Кристаллографическая группа: различия между версиями

[отпатрулированная версия]

Содержимое удалено Содержимое добавлено

Линейный

Текущая версия от 14:38, 1 июля 2024

Кристаллографическая группа (фёдоровская группа) — дискретная группа движений $n$ -мерного евклидова пространства, имеющая ограниченную фундаментальную область.

Теорема Бибербаха

Две кристаллографические группы считаются эквивалентными, если они сопряжены в группе аффинных преобразований евклидова пространства.

Теоремы Бибербаха

Всякая $n$ -мерная кристаллографическая группа $\Gamma$ содержит $n$ линейно независимых параллельных переносов; группа $G$ линейных частей преобразований (то есть образ $\Gamma$ в $GL_{n}$ ) конечна.
Две кристаллографические группы эквивалентны тогда и только тогда, когда они изоморфны как абстрактные группы.
При любом $n$ имеется лишь конечное число $n$ -мерных кристаллографических групп, рассматриваемых с точностью до эквивалентности (что является решением 18-й проблемы Гильберта).

Теорема позволяет дать следующее описание строения кристаллографических групп как абстрактных групп: Пусть $L$ — совокупность всех параллельных переносов, принадлежащих кристаллографической группе $\Gamma$ . Тогда $L$ — нормальная подгруппа конечного индекса, изоморфная $\mathbb {Z} ^{n}$ и совпадающая со своим централизатором в $\Gamma$ . Наличие такой нормальной подгруппы в абстрактной группе $\Gamma$ является и достаточным условием того, чтобы группа $\Gamma$ была изоморфна кристаллографической группе.

Группа $G$ линейных частей кристаллографической группы $\Gamma$ сохраняет решётку $L$ ; иными словами, в базисе решетки $L$ преобразования из $G$ записываются целочисленными матрицами.

Число групп

Число кристаллографических групп $n$ -мерного пространства с сохранением ориентации или без даётся последовательностями A004029 и A006227. С точностью до эквивалентности имеется

17 плоских кристаллографических групп^[1]
219 пространственных кристаллографических групп;
- если же рассматривать пространственные группы с точностью до сопряжённости при помощи аффинных преобразований, сохраняющих ориентацию, то их будет 230.
В размерности 4 существует 4894 кристаллографических групп с сохранением ориентации, или 4783 без сохранения ориентации^[2]^[3].

Возможные симметрии

Точечные элементы

Элементы симметрии конечных фигур, которые оставляют неподвижной хотя бы одну точку.

Поворотные оси симметрии, зеркальная плоскость симметрии, центр инверсии (центр симметрии) и несобственные вращения — инверсионные оси и зеркально-поворотные оси. Несобственные вращения определяются как последовательное выполнение поворота и инверсии (или отражения в перпендикулярной плоскости). Любую зеркально-поворотную ось можно заменить инверсионной осью и наоборот. При описании пространственных групп предпочтение обычно отдаётся инверсионным осям (в то время как в символике Шёнфлиса используются зеркально-поворотные оси). В 2-мерных и 3-мерных кристаллографических группах могут присутствовать только повороты вокруг осей симметрии на углы 180° (ось симметрии 2-го порядка), 120° (3-го порядка), 90° (4-го порядка) и 60° (6-го порядка). Оси симметрии в символике Браве обозначаются буквой L с нижним цифровым индексом n, соответствующим порядку оси ( $L_{n}$ ), в международной символике (символике Германа — Могена), арабскими цифрами, указывающими на порядок оси (например, $L_{2}$ = 2, $L_{3}$ = 3 и $L_{4}$ = 4). Инверсионные оси в символике Браве обозначаются буквой Ł с нижним цифровым индексом n, соответствующим порядку поворотной оси (Ł_n), в международной символике — цифровым индексом с чёрточкой сверху n (например, Ł₃ = 3, Ł₄ = 4, Ł₆ = 6). Подробнее о несобственных вращениях и их обозначениях написано здесь. Оси симметрии L₃, L₄, L₆ называются осями симметрии высшего порядка^[4]. Зеркальная плоскость симметрии обозначается P по Браве и m в международной символике. Центр инверсии обозначается C по Браве и 1 в международной символике.

Все возможные комбинации точечных элементов симметрии приводят к 10 точеным группам симметрии в 2-мерном пространстве и 32 точечным группам в 3-мерном пространстве.

В 4-мерном пространстве появляется новый тип элементов симметрии — двойные вращения в двух абсолютно перпендикулярных плоскостях. За счёт этого увеличивается количество элементов симметрии, совместимых с трансляционной симметрией. Для пространств размерности 4 и 5 в кристалле возможны точечные элементы симметрии с порядками 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10 и 12. Более того, поскольку вращения в каждой из абсолютно перпендикулярных плоскостей могут производиться в разные стороны, появляются энантиоморфные пары точечных элементов симметрии (например, двойное вращение четвёртого порядка, где комбинируются повороты на 90° в первой плоскости и на 90° во второй плоскости энантиоморфно двойному вращению четвёртого порядка, где комбинируются повороты на 90° в первой плоскости и на −90° во второй). Все возможные комбинации точечных элементов симметрии в 4-мерном пространстве приводят к 227 4-мерным точечным группам, из которых 44 являются энантиоморфными (то есть всего получается 271 точечная группа симметрии).

В 6-мерном и 7-мерном пространствах в кристалле возможны точечные элементы симметрии с порядками 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 18, 20, 24 и 30^[5]. См. также en:Crystallographic restriction theorem.

Трансляции

В кристаллографических группах всегда присутствуют трансляции — параллельные переносы, при сдвиге на которые кристаллическая структура совместится сама с собой. Трансляционная симметрия кристалла характеризуется решёткой Браве. В 3-мерном случае всего возможно 14 типов решёток Браве. В размерностях 4, 5 и 6 число типов решёток Браве равно 64, 189 и 841, соответственно ^[6]. С точки зрения теории групп, группа трансляций является нормальной абелевой подгруппой пространственной группы, а пространственная группа является расширением своей подгруппы трансляций. Факторгруппой пространственной группы по подгруппе трансляций является одна из точечных групп.

