Каноническое преобразование: различия между версиями

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску
[отпатрулированная версия][непроверенная версия]
Содержимое удалено Содержимое добавлено
Производящие функции: Приведено к стандартным обозначениям
Нет описания правки
 
(не показано 45 промежуточных версий 26 участников)
Строка 1: Строка 1:
В [[Гамильтонова механика|гамильтоновой механике]] '''каноническое преобразование''' — это любое преобразование [[Фазовое пространство|фазового пространства]] системы, сохраняющее его [[Симплектическое многообразие|симплектическую структуру]], то есть '''каноническое преобразование''' — это преобразования канонических переменных и гамильтониана неменяющие общий вид [[Уравнения Гамильтона|уравнений Гамильтона]] для любой гамильтоновой системы. Канонические преобразования могут быть введены и в квантовом случае как неменяющие вид [[Уравнение Гейзенберга|уравнений Гейзенберга]]. Они позволяют свести задачу с определённым гамильтонианом к задаче с более простым гамильтонианом как в классическом, так и в квантовом случае.
В [[Гамильтонова механика|гамильтоновой механике]] '''каноническое преобразование''' (также '''контактное преобразование'''— это преобразование канонических переменных, не меняющее общий вид [[Уравнения Гамильтона|уравнений Гамильтона]] для любого гамильтониана. Канонические преобразования могут быть введены и в квантовом случае как не меняющие вид [[Уравнение Гейзенберга|уравнений Гейзенберга]]. Они позволяют свести задачу с определённым гамильтонианом к задаче с более простым гамильтонианом как в классическом, так и в квантовом случае. Канонические преобразования образуют [[Группа (математика)|группу]].


== Определение ==
== Определение ==

Преобразования
Преобразования


: <math>Q_i = Q_i (q_1, \ldots, q_s, p_1, \ldots, p_s, t),</math>
: <math>Q_i = Q_i (q_1, \ldots, q_s, p_1, \ldots, p_s, t),</math>
: <math>P_i = P_i (q_1, \ldots, q_s, p_1, \ldots, p_s, t),</math>
: <math>P_i = P_i (q_1, \ldots, q_s, p_1, \ldots, p_s, t),</math>
: <math>j = 1, \ldots, s,</math>, где <math>s</math> — число [[Степени_свободы_(механика)|степеней свободы]],
: <math>i = 1, \ldots, s,</math>, где <math>s</math> — число [[Степени свободы (механика)|степеней свободы]],
: <math>\frac{\partial(Q_1, \ldots, Q_s; P_1, \ldots, P_s)}{\partial(q_1, \ldots, q_s; q_1, \ldots, q_s)} \neq 0,</math>
: <math>\frac{\partial(Q_1, \ldots, Q_s; P_1, \ldots, P_s)}{\partial(q_1, \ldots, q_s; p_1, \ldots, p_s)} \neq 0,</math>
называются ''каноническими'', если это преобразование переводит [[Уравнения Гамильтона|уравнения Гамильтона]] с [[функция Гамильтона|функцией Гамильтона]] <math>H</math>:
называются ''каноническими'', если это преобразование переводит [[уравнения Гамильтона]] с [[функция Гамильтона|функцией Гамильтона]] <math>H</math>:
: <math>\dot p_i = -\frac{\partial H}{\partial q_i},</math>
: <math>\dot p_i = -\frac{\partial H}{\partial q_i},</math>
: <math>\dot q_i =~~\frac{\partial H}{\partial p_i},</math>
: <math>\dot q_i =~~\frac{\partial H}{\partial p_i},</math>
в уравнений Гамильтона с функцией Гамилтона <math>\mathcal{H}</math>:
в уравнения Гамильтона с функцией Гамильтона <math>\mathcal{H}</math>:
: <math>\dot P_i = -\frac{\partial \mathcal{H}}{\partial Q_i},</math>
: <math>\dot P_i = -\frac{\partial \mathcal{H}}{\partial Q_i},</math>
: <math>\dot Q_i =~~\frac{\partial \mathcal{H}}{\partial P_i}.</math>
: <math>\dot Q_i =~~\frac{\partial \mathcal{H}}{\partial P_i}.</math>
Переменные <math>Q_i</math> и <math>P_i</math> новыми координатами и импульсами, соответственно, а <math>q_i</math> и <math>p_i</math> — старыми координатами и импульсами.
Переменные <math>Q_i</math> и <math>P_i</math> называются ''новыми'' координатами и импульсами, соответственно, а <math>q_i</math> и <math>p_i</math> ''старыми'' координатами и импульсами.


