательство МПИ|год=|том=|страницы=437|страниц=|isbn=|тираж=|язык=ru}}</ref>
+: <math>\iint\limits_S\mathbf{a}\cdot d\mathbf{s}=
-Пусть тело <math>V</math> ограничено замкнутой поверхностью <math>S</math>.
+\iiint\limits_V\operatorname{div}\mathbf a\cdot d\mathbf{v}
-Тогда для любого векторного поля <math>\mathbf F</math> выполняется равенство
+</math>
-:<math>\iiint\limits_V\mathrm{div} \,\mathbf{F} \, dV =\iint\limits_{S}\langle\mathbf F,\mathbf{n}\rangle \, dS,</math>
-то есть ''интеграл от дивергенции векторного поля <math>\mathbf F</math>, распространённый по объёму <math>V</math>, равен [[Поток векторного поля|потоку]] вектора через поверхность <math>S</math>''.
+В координатной записи формула Остроградского — Гаусса принимает вид:
-===Замечания===
+: <math>\iint\limits_S a_x\,dy\,dz + a_y\,dz\,dx + a_z\,dx\,dy=
+\iiint\limits_V\left(\frac{\partial a_x}{\partial x}+\frac{\partial a_y}{\partial y}+\frac{\partial a_z}{\partial z}\right)\,dx\,dy\,dz</math>
+: <math>a_x, a_y, a_z</math> - проекции вектора <math>\mathbf{a}
+</math>
+: Следствия из теоремы Остроградского — Гаусса:
+: 1) в бездивергентном поле (<math>\operatorname{div}\mathbf a=0</math>) поток вектора <math>\mathbf{a}</math> через любую замкнутую поверхность <math>S</math>, являющуюся полной границей некоторого тела <math>V</math>, равен нулю.
+: 2) если внутри замкнутой поверхности <math>S</math> имеется источник или сток, то поток вектора <math>\mathbf{a}</math> через эту поверхность, убывающий с расстоянием как <math>1/r^2</math>, не зависит от её формы.
+=== Замечания ===
 В работе Остроградского формула записана в следующем виде:
-:<math>\int\left(\frac{dP}{dx}+\frac{dQ}{dy}+\frac{dR}{dz}\right)d\omega=\int(P\cos\alpha+Q\cos\beta+R\cos\gamma)\, ds,</math>
+: <math>\int\left(\frac{dP}{dx}+\frac{dQ}{dy}+\frac{dR}{dz}\right)d\omega=\int(P\cos\alpha+Q\cos\beta+R\cos\gamma)\, ds,</math>
-где <math>d\omega</math> и <math>ds</math> — дифференциалы объёма и поверхности соответственно. <math>P=P(x,\;y,\;z),\;Q=Q(x,\;y,\;z),\;R=R(x,\;y,\;z)</math> — функции, непрерывные вместе со своими частными производными первого порядка в замкнутой области пространства, ограниченного замкнутой гладкой поверхностью<ref name=Ilin/>.
+где <math>d\omega</math> и <math>ds</math> — дифференциалы объёма и поверхности соответственно. <math>P=P(x,\;y,\;z),\;Q=Q(x,\;y,\;z),\;R=R(x,\;y,\;z)</math> — функции,
+непрерывные вместе со своими частными производными первого порядка в замкнутой области пространства, ограниченного замкнутой гладкой поверхностью<ref name=Ilin/>.
 Современная запись формулы:
 : <math>\int\left(\frac{dP}{dx}+\frac{dQ}{dy}+\frac{dR}{dz}\right)d\Omega=\int(P\cos\alpha+Q\cos\beta+R\cos\gamma)dS,</math>
-где <math>\cos\alpha\,{dS}={dy}{dz}</math>, <math>\cos\beta\,{dS}={dx}{dz}</math> и <math>\cos\gamma\,{dS}={dx}{dy}</math>. В современной записи <math>\omega=d\Omega</math> — элемент объёма, <math>s=dS</math> — элемент поверхности<ref name=Ilin>Ильин В. А. и др. Математический анализ. Продолжение курса / В. А. Ильин, В. А. Садовничий, Бл. X. Сендов. Под ред. А. Н. Тихонова. — М.: Изд-во МГУ, 1987.— 358 с.</ref>.
+где <math>\cos\alpha\,{dS}={dy}{dz}</math>, <math>\cos\beta\,{dS}={dz}{dx}</math> и <math>\cos\gamma\,{dS}={dx}{dy}</math>. В современной записи <math>\omega=d\Omega</math> — элемент объёма, <math>s=dS</math> — элемент поверхности<ref name=Ilin>{{книга|автор=Ильин В. А., Садовничий В. А., Сендов Бл. X. |часть=|заглавие=Математический анализ. Продолжение курса|оригинал= |ссылка=|издание=|ответственный=Под ред. А. Н. Тихонова|место=М.|издательство=Изд-во МГУ|год=1987|том=|страницы=|страниц=358|isbn=|тираж=|язык=ru}}</ref>.
 Обобщением формулы Остроградского является [[теорема Стокса|формула Стокса]] для [[многообразие|многообразий]] с краем.
