Интегральная показательная функция: различия между версиями

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску
[непроверенная версия][непроверенная версия]
Содержимое удалено Содержимое добавлено
мНет описания правки
м оформление: формулы в заголовках разделов приводят к некорректному формированию содержания
 
(не показано 10 промежуточных версий 9 участников)
Строка 1: Строка 1:
[[File:ExpIntegral.png|thumb|График функции <math>\operatorname{Ei}(x)</math>]]
[[Файл:ExpIntegral.png|thumb|График функции <math>\operatorname{Ei}(x)</math>]]
'''Интегральная показательная функция''' — [[специальные функции|специальная функция]], обозначаемая символом <math>\operatorname{Ei}</math>.
'''Интегральная показательная функция''' — [[специальные функции|специальная функция]], обозначаемая символом <math>\operatorname{Ei}</math>.


==Определение на множестве вещественных чисел==
== Определение на множестве вещественных чисел ==
Наиболее распространено следующее определение <math>\operatorname{Ei}</math>:
Наиболее распространено следующее определение <math>\operatorname{Ei}</math> (см. график):


<math>\operatorname{Ei} (x)=\mathrm{v.p.}\int\limits_{-\infty}^x\frac{e^t}{t}\,\mathrm dt
<math>\operatorname{Ei} (x)=\mathrm{v.p.}\int\limits_{-\infty}^x\frac{e^t}{t}\,\mathrm dt
=\gamma+\operatorname{ln}|x|+\sum\limits_{n\ge1}\frac{x^n}{n!\cdot n}, \; x\in\mathbb R,\; (1)</math>
=\gamma+\operatorname{ln}|x|+\sum\limits_{n\ge1}\frac{x^n}{n!\cdot n}, \; x\in\mathbb R,\; (1)</math>


где <math>\gamma</math> есть [[постоянная Эйлера — Маскерони|постоянная Эйлера]].
где <math>\gamma</math> есть [[постоянная Эйлера — Маскерони|постоянная Эйлера-Маскерони]].
Интеграл в смысле главного значения в (1) имеет различные разложения в ряд при положительных и
Интеграл в смысле главного значения в (1) имеет различные разложения в ряд при положительных и
отрицательных x, что затрудняет его аналитическое продолжение на комплексную плоскость [т.е. обобщение (1) на случай комплексных значений x].
отрицательных x, что затрудняет его аналитическое продолжение на комплексную плоскость [то есть обобщение (1) на случай комплексных значений x].
По этой причине определение (1) представляется ущербным; вместо него более уместно использовать [несовместимое с (1)]
По этой причине определение (1) представляется ущербным; вместо него более уместно использовать [несовместимое с (1)]


==Основное определение==
== Основное определение ==
'''Интегральная показательная функция''' — [[специальные функции|специальная функция]], определяемая [[интеграл]]ом<ref name="Lebedev">{{cite book |last=Лебедев |first=Н. Н. |year=1963 |title=Специальные функции и их приложения|edition=2 |language=Russian}}</ref>
'''Интегральная показательная функция''' — [[специальные функции|специальная функция]], определяемая [[интеграл]]ом<ref name="Lebedev">{{книга |год=1963 |заглавие=Специальные функции и их приложения |издание=2 |язык=ru |ref=Лебедев |автор=Лебедев, Н. Н.}}</ref>


<math>\operatorname{Ei}(z)=\int\limits_{-\infty}^z\frac{e^t}{t}\,\mathrm dt
<math>\operatorname{Ei}(z)=\int\limits_{-\infty}^z\frac{e^t}{t}\,\mathrm dt
Строка 29: Строка 29:
Ниже будем рассматривать только [[логарифм#Аналитическое продолжение|главную ветвь (значение)]] <math>\operatorname{Ei}</math>, соответствующую главной ветви <math>\operatorname{ln}</math> в (2). Общепринятый разрез комплексной плоскости для <math>\operatorname{ln}z</math>
Ниже будем рассматривать только [[логарифм#Аналитическое продолжение|главную ветвь (значение)]] <math>\operatorname{Ei}</math>, соответствующую главной ветви <math>\operatorname{ln}</math> в (2). Общепринятый разрез комплексной плоскости для <math>\operatorname{ln}z</math>
(вдоль отрицательной вещественной оси) соответствует разрезу вдоль положительной вещественной оси для функции <math>\operatorname{Ei}(z)</math>.
(вдоль отрицательной вещественной оси) соответствует разрезу вдоль положительной вещественной оси для функции <math>\operatorname{Ei}(z)</math>.
Фиксируем также и главную ветвь аргумента: <math>-\pi<\operatorname{arg}z\le\pi</math> и далее будем считать, что <math>\operatorname{Ei}</math> однозначная [[аналитическая функция]], определённая на всей комплексной плоскости за исключением разреза вдоль положительной вещественной оси.
Фиксируем также и главную ветвь аргумента: <math>-\pi<\operatorname{arg}z\le\pi</math> и далее будем считать, что <math>\operatorname{Ei}</math> — однозначная [[аналитическая функция]], определённая на всей комплексной плоскости за исключением разреза вдоль положительной вещественной оси.


