Квантовый метод Монте-Карло: различия между версиями
[отпатрулированная версия] | [отпатрулированная версия] |
→Преамбула: поправил перевод |
РобоСтася (обсуждение | вклад) м checkwiki fixes (1, 2, 9, 17, 22, 26, 38, 48, 50, 52, 54, 64, 65, 66, 76, 81, 86, 88, 89, 101) |
||
(не показано 19 промежуточных версий 7 участников) | |||
Строка 1: | Строка 1: | ||
'''Квантовые методы Монте-Карло''' — большая семья методов, для исследования сложных [[квантовая механика|квантовых систем]]. Одна из главных задач — обеспечить |
'''Квантовые методы Монте-Карло''' — большая семья методов, для исследования сложных [[квантовая механика|квантовых систем]]. Одна из главных задач — обеспечить надёжное решение (или достаточно точное приближение) {{iw|квантовая задача многих тел|квантовой задачи многих тел|en|many-body problem}}. Различные варианты этого метода имеют общую особенность: они используют [[метод Монте-Карло]] для вычисления многомерных интегралов, возникающих в различных формулировках задачи многих тел. Квантовые методы Монте-Карло позволяют описывать сложные эффекты многих частиц, зашифрованные в [[Волновая функция|волновой функции]], выходя за рамки [[теория среднего поля|теории среднего поля]] и предлагая в некоторых случаях точные решения задачи многих тел. В частности, существует численно точный и полиномиальный масштабируемый алгоритм точного изучения статических свойств системы [[бозон]]ов без геометрической [[Геометрическая фрустрация|фрустрации]]. Для [[фермион]]ов не известно таких алгоритмов, но существуют отдельно алгоритмы, которые дают очень хорошие приближения их статических свойств, и отдельно квантовые алгоритмы Монте-Карло, которые численно точны, но экспоненциально масштабируемы. |
||
== Введение == |
== Введение == |
||
В принципе любая физическая система |
В принципе любая физическая система описывается [[Уравнение Шрёдингера|уравнением Шрёдингера]] для многих частиц, если только частицы не двигаются слишком быстро (то есть чтобы их скорость оставалась малой по сравнению со [[Скорость света|скоростью света]], и [[Специальная теория относительности|релятивистскими эффектами]] можно было пренебречь). Это требование выполняется для широкого круга электронных задач в физике конденсированных сред, в [[Конденсат Бозе — Эйнштейна|Бозе-Эйнштейновском конденсате]] и в [[Сверхтекучесть|сверхтекучих]] жидкостях вроде жидкого гелия. Умение решать уравнения Шрёдингера для заданной системы позволяет предсказывать её поведение и имеет важные приложения во многих областях науки, начиная с [[Материаловедение|материаловедения]] и заканчивая сложными биологическими системами. Сложность в том, что решения уравнения Шрёдингера требует знания многочастичной волновой функции в многомерном [[Гильбертово пространство|гильбертовом пространстве]], размер которой, как правило, растёт экспоненциально при увеличении числа частиц. |
||
Решение для большого числа частиц в основном |
Решение для большого числа частиц в основном невозможно за разумное время, даже для современных [[Параллельные вычисления|параллельных вычислений]]. Традиционно используются приближения многочастичных антисимметричных функций, составленных из одночастичных молекулярных орбиталей<ref>[http://www.attaccalite.altervista.org/PhDThesis/html/node9.html Functional form of the wave function] {{Wayback|url=http://www.attaccalite.altervista.org/PhDThesis/html/node9.html |date=20090718160714 }}</ref>, что сводит задачу решения уравнения Шрёдингера к форме, с которой можно работать. Формулировка такого рода имеют несколько недостатков. Они либо ограничиваются учётом квантовых корреляций, например [[Метод Хартри — Фока|метод Хартри-Фока]], или сходятся очень медленно, как в случае применения конфигурационных взаимодействий в [[Квантовая химия|квантовой химии]]. |
||
Квантовые методы Монте-Карло открывает путь к непосредственному изучению многочастичных задач и многочастичных волновых функций без |
Квантовые методы Монте-Карло открывает путь к непосредственному изучению многочастичных задач и многочастичных волновых функций без этих ограничений. Наиболее совершенные квантовые методы Монте-Карло дают точные решения многочастичных задачи системы бозонов без фрустраций, одновременно с приближенным, но как правило корректным описанием систем фермионов со взаимодействием. Большинство методов имеют целью нахождение волновой функции основного состояния системы, за исключением методов Монте-Карло для интегралов по траекториям и метода Монте-Карло для конечных температур, которые используются для вычисления матрицы плотности. Кроме стационарных задач можно решать также зависящее от времени уравнение Шрёдингера, хотя лишь приближено, ограничивая функциональную форму зависимой от времени волновой функции. Для этого разработан зависящий от времени вариационный метод Монте-Карло. С точки зрения теории вероятности вычисления ведущих собственных значений и соответствующих им волновых функций основного состояния опирается на численное решение задачи [[интеграл по траекториям|интегралов вдоль траекторий]] Фейнмана-Кака<ref>{{статья |заглавие=Development of a pure diffusion quantum Monte Carlo method using a full generalized Feynman–Kac formula. I. Formalism |ссылка=http://scitation.aip.org/content/aip/journal/jcp/88/2/10.1063/1.454227 |издание=[[Journal of Chemical Physics]] |issn=0021-9606 |страницы=1088—1099 |том=88 |номер=2 |doi=10.1063/1.454227 |bibcode=1988JChPh..88.1088C |deadlink=yes |archiveurl=https://web.archive.org/web/20150612132045/http://scitation.aip.org/content/aip/journal/jcp/88/2/10.1063/1.454227 |archivedate=2015-06-12 |accessdate=2018-01-18 |язык=en |тип=journal |автор=Caffarel, Michel; Claverie, Pierre |год=1988}} {{Cite web |url=http://scitation.aip.org/content/aip/journal/jcp/88/2/10.1063/1.454227 |title=Архивированная копия |accessdate=2018-01-18 |archive-date=2015-06-12 |archive-url=https://web.archive.org/web/20150612132045/http://scitation.aip.org/content/aip/journal/jcp/88/2/10.1063/1.454227 |dead-url=unfit }}</ref><ref>{{статья |заглавие=Feynman-Kac path-integral calculation of the ground-state energies of atoms |ссылка=http://link.aps.org/doi/10.1103/PhysRevLett.69.893 |издание=[[Physical Review Letters]] |страницы=893—896 |том=69 |номер=6 |doi=10.1103/PhysRevLett.69.893 |bibcode=1992PhRvL..69..893K |язык=en |тип=journal |автор=Korzeniowski, A.; Fry, J. L.; Orr, D. E.; Fazleev, N. G. |число=10 |месяц=8 |год=1992}}</ref>. Математическая база модели поглощения частиц Фейнмана-Кака, секвенционного метода Монте-Карло и интерпретаций среднего поля заложена в работах<ref>{{Cite web|title = EUDML {{!}} Particle approximations of Lyapunov exponents connected to Schrödinger operators and Feynman–Kac semigroups - P. Del Moral, L. Miclo.|url = http://eudml.org/doc/104302|website = eudml.org|accessdate = 2015-06-11|archive-date = 2017-02-04|archive-url = https://web.archive.org/web/20170204182220/https://eudml.org/doc/104302|deadlink = no}}</ref><ref>{{статья |заглавие=Particle Motions in Absorbing Medium with Hard and Soft Obstacles |ссылка=http://dx.doi.org/10.1081/SAP-200026444 |издание=Stochastic Analysis and Applications |issn=0736-2994 |страницы=1175—1207 |том=22 |номер=5 |doi=10.1081/SAP-200026444 |язык=en |тип=journal |автор=Del Moral, Pierre; Doucet, Arnaud |число=1 |месяц=1 |год=2004}}</ref><ref name="dp132">{{книга|заглавие= Mean field simulation for Monte Carlo integration|год= 2013|издательство= Chapman & Hall/CRC Press|ссылка= http://www.crcpress.com/product/isbn/9781466504059|страницы= 626|ref= Del Moral|язык= en|автор= Del Moral, Pierre|archivedate= 2015-06-08|archiveurl= https://web.archive.org/web/20150608195748/https://www.crcpress.com/product/isbn/9781466504059}}. — «Monographs on Statistics & Applied Probability».</ref><ref name="dp042">{{книга|заглавие= Feynman-Kac formulae. Genealogical and interacting particle approximations|год= 2004|издательство= Springer|ссылка= http://www.springer.com/mathematics/probability/book/978-0-387-20268-6|страницы= 575|ref= Del Moral|язык=en|автор= Del Moral, Pierre}}. — «Series: Probability and Applications».</ref><ref name="dmm002">{{книга |заглавие=Branching and Interacting Particle Systems Approximations of Feynman-Kac Formulae with Applications to Non-Linear Filtering |journal=Lecture Notes in Mathematics |том=1729 |страницы=1—145 |ссылка=http://archive.numdam.org/ARCHIVE/SPS/SPS_2000__34_/SPS_2000__34__1_0/SPS_2000__34__1_0.pdf |doi=10.1007/bfb0103798 |язык=en |автор=Del Moral, Pierre; Miclo, Laurent |год=2000}}</ref>. |
||
Существует несколько квантовых методов Монте-Карло, в каждом из них Монте-Карло используется для решения задачи многих тел различными способами. |
Существует несколько квантовых методов Монте-Карло, в каждом из них Монте-Карло используется для решения задачи многих тел различными способами. |
||
Строка 14: | Строка 14: | ||
=== Нулевая температура (только основное состояние) === |
=== Нулевая температура (только основное состояние) === |
||
* [[Вариационный метод Монте-Карло]]: неплохой исходный пункт; используется при решении широкого круга различных квантовых задач. |
* [[Вариационный метод Монте-Карло]]: неплохой исходный пункт; используется при решении широкого круга различных квантовых задач. |
||
* [[Диффузный метод Монте-Карло]]: самый популярный высокоточный метод для системы электронов (то есть, для химических |
* [[Диффузный метод Монте-Карло]]: самый популярный высокоточный метод для системы электронов (то есть, для химических расчётов), поскольку он сравнительно эффективно сходится к точному значению энергии основого состояния. Используется также для воспроизведения квантовой поведения атомов и тому подобное. |
||
* [[Рептационный метод Монте-Карло]]: современный метод вычислений при нулевой температуре, связанный с интегралами по траекториям, область применения та же что и диффузионного метода Монте-Карло, но предположения другие, поэтому преимущества и недостатки отличаются. Рептация — термин из физики полимеров, описывает переползания длинных цепочек змейкой. |
* [[Рептационный метод Монте-Карло]]: современный метод вычислений при нулевой температуре, связанный с интегралами по траекториям, область применения та же что и диффузионного метода Монте-Карло, но предположения другие, поэтому преимущества и недостатки отличаются. Рептация — термин из физики полимеров, описывает переползания длинных цепочек змейкой. |
||
* [[Гауссов квантовый метод Монте-Карло]] |
* [[Гауссов квантовый метод Монте-Карло]] |
||
Строка 20: | Строка 20: | ||
=== Ненулевые температуры (термодинамика) === |
=== Ненулевые температуры (термодинамика) === |
||
* [[Метод Монте-Карло вспомогательного поля]]: