Интегральная показательная функция: различия между версиями
[непроверенная версия] | [непроверенная версия] |
незначительная правка |
м оформление: формулы в заголовках разделов приводят к некорректному формированию содержания |
||
(не показано 36 промежуточных версий 14 участников) | |||
Строка 1: | Строка 1: | ||
[[Файл:ExpIntegral.png|thumb|График функции <math>\operatorname{Ei}(x)</math>]] |
|||
'''страница в процессе редактирования, пожалуйста, пока ничего не меняйте; собираюсь закончить 2013/05/08 8:00 MSK''' |
|||
'''Интегральная показательная функция''' — [[специальные функции|специальная функция]], обозначаемая символом <math>\operatorname{Ei}</math>. |
|||
== Определение на множестве вещественных чисел == |
|||
=== Основное определение === |
|||
Наиболее распространено следующее определение <math>\operatorname{Ei}</math> (см. график): |
|||
'''Интегральная показательная функция''' — [[специальные функции|специальная функция]], определяемая [[интеграл]]ом<ref name="Lebedev">{{cite book |last=Лебедев |first=Н. Н. |year=1963 |title=Специальные функции и их приложения|edition=2 |language=Russian}}</ref> |
|||
<math>\operatorname{Ei} ( |
<math>\operatorname{Ei} (x)=\mathrm{v.p.}\int\limits_{-\infty}^x\frac{e^t}{t}\,\mathrm dt |
||
=\gamma+\operatorname{ln} |
=\gamma+\operatorname{ln}|x|+\sum\limits_{n\ge1}\frac{x^n}{n!\cdot n}, \; x\in\mathbb R,\; (1)</math> |
||
где <math>\gamma</math> есть [[постоянная Эйлера — Маскерони|постоянная Эйлера]]. |
где <math>\gamma</math> есть [[постоянная Эйлера — Маскерони|постоянная Эйлера-Маскерони]]. |
||
Интеграл в смысле главного значения в (1) имеет различные разложения в ряд при положительных и |
|||
Подобно ряду для экспоненциальной функции, бесконечная сумма в (1) сходится в любой точке комплексной плоскости. |
|||
отрицательных x, что затрудняет его аналитическое продолжение на комплексную плоскость [то есть обобщение (1) на случай комплексных значений x]. |
|||
Следовательно, точка ветвления целиком унаследована функцией <math>\operatorname{Ei}</math> от логарифмической функции. |
|||
По этой причине определение (1) представляется ущербным; вместо него более уместно использовать [несовместимое с (1)] |
|||
Поэтому не будем здесь рассматривать <math>\operatorname{Ei}</math> как многозначную аналитическую функцию; вместо этого сразу же зафиксируем |
|||
[[логарифм#Аналитическое продолжение|главную ветвь (значение)]] логарифма<ref>Заодно фиксируем также и главную ветвь аргумента: <math>-\pi<\operatorname{arg}z\le\pi</math></ref> в (1) и далее |
|||
будем считать, что <math>\operatorname{Ei}</math> – однозначная аналитическая функция, определённая на всей комплексной плоскости за исключением разреза вдоль положительной вещественной оси. |
|||
== Основное определение == |
|||
=== Возникновение <math>\operatorname{Ei}</math> при интегрировании произведения экспоненты на рациональную функцию === |
|||
'''Интегральная показательная функция''' — [[специальные функции|специальная функция]], определяемая [[интеграл]]ом<ref name="Lebedev">{{книга |год=1963 |заглавие=Специальные функции и их приложения |издание=2 |язык=ru |ref=Лебедев |автор=Лебедев, Н. Н.}}</ref> |
|||
<math>\operatorname{Ei}(z)=\int\limits_{-\infty}^z\frac{e^t}{t}\,\mathrm dt |
|||
В наше время даже многократно проверенным<ref>не говоря уже о халтурщиках, работающих в фирмах вроде Wolfram Research.</ref> |
|||
=\gamma+\operatorname{ln}(-z)+\sum\limits_{n\ge1}\frac{z^n}{n!\cdot n}, \; |\arg(-z)|<\pi, \;(2)</math> |
|||
людям вроде Прудникова<ref name="Prudnikov">{{cite book| |
|||
last1=Прудников|first1=А. П.|last2=Брычков|first2=Ю. А.|last3=Маричев|first3=О. И. |
|||
|year=2003|title=Интегралы и ряды|volume=т.1|edition=2|isbn=5-9221-0323-7| |