==Возникновение <math>\operatorname{Ei}</math> при вычислении интегралов==
== Возникновение Ei при вычислении интегралов ==
Интеграл от произвольной рациональной функции, помноженной на экспоненту, выражается в конечном виде через функцию <math>\operatorname{Ei}</math> и элементарные функции.<ref name="Lebedev" />
Интеграл от произвольной рациональной функции, помноженной на экспоненту, выражается в конечном виде через функцию <math>\operatorname{Ei}</math> и элементарные функции.<ref name="Lebedev" />


В качестве простого примера интеграла, сводящегося к интегральной показательной функци рассмотрим (предполагая, что <math>b>0</math>)
В качестве простого примера интеграла, сводящегося к интегральной показательной функции рассмотрим (предполагая, что <math>b>0</math>)


<math>
<math>
Строка 50: Строка 50:
-\frac12\left[e^{|by|}\operatorname{Ei}(-|by|)+e^{-|by|}\operatorname{Ei}_1(|by|)\right],\;(3)</math>
-\frac12\left[e^{|by|}\operatorname{Ei}(-|by|)+e^{-|by|}\operatorname{Ei}_1(|by|)\right],\;(3)</math>


где <math>\operatorname{Ei}_1</math> есть т.н.
где <math>\operatorname{Ei}_1</math> есть т. н.
'''модифицированная интегральная показательная функция''' <ref name="Lebedev" />:
'''модифицированная интегральная показательная функция'''<ref name="Lebedev" />:


<math>
<math>
Строка 83: Строка 83:
Формулу (3) для <math>b>0</math> и <math>y>0</math> можно получить, положив <math>z=y\pm i0</math> в (5).
Формулу (3) для <math>b>0</math> и <math>y>0</math> можно получить, положив <math>z=y\pm i0</math> в (5).


Интеграл (5) можно найти на стр. 320 справочника Прудникова<ref name="Prudnikov">{{книга |автор={{nobr|Прудников А. П.}}, {{nobr|Брычков Ю. А.}}, [[Маричев, Олег Игоревич|Маричев О. И.]]|заглавие=Интегралы и ряды |ответственный= |ссылка= |место={{М.}} |издательство=ФИЗМАТЛИТ |год=2003 |том=1 |издание=Изд. 2-е |страницы=320,561,622 |isbn=5-9221-0323-7}}</ref>,
Интеграл (5) можно найти на стр. 320 справочника Прудникова<ref name="Prudnikov">{{книга |автор={{nobr|[[Прудников, Анатолий Платонович|Прудников А. П.]]}}, {{nobr|Брычков Ю. А.}}, [[Маричев, Олег Игоревич|Маричев О. И.]]|заглавие=Интегралы и ряды |ответственный= |ссылка= |место={{М.}} |издательство=ФИЗМАТЛИТ |год=2003 |том=1 |издание=Изд. 2-е |страницы=320,561,622 |isbn=5-9221-0323-7}}</ref>,
однако же приведённое там выражение верно только для действительных значений <math>z</math> и при условии, что для функции
однако же приведённое там выражение верно только для действительных значений <math>z</math> и при условии, что для функции
<math>\operatorname{Ei}</math> используется определение (1).
<math>\operatorname{Ei}</math> используется определение (1).
Строка 89: Строка 89:
Следует заметить, что вычисление подобных интегралов (в особенности при комплексных значениях параметров) опасно доверять
Следует заметить, что вычисление подобных интегралов (в особенности при комплексных значениях параметров) опасно доверять
коммерческим системам компьютерной алгебры. Из-за неразберихи с обозначениями (использования символа
коммерческим системам компьютерной алгебры. Из-за неразберихи с обозначениями (использования символа
<math>\operatorname{Ei}</math> вместо <math>\operatorname{Ei}_1</math>) нельзя полностью доверять также и справочникам.
<math>\operatorname{Ei}</math> вместо <math>\operatorname{Ei}_1</math>) нельзя полностью доверять также и справочникам.{{Нет АИ|21|9|2021}}


