Алгебра Гейтинга: различия между версиями
[отпатрулированная версия] | [отпатрулированная версия] |
Bezik (обсуждение | вклад) порядок |
Bezik (обсуждение | вклад) м верхняя грань, разблокировка (потом дообработаем) |
||
(не показаны 2 промежуточные версии этого же участника) | |||
Строка 1: | Строка 1: | ||
{{Редактирую |date=12 июля 2024 |gender= |user=[[Служебная:Contributions/Bezik|Bezik]]}} |
|||
'''Алгебра Гейтинга''' (''псевдобулева алгебра'') — [[импликативная решётка]] с наименьшим элементом <math>0</math>. |
'''Алгебра Гейтинга''' (''псевдобулева алгебра'') — [[импликативная решётка]] с наименьшим элементом <math>0</math>. |
||
Строка 11: | Строка 10: | ||
| allpages = 732 |
| allpages = 732 |
||
| isbn = 9788200061274 |
| isbn = 9788200061274 |
||
}}</ref>; широкое применение получили после того, как [[Гейтинг, Аренд|Гейтинг]] в [[1930 год в науке|1930 году]] предложил их как модель [[Интуиционистская логика|интуиционистского исчисления высказываний]] (так же, как [[булева алгебра]] является моделью классического исчисления высказываний). С точки зрения логики высказываний, [[относительное псевдодополнение]] <math>a \rightarrow b</math> в решётке Гейтинга — слабейшее высказывание, для которого имеет правило вывода [[modus ponens]] |
}}</ref>; широкое применение получили после того, как [[Гейтинг, Аренд|Гейтинг]] в [[1930 год в науке|1930 году]] предложил их как модель [[Интуиционистская логика|интуиционистского исчисления высказываний]] (так же, как [[булева алгебра]] является моделью классического исчисления высказываний). С точки зрения логики высказываний, [[относительное псевдодополнение]] <math>a \rightarrow b</math> в решётке Гейтинга — слабейшее высказывание, для которого имеет правило вывода [[modus ponens]] (то есть <math>(a \and (a \rightarrow b)) \leqslant b</math>. |
||
Как и во всякой импликативной решётке в алгебре Гейтинга однозначно вводятся наибольший элемент: |
Как и во всякой импликативной решётке в алгебре Гейтинга однозначно вводятся наибольший элемент: |
||
Строка 21: | Строка 20: | ||
Класс алгебр Гейтинга может быть задан как [[многообразие алгебраических систем]] типа <math>\langle L; 0, \and, \or, \rightarrow \rangle</math> (с [[Сигнатура (математическая логика)|сигнатурой]] <math>\langle 0, 2, 2, 2 \rangle</math>) конечным числом тождеств. |
Класс алгебр Гейтинга может быть задан как [[многообразие алгебраических систем]] типа <math>\langle L; 0, \and, \or, \rightarrow \rangle</math> (с [[Сигнатура (математическая логика)|сигнатурой]] <math>\langle 0, 2, 2, 2 \rangle</math>) конечным числом тождеств. |
||
Пример алгебры Гейтинга — единичный отрезок <math>[0,1]</math> с <math>\or = \max</math> и <math>\and = \min</math> и относительным псевдодополнением, определяемым следующим образом: <math>a \rightarrow b = 1</math>, если <math>a \leqslant b</math> и <math>a \rightarrow b = b</math> в ином случае. |
Пример алгебры Гейтинга — единичный отрезок <math>[0,1]</math> с <math>\or = \max</math> и <math>\and = \min</math> и относительным псевдодополнением, определяемым следующим образом: <math>a \rightarrow b = 1</math>, если <math>a \leqslant b</math> и <math>a \rightarrow b = b</math> в ином случае. Другой важный пример — семейство подмножеств заданного множества <math>M</math>, упорядоченное по включению, оно образует [[Полная решётка|полную]] алгебру Гейтинга; всякая её подалгебра будет [[открытая топология|топологией]] на <math>M</math>, кроме того, всякая топология на <math>M</math> образует полную алгебру Гейтинга, в связи с этим полные алгебры Гейтинга играют ключевую роль в {{iw|бесточечная топология|бесточечной топологии|en|pointless topology}}. |
||
Внутренняя логика [[Элементарный топос|элементарного топоса]] основана на гейтинговой алгебре подобъектов [[Терминальный объект|терминального объекта]] <math>1</math>, упорядоченных по включению (или, эквивалентно, алгебре [[морфизм]]ов из <math>1</math> в [[классификатор подобъектов]]). |
Внутренняя логика [[Элементарный топос|элементарного топоса]] основана на гейтинговой алгебре подобъектов [[Терминальный объект|терминального объекта]] <math>1</math>, упорядоченных по включению (или, эквивалентно, алгебре [[морфизм]]ов из <math>1</math> в [[классификатор подобъектов]]). |
||
[[Топология (семейство множеств)|Топология]] — семейство открытых множеств [[Топологическое пространство|топологического пространства]] — образует полную алгебру Гейтинга относительно пересечения, объединения и включения; в связи с этим полные алгебры Гейтинга играют ключевую роль в {{iw|бесточечная топология|бесточечной топологии|en|pointless topology}}. |
|||
== Свойства == |
== Свойства == |
||
В алгебрах Гейтинга выполняется свойство бесконечной дистрибутивности: |
В алгебрах Гейтинга выполняется свойство бесконечной дистрибутивности: |
||
: <math>a \and \bigvee B = \bigvee \{a \and b \mid b \in B\}</math>, |