== Производящие функции ==
== Производящие функции ==
Из инвариантности [[интеграл Пуанкаре — Картана|интеграла Пуанкаре — Картана]] и [[теорема Ли Хуачжуна|теоремы Ли Хуа-чжуна]] о его единственности можно получить:


: <math>\sum\limits_{i=1}^s P_i dQ_i - \mathcal{H}dt - c \left( \sum\limits_{i=1}^s p_i dq_i - H dt \right) = - dF,</math>
Из инвариантности [[интеграл Пуанкаре-Картана|интеграла Пуанкаре-Картана]] и [[теорема Ли Хуа-чжуна|теореме Ли Хуа-чжуна]] можно получить:
где постоянную <math>c \neq 0</math> называют валентностью канонического преобразования, <math>dF</math> — полный дифференциал некоторой функции <math>F(q_1,\ldots,q_s,p_1,\ldots, p_s,t)</math> (предполагается, что <math>P_i</math> и <math>Q_i</math> также выражены через старые переменные). Она называется ''производящей функцией'' канонического преобразования. Канонические преобразования взаимнооднозначно определяются производящей функцией и валентностью.


Канонические преобразования для которых <math>c = 1</math> называется ''унивалентными''. Так как при заданной производящей функции различные <math>c</math> изменяют выражения для новых координат через старые, а также для гамильтониана только на константу, то часто рассматривают только унивалентные канонические преобразования.
: <math>\sum\limits_{i=1}^s P_i dQ_i - \mathcal{H} - c \left( \sum\limits_{i=1}^s p_i dq_i - H dt \right) = - dF,</math>
где постоянную <math>c \neq 0</math> называют валентностью канонического преобразования, <math>dF</math> — полный дифференциал некоторой функции <math>F(q_1,\ldots,q_s,p_1,\ldots, p_s,t)</math> (предполагается, что <math>P_i</math> и <math>Q_i</math> также выражены через старые переменные). Она называется ''производящей функцией'' канонического преобразования.


Производящая функция часто может быть выражена не через старые координаты и импульсы, а через любые две из четырёх переменных <math>p_i, q_i, Q_i, P_i</math>, причём выбор независим для каждого <math>i = 1, \cdots, s</math>. Удобным оказывается выразить её так, чтобы для каждого <math>i</math> одна переменная была новой, а другая старой. Существует лемма, утверждающая, что это можно сделать всегда. Дифференциал функции <math>F</math> имеет явный вид полного дифференциала в том случае, когда она выражена через старые и новые координаты <math>F = F(q,p(q,Q,t),t) = F_1(q,Q,t)</math>. При использовании других пар координат удобно перейти к функциям, дифференциал которых будет иметь явный вид полного дифференциала для соответствующих переменных. Для этого нужно сделать [[Преобразование Лежандра|преобразования Лежандра]] исходной функции <math>F</math>. Полученные функции называют ''производящими функциями'' канонического преобразования в соответствующих координатах. В случае когда выбор координат одинаков для всех <math>i</math> возможны четыре варианта выбора переменных, соответствующие функции принято обозначать номерами:
Канонические преобразования для которых <math>c = 1</math> называется ''унивалентными''.
: <math>F_1(q,Q,t), \; F_2(q,P,t), \; F_3(p,Q,t), \; F_4(p,P,t),</math>

где для простоты введены векторы старых координат и импульсов <math>q = (q_1,\cdots, q_2)</math> <math>p = (p_1,\cdots, p_2)</math>, аналогично и для новых координат и импульсов. О таких производящих функциях говорят как о производящих функциях 1-го, 2-го, 3-го или 4-го типа соответственно.
Производящая функция часто может быть выражена не через старые координаты и импульсы, а через любые две из четырёх переменных <math>p_i, q_i, Q_i, P_i</math>, причём выбор независим для каждого <math>i = 1, \cdots, s</math>.


