Идемпотентность

Идемпоте́нтность («равносильность» от лат. idem «тот же самый» + potens «способный») — свойство объекта или операции при повторном применении операции к объекту давать тот же результат, что и при первом. Термин предложил американский математик Бенджамин Пирс (англ. Benjamin Peirce) в статьях 1870-х годов.

Примеры идемпотентных операций:

• сложение с нулём: $a=a+0=(a+0)+0=((a+0)+0)+0=\dots$;
• умножение на единицу: $x=x*1=(x*1)*1=((x*1)*1)*1=\dots$;
• модуль числа: $|x|=|(|x|)|=|(|(|x|)|)|=\dots$;
• выбор максимального значения: $\max(x,y)=\max(\max(x,y),y)=\max(x,\max(x,y))$;
• вычисление наибольшего общего делителя: $\operatorname {gcd} (x,y)=\operatorname {gcd} (\operatorname {gcd} (x,y),y)=\operatorname {gcd} (x,\operatorname {gcd} (x,y))$;
• сложение по модулю 2 с нулём: $a=a\oplus 0=(a\oplus 0)\oplus 0=\dots$;
• нахождение остатка от деления: $r=a\mod b=(a\mod b)\mod b=\dots$;
• возведение в степень единицы: $a^{1}=(a^{1})^{1}=((a^{1})^{1})^{1}\dots$.

Элемент

Идемпотентный элемент (идемпотент) в алгебре — элемент полугруппы, сохраняющийся при умножении самого на себя: $e^{2}=e$. Теорема об идемпотенте гласит: в конечной полугруппе есть идемпотент.

Идемпотентный элемент $e$ содержит идемпотентный элемент $f$ (обозначается $e\geqslant f$), если $ef=e=fe$. Отношение $\geqslant$ является отношением частичного порядка в множестве $E$ идемпотентных элементов и называется естественным частичным порядком на множестве $E$.

Два идемпотентных элемента ассоциативного кольца (которое будет полугруппой по умножению) $u$ и $v$ называются ортогональными, если $uv=0=vu$.

Операция

См. также: Идемпотентная матрица

Идемпотентная бинарная операция в математике — операция, относительно которой всякий элемент обладает идемпотентностью в вышеназванном смысле:

$\forall x:\quad x\cdot x=x$.

Этим свойством обладают, например, логическое И и логическое ИЛИ.

Идемпотентная унарная операция — операция, для которой выполняется $\forall x:f(f(x))=f(x)$, или $f\circ f=f$.

Из линейных операторов в $\mathbb {R} ^{n}$ идемпотентны только тождественный оператор, нулевой оператор и параллельная проекция. Поэтому проектор в алгебре — в том числе в бесконечномерных пространствах — определяется как $P\circ P=P$.

В информатике

Идемпотентная операция в информатике — действие, многократное повторение которого эквивалентно однократному.

Примером такой операции могут служить GET-запросы в протоколе HTTP. По спецификации, сервер должен возвращать идентичные ответы на идентичные GET-запросы (при условии, что ресурс не изменился). Это позволяет корректно кэшировать эти ответы, снижая нагрузку на сеть.

Для препроцессора языка Си директива «#include "xxx.h"» является идемпотентной, если в заголовочном файле есть защита от двойного включения.

Литература

• Peirce B. Linear Associative Algebra. 1870.
• Gunawardena, Jeremy (1998), "An introduction to idempotency", in Gunawardena, Jeremy (ed.), Idempotency. Based on a workshop, Bristol, UK, October 3–7, 1994 (PDF), Cambridge: Cambridge University Press, pp. 1—49, Zbl 0898.16032
• Идемпотентность — статья из Математической энциклопедии. Иванова О. А.