: <math>a \and \bigvee B = \bigvee \{a \and b \mid b \in B\}</math>, |
||
где <math>B</math> — подмножество носителя алгебры, имеющее |
где <math>B</math> — подмножество носителя алгебры, имеющее верхнюю грань. Если [[Дистрибутивная решётка|дистрибутивная]] решётка [[полная решётка|полна]] (то есть верхняя грань <math>B</math> существует), то из выполнения свойства бесконечной дистрибутивности следует, что она является алгеброй Гейтинга. Каждая конечная дистрибутивная решётка полна, таким образом, является алгеброй Гейтинга. |
||
Если в алгебре Гейтинга верхняя грань <math>\bigvee A</math> существует, то выполняется тождество: |
|||
: <math>\neg \bigvee A = \bigwedge \neg A</math>. |
|||
Также имеет место соотношение: |
|||
: <math>\neg \bigwedge A \leqslant \bigwedge \neg A</math> |
|||
при условии, что соответствующие грани существуют. |
|||
В алгебрах Гейтинга действует [[закон тройного отрицания]]: <math>\neg \neg \neg a = \neg a</math>. |
В алгебрах Гейтинга действует [[закон тройного отрицания]]: <math>\neg \neg \neg a = \neg a</math>. |
||
Строка 40: | Строка 43: | ||
: <math>\neg (a \and b) = \neg \neg (\neg a \or \neg b)</math>. |
: <math>\neg (a \and b) = \neg \neg (\neg a \or \neg b)</math>. |
||
Алгебра Гейтинга, в которой выполняются оба закона де Моргана, моделирует [[логика Янкова|логику Янкова]] — логику из класса {{iw|промежуточная логика|промежуточных логик|en|intermediate logic}}. |
Алгебра Гейтинга, в которой выполняются оба закона де Моргана, моделирует [[логика Янкова|логику Янкова]] — логику из класса {{iw|промежуточная логика|промежуточных логик|en|intermediate logic}}. |
||
[[Подрешётка]] <math>H_g</math> алгебры Гейтинга <math>H</math>, образованная всеми элементами, предшествующими <math>g</math> (<math>H_g = \{a \mid a \leqslant g\}</math>) является алгеброй Гейтинга с абсолютным псведодополнением <math>\neg_g a = g \and \neg a</math> и относительным псевдодополнением <math>a \rightarrow_g b = g \and (a \rightarrow b)</math>; <math>a \mapsto g \and a</math> является [[гомоморфизм]]ом из <math>H \rightarrow H_g</math>, сохраняющим верхние и нижние грани (в том числе для бесконечных подмножеств). |
|||
Для всякой гейтинговой алгебры <math>H</math> существует [[Изоморфизм|изоморфная]] ей полная алгебра Гейтинга <math>H^\star</math>. |
|||
<!-- |
<!-- |
||
Каждая алгебра Гейтинга, множество не самых больших элементов которой имеет наибольший элемент (и образует другую алгебру Гейтинга), является подпрямо несводимой, а значит, каждую алгебру Гейтинга можно сделать подпрямо несводимой, присоединив к ней новый самый большой элемент. Отсюда следует, что даже среди конечных алгебр Гейтинга существует бесконечно много подпрямо несводимых, причём никакие две из них не имеют одинаковой теории уравнений. Следовательно, никакое конечное множество конечных алгебр Гейтинга не может дать все контрпримеры к не-законам алгебры Гейтинга. Это резко отличается от булевых алгебр, единственной подпрямо несводимой из которых является двухэлементная, которая сама по себе, следовательно, достаточна для всех контрпримеров к не-законам булевой алгебры, что является основой для простого метода решения с помощью [[Таблица истинности|таблицы истинности]]. Тем не менее, можно [[Алгоритмическая разрешимость|решить]], справедливо ли уравнения для всех алгебр Гейтинга<ref>Kripke, S. A.: 1965, 'Semantical analysis of intuitionistic logic I'. In: J. N. Crossley and M. A. E. Dummett (eds.): Formal Systems and Recursive Functions. Amsterdam: North-Holland, pp. 92—130.</ref>. |
Каждая алгебра Гейтинга, множество не самых больших элементов которой имеет наибольший элемент (и образует другую алгебру Гейтинга), является подпрямо несводимой, а значит, каждую алгебру Гейтинга можно сделать подпрямо несводимой, присоединив к ней новый самый большой элемент. Отсюда следует, что даже среди конечных алгебр Гейтинга существует бесконечно много подпрямо несводимых, причём никакие две из них не имеют одинаковой теории уравнений. Следовательно, никакое конечное множество конечных алгебр Гейтинга не может дать все контрпримеры к не-законам алгебры Гейтинга. Это резко отличается от булевых алгебр, единственной подпрямо несводимой из которых является двухэлементная, которая сама по себе, следовательно, достаточна для всех контрпримеров к не-законам булевой алгебры, что является основой для простого метода решения с помощью [[Таблица истинности|таблицы истинности]]. Тем не менее, можно [[Алгоритмическая разрешимость|решить]], справедливо ли уравнения для всех алгебр Гейтинга<ref>Kripke, S. A.: 1965, 'Semantical analysis of intuitionistic logic I'. In: J. N. Crossley and M. A. E. Dummett (eds.): Formal Systems and Recursive Functions. Amsterdam: North-Holland, pp. 92—130.</ref>. |
Текущая версия от 16:29, 16 июля 2024
Алгебра Гейтинга (псевдобулева алгебра) — импликативная решётка с наименьшим элементом .