=== Производящая функция 1-го типа ===
Пусть <math>F_1(q,Q,t)</math> — произвольная невырожденная функция старых координат, новых координат и времени:
Пусть <math>F_1(q,Q,t)</math> — произвольная невырожденная функция старых координат, новых координат и времени:
: <math>\frac{\partial^2 F}{\partial q \, \partial Q} \ne 0</math>
: <math>\det \left( \frac{\partial^2 F_1}{\partial q \, \partial Q}\right) \ne 0,</math>
кроме того, задано некоторое число <math>c \neq 0 </math>, тогда пара <math>(F_1, c)</math> задаёт каноническое преобразование по правилу
: <math>p = \frac{1}{c} \frac{\partial F_1}{\partial q},</math>
: <math>P = - \frac{\partial F_1}{\partial Q},</math>
: <math>\mathcal{H} = c H + \frac{\partial F_1}{\partial t}.</math>


Связь с исходной производящей функцией:
Тогда она задаёт каноническое преобразование по правилу
: <math>p = \frac{\partial F_1}{\partial q}</math>
: <math>F_1(q,Q,t) = F(q,p(q,Q,t),t).</math>
: <math>P = - \frac{\partial F_1}{\partial Q}</math>
: <math>\mathcal{H} = H + \frac{\partial F_1}{\partial t}</math>


Каноническое преобразование может быть получено с помощью такой функции, если не равен нулю [[якобиан]]:
где <math>(q,p)</math> — старые координаты и [[Импульс (механика)|импульсы]] системы, а <math>(Q,P)</math> — новые координаты и импульсы.
: <math>\det \left(\frac{\partial Q}{\partial p} \right) \neq 0.</math>
Канонические преобразования, дополненные этим условием называют ''свободными''.

=== Производящая функция 2-го типа ===
Пусть <math>F_2(q,P,t)</math> — произвольная невырожденная функция старых координат, новых импульсов и времени:
: <math>\det \left(\frac{\partial^2 F_2}{\partial q \, \partial P}\right) \ne 0.</math>
кроме того, задано некоторое число <math>c \neq 0 </math>, тогда пара <math>(F_2, c)</math> задаёт каноническое преобразование по правилу
: <math>p = \frac{1}{c} \frac{\partial F_2}{\partial q},</math>
: <math>Q = \frac{\partial F_2}{\partial P},</math>
: <math>\mathcal{H} = c H + \frac{\partial F_2}{\partial t}.</math>

Связь с исходной производящей функцией:
: <math>F_2(q,P,t) = F(q,p(q,P,t),t) + P Q(q,p(q,P,t),t).</math>

Каноническое преобразование может быть получено с помощью такой функции, если не равен нулю [[якобиан]]:
: <math>\det \left(\frac{\partial P}{\partial p} \right) \neq 0.</math>

=== Производящая функция 3-го типа ===
Пусть <math>F_3(p,Q,t)</math> — произвольная невырожденная функция старых импульсов, новых координат и времени:
: <math>\det \left(\frac{\partial^2 F_3}{\partial p \, \partial Q}\right) \ne 0.</math>
кроме того, задано некоторое число <math>c \neq 0 </math>, тогда пара <math>(F_3, c)</math> задаёт каноническое преобразование по правилу
: <math>q = - \frac{1}{c} \frac{\partial F_3}{\partial p},</math>
: <math>P = -\frac{\partial F_3}{\partial Q},</math>
: <math>\mathcal{H} = c H + \frac{\partial F_3}{\partial t}.</math>

Связь с исходной производящей функцией:
: <math>F_3(p,Q,t) = F(q(p,Q,t),p,t) - c p q(p,Q,t).</math>

Каноническое преобразование может быть получено с помощью такой функции, если не равен нулю [[якобиан]]:
: <math>\det \left(\frac{\partial Q}{\partial q} \right) \neq 0.</math>

=== Производящая функция 4-го типа ===
Пусть <math>F_4(p,P,t)</math> — произвольная невырожденная функция старых импульсов, новых импульсов и времени:
: <math>\det \left(\frac{\partial^2 F_4}{\partial p \, \partial P}\right) \ne 0.</math>
кроме того, задано некоторое число <math>c \neq 0 </math>, тогда пара <math>(F_4, c)</math> задаёт каноническое преобразование по правилу
: <math>q = - \frac{1}{c} \frac{\partial F_4}{\partial p},</math>
: <math>Q = \frac{\partial F_4}{\partial P},</math>
: <math>\mathcal{H} = c H + \frac{\partial F_4}{\partial t}.</math>

Связь с исходной производящей функцией:
: <math>F_4(p,P,t) = F(q(p,P,t),p,t)+ P Q(q(p,P,t),p,t) - c p q(p,P,t).</math>

Каноническое преобразование может быть получено с помощью такой функции, если не равен нулю [[якобиан]]:
: <math>\det \left(\frac{\partial P}{\partial q} \right) \neq 0.</math>

=== Примеры ===
1. Тождественное преобразование
: <math>Q = q,</math>
: <math>P = p,</math>
: <math>\mathcal{H} = H </math>
может быть получено при:
: <math>F_2 = q P, \quad c=1.</math>

2. Если задать
: <math>F_1 = - \beta q Q, \quad c=-\alpha \beta,</math>
то полученное преобразование будет иметь вид:
: <math>Q = \alpha p,</math>
: <math>P = \beta q.</math>
: <math>\mathcal{H} = - \alpha \beta H </math>
Таким образом, разделение канонических переменных на координаты и импульсы с математической точки зрения является условным.