|||
pages=320,561,622|publisher=ФИЗМАТЛИТ|location=М.|language=Russian}}</ref> |
|||
нельзя доверять (см. ниже), поэтому многие интегралы приходится считать самостоятельно. |
|||
Подобно ряду для экспоненциальной функции, бесконечная сумма в (2) сходится в любой точке комплексной плоскости. |
|||
Например, (предполагаем, что <math>b>0</math>) |
|||
Результат интегрирования в (2) зависит не только от <math>z</math>, но и |
|||
от пути интегрирования, а именно, определяется тем, сколько раз путь интегрирования огибает |
|||
точку <math>t=0</math>, в окрестности которой подынтегральное выражение в (2) приближённо равно <math>1/t</math>. |
|||
Таким образом, функция <math>\operatorname{Ei}(z)</math> является многозначной, а особая точка <math>z=0</math> является логарифмической [[точка ветвления|точкой ветвления]]. |
|||
Как и в случае с логарифмической функцией <math>\operatorname{ln}z</math>, различие в значениях |
|||
различных ветвей функции (при фиксированном <math>z</math>) кратно <math>2\pi i</math>. |
|||
Ниже будем рассматривать только [[логарифм#Аналитическое продолжение|главную ветвь (значение)]] <math>\operatorname{Ei}</math>, соответствующую главной ветви <math>\operatorname{ln}</math> в (2). Общепринятый разрез комплексной плоскости для <math>\operatorname{ln}z</math> |
|||
(вдоль отрицательной вещественной оси) соответствует разрезу вдоль положительной вещественной оси для функции <math>\operatorname{Ei}(z)</math>. |
|||
Фиксируем также и главную ветвь аргумента: <math>-\pi<\operatorname{arg}z\le\pi</math> и далее будем считать, что <math>\operatorname{Ei}</math> — однозначная [[аналитическая функция]], определённая на всей комплексной плоскости за исключением разреза вдоль положительной вещественной оси. |
|||
== Возникновение Ei при вычислении интегралов == |
|||
Интеграл от произвольной рациональной функции, помноженной на экспоненту, выражается в конечном виде через функцию <math>\operatorname{Ei}</math> и элементарные функции.<ref name="Lebedev" /> |
|||
В качестве простого примера интеграла, сводящегося к интегральной показательной функции рассмотрим (предполагая, что <math>b>0</math>) |
|||
<math> |
<math> |
||
\int\limits_0^{\infty}\frac{e^{ibx}\mathrm dx}{x+iz}= |
\int\limits_0^{+\infty}\frac{e^{ibx}\mathrm dx}{x+iz}= |
||
\begin{cases} |
\begin{cases} |
||
-e^{bz}\operatorname{Ei}(-bz),& \operatorname{arg}z\not\in[\pi/2,\pi],\\ |
-e^{bz}\operatorname{Ei}(-bz),& \operatorname{arg}z\not\in[\pi/2,\pi],\\ |
||
-e^{bz}\left[ |
-e^{bz}\left[\operatorname{Ei}(-bz)-2\pi i\right],& \operatorname{arg}z\in(\pi/2,\pi). |
||
\end{cases}\;(2) |
\end{cases}\;(2) |
||
</math> |
</math> |
||
Из (2) следует, что при вещественных значениях <math>y</math> и <math>b</math> |
|||
При <math>\operatorname{arg}z=\pi</math> интеграла (2) не существует. |
|||
Случай отрицательных веществееных значений <math>z</math> следует рассматривать как предельный: |
|||
<math> |
|||
<math>z=a<0,\;\int\limits_0^{\infty}\frac{e^{ibx}\mathrm dx}{x+ia}= |
|||
\int\limits_0^{\infty}\frac{x\cos bx\,\mathrm dx}{x^2+y^2}= |
|||
\operatorname{lim}\limits_{\epsilon\to +0} |
|||
-\frac12\left[e^{|by|}\operatorname{Ei}(-|by|)+e^{-|by|}\operatorname{Ei}_1(|by|)\right],\;(3)</math> |
|||
\int\limits_0^{\infty} |
|||
\frac{e^{ibx}\mathrm dx}{x+i(a+i\epsilon)}. \; (3) |
|||
где <math>\operatorname{Ei}_1</math> есть т. н. |
|||
'''модифицированная интегральная показательная функция'''<ref name="Lebedev" />: |
|||
<math> |
|||
\operatorname{Ei}_1 (y)=\frac12 |
|||
\left[\operatorname{Ei}(y+i0)+\operatorname{Ei}(y-i0)\right] |
|||
=\gamma+\operatorname{ln}y+\sum\limits_{n\ge 1}\frac{y^n}{n!\cdot n},\; y>0,\;\operatorname{Ei}_1 (y)\in\mathbb R.\;(4) |
|||
</math> |
</math> |
||