Сложные операции симметрии

Повороты вокруг осей с одновременным переносом на некоторый вектор в направлении этой оси (винтовая ось) и отражение относительно плоскости с одновременным сдвигом на некоторый вектор, параллельный этой плоскости (плоскость скользящего отражения). В международной символике винтовые оси обозначаются цифрой соответствующей поворотной оси с индексом, характеризующим величину переноса вдоль оси при одновременном повороте. Возможные винтовые оси в 3-мерном случае: 2₁ (поворот на 180° и сдвиг на 1/2 трансляции), 3₁ (поворот на 120° и сдвиг на 1/3 трансляции), 3₂ (поворот на 120° и сдвиг на 2/3 трансляции), 4₁ (поворот на 90° и сдвиг на 1/4 трансляции), 4₂ (поворот на 90° и сдвиг на 1/2 трансляции), 4₃ (поворот на 90° и сдвиг на 3/4 трансляции), 6₁, 6₂, 6₃, 6₄, 6₅ (поворот на 60° и сдвиг на 1/6, 2/6, 3/6, 4/6, и 5/6 трансляции, соответственно). Оси 3₂, 4₃, 6₄, и 6₅ энантиоморфны осям 3₁, 4₁, 6₂, и 6₁, соответственно. Именно за счёт этих осей существует 11 энантиоморфных пар пространственных групп - в каждой паре одна группа является зеркальным отображением другой.

Плоскости скользящего отражения обозначаются в зависимости от направления скольжения по отношению к осям кристаллической ячейки. Если скольжение происходит вдоль одной из осей, то плоскость обозначается соответствующей латинской буквой a, b или c. В этом случае величина скольжения всегда равна половине трансляции. Если скольжение направлено по диагонали грани или пространственной диагонали ячейки, то плоскость обозначается буквой n в случае скольжения равного половине диагонали, или d в случае скольжения равного четверти диагонали (такое возможно только если диагональ центрирована). Плоскости n и d также называются клиноплоскостями. d плоскости иногда называют алмазными плоскостями, поскольку они присутствуют в структуре алмаза (англ. diamond - алмаз).

В некоторых пространственных группах присутствуют плоскости, где скольжение происходит как вдоль одной оси, так и вдоль второй оси ячейки (то есть плоскость является одновременно a и b или a и c или b и c). Это происходит за счёт центрировки грани, параллельной плоскости скольжения. В 1992 году для таких плоскостей был введён символ e^[7]. Николай Васильевич Белов предлагал также ввести обозначение r для плоскостей со скольжением вдоль пространственной диагонали в ромбоэдрической ячейке. Однако r плоскости всегда совпадают с обычными зеркальными плоскостями, и термин не прижился.

Обозначения

Нумерация

Кристаллографические (пространственные) группы со всеми присущими им элементами симметрии сведены в международном справочнике «Международные кристаллографические таблицы» (англ. International Tables for Crystallography), выпускаемых Международным союзом кристаллографии. Принято использование нумерации, приведённой в данном справочнике. Группы нумеруются с 1 по 230 в порядке увеличения симметрии.

Символика Германа — Могена

Символ пространственной группы содержит символ решётки Браве (заглавную букву P, A, B, C, I, R или F) и международный символ точечной группы. Символ решётки Браве обозначает наличие дополнительных узлов трансляции внутри элементарной ячейки: P (primitive) — примитивная ячейка; A, B, C (A-centered, B-centered, C-centered) — дополнительный узел в центре грани A, B или C соответственно; I (I-centered) — объёмноцентрированная (дополнительный узел в центре ячейки), R (R-centered) — дважды объёмноцентрированная (два дополнительных узла на большой диагонали элементарной ячейки), F (F-centered) — гранецентрированная (дополнительные узлы в центрах всех граней).

Международный символ точечной группы в общем случае формируется из трёх символов, обозначающих элементы симметрии, отвечающие трём основным направлениям в кристаллической ячейке. Под элементом симметрии, отвечающим направлению, понимается либо ось симметрии, проходящая по этому направлению, либо перпендикулярная ему плоскость симметрии, либо и то, и другое (в этом случае они записываются через дробь, например, 2/c — ось симметрии 2-го порядка и перпендикулярная ей плоскость скользящего отражения со сдвигом в направлении c). Под основными направлениями понимают:

направления базисных векторов ячейки в случае триклинной, моноклинной и ромбической сингонии;
направление оси 4-го порядка, направление одного из базисных векторов в основании элементарной ячейки и направление по диагонали основания ячейки в случае тетрагональной сингонии;
направление оси 3-го порядка или 6-го порядка, направление одного из базисных векторов в основании элементарной ячейки и направление вектора по диагонали элементарной ячейки под углом 60° к предыдущему в случае гексагональной сингонии (сюда же включается тригональная сингония, которая в этом случае приводится к гексагональной ориентации элементарной ячейки);
направление одного из базисных векторов, направление по пространственной диагонали элементарной ячейки и направление по биссектрисе угла между базисными векторами.

Символы Германа — Могена обычно сокращают, удаляя обозначения отсутствующих элементов симметрии по отдельным направлениям, когда это не создаёт неоднозначности, например, записывают P4 вместо P411. Также при отсутствии неоднозначности опускают обозначения осей второго порядка, которым перпендикулярны плоскости симметрии, например, заменяют C ${\tfrac {2}{m}}{\tfrac {2}{m}}{\tfrac {2}{m}}$ на $Cmmm$ .

Символ Шёнфлиса

Символ Шёнфлиса задаёт класс симметрии (основной символ и нижний индекс) и условный номер группы в пределах этого класса (верхний индекс).

С_n — циклические группы — группы с единственным особым направлением, представленным поворотной осью симметрии, — обозначаются буквой С, с нижним цифровым индексом n, соответствующим порядку этой оси.

С_ni — группы с единственной инверсионной осью симметрии сопровождаются нижним индексом i.
C_nv (от нем. vertical — вертикальный) — также имеет плоскость симметрии, расположенную вдоль единственной или главной оси симметрии, которая всегда мыслится вертикальной.
C_nh (от нем. horizontal — горизонтальный) — также имеет плоскость симметрии, перпендикулярную к главной оси симметрии.

S₂, S₄, S₆ (от нем. spiegel — зеркало) — группы с единственной зеркальной осью симметрии.

C_s — для плоскости неопределённой ориентации, то есть не фиксированной ввиду отсутствия в группе иных элементов симметрии.

D_n — является группой С_n с добавочными n осями симметрии второго порядка, перпендикулярными исходной оси.

D_nh — также имеет горизонтальную плоскость симметрии.
D_nd (от нем. diagonal — диагональный) — также имеет вертикальные диагональные плоскости симметрии, которые идут между осями симметрии второго порядка.

O, T — группы симметрии с несколькими осями высшего порядка — группы кубической сингонии. Обозначаются буквой О в случае, если они содержат полный набор осей симметрии октаэдра, или буквой Т, если они содержат полный набор осей симметрии тетраэдра.

O_h и T_h — также содержат горизонтальную плоскость симметрии
T_d — также содержит диагональную плоскость симметрии

n может равняться 1, 2, 3, 4, 6.

История

Происхождение теории кристаллографических групп связано с изучением симметрии орнаментов ( $n=2$ ) и кристаллических структур ( $n=3$ ). Классификация всех плоских (двумерных) и пространственных (трёхмерных) кристаллографических групп была получена независимо Фёдоровым (1885), Шёнфлисом (1891) и Барлоу (1894). Основные результаты для многомерных кристаллографических групп были получены Бибербахом^[8].

См. также

Примечания

↑ Wallpaper Groups - from Wolfram MathWorld (англ.). Дата обращения: 1 июля 2024. Архивировано 2 июня 2013 года.
↑ H. Brown, R. Bülow, J. Neubüser, H. Wondratschek and H. Zassenhaus, Crystallographic Groups of Four-Dimensional Space. Wiley, NY, 1978, p. 52.
↑ J. Neubüser, B. Souvignier and H. Wondratschek, Corrections to Crystallographic Groups of Four-Dimensional Space by Brown et al. (1978) [New York: Wiley and Sons], Acta Cryst (2002) A58, 301. http://journals.iucr.org/a/issues/2002/03/00/au0290/index.html Архивная копия от 18 января 2012 на Wayback Machine
↑ Ю. К. Егоров-Тисменко, Г. П. Литвинская, Ю. Г. Загальская, Кристаллография, изд. МГУ, 1992, стр 22.
↑ T. Janssen, J. L. Birman, V. A. Koptsik, M. Senechal, D. Weigel, A. Yamamoto, S. C. Abrahams and T. Hahn, Acta Cryst. (1999). A55, 761-782
↑ Opgenorth, J; Plesken, W; Schulz, T (1998), "Crystallographic Algorithms and Tables", Acta Cryst. A 54(5): 517-531
↑ P. M. de Wolff, Y. Billiet, J. D. H. Donnay, W. Fischer, R. B. Galiulin, A. M. Glazer, Th. Hahn, M. Senechal, D. P. Shoemaker, H. Wondratschek, A. J. C. Wilson, & S. C. Abrahams, 1992, Acta Cryst., A48, 727-732.
↑ Bieberbach L. Über die Bewegungsgruppen der Euklidischen Raume I.—Math. Ann., 1911, 70, S. 297—336; 1912, 72, S. 400—412.

Литература

Дж. Вольф, Пространства постоянной кривизны. Перевод с английского. Москва: «Наука», Главная редакция физико-математической литературы, 1982.
Ю.К. Егоров-Тисменко, Г.П. Литвинская, Теория симметрии кристаллов, М. ГЕОС, 2000 (доступно on-line http://geo.web.ru/db/msg.html?mid=1163834)
Кристаллографическая группа // Математическая энциклопедия : [в 5 т.] / Гл. ред. И. М. Виноградов. — М.: Советская энциклопедия, 1982. — Т. 3: Коо — Од. — С. 106-108. — 1184 стб. : ил. — 150 000 экз.
Ковалев О.В. Неприводимые и индуцированные представления и копредставления федоровских групп (рус.). — М.: Наука, 1986. — 368 с.

Ссылки

Пространственная группа — статья из Большой советской энциклопедии.

[1] Wallpaper Groups - from Wolfram MathWorld (англ.). Дата обращения: 1 июля 2024. Архивировано 2 июня 2013 года.

[2] H. Brown, R. Bülow, J. Neubüser, H. Wondratschek and H. Zassenhaus, Crystallographic Groups of Four-Dimensional Space. Wiley, NY, 1978, p. 52.

[3] J. Neubüser, B. Souvignier and H. Wondratschek, Corrections to Crystallographic Groups of Four-Dimensional Space by Brown et al. (1978) [New York: Wiley and Sons], Acta Cryst (2002) A58, 301. http://journals.iucr.org/a/issues/2002/03/00/au0290/index.html Архивная копия от 18 января 2012 на Wayback Machine

[4] Ю. К. Егоров-Тисменко, Г. П. Литвинская, Ю. Г. Загальская, Кристаллография, изд. МГУ, 1992, стр 22.

[5] T. Janssen, J. L. Birman, V. A. Koptsik, M. Senechal, D. Weigel, A. Yamamoto, S. C. Abrahams and T. Hahn, Acta Cryst. (1999). A55, 761-782

[6] Opgenorth, J; Plesken, W; Schulz, T (1998), "Crystallographic Algorithms and Tables", Acta Cryst. A 54(5): 517-531

[7] P. M. de Wolff, Y. Billiet, J. D. H. Donnay, W. Fischer, R. B. Galiulin, A. M. Glazer, Th. Hahn, M. Senechal, D. P. Shoemaker, H. Wondratschek, A. J. C. Wilson, & S. C. Abrahams, 1992, Acta Cryst., A48, 727-732.

