4-ток

4-ток, четырёхток в специальной и общей теории относительности — лоренц-ковариантный четырёхвектор, который объединяет плотность тока электрических зарядов (или 3-вектор плотности тока любых других частиц) и объёмную плотность заряда (или объёмную концентрацию частиц).

$J^{\mu }=\left(c\rho ,\;\mathbf {j} \right),$

где

$c$ — скорость света,

$\rho$ — скалярная плотность заряда,

$\mathbf {j} =\rho \,\mathbf {u}$ — 3-вектор плотности тока,

$\mathbf {u}$ — 3-вектор скорости зарядов.

В специальной теории относительности локальное сохранение электрического заряда выражается уравнением непрерывности, которое означает равенство нулю инвариантной дивергенции 4-тока:

$D\cdot J=\partial _{\mu }J^{\mu }={\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\nabla \cdot \mathbf {j} =0,$

где $D$ — 4-векторный оператор, называемый 4-градиентом и определяемый как $\left({\frac {1}{c}}{\frac {\partial }{\partial t}},\;\mathbf {\nabla } \right)$. Здесь использовано соглашение Эйнштейна о суммировании по повторяющимся индексам. Вышеприведённое уравнение можно короче записать как

$J^{\mu }{}_{,\mu }=0$

с обычным обозначением частной производной по данной координате как запятой перед соответствующим индексом.

В общей теории относительности уравнение непрерывности записывается так:

$J^{\mu }{}_{;\mu }=0\,,$

где точка с запятой перед индексом означает ковариантную производную по соответствующей координате.

Бикватернионное представление

Аналогом 4-тока в релятивистской бикватернионной алгебре служит бикватернион тока, имеющий в скалярно-векторном представлении следующий вид:

$J=4\pi \left(\rho ,\;\mathbf {j} \right).$

Используется система единиц, в которой скорость света $c=1$. В бикватернионном представлении уравнения Максвелла выражаются в виде:

$D\mathbf {F} ={\overline {J}},$

где $\mathbf {F} =\mathbf {E} +i\mathbf {H}$ — комплексная напряжённость электромагнитного поля (вектор Римана-Зильберштейна), $D$ — бикватернионный оператор градиента (аналог 4-градиента): $D=(\partial _{t},\nabla )$.

Доказательство

$D\mathbf {F} =(\partial _{t},\nabla )\mathbf {F} =\left(\nabla \cdot \mathbf {F} ,\partial _{t}\mathbf {F} +i\nabla \times \mathbf {F} \right)=\left(\nabla \cdot \mathbf {E} +i\nabla \cdot \mathbf {H} ,\partial _{t}\mathbf {E} +i\partial _{t}\mathbf {H} +i\nabla \times \mathbf {E} -\nabla \times \mathbf {H} \right),~~$${\overline {J}}=4\pi (\rho ,-\mathbf {j} )$

$D\mathbf {F} ={\overline {J}}~\Leftrightarrow ~{\begin{cases}\nabla \cdot \mathbf {E} +i\nabla \cdot \mathbf {H} =4\pi \rho \\\partial _{t}\mathbf {E} +i\partial _{t}\mathbf {H} +i\nabla \times \mathbf {E} -\nabla \times \mathbf {H} =-4\pi \mathbf {j} \end{cases}}~\Leftrightarrow ~{\begin{cases}\nabla \cdot \mathbf {E} =4\pi \rho \\\nabla \cdot \mathbf {H} =0\\\partial _{t}\mathbf {E} -\nabla \times \mathbf {H} =-4\pi \mathbf {j} \\\partial _{t}\mathbf {H} +\nabla \times \mathbf {E} =0\end{cases}}$

Последняя система уравнений и представляет собою уравнения Максвелла. Таким образом, мы доказали их эквивалентность исходному уравнению в бикватернионах.

См. также

• Теорема Нётер.

Литература

• Джексон Дж. Классическая электродинамика. — Москва: Мир, 1965.
• Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Теория поля (Теоретическая физика, т. II). — Москва: Физматлит, 2003. — 536 с. — ISBN 5-9221-0056-4.
• Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Электродинамика сплошных сред (Теоретическая физика, т. VIII). — Москва: Физматлит, 2005. — 656 с. — ISBN 5-9221-0123-4.
• L. Silberstein. "Quaternionic Form of Relativity", Philos. Mag. S., 6, Vol. 23, № 137, pp. 790–809, 1912.