Феномен Рунге: различия между версиями

Интерактивная навигация по истории

(Показать все непатрулированные изменения)

[непроверенная версия]

← Предыдущая правка

Содержимое удалено Содержимое добавлено

ВизуальныйВики-текст

Линейный

Текущая версия от 19:23, 28 мая 2024

Феномен (явление) Рунге — в численном анализе эффект нежелательных осцилляций(колебаний), возникающий при интерполяции полиномами высоких степеней. Был открыт Карлом Рунге при изучении ошибок полиномиальной интерполяции для приближения некоторых функций^[1].

Рассмотрим функцию $f(x)={\frac {1}{1+25x^{2}}}.$ Если интерполировать её по равноотстоящим узлам $x_{i}$ между −5 и 5. $x_{i}=-5+(i-1){\frac {10}{n}},\quad i\in \left\{1,2,\dots ,n+1\right\}$ полиномом $P_{n}(x)$ со степенью меньше или равной $n$ , то полученный интерполянт будет осциллировать ближе к концам интервала. С возрастанием степени полинома погрешность интерполяции стремится к бесконечности: $\lim _{n\rightarrow \infty }\left(\max _{-5\leq x\leq 5}|f(x)-P_{n}(x)|\right)=\infty .$

Такой эффект роста уклонения при росте степени многочлена зависит как от выбираемой последовательности узлов, так и от интерполируемой функции. А именно, для любой последовательности узлов можно подобрать такую непрерывную функцию, что ошибка ее интерполяции по этим конкретным узлам будет неограниченно расти. С другой стороны, согласно аппроксимационной теореме Вейерштрасса, для любой непрерывной функции на отрезке можно подобрать последовательность полиномов, равномерно сходящихся к этой функции на отрезке. Это теоретически позволяет подобрать (для этой конкретной функции) последовательность узлов без феномена Рунге.

Компромиссом можно считать узлы Чебышёва, погрешность интерполяции по ним равномерно убывает для любой абсолютно непрерывной функции.

Примечания

↑ Рунге, Карл. Über empirische Funktionen und die Interpolation zwischen äquidistanten Ordinaten (нем.) // Zeitschrift für Mathematik und Physik. — 1901. — Bd. 46. — S. 224—243.

[1] Рунге, Карл. Über empirische Funktionen und die Interpolation zwischen äquidistanten Ordinaten (нем.) // Zeitschrift für Mathematik und Physik. — 1901. — Bd. 46. — S. 224—243.

[1]

@@ Строка 1: / Строка 1: @@
 [[Файл:Interpolation runge funktion 5 stuetzstellen.png|thumb|Функция Рунге ([[плотность вероятности]] [[Распределение Коши|распределения Коши]]) и интерполяционный полином 5-й степени]]
 [[Файл:Interpolation runge funktion 10 stuetzstellen.png|thumb|Функция типа Рунге <math>f(x) = \frac{1}{1+x^2}</math> и интерполяционный полином 10-й степени]]
-'''Феномен (явление) Рунге''' — в [[Вычислительная математика|численном анализе]] эффект нежелательных осцилляций, возникающий при [[интерполяция|интерполяции]] [[полином]]ами высоких степеней. Был открыт [[Рунге, Карл|Карлом Рунге]] при изучении ошибок [[полиномиальная интерполяция|полиномиальной интерполяции]] для приближения некоторых функций<ref>{{статья
+'''Феномен (явление) Рунге''' — в [[Вычислительная математика|численном анализе]] эффект нежелательных осцилляций(колебаний), возникающий при [[интерполяция|интерполяции]] [[полином]]ами высоких степеней. Был открыт [[Рунге, Карл|Карлом Рунге]] при изучении ошибок [[Интерполяция алгебраическими многочленами|полиномиальной интерполяции]] для приближения некоторых функций<ref>{{статья
 | автор         = [[Рунге, Карл]]
 | заглавие      = Über empirische Funktionen und die Interpolation zwischen äquidistanten Ordinaten
@@ Строка 14: / Строка 14: @@
 }}</ref>.
-Рассмотрим функцию <math>f(x) = \frac{1}{1+x^2}.</math> Если интерполировать её по равноотстоящим узлам <math>x_i</math> между −1 и 1 <math>x_i = -1 + (i-1)\frac{2}{n},\quad i \in \left\{ 1, 2, \dots, n+1 \right\}</math> полиномом <math>P_n(x)</math> со степенью меньше или равной <math>n</math>, то полученный [[интерполянт]] будет осциллировать ближе к концам интервала. С возрастанием степени полинома [[погрешность]] интерполяции стремится к бесконечности: <math>\lim_{n \rightarrow \infty} \left( \max_{-1 \leq x \leq 1} | f(x) - P_n(x)| \right) = \infty.</math>
+Рассмотрим функцию <math>f(x) = \frac{1}{1+25x^2}.</math> Если интерполировать её по равноотстоящим узлам <math>x_i</math> между −5 и 5. <math>x_i = -5 + (i-1)\frac{10}{n},\quad i \in \left\{ 1, 2, \dots, n+1 \right\}</math> полиномом <math>P_n(x)</math> со степенью меньше или равной <math>n</math>, то полученный [[интерполянт]] будет осциллировать ближе к концам интервала. С возрастанием степени полинома [[погрешность]] интерполяции стремится к бесконечности: <math>\lim_{n \rightarrow \infty} \left( \max_{-5 \leq x \leq 5} | f(x) - P_n(x)| \right) = \infty.</math>
+Такой эффект роста уклонения при росте степени многочлена зависит как от выбираемой  последовательности узлов, так и от интерполируемой функции.
-Тем не менее, согласно [[Аппроксимационная теорема Вейерштрасса|аппроксимационной теореме Вейерштрасса]], для любой [[непрерывное отображение|непрерывной функции]] на отрезке можно подобрать последовательность полиномов, [[равномерная сходимость|равномерно сходящихся]] к этой функции на отрезке. Пример лишь показывает трудность интерполяции по равноотстоящим узлам полиномом высокой степени.
+А именно, для любой последовательности узлов можно подобрать такую непрерывную функцию,
+что ошибка ее интерполяции по этим конкретным узлам будет неограниченно расти. С другой стороны,
+согласно [[Аппроксимационная теорема Вейерштрасса|аппроксимационной теореме Вейерштрасса]], для любой [[непрерывное отображение|непрерывной функции]] на отрезке можно подобрать последовательность полиномов, [[равномерная сходимость|равномерно сходящихся]] к этой функции на отрезке.
+Это теоретически позволяет подобрать (для этой конкретной функции) последовательность узлов без феномена Рунге.
+Компромиссом можно считать [[узлы Чебышёва]], погрешность интерполяции по ним равномерно убывает для любой [[Абсолютная непрерывность|абсолютно непрерывной]] функции.
-Погрешность интерполяции функции полиномом степени <math>N</math> ограничена <math>N</math>-ой [[производная функции|производной]] функции: у такого полинома может быть <math>N-1</math> точка [[экстремум]]а.
 == Примечания ==
@@ Строка 26: / Строка 30: @@
 [[Категория:Интерполяция]]
-[[de:Polynominterpolation#Runges Phänomen]]

Феномен Рунге: различия между версиями

Текущая версия от 19:23, 28 мая 2024

Примечания

Навигация

Поиск