[8] Bieberbach L. Über die Bewegungsgruppen der Euklidischen Raume I.—Math. Ann., 1911, 70, S. 297—336; 1912, 72, S. 400—412.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

@@ Строка 1: / Строка 1: @@
-'''Кристаллографическая группа''' — [[действие группы|дискретная]] [[группа (математика)|группа]] [[Изометрия (математика)|движений]] <math>n</math>-[[Размерность пространства|мерного]] [[евклидово пространство|евклидова пространства]], имеющая ограниченную [[фундаментальная область|фундаментальную область]].
+'''Кристаллографическая группа''' (фёдоровская группа) — [[действие группы|дискретная]] [[группа (математика)|группа]] [[Изометрия (математика)|движений]] <math>n</math>-[[Размерность пространства|мерного]] [[евклидово пространство|евклидова пространства]], имеющая ограниченную [[фундаментальная область|фундаментальную область]].
 == Теорема Бибербаха ==
 Две кристаллографические группы считаются эквивалентными,
 если они сопряжены в группе [[аффинное преобразование|аффинных преобразований]] евклидова пространства.
@@ Строка 18: / Строка 17: @@
 Группа <math>G</math> линейных частей кристаллографической группы <math>\Gamma</math> сохраняет решётку <math>L</math>; иными словами, в базисе решетки <math>L</math> преобразования из <math>G</math> записываются целочисленными матрицами.
-===Число групп===
+=== Число групп ===
 Число кристаллографических групп <math>n</math>-мерного пространства с сохранением ориентации или без даётся последовательностями [[OEIS:A004029|A004029]] и [[OEIS:A006227|A006227]].
 С точностью до эквивалентности имеется
+* 17 [[плоская кристаллографическая группа|плоских кристаллографических групп]]<ref>{{Cite web|url=https://mathworld.wolfram.com/WallpaperGroups.html|title=Wallpaper Groups - from Wolfram MathWorld|lang=en|access-date=2024-07-01|url-status=live|archive-date=2013-06-02|archive-url=https://web.archive.org/web/20130602153201/https://mathworld.wolfram.com/WallpaperGroups.html}}</ref>
-*17 плоских кристаллографических групп
-*219 пространственных кристаллографических групп;
+* 219 пространственных кристаллографических групп;
-**если же рассматривать пространственные группы с точностью до сопряжённости при помощи аффинных преобразований, сохраняющих [[ориентация|ориентацию]], то их будет 230.
+** если же рассматривать пространственные группы с точностью до сопряжённости при помощи аффинных преобразований, сохраняющих [[ориентация|ориентацию]], то их будет 230.
-*В размерности 4 существует 4894 кристаллографических групп с сохранением ориентации, или 4783 без сохранения ориентации<ref> H. Brown, R. Bülow, J. Neubüser, H. Wondratschek and H. Zassenhaus, Crystallographic Groups of Four-Dimensional Space. Wiley, NY, 1978, p. 52. </ref><ref> J. Neubüser, B. Souvignier and H. Wondratschek, Corrections to Crystallographic Groups of Four-Dimensional Space by Brown et al. (1978) [New York: Wiley and Sons], Acta Cryst (2002) A58, 301.  http://journals.iucr.org/a/issues/2002/03/00/au0290/index.html</ref>.
+* В размерности 4 существует 4894 кристаллографических групп с сохранением ориентации, или 4783 без сохранения ориентации<ref> H. Brown, R. Bülow, J. Neubüser, H. Wondratschek and H. Zassenhaus, Crystallographic Groups of Four-Dimensional Space. Wiley, NY, 1978, p. 52. </ref><ref>J. Neubüser, B. Souvignier and H. Wondratschek, Corrections to Crystallographic Groups of Four-Dimensional Space by Brown et al. (1978) [New York: Wiley and Sons], Acta Cryst (2002) A58, 301. http://journals.iucr.org/a/issues/2002/03/00/au0290/index.html {{Wayback|url=http://journals.iucr.org/a/issues/2002/03/00/au0290/index.html |date=20120118130940 }}</ref>.
 == Возможные симметрии ==
 === Точечные элементы ===
 Элементы симметрии конечных фигур, которые оставляют неподвижной хотя бы одну точку.
-Поворотные оси симметрии, зеркальная плоскость симметрии, центр инверсии (центр симметрии) и несобственные вращения - инверсионные оси и зеркально-поворотные оси. Несобственные вращения определяются как последовательное выполнение поворота и инверсии (или отражения в перепендикулярной плоскости). Любую зеркально-поворотную ось можно заменить инверсионной осью и наоборот. При описании пространственных групп предпочтение обычно отдаётся инверсионным осям (в то время как в символике Шёнфлиса используются зеркально-поворотные оси).
+Поворотные оси симметрии, зеркальная плоскость симметрии, центр инверсии (центр симметрии) и несобственные вращения — инверсионные оси и зеркально-поворотные оси. Несобственные вращения определяются как последовательное выполнение поворота и инверсии (или отражения в перпендикулярной плоскости). Любую зеркально-поворотную ось можно заменить инверсионной осью и наоборот. При описании пространственных групп предпочтение обычно отдаётся инверсионным осям (в то время как в символике Шёнфлиса используются зеркально-поворотные оси).
-В 2-мерных и 3-мерных кристаллографических группах могут присутствовать только повороты вокруг [[осевая симметрия|осей симметрии]] на углы 180° (ось симметрии 2-го порядка), 120° (3-го порядка), 90° (4-го порядка) и 60° (6-го порядка). Оси симметрии в символике Браве обозначаются буквой ''L'' с нижним цифровым индексом ''n'', соответствующим порядку оси (<math>L_n</math>), в международной символике (символике Германа - Могена), арабскими цифрами, указывающими на порядок оси (например, <math>L_2</math> = 2, <math>L_3</math> = 3 и <math>L_4</math> = 4). Инверсионные оси в символике Браве обозначаются буквой ''Ł'' с нижним цифровым индексом ''n'', соответствующим порядку поворотной оси (''Ł<sub>n</sub>''), в международной символике - цифровым индесом с чёрточкой сверху {{overline|n}} (например, ''Ł<sub>3</sub>'' = {{overline|3}}, ''Ł<sub>4</sub>'' = {{overline|4}}, ''Ł<sub>6</sub>'' = {{overline|6}}). Подробнее о несобственных вращениях и их обозначениях написано [http://students.web.ru/db/msg.html?mid=1163834&uri=01-2-2.htm здесь]. Оси симметрии ''L<sub>3</sub>'', ''L<sub>4</sub>'', ''L<sub>6</sub>'' называются осями симметрии высшего порядка.<ref> Ю.К. Егоров-Тисменко, Г.П. Литвинская, Ю.Г. Загальская, Кристаллография, изд. МГУ, 1992, стр 22.</ref> Зеркальная плоскость симметрии обозначается ''P'' по Браве и ''m'' в международной символике. Центр инверсии обозначается ''C'' по Браве и {{overline|1}} в международной символике.