==См. также==
== См. также ==
* [[Интегральный логарифм]]
* [[Интегральный логарифм]]
* [[Интегральный синус]]
* [[Интегральный синус]]
* [[Интегральный косинус]]
* [[Интегральный косинус]]


== Примечания ==
== Список литературы ==
{{примечания}}
{{примечания}}

{{Внешние ссылки}}


[[Категория:Специальные функции]]
[[Категория:Специальные функции]]

Текущая версия от 19:21, 3 апреля 2024

График функции

Интегральная показательная функция — специальная функция, обозначаемая символом .

Определение на множестве вещественных чисел

[править | править код]

Наиболее распространено следующее определение (см. график):

где есть постоянная Эйлера-Маскерони. Интеграл в смысле главного значения в (1) имеет различные разложения в ряд при положительных и отрицательных x, что затрудняет его аналитическое продолжение на комплексную плоскость [то есть обобщение (1) на случай комплексных значений x]. По этой причине определение (1) представляется ущербным; вместо него более уместно использовать [несовместимое с (1)]

Основное определение

[править | править код]

Интегральная показательная функция — специальная функция, определяемая интегралом[1]

Подобно ряду для экспоненциальной функции, бесконечная сумма в (2) сходится в любой точке комплексной плоскости. Результат интегрирования в (2) зависит не только от , но и от пути интегрирования, а именно, определяется тем, сколько раз путь интегрирования огибает точку , в окрестности которой подынтегральное выражение в (2) приближённо равно . Таким образом, функция является многозначной, а особая точка является логарифмической точкой ветвления. Как и в случае с логарифмической функцией , различие в значениях различных ветвей функции (при фиксированном ) кратно .

Ниже будем рассматривать только главную ветвь (значение) , соответствующую главной ветви в (2). Общепринятый разрез комплексной плоскости для (вдоль отрицательной вещественной оси) соответствует разрезу вдоль положительной вещественной оси для функции . Фиксируем также и главную ветвь аргумента: и далее будем считать, что  — однозначная аналитическая функция, определённая на всей комплексной плоскости за исключением разреза вдоль положительной вещественной оси.

Возникновение Ei при вычислении интегралов

[править | править код]

Интеграл от произвольной рациональной функции, помноженной на экспоненту, выражается в конечном виде через функцию и элементарные функции.[1]

В качестве простого примера интеграла, сводящегося к интегральной показательной функции рассмотрим (предполагая, что )

Из (2) следует, что при вещественных значениях и

где есть т. н. модифицированная интегральная показательная функция[1]:

Фактически (4) совпадает с функцией, определённой в (1), и нередко функцию обозначают символом , что может приводить к ошибкам.

При получении результата (3) было использовано значение интеграла

Интеграл (3) можно рассматривать как вещественную функцию вещественных аргументов и . Логично потребовать, чтобы такая функция выражалась только через вещественные величины. Это требование оправдывает введение дополнительного [вдобавок к уже определённому в (2) ] символа .

Результат (3) несложно обобщить на произвольные (за исключением чисто мнимых) комплексные значения параметра :

Формулу (3) для и можно получить, положив в (5).

Интеграл (5) можно найти на стр. 320 справочника Прудникова[2], однако же приведённое там выражение верно только для действительных значений и при условии, что для функции используется определение (1).

Следует заметить, что вычисление подобных интегралов (в особенности при комплексных значениях параметров) опасно доверять коммерческим системам компьютерной алгебры. Из-за неразберихи с обозначениями (использования символа вместо ) нельзя полностью доверять также и справочникам.[источник не указан 1179 дней]

Примечания

[править | править код]
  1. 1 2 3 Лебедев, Н. Н. Специальные функции и их приложения. — 2. — 1963.
  2. Прудников А. П., Брычков Ю. А., Маричев О. И. Интегралы и ряды. — Изд. 2-е. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2003. — Т. 1. — С. 320,561,622. — ISBN 5-9221-0323-7.