3. Преобразование инверсии
: <math>Q = -q,</math>
: <math>P = -p,</math>
: <math>\mathcal{H} = H </math>
может быть получено при:
: <math>F_2 = -q P, \quad c=1.</math>

4. Точечные преобразования (преобразования при которых новые координаты выражаются только через старые координаты и время, но не старые импульсы.)

Они всегда могут быть заданы с помощью:
: <math>F_2 = \varphi(q,t) P, \quad c=1,</math>
тогда
: <math>Q = \varphi(q,t).</math>

В частности, если
: <math>F_2 = ( A q, P), \quad c=1,</math>
где <math>A,</math> — [[ортогональная матрица]]:
: <math>A^T A = E,</math>
то
: <math>Q = A q,</math>
: <math>P = A^T p.</math>

К точечным преобразования приводит и функция:
: <math>F_3 = \phi(Q,t) p, \quad c=1,</math>
тогда
: <math>q = -\phi(Q,t).</math>

В частности функция
: <math>F_3 = -p_x \rho \cos \varphi - p_y \rho \sin \phi - p_z z, \quad c=1,</math>
задаёт переход от [[Декартовы координаты|декартовых координат]] к [[Цилиндрические координаты|цилиндрическим]].

5. Линейные преобразования переменных <math>(p,q)</math> системы с одной степенью свободы:
: <math> Q = \alpha q + \beta p</math>
: <math> P = \gamma q + \delta p</math>
является унивалентным каноническим преобразованием при
: <math> \alpha \delta - \beta \gamma = 1,</math>
производящая функция:
: <math> F = -\beta \gamma p q - \frac{1}{2} \alpha \gamma q^2 - \frac{1}{2} \beta \delta p^2.</math>
Такие преобразования образуют [[Специальная линейная группа|специальную линейную группу]] <math>SL(2,\mathbb R)</math>.

== Действие как производящая функция ==


[[Действие (механика)|Действие]], выраженное как функция координат и импульсов конечной точки
[[Действие (механика)|Действие]], выраженное как функция координат и импульсов конечной точки
: <math>\mathcal{S} = \int \mathbf{p} d\mathbf{q} - H dt</math>
: <math>\mathcal{S} = \int p dq - H dt</math>


задаёт каноническое преобразование гамильтоновой системы.
задаёт каноническое преобразование гамильтоновой системы.

== Скобки Пуассона и Лагранжа ==
Необходимое и достаточное условие каноничности преобразований может быть записано с помощью [[Скобки Пуассона|скобок Пуассона]]:
: <math>\lbrace P_i (q,p,t), P_k (q,p,t) \rbrace =0,</math>
: <math>\lbrace Q_i (q,p,t), Q_k (q,p,t) \rbrace =0,</math>
: <math>\lbrace Q_i (q,p,t), P_k (q,p,t) \rbrace = c \delta_{ik}.</math>

Кроме того, необходимым и достаточным условием каноничности преобразования является выполнение для произвольных функций <math>f(Q,P,t)</math> и <math>g(Q,P,t)</math> условия:
: <math>\lbrace f, g \rbrace_{p q} = c \lbrace f, g \rbrace_{P Q},</math>
где под <math>\lbrace \cdot, \cdot \rbrace_{p q}</math> и <math>\lbrace \cdot, \cdot \rbrace_{P Q}</math> понимаются скобки Пуассона по старым и новым координатам соответственно.

В случае унивалентных канонических преобразований:
: <math>\lbrace f, g \rbrace_{p q} =\lbrace f, g \rbrace_{P Q}</math>
и говорят, что скобки Пуассона инвариантны относительно таких преобразований. Иногда канонические преобразования так определяют (при этом каноническими преобразованиями считают только унивалентные).