+В 2-мерных и 3-мерных кристаллографических группах могут присутствовать только повороты вокруг [[осевая симметрия|осей симметрии]] на углы 180° (ось симметрии 2-го порядка), 120° (3-го порядка), 90° (4-го порядка) и 60° (6-го порядка). Оси симметрии в символике Браве обозначаются буквой ''L'' с нижним цифровым индексом ''n'', соответствующим порядку оси (<math>L_n</math>), в международной символике (символике Германа — Могена), арабскими цифрами, указывающими на порядок оси (например, <math>L_2</math> = 2, <math>L_3</math> = 3 и <math>L_4</math> = 4). Инверсионные оси в символике Браве обозначаются буквой ''Ł'' с нижним цифровым индексом ''n'', соответствующим порядку поворотной оси (''Ł<sub>n</sub>''), в международной символике — цифровым индексом с чёрточкой сверху {{overline|n}} (например, ''Ł<sub>3</sub>'' = {{overline|3}}, ''Ł<sub>4</sub>'' = {{overline|4}}, ''Ł<sub>6</sub>'' = {{overline|6}}). Подробнее о несобственных вращениях и их обозначениях написано [http://students.web.ru/db/msg.html?mid=1163834&uri=01-2-2.htm здесь]. Оси симметрии ''L<sub>3</sub>'', ''L<sub>4</sub>'', ''L<sub>6</sub>'' называются осями симметрии высшего порядка<ref> Ю. К. Егоров-Тисменко, Г. П. Литвинская, Ю. Г. Загальская, Кристаллография, изд. МГУ, 1992, стр 22.</ref>. Зеркальная плоскость симметрии обозначается ''P'' по Браве и ''m'' в международной символике. Центр инверсии обозначается ''C'' по Браве и {{overline|1}} в международной символике.
 Все возможные комбинации точечных элементов симметрии приводят к 10 точеным группам симметрии в 2-мерном пространстве и [[Кристаллографическая точечная группа симметрии|32 точечным группам]] в 3-мерном пространстве.
-В 4-мерном пространстве появляется новый тип элементов симметрии - двойные вращения в двух [[Перпендикулярность#Перпендикулярность плоскостей в 4-мерном пространстве|абсолютно перпендикулярных плоскостях]]. За счёт этого увеличивается количество элементов симметрии, совместимых с трансляционной симметрией. Для пространств размерности 4 и 5 в кристалле возможны точечные элементы симметрии с порядками 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10 и 12. Более того, поскольку вращения в каждой из абсолютно перпендикулярных плоскостей могут производиться в разные стороны, появляются энантиоморфные пары точечных элементов симметрии (например, двойное вращение четвёртого порядка, где комбинируются повороты на 90° в первой плоскости и на 90° во второй плоскости энантиоморфно двойному вращению четвёртого порядка, где комбинируются повороты на 90° в первой плоскости и на -90° во второй). Все возможные комбинации точечных элементов симметрии в 4-мерном пространстве приводят к 227 4-мерным точечным группам, из которых 44 являются энантиоморфными (то есть всего получается 271 точечная группа симметрии).
+В 4-мерном пространстве появляется новый тип элементов симметрии — двойные вращения в двух [[Перпендикулярность#Перпендикулярность плоскостей в 4-мерном пространстве|абсолютно перпендикулярных плоскостях]]. За счёт этого увеличивается количество элементов симметрии, совместимых с трансляционной симметрией. Для пространств размерности 4 и 5 в кристалле возможны точечные элементы симметрии с порядками 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10 и 12. Более того, поскольку вращения в каждой из абсолютно перпендикулярных плоскостей могут производиться в разные стороны, появляются энантиоморфные пары точечных элементов симметрии (например, двойное вращение четвёртого порядка, где комбинируются повороты на 90° в первой плоскости и на 90° во второй плоскости энантиоморфно двойному вращению четвёртого порядка, где комбинируются повороты на 90° в первой плоскости и на −90° во второй). Все возможные комбинации точечных элементов симметрии в 4-мерном пространстве приводят к 227 4-мерным точечным группам, из которых 44 являются энантиоморфными (то есть всего получается 271 точечная группа симметрии).
-В 6-мерном и 7-мерном пространствах в кристалле возможны точечные элементы симметрии с порядками 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 18, 20, 24 и 30. <ref>T. Janssen, J. L. Birman, V. A. Koptsik, M. Senechal, D. Weigel, A. Yamamoto, S. C. Abrahams and T. Hahn, Acta Cryst. (1999). A55, 761-782</ref>  См. также [[:en:Crystallographic restriction theorem]]
+В 6-мерном и 7-мерном пространствах в кристалле возможны точечные элементы симметрии с порядками 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 18, 20, 24 и 30<ref>T. Janssen, J. L. Birman, V. A. Koptsik, M. Senechal, D. Weigel, A. Yamamoto, S. C. Abrahams and T. Hahn, Acta Cryst. (1999). A55, 761-782</ref>. См. также [[:en:Crystallographic restriction theorem]].
 === Трансляции ===