Наряду с другими подклассами импликативных решёток впервые отмечены Скулемом в 1919 году[1]; широкое применение получили после того, как Гейтинг в 1930 году предложил их как модель интуиционистского исчисления высказываний (так же, как булева алгебра является моделью классического исчисления высказываний). С точки зрения логики высказываний, относительное псевдодополнение в решётке Гейтинга — слабейшее высказывание, для которого имеет правило вывода modus ponens (то есть .
Как и во всякой импликативной решётке в алгебре Гейтинга однозначно вводятся наибольший элемент:
- ,
и унарная операция абсолютного псевдодополнения:
- .
Булева алгебра — алгебра Гейтинга, в которой абсолютное псевдодополнение является абсолютным дополнением: (исключённое третье) или, что эквивалентно, (двойное отрицание).
Класс алгебр Гейтинга может быть задан как многообразие алгебраических систем типа (с сигнатурой ) конечным числом тождеств.
Пример алгебры Гейтинга — единичный отрезок с и и относительным псевдодополнением, определяемым следующим образом: , если и в ином случае. Другой важный пример — семейство подмножеств заданного множества , упорядоченное по включению, оно образует полную алгебру Гейтинга; всякая её подалгебра будет топологией на , кроме того, всякая топология на образует полную алгебру Гейтинга, в связи с этим полные алгебры Гейтинга играют ключевую роль в бесточечной топологии[англ.].
Внутренняя логика элементарного топоса основана на гейтинговой алгебре подобъектов терминального объекта , упорядоченных по включению (или, эквивалентно, алгебре морфизмов из в классификатор подобъектов).
Свойства
[править | править код]В алгебрах Гейтинга выполняется свойство бесконечной дистрибутивности:
- ,
где — подмножество носителя алгебры, имеющее верхнюю грань. Если дистрибутивная решётка полна (то есть верхняя грань существует), то из выполнения свойства бесконечной дистрибутивности следует, что она является алгеброй Гейтинга. Каждая конечная дистрибутивная решётка полна, таким образом, является алгеброй Гейтинга.
Если в алгебре Гейтинга верхняя грань существует, то выполняется тождество:
- .
Также имеет место соотношение:
при условии, что соответствующие грани существуют.
В алгебрах Гейтинга действует закон тройного отрицания: . Элемент, для которого снимается двойное отрицание () называется регулярным; соответственно, алгебра Гейтинга, все элементы которой регулярны — булева.
В гейтинговых алгебрах имеет место один закон де Моргана:
- ,
вместо второго закона де Моргана выполняется более слабое соотношение:
- .
Алгебра Гейтинга, в которой выполняются оба закона де Моргана, моделирует логику Янкова — логику из класса промежуточных логик[англ.].
Подрешётка алгебры Гейтинга , образованная всеми элементами, предшествующими () является алгеброй Гейтинга с абсолютным псведодополнением и относительным псевдодополнением ; является гомоморфизмом из , сохраняющим верхние и нижние грани (в том числе для бесконечных подмножеств).
Для всякой гейтинговой алгебры существует изоморфная ей полная алгебра Гейтинга .
Примечания
[править | править код]- ↑ Thoralf Skolem, Jens Erik Fenstad. Selected works in logic. — Oslo: Universitetsforlaget, 1970. — 732 p. — ISBN 9788200061274.
Литература
[править | править код]- Псевдобулева алгебра — статья из Математической энциклопедии. Гришин В. Н.
- Драгалин А. Г. Математический интуиционизм. Введение в теорию доказательств. — М.: Наука, 1979. — 256 с. — (Математическая логика и основания математики).
- Плиско В. Е., Хаханян В. Х. Интуиционистская логика. — М.: Мехмат МГУ, 2009. — 159 с.
- Расёва Е., Сикорский Р. IV. Псевдобулевы алгебры // Математика метаматематики. — М.: Наука, 1972. — С. 147—170.