Аналогично, необходимое и достаточное условие каноничности преобразований может быть записано с помощью [[скобки Лагранжа|скобок Лагранжа]]:
: <math>[ p_i, p_k] =0,</math>
: <math>[q_i, q_k ]=0,</math>
: <math>[q_i, p_k]= c \delta_{ik}.</math>


== Литература ==
== Литература ==
Строка 54: Строка 178:
|isbn = 5-354-00341-5
|isbn = 5-354-00341-5
|тираж = 1500
|тираж = 1500
}}<br />[http://lib.mexmat.ru/books/842 Книга в электронной библиотеке мехмата МГУ]
}}<br>[http://lib.mexmat.ru/books/842 Книга в электронной библиотеке мехмата МГУ]
* {{книга
* {{книга
|автор = Ландау Л. Д., Лифшиц E. M.
|автор = Ландау Л. Д., Лифшиц E. M.
Строка 67: Строка 191:
|тираж = 3000
|тираж = 3000
}} [http://lib.mexmat.ru/books/7184 Книга в электронной библиотеке мехмата МГУ]
}} [http://lib.mexmat.ru/books/7184 Книга в электронной библиотеке мехмата МГУ]
* {{книга|автор=[[Гантмахер, Феликс Рувимович|Гантмахер Ф. Р.]]&nbsp;|заглавие=Лекции по аналитической механике. 3-е изд|место=М.|издательство=Физматлит|год=2005|страниц=264|isbn=5-9221-0067-X|ref=Гантмахер}}.
* {{книга|автор=[[Гантмахер, Феликс Рувимович|Гантмахер Ф. Р.]]&nbsp;|заглавие=Лекции по аналитической механике. 3-е изд|ссылка=https://archive.org/details/lektsiipoanaliti0000unse|место=М.|издательство=Физматлит|год=2005|страниц=264|isbn=5-9221-0067-X|ref=Гантмахер}}.
*{{книга|автор=Ольховский И. И.&nbsp;|заглавие=Курс теоретической механики для физиков. 4-е изд|место=Спб.|издательство=Лань|год=2009|страниц=576|isbn=978-5-8114-0857-3|ref=Ольховский}}.
* {{книга|автор=Ольховский И. И.&nbsp;|заглавие=Курс теоретической механики для физиков. 4-е изд|место=Спб.|издательство=Лань|год=2009|страниц=576|isbn=978-5-8114-0857-3|ref=Ольховский}}.

{{mech-stub}}


[[Категория:Теоретическая механика]]
[[Категория:Теоретическая механика]]
[[Категория:Гамильтонова механика]]

Текущая версия от 05:59, 14 июня 2024

В гамильтоновой механике каноническое преобразование (также контактное преобразование) — это преобразование канонических переменных, не меняющее общий вид уравнений Гамильтона для любого гамильтониана. Канонические преобразования могут быть введены и в квантовом случае как не меняющие вид уравнений Гейзенберга. Они позволяют свести задачу с определённым гамильтонианом к задаче с более простым гамильтонианом как в классическом, так и в квантовом случае. Канонические преобразования образуют группу.

Определение

[править | править код]

Преобразования

, где  — число степеней свободы,

называются каноническими, если это преобразование переводит уравнения Гамильтона с функцией Гамильтона :

в уравнения Гамильтона с функцией Гамильтона :

Переменные и называются новыми координатами и импульсами, соответственно, а и  — старыми координатами и импульсами.

Производящие функции

[править | править код]

Из инвариантности интеграла Пуанкаре — Картана и теоремы Ли Хуа-чжуна о его единственности можно получить:

где постоянную называют валентностью канонического преобразования,  — полный дифференциал некоторой функции (предполагается, что и также выражены через старые переменные). Она называется производящей функцией канонического преобразования. Канонические преобразования взаимнооднозначно определяются производящей функцией и валентностью.

Канонические преобразования для которых называется унивалентными. Так как при заданной производящей функции различные изменяют выражения для новых координат через старые, а также для гамильтониана только на константу, то часто рассматривают только унивалентные канонические преобразования.

Производящая функция часто может быть выражена не через старые координаты и импульсы, а через любые две из четырёх переменных , причём выбор независим для каждого . Удобным оказывается выразить её так, чтобы для каждого одна переменная была новой, а другая старой. Существует лемма, утверждающая, что это можно сделать всегда. Дифференциал функции имеет явный вид полного дифференциала в том случае, когда она выражена через старые и новые координаты . При использовании других пар координат удобно перейти к функциям, дифференциал которых будет иметь явный вид полного дифференциала для соответствующих переменных. Для этого нужно сделать преобразования Лежандра исходной функции . Полученные функции называют производящими функциями канонического преобразования в соответствующих координатах. В случае когда выбор координат одинаков для всех возможны четыре варианта выбора переменных, соответствующие функции принято обозначать номерами:

где для простоты введены векторы старых координат и импульсов , аналогично и для новых координат и импульсов. О таких производящих функциях говорят как о производящих функциях 1-го, 2-го, 3-го или 4-го типа соответственно.