 == История ==
-Впервые теорема была установлена [[Лагранж, Жозеф Луи|Лагранжем]] в 1762<ref>В работе по теории звука в 1762 г. Лагранж рассматривает частный случай теоремы: Lagrange (1762) «Nouvelles recherches sur la nature et la propagation du son» (Новые исследования о природе и распространении звука), ''Miscellanea Taurinensia'' (''Mélanges de Turin''), '''2''': 11 — 172. Репринтное издание: [https://books.google.com/books?id=3TA4DeQw1NoC&pg=PA151#v=onepage&q&f=false «Nouvelles recherches sur la nature et la propagation du son»] в кн.: J.A. Serret, ed., ''Oeuvres de Lagrange'', (Paris, France: Gauthier-Villars, 1867), vol. 1, pages 151—316; [https://books.google.com/books?id=3TA4DeQw1NoC&pg=PA263#v=onepage&q&f=false на страницах 263—265] Лагранж преобразовывает тройные интегралы в двойные с помощью [[Интегрирование по частям|интегрирования по частям]].</ref>.
+Впервые теорема была установлена [[Лагранж, Жозеф Луи|Лагранжем]] в 1762<ref>В работе по теории звука в 1762 г. Лагранж рассматривает частный случай теоремы: Lagrange (1762) «Nouvelles recherches sur la nature et la propagation du son» (Новые исследования о природе и распространении звука), ''Miscellanea Taurinensia'' (''Mélanges de Turin''), '''2''': 11 — 172. Репринтное издание: [https://books.google.com/books?id=3TA4DeQw1NoC&pg=PA151#v=onepage&q&f=false «Nouvelles recherches sur la nature et la propagation du son»] {{Wayback|url=https://books.google.com/books?id=3TA4DeQw1NoC&pg=PA151#v=onepage&q&f=false |date=20160515225306 }} в кн.: J.A. Serret, ed., ''Oeuvres de Lagrange'', (Paris, France: Gauthier-Villars, 1867), vol. 1, pages 151—316; [https://books.google.com/books?id=3TA4DeQw1NoC&pg=PA263#v=onepage&q&f=false на страницах 263—265] {{Wayback|url=https://books.google.com/books?id=3TA4DeQw1NoC&pg=PA263#v=onepage&q&f=false |date=20160513222830 }} Лагранж преобразовывает тройные интегралы в двойные с помощью [[Интегрирование по частям|интегрирования по частям]].</ref>.
-Общий метод преобразования тройного интеграла к поверхностному впервые показал [[Гаусс, Карл Фридрих|Карл Фридрих Гаусс]] ([[1813]], [[1830]]) на примере задач [[Электродинамика|электродинамики]]<ref name=A>''Александрова Н. В.'' Математические термины.(справочник). М.: Высшая школа, 1978, стр. 150—151.</ref>.
+Общий метод преобразования тройного интеграла к поверхностному впервые показал [[Гаусс, Карл Фридрих|Карл Фридрих Гаусс]] (1813, 1830) на примере задач [[Электродинамика|электродинамики]]<ref name=A>''Александрова Н. В.'' Математические термины.(справочник). М.: Высшая школа, 1978, стр. 150—151.</ref>.
-В [[1826 год]]у [[Остроградский, Михаил Васильевич|М. В. Остроградский]] вывел формулу в общем виде, представив её в виде теоремы (опубликовано в [[1831 год]]у). Многомерное обобщение формулы М. В. Остроградский опубликовал в [[1834 год]]у<ref name=A/>. С помощью данной формулы Остроградский нашёл выражение производной по параметру от <math>n</math>-кратного интеграла с переменными пределами и получил формулу для вариации <math>n</math>-кратного интеграла.
+В [[1826 год]]у [[Остроградский, Михаил Васильевич|М. В. Остроградский]] вывел формулу в общем виде, представив её в виде теоремы (опубликовано в 1831 году). Многомерное обобщение формулы М. В. Остроградский опубликовал в 1834 году<ref name=A/>. С помощью данной формулы Остроградский нашёл выражение производной по параметру от <math>n</math>-кратного интеграла с переменными пределами и получил формулу для вариации <math>n</math>-кратного интеграла.
-За рубежом формула как правило называется «теоремой о дивергенции» ({{lang-en|divergence theorem}}), иногда — '''формулой Гаусса''' или «формулой (теоремой) Гаусса—Остроградского».
+За рубежом формула, как правило, называется «теоремой о дивергенции» ({{lang-en|divergence theorem}}), иногда — '''формулой Гаусса''' или «формулой (теоремой) Гаусса — Остроградского».
 == См. также ==
 * [[Теорема Стокса]]
 * [[Теорема Грина]]
-== Литература ==
-* ''Остроградский М. В.'' Note sur les integrales definies. // Mem. l’Acad. (VI), 1, стр. 117—122, 29/Х 1828 (1831).
-* ''Остроградский М. В.'' Memoire sur le calcul des variations des integrales multiples. // Mem. l’Acad., 1, стр. 35—58, 24/1 1834 (1838).
 == Примечания ==
 {{примечания}}
+== Литература ==
+{{Навигация}}
+* ''Остроградский М. В.'' Note sur les integrales definies. // Mem. l’Acad. (VI), 1, стр. 117—122, 29/Х 1828 (1831).
+* ''Остроградский М. В.'' Memoire sur le calcul des variations des integrales multiples. // Mem. l’Acad., 1, стр. 35—58, 24/1 1834 (1838).
 {{Внешние ссылки}}
 [[Категория:Интегральное исчисление]]
 [[Категория:Теоремы математического анализа|Гаусса — Остроградского]]
 [[Категория:Дифференциальная геометрия и топология]]
 [[Категория:Объекты, названные в честь Карла Фридриха Гаусса]]
-[[Категория:Именные законы и правила|Гаусса — Остроградского]]
+[[Категория:Именные законы и правила|Гаусса — Остроградского]]

Ссылки на внешние ресурсы
Тематические сайты	MathWorld nLab
Словари и энциклопедии	Большая советская (1 изд.) Britannica (онлайн)
В библиографических каталогах	GND: 4336399-4