Формула Остроградского — Гаусса

Для термина «Формула Гаусса» см. также другие значения.

Фо́рмула Остроградского — Гаусса связывает поток непрерывно-дифференцируемого векторного поля через замкнутую поверхность и интеграл от дивергенции этого поля по объёму, ограниченному этой поверхностью.

Формула применяется для преобразования объёмного интеграла в интеграл по замкнутой поверхности и наоборот.

Формулировка

Поток вектора $\mathbf {a}$ через замкнутую поверхность $S$ равен интегралу от $\operatorname {div} \mathbf {a} ,$ взятому по объему $V$, ограниченному поверхностью $S$

$\iint \limits _{S}\mathbf {a} \cdot d\mathbf {s} =\iiint \limits _{V}\operatorname {div} \mathbf {a} \cdot d\mathbf {v}$

В координатной записи формула Остроградского — Гаусса принимает вид:

$\iint \limits _{S}a_{x}\,dy\,dz+a_{y}\,dz\,dx+a_{z}\,dx\,dy=\iiint \limits _{V}\left({\frac {\partial a_{x}}{\partial x}}+{\frac {\partial a_{y}}{\partial y}}+{\frac {\partial a_{z}}{\partial z}}\right)\,dx\,dy\,dz$

$a_{x},a_{y},a_{z}$ - проекции вектора $\mathbf {a}$

Следствия из теоремы Остроградского — Гаусса:

1) в бездивергентном поле ($\operatorname {div} \mathbf {a} =0$) поток вектора $\mathbf {a}$ через любую замкнутую поверхность $S$, являющуюся полной границей некоторого тела $V$, равен нулю.

2) если внутри замкнутой поверхности $S$ имеется источник или сток, то поток вектора $\mathbf {a}$ через эту поверхность, убывающий с расстоянием как $1/r^{2}$, не зависит от её формы.

Замечания

В работе Остроградского формула записана в следующем виде:

$\int \left({\frac {dP}{dx}}+{\frac {dQ}{dy}}+{\frac {dR}{dz}}\right)d\omega =\int (P\cos \alpha +Q\cos \beta +R\cos \gamma )\,ds,$

где $d\omega$ и $ds$ — дифференциалы объёма и поверхности соответственно. $P=P(x,\;y,\;z),\;Q=Q(x,\;y,\;z),\;R=R(x,\;y,\;z)$ — функции, непрерывные вместе со своими частными производными первого порядка в замкнутой области пространства, ограниченного замкнутой гладкой поверхностью.

Современная запись формулы:

$\int \left({\frac {dP}{dx}}+{\frac {dQ}{dy}}+{\frac {dR}{dz}}\right)d\Omega =\int (P\cos \alpha +Q\cos \beta +R\cos \gamma )dS,$

где $\cos \alpha \,{dS}={dy}{dz}$, $\cos \beta \,{dS}={dz}{dx}$ и $\cos \gamma \,{dS}={dx}{dy}$. В современной записи $\omega =d\Omega$ — элемент объёма, $s=dS$ — элемент поверхности.

Обобщением формулы Остроградского является формула Стокса для многообразий с краем.

История

Впервые теорема была установлена Лагранжем в 1762.

Общий метод преобразования тройного интеграла к поверхностному впервые показал Карл Фридрих Гаусс (1813, 1830) на примере задач электродинамики.

В 1826 году М. В. Остроградский вывел формулу в общем виде, представив её в виде теоремы (опубликовано в 1831 году). Многомерное обобщение формулы М. В. Остроградский опубликовал в 1834 году. С помощью данной формулы Остроградский нашёл выражение производной по параметру от $n$-кратного интеграла с переменными пределами и получил формулу для вариации $n$-кратного интеграла.

За рубежом формула, как правило, называется «теоремой о дивергенции» (англ. divergence theorem), иногда — формулой Гаусса или «формулой (теоремой) Гаусса — Остроградского».

См. также

• Теорема Стокса
• Теорема Грина

Литература

• Остроградский М. В. Note sur les integrales definies. // Mem. l’Acad. (VI), 1, стр. 117—122, 29/Х 1828 (1831).
• Остроградский М. В. Memoire sur le calcul des variations des integrales multiples. // Mem. l’Acad., 1, стр. 35—58, 24/1 1834 (1838).