Фактически (4) совпадает с функцией, определённой в (1), и нередко |
|||
Из (2) и из (3) следует, что |
|||
функцию <math>\operatorname{Ei}_1</math> обозначают символом <math>\operatorname{Ei}</math>, что может приводить к ошибкам. |
|||
При получении результата (3) было использовано значение интеграла |
|||
<math> |
<math> |
||
\ |
\int_0^\infty\frac{x\sin bx\,\mathrm dx}{x^2+z^2}=\frac\pi2\operatorname{exp}[-bz\operatorname{sign}\Im z],\;b>0. |
||
</math> |
|||
\int\limits_0^{\infty}\frac{\operatorname{cos}(bx)\mathrm dx}{x^2+z^2}= |
|||
-\frac12\left[e^{-bz}\operatorname{Ei}(bz)+e^{bz}\operatorname{Ei}(-bz)\right],\; |
|||
\operatorname{arg}z\ne\pm\pi/2.</math> |
|||
Интеграл (3) можно рассматривать как вещественную функцию вещественных аргументов <math>b</math> и <math>y</math>. |
|||
=== Альтернативное определение === |
|||
Логично потребовать, чтобы такая функция выражалась только через вещественные величины. |
|||
Нередко вместо (1) используется альтернативное [несовместимое с (1)] определение |
|||
Это требование оправдывает введение дополнительного [вдобавок к уже определённому в (2) <math>\operatorname{Ei}</math>] |
|||
символа <math>\operatorname{Ei}_1</math>. |
|||
Результат (3) несложно обобщить на произвольные (за исключением чисто мнимых) комплексные значения параметра <math>z</math>: |
|||
<math>\operatorname{Ei} (x)=v.p.\int\limits_{-\infty}^x\frac{e^t}{t}\,\mathrm dt |
|||
=\gamma+\operatorname{ln}|x|+\sum\limits_{n\ge1}\frac{x^n}{n!\cdot n}, \; x\in\Re.\; (2)</math> |
|||
<math> |
|||
Определение (2) совместимо с (1) только при отрицательных вещественных значениях аргумента. |
|||
\int_0^\infty\frac{x\cos bx\,\mathrm dx}{x^2+z^2}= |
|||
-\frac12\left\{e^{bz}\operatorname{Ei}(-bz)+e^{-bz}\left[\operatorname{Ei}(bz) |
|||
+\pi i\operatorname{sign}\Im z\right]\right\},\;b>0,\; \Re z\ne 0.\;(5) |
|||
</math> |
|||
Формулу (3) для <math>b>0</math> и <math>y>0</math> можно получить, положив <math>z=y\pm i0</math> в (5). |
|||
Интеграл (5) можно найти на стр. 320 справочника Прудникова<ref name="Prudnikov">{{книга |автор={{nobr|[[Прудников, Анатолий Платонович|Прудников А. П.]]}}, {{nobr|Брычков Ю. А.}}, [[Маричев, Олег Игоревич|Маричев О. И.]]|заглавие=Интегралы и ряды |ответственный= |ссылка= |место={{М.}} |издательство=ФИЗМАТЛИТ |год=2003 |том=1 |издание=Изд. 2-е |страницы=320,561,622 |isbn=5-9221-0323-7}}</ref>, |
|||
однако же приведённое там выражение верно только для действительных значений <math>z</math> и при условии, что для функции |
|||
<math>\operatorname{Ei}</math> используется определение (1). |
|||
Следует заметить, что вычисление подобных интегралов (в особенности при комплексных значениях параметров) опасно доверять |
|||
Интеграл в смысле главного значения в (2) имеет различные разложения в ряд при положительных и |
|||
коммерческим системам компьютерной алгебры. Из-за неразберихи с обозначениями (использования символа |
|||
отрицательных x, что затрудняет его аналитическое продолжение на комплексную плоскость [т.е. обобщение (2) на случай |
|||
<math>\operatorname{Ei}</math> вместо <math>\operatorname{Ei}_1</math>) нельзя полностью доверять также и справочникам.{{Нет АИ|21|9|2021}} |
|||
комплексных значений x]. |
|||
== См. также == |
== См. также == |
||
Строка 67: | Строка 96: | ||
* [[Интегральный косинус]] |
* [[Интегральный косинус]] |
||
== Примечания == |
|||
== Список литературы == |
|||
{{примечания}} |
{{примечания}} |
||
* Математический Энциклопедический Словарь, М. 1995, с. 230. |
|||
{{Внешние ссылки}} |
|||
[[Категория:Специальные функции]] |
[[Категория:Специальные функции]] |
Текущая версия от 19:21, 3 апреля 2024
Интегральная показательная функция — специальная функция, обозначаемая символом .