-В кристаллографических группах всегда присутствуют трансляции - [[параллельный перенос|параллельные переносы]], при сдвиге на которые кристаллическая структура совместится сама с собой. Трансляционная симметрия кристалла характеризуется [[Решётка Браве|решёткой Браве]]. В 3-мерном случае всего возможно 14 типов решёток Браве. В размерностях 4, 5 и 6 число типов решёток Браве равно 64, 189 и 841, соответственно <ref>Opgenorth, J; Plesken, W; Schulz, T (1998), "Crystallographic Algorithms and Tables", Acta Cryst. A 54(5): 517-531</ref>. С точки зрения теории групп, группа трансляций является [[Нормальная подгруппа|нормальной]] [[Абелева группа|абелевой]] подгруппой пространственной группы, а пространственная группа является [[:en:Group extension|расширенем]] своей подруппы трансляций. [[Факторгруппа|Факторгруппой]] пространственной группы по подгруппе трансляций является одна из точечных групп.
+В кристаллографических группах всегда присутствуют трансляции — [[параллельный перенос|параллельные переносы]], при сдвиге на которые кристаллическая структура совместится сама с собой. [[Трансляционная симметрия]] кристалла характеризуется [[Решётка Браве|решёткой Браве]]. В 3-мерном случае всего возможно 14 типов решёток Браве. В размерностях 4, 5 и 6 число типов решёток Браве равно 64, 189 и 841, соответственно <ref>Opgenorth, J; Plesken, W; Schulz, T (1998), "Crystallographic Algorithms and Tables", Acta Cryst. A 54(5): 517-531</ref>. С точки зрения теории групп, группа трансляций является [[Нормальная подгруппа|нормальной]] [[Абелева группа|абелевой]] подгруппой пространственной группы, а пространственная группа является [[:en:Group extension|расширением]] своей подгруппы трансляций. [[Факторгруппа|Факторгруппой]] пространственной группы по подгруппе трансляций является одна из точечных групп.
 === Сложные операции симметрии ===
-Повороты вокруг осей с одновременным переносом на некоторый вектор в направлении этой оси (винтовая ось) и отражение относительно плоскости с одновременным сдвигом на некоторый вектор, параллельный этой плоскости (плоскость скользящего отражения). В международной символике винтовые оси обозначаются цифрой соответствующей поворотной оси с индексом, характеризующим величину переноса вдоль оси при одновременном повороте. Возможные винтовые оси в 3-мерном случае: 2<sub>1</sub> (поворот на 180° и сдвиг на 1/2 трансляции), 3<sub>1</sub> (поворот на 120° и сдвиг на 1/3 трансляции), 3<sub>2</sub> (поворот на 120° и сдвиг на 2/3 трансляции), 4<sub>1</sub> (поворот на 90° и сдвиг на 1/4 трансляции), 4<sub>2</sub> (поворот на 90° и сдвиг на 1/2 трансляции), 4<sub>3</sub> (поворот на 90° и сдвиг на 3/4 трансляции), 6<sub>1</sub>, 6<sub>2</sub>, 6<sub>3</sub>, 6<sub>4</sub>, 6<sub>5</sub> (поворот на 60° и сдвиг на 1/6, 2/6, 3/6, 4/6, и 5/6 трансляции, соответственно). Оси 3<sub>2</sub>, 4<sub>3</sub>, 6<sub>4</sub>, and 6<sub>5</sub> энантиоморфны осям 3<sub>1</sub>, 4<sub>1</sub>, 6<sub>2</sub>, и 6<sub>1</sub>, соответственно. Именно за счёт этих осей существует 11 энантиоморфных пар пространственных групп - в каждой паре одна группа является зеркальным отображением другой.
+Повороты вокруг осей с одновременным переносом на некоторый вектор в направлении этой оси (винтовая ось) и отражение относительно плоскости с одновременным сдвигом на некоторый вектор, параллельный этой плоскости (плоскость скользящего отражения). В международной символике винтовые оси обозначаются цифрой соответствующей поворотной оси с индексом, характеризующим величину переноса вдоль оси при одновременном повороте. Возможные винтовые оси в 3-мерном случае: 2<sub>1</sub> (поворот на 180° и сдвиг на 1/2 трансляции), 3<sub>1</sub> (поворот на 120° и сдвиг на 1/3 трансляции), 3<sub>2</sub> (поворот на 120° и сдвиг на 2/3 трансляции), 4<sub>1</sub> (поворот на 90° и сдвиг на 1/4 трансляции), 4<sub>2</sub> (поворот на 90° и сдвиг на 1/2 трансляции), 4<sub>3</sub> (поворот на 90° и сдвиг на 3/4 трансляции), 6<sub>1</sub>, 6<sub>2</sub>, 6<sub>3</sub>, 6<sub>4</sub>, 6<sub>5</sub> (поворот на 60° и сдвиг на 1/6, 2/6, 3/6, 4/6, и 5/6 трансляции, соответственно). Оси 3<sub>2</sub>, 4<sub>3</sub>, 6<sub>4</sub>, и 6<sub>5</sub> энантиоморфны осям 3<sub>1</sub>, 4<sub>1</sub>, 6<sub>2</sub>, и 6<sub>1</sub>, соответственно. Именно за счёт этих осей существует 11 энантиоморфных пар пространственных групп - в каждой паре одна группа является зеркальным отображением другой.
-Плоскости скользящего отражения обозначаются в зависимоти от направления скольжения по отношению к осям кристаллической ячейки. Если скольжение происходит вдоль одной из осей, то плоскость обозначается соответствующей латинской буквой ''a'', ''b'' или ''c''. В этом случае величина скольжения всегда равна половине трансляции. Если скольжение направлено по диагонали грани или пространственной диагонали ячейки, то плоскость обозначается буквой ''n'' в случае скольжения равного половине диагонали, или ''d'' в случае скольжения равного четветри диагонали (такое возможно только если диагональ центрирована). Плоскости ''n'' и ''d'' также называются клиноплоскостями. ''d'' плоскости иногда называют алмазными плоскостями, поскольку они присутствуют в структуре алмаза (англ. ''diamond'' - алмаз).
+Плоскости скользящего отражения обозначаются в зависимости от направления скольжения по отношению к осям кристаллической ячейки. Если скольжение происходит вдоль одной из осей, то плоскость обозначается соответствующей латинской буквой ''a'', ''b'' или ''c''. В этом случае величина скольжения всегда равна половине трансляции. Если скольжение направлено по диагонали грани или пространственной диагонали ячейки, то плоскость обозначается буквой ''n'' в случае скольжения равного половине диагонали, или ''d'' в случае скольжения равного четверти диагонали (такое возможно только если диагональ центрирована). Плоскости ''n'' и ''d'' также называются клиноплоскостями. ''d'' плоскости иногда называют алмазными плоскостями, поскольку они присутствуют в структуре алмаза (англ. ''diamond'' - алмаз).