Производящая функция 1-го типа

[править | править код]

Пусть  — произвольная невырожденная функция старых координат, новых координат и времени:

кроме того, задано некоторое число , тогда пара задаёт каноническое преобразование по правилу

Связь с исходной производящей функцией:

Каноническое преобразование может быть получено с помощью такой функции, если не равен нулю якобиан:

Канонические преобразования, дополненные этим условием называют свободными.

Производящая функция 2-го типа

[править | править код]

Пусть  — произвольная невырожденная функция старых координат, новых импульсов и времени:

кроме того, задано некоторое число , тогда пара задаёт каноническое преобразование по правилу

Связь с исходной производящей функцией:

Каноническое преобразование может быть получено с помощью такой функции, если не равен нулю якобиан:

Производящая функция 3-го типа

[править | править код]

Пусть  — произвольная невырожденная функция старых импульсов, новых координат и времени:

кроме того, задано некоторое число , тогда пара задаёт каноническое преобразование по правилу

Связь с исходной производящей функцией:

Каноническое преобразование может быть получено с помощью такой функции, если не равен нулю якобиан:

Производящая функция 4-го типа

[править | править код]

Пусть  — произвольная невырожденная функция старых импульсов, новых импульсов и времени:

кроме того, задано некоторое число , тогда пара задаёт каноническое преобразование по правилу

Связь с исходной производящей функцией:

Каноническое преобразование может быть получено с помощью такой функции, если не равен нулю якобиан:

1. Тождественное преобразование

может быть получено при:

2. Если задать

то полученное преобразование будет иметь вид:

Таким образом, разделение канонических переменных на координаты и импульсы с математической точки зрения является условным.

3. Преобразование инверсии

может быть получено при:

4. Точечные преобразования (преобразования при которых новые координаты выражаются только через старые координаты и время, но не старые импульсы.)

Они всегда могут быть заданы с помощью:

тогда

В частности, если

где  — ортогональная матрица:

то

К точечным преобразования приводит и функция:

тогда

В частности функция

задаёт переход от декартовых координат к цилиндрическим.

5. Линейные преобразования переменных системы с одной степенью свободы:

является унивалентным каноническим преобразованием при

производящая функция:

Такие преобразования образуют специальную линейную группу .

Действие как производящая функция

[править | править код]

Действие, выраженное как функция координат и импульсов конечной точки

задаёт каноническое преобразование гамильтоновой системы.

Скобки Пуассона и Лагранжа

[править | править код]

Необходимое и достаточное условие каноничности преобразований может быть записано с помощью скобок Пуассона:

Кроме того, необходимым и достаточным условием каноничности преобразования является выполнение для произвольных функций и условия:

где под и понимаются скобки Пуассона по старым и новым координатам соответственно.

В случае унивалентных канонических преобразований:

и говорят, что скобки Пуассона инвариантны относительно таких преобразований. Иногда канонические преобразования так определяют (при этом каноническими преобразованиями считают только унивалентные).

Аналогично, необходимое и достаточное условие каноничности преобразований может быть записано с помощью скобок Лагранжа:

Литература

[править | править код]
  • Арнольд В. И. Математические методы классической механики. — 5-е изд., стереотипное. — М.: Едиториал УРСС, 2003. — 416 с. — 1500 экз. — ISBN 5-354-00341-5.
    Книга в электронной библиотеке мехмата МГУ
  • Ландау Л. Д., Лифшиц E. M. §46. Канонические преобразования. Глава VII. Канонические уравнения. // Механика. — 5-е изд., стереотипное. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. — 224 с. — 3000 экз. — ISBN 5-9221-0055-6. Книга в электронной библиотеке мехмата МГУ
  • Гантмахер Ф. Р.  Лекции по аналитической механике. 3-е изд. — М.: Физматлит, 2005. — 264 с. — ISBN 5-9221-0067-X..
  • Ольховский И. И.  Курс теоретической механики для физиков. 4-е изд. — СПб.: Лань, 2009. — 576 с. — ISBN 978-5-8114-0857-3..