Определение на множестве вещественных чисел
[править | править код]Наиболее распространено следующее определение (см. график):
где есть постоянная Эйлера-Маскерони. Интеграл в смысле главного значения в (1) имеет различные разложения в ряд при положительных и отрицательных x, что затрудняет его аналитическое продолжение на комплексную плоскость [то есть обобщение (1) на случай комплексных значений x]. По этой причине определение (1) представляется ущербным; вместо него более уместно использовать [несовместимое с (1)]
Основное определение
[править | править код]Интегральная показательная функция — специальная функция, определяемая интегралом[1]
Подобно ряду для экспоненциальной функции, бесконечная сумма в (2) сходится в любой точке комплексной плоскости. Результат интегрирования в (2) зависит не только от , но и от пути интегрирования, а именно, определяется тем, сколько раз путь интегрирования огибает точку , в окрестности которой подынтегральное выражение в (2) приближённо равно . Таким образом, функция является многозначной, а особая точка является логарифмической точкой ветвления. Как и в случае с логарифмической функцией , различие в значениях различных ветвей функции (при фиксированном ) кратно .
Ниже будем рассматривать только главную ветвь (значение) , соответствующую главной ветви в (2). Общепринятый разрез комплексной плоскости для (вдоль отрицательной вещественной оси) соответствует разрезу вдоль положительной вещественной оси для функции . Фиксируем также и главную ветвь аргумента: и далее будем считать, что — однозначная аналитическая функция, определённая на всей комплексной плоскости за исключением разреза вдоль положительной вещественной оси.
Возникновение Ei при вычислении интегралов
[править | править код]Интеграл от произвольной рациональной функции, помноженной на экспоненту, выражается в конечном виде через функцию и элементарные функции.[1]
В качестве простого примера интеграла, сводящегося к интегральной показательной функции рассмотрим (предполагая, что )
Из (2) следует, что при вещественных значениях и
где есть т. н. модифицированная интегральная показательная функция[1]:
Фактически (4) совпадает с функцией, определённой в (1), и нередко функцию обозначают символом , что может приводить к ошибкам.
При получении результата (3) было использовано значение интеграла
Интеграл (3) можно рассматривать как вещественную функцию вещественных аргументов и . Логично потребовать, чтобы такая функция выражалась только через вещественные величины. Это требование оправдывает введение дополнительного [вдобавок к уже определённому в (2) ] символа .
Результат (3) несложно обобщить на произвольные (за исключением чисто мнимых) комплексные значения параметра :
Формулу (3) для и можно получить, положив в (5).
Интеграл (5) можно найти на стр. 320 справочника Прудникова[2], однако же приведённое там выражение верно только для действительных значений и при условии, что для функции используется определение (1).
Следует заметить, что вычисление подобных интегралов (в особенности при комплексных значениях параметров) опасно доверять коммерческим системам компьютерной алгебры. Из-за неразберихи с обозначениями (использования символа вместо ) нельзя полностью доверять также и справочникам.[источник не указан 1179 дней]
См. также
[править | править код]Примечания
[править | править код]- ↑ 1 2 3 Лебедев, Н. Н. Специальные функции и их приложения . — 2. — 1963.
- ↑ Прудников А. П., Брычков Ю. А., Маричев О. И. Интегралы и ряды. — Изд. 2-е. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2003. — Т. 1. — С. 320,561,622. — ISBN 5-9221-0323-7.