-В пяти пространственных группах присутствуют плоскости, где скольжение происходит как вдоль одной оси, так и вдоль второй оси ячейки (то есть плоскость является одновременно ''a'' и ''b'' или ''a'' и ''c'' или ''b'' и ''c''). Это происходит за счёт центрировки грани, параллельной плоскости скольжения. В 1992 году для таких плоскостей был введён символ ''e''. <ref>P. M. de Wolff, Y. Billiet, J. D. H. Donnay, W. Fischer, R. B. Galiulin, A. M. Glazer, Th. Hahn, M. Senechal, D. P. Shoemaker, H. Wondratschek, A. J. C. Wilson, & S. C. Abrahams, 1992, Acta Cryst., A48, 727-732.</ref> [[Белов, Николай Васильевич|Николай Васильевич Белов]] предлагал также ввести обозначение ''r'' для плоскостей со скольжением вдоль пространственной диагонали в ромбоэдрической ячейке. Однако ''r'' плоскости всегда совпадают с обычными зеркальными плоскостями, и термин не прижился.
+В некоторых пространственных группах присутствуют плоскости, где скольжение происходит как вдоль одной оси, так и вдоль второй оси ячейки (то есть плоскость является одновременно ''a'' и ''b'' или ''a'' и ''c'' или ''b'' и ''c''). Это происходит за счёт центрировки грани, параллельной плоскости скольжения. В 1992 году для таких плоскостей был введён символ ''e''<ref>P. M. de Wolff, Y. Billiet, J. D. H. Donnay, W. Fischer, R. B. Galiulin, A. M. Glazer, Th. Hahn, M. Senechal, D. P. Shoemaker, H. Wondratschek, A. J. C. Wilson, & S. C. Abrahams, 1992, Acta Cryst., A48, 727-732.</ref>. [[Белов, Николай Васильевич (геохимик)|Николай Васильевич Белов]] предлагал также ввести обозначение ''r'' для плоскостей со скольжением вдоль пространственной диагонали в ромбоэдрической ячейке. Однако ''r'' плоскости всегда совпадают с обычными зеркальными плоскостями, и термин не прижился.
 == Обозначения ==
 === Нумерация ===
-Кристаллографические (пространственные) группы со всеми присущими им элеменатами симметрии сведены в международном справочнике «Международные кристаллографические таблицы» ({{lang-en|International Tables for Crystallography}}), выпускаемых Международным союзом кристаллографии. Принято использование нумерации, приведённой в данном справочнике. Группы нумеруются с 1 по 230 в порядке увеличения симметрии.
+Кристаллографические (пространственные) группы со всеми присущими им элементами симметрии сведены в международном справочнике «Международные кристаллографические таблицы» ({{lang-en|International Tables for Crystallography}}), выпускаемых Международным союзом кристаллографии. Принято использование нумерации, приведённой в данном справочнике. Группы нумеруются с 1 по 230 в порядке увеличения симметрии.
 === Символика Германа — Могена ===
 {{main|Символика Германа — Могена}}
-Символ пространственной группы содержит символ [[решётка Браве|решётки Браве]] (заглавную букву P, A, B, C, I, R или F) и международный символ точечной группы. Символ решётки Браве обозначает наличие дополнительных узлов трансляции внутри элементарной ячейки: P (primitive) — примитивная ячейка; A, B, C (A-centered, B-centered, C-centered) — дополнительный узел в центре грани A, B или C соответственно; I (I-centered) — объёмноцентрированная (дополнительный узел в центре ячейки), R (R-centered) — дважды объёмноцентрированная (два дополнительных узла на большой диагонали элементарной ячейки), F (F-centered) — гранецентрированная (дополнительные узлы в центрах всех граней).
+Символ пространственной группы содержит символ [[решётка Браве|решётки Браве]] (заглавную букву P, A, B, C, I, R или F) и международный символ точечной группы.
+Символ решётки Браве обозначает наличие дополнительных узлов трансляции внутри элементарной ячейки: P (primitive) — примитивная ячейка;
+A, B, C (A-centered, B-centered, C-centered) — дополнительный узел в центре грани A, B или C соответственно; I (I-centered) — объёмноцентрированная (дополнительный узел в центре ячейки), R (R-centered) — дважды объёмноцентрированная (два дополнительных узла на большой диагонали элементарной ячейки), F (F-centered) — гранецентрированная (дополнительные узлы в центрах всех граней).
-Международный символ точечной группы в общем случае формируется из трёх символов, обозначающих элементы симметрии, отвечающие трём основным направлениям в кристаллической ячейке. Под элементом симметрии, отвечающим направлению, понимается либо ось симметрии, проходящая по этому направлению, либо перпендикулярная ему плоскость симметрии, либо и то, и другое (в этом случае они записываются через дробь, например, ''2/c'' — ось симметрии 2-го порядка и перпендикулярная ей плоскость скользящего отражения со сдвигом в направлении ''c''). Под основными направлениями понимают:
+Международный символ точечной группы в общем случае формируется из трёх символов, обозначающих элементы симметрии, отвечающие трём основным направлениям в кристаллической ячейке.
+Под элементом симметрии, отвечающим направлению, понимается либо ось симметрии, проходящая по этому направлению, либо перпендикулярная ему плоскость симметрии, либо и то, и другое (в этом случае они записываются через дробь, например, ''2/c'' — ось симметрии 2-го порядка и перпендикулярная ей плоскость скользящего отражения со сдвигом в направлении ''c''). Под основными направлениями понимают:
 * направления [[базис|базисных векторов]] ячейки в случае триклинной, моноклинной и ромбической сингонии;
 * направление оси 4-го порядка, направление одного из базисных векторов в основании элементарной ячейки и направление по диагонали основания ячейки в случае тетрагональной сингонии;
@@ Строка 64: / Строка 66: @@
 * направление одного из базисных векторов, направление по пространственной диагонали элементарной ячейки и направление по биссектрисе угла между базисными векторами.
-Символы Германа-Могена обычно сокращают, удаляя обозначения отсутствующих элементов симметрии по отдельным направлениям, когда это не создаёт неоднозначности, например, записывают P4 вместо P411. Также при отсутствии неоднозначности опускают обозначения осей второго порядка, которым перпендикулярны плоскости симметрии, например, заменяют ''C''<math>\tfrac{2}{m}\tfrac{2}{m}\tfrac{2}{m}</math> на <math>Cmmm</math>.
+Символы Германа — Могена обычно сокращают, удаляя обозначения отсутствующих элементов симметрии по отдельным направлениям, когда это не создаёт неоднозначности, например, записывают P4 вместо P411.
+Также при отсутствии неоднозначности опускают обозначения осей второго порядка, которым перпендикулярны плоскости симметрии, например, заменяют ''C''<math>\tfrac{2}{m}\tfrac{2}{m}\tfrac{2}{m}</math> на <math>Cmmm</math>.
 === Символ Шёнфлиса ===
@@ Строка 77: / Строка 80: @@
 :* ''C<sub>s</sub>'' — для плоскости неопределённой ориентации, то есть не фиксированной ввиду отсутствия в группе иных элементов симметрии.
 * ''D<sub>n</sub>'' — является группой С<sub>n</sub> с добавочными ''n'' осями симметрии второго порядка, перпендикулярными исходной оси.
-:* ''D<sub>nh</sub>'' — также имеет имеет горизонтальную плоскость симметрии.
+:* ''D<sub>nh</sub>'' — также имеет горизонтальную плоскость симметрии.
-:* ''D<sub>nd</sub>'' (от нем. ''diagonal'' — диагональный) — также имеет имеет вертикальные диагональные плоскости симметрии, которые идут между осями симметрии второго порядка.
+:* ''D<sub>nd</sub>'' (от нем. ''diagonal'' — диагональный) — также имеет вертикальные диагональные плоскости симметрии, которые идут между осями симметрии второго порядка.
 * ''O, T'' — группы симметрии с несколькими осями высшего порядка — группы кубической сингонии. Обозначаются буквой О в случае, если они содержат полный набор осей симметрии октаэдра, или буквой Т, если они содержат полный набор осей симметрии тетраэдра.
 :* ''O<sub>h</sub>'' и ''T<sub>h</sub>'' — также содержат горизонтальную плоскость симметрии
@@ Строка 88: / Строка 91: @@
 {| class="wikitable" cellpadding=0 style="margin: 1em auto; text-align: center;"
  |-
- !rowspan=2|[[Кристаллическая система]]||rowspan=1 colspan=2|Обозначения||rowspan=2|№||rowspan=2  | '''Пространственная группа''' (интернациональный знак)
+ !rowspan=2|[[Кристаллическая система]]||rowspan=1 colspan=2|Обозначения||rowspan=2|№||rowspan=2 | '''Пространственная группа''' (интернациональный знак)
  |-
  !Символика Германа — Могена || Символ Шёнфлиса
- |-   bgcolor=#ffffff
+ |- bgcolor=#ffffff
  |rowspan=2|[[Триклинная сингония|Триклинная]] (2)
  |  1
@@ Строка 262: / Строка 265: @@
 == История ==
 Происхождение теории кристаллографических групп связано с изучением симметрии орнаментов (<math>n=2</math>) и кристаллических структур (<math>n=3</math>).
-Классификация всех плоских (двумерных) и пространственных (трёхмерных) кристаллографических групп была получена независимо [[Фёдоров, Евграф Степанович|Фёдоровым]] (1885), [[Шёнфлис, Артур Мориц|Шёнфлисом]] (1891) и [[В. Барлоу|Барлоу]] (1894).
+Классификация всех плоских (двумерных) и пространственных (трёхмерных) кристаллографических групп была получена независимо [[Фёдоров, Евграф Степанович|Фёдоровым]] (1885), [[Шёнфлис, Артур Мориц|Шёнфлисом]] (1891) и [[Барлоу, Уильям (геолог)|Барлоу]] (1894).
-Основные результаты для многомерных кристаллографических групп были получены {{не переведено|:de:Ludwig Bieberbach|Бибербах, Людвиг|Бибербахом|нем}}<ref> Bieberbach L. Über die Bewegungsgruppen der Euklidischen Raume I.—Math. Ann., 1911,
+Основные результаты для многомерных кристаллографических групп были получены [[Бибербах, Людвиг|Бибербахом]]<ref> Bieberbach L. Über die Bewegungsgruppen der Euklidischen Raume I.—Math. Ann., 1911,
 , S. 297—336; 1912, 72, S. 400—412.</ref>.
 == См. также ==
 * [[Список кристаллографических групп]]
+* [[Список структурных типов]]
 * [[Кристаллографическая точечная группа симметрии]]
@@ Строка 278: / Строка 281: @@
 * Дж. Вольф, Пространства постоянной кривизны. Перевод с английского. Москва: «Наука», Главная редакция физико-математической литературы, 1982.
 * Ю.К. Егоров-Тисменко, Г.П. Литвинская, Теория симметрии кристаллов, М. ГЕОС, 2000 (доступно on-line http://geo.web.ru/db/msg.html?mid=1163834)
+* {{Книга:Математическая энциклопедия|3|автор=|статья=Кристаллографическая группа|ссылка=|страницы=106-108}}
+* {{книга
+ | автор           = Ковалев О.В.
+ | заглавие      = Неприводимые и индуцированные представления и копредставления федоровских групп
+ | язык          = ru
+ | место          = М.
+ | издательство  = Наука
+ | год           = 1986
+ | страниц    = 368
+ | isbn =
+ | ref             = Ковалев
+ }}
 == Ссылки ==
+* {{Из БСЭ|заглавие=Пространственная группа}}
-* [http://it.iucr.org/ International Tables for Crystallography]
-* [http://slovari.yandex.ru/dict/bse/article/00063/29800.htm Статья «Пространственная группа» в Большой советской энциклопедии]
 [[Категория:Кристаллография]]
 [[Категория:Теория групп]]
+[[Категория:Геометрическая теория групп]]
-[[ar:مجموعة فراغية]]
-[[de:Raumgruppe]]
-[[en:Space group]]
-[[eo:Kristalografia grupo]]
-[[fa:گروه فضایی]]
-[[fr:Groupe d'espace]]
-[[he:חבורת סימטריות מרחבית]]
-[[it:Gruppo spaziale]]
-[[ja:空間群]]
-[[ko:공간군]]
-[[nl:Ruimtegroep]]
-[[pl:Grupa przestrzenna]]
-[[pt:Grupo de espaço]]
-[[sl:Prostorska skupina]]

Кристаллографическая группа: различия между версиями

Текущая версия от 14:38, 1 июля 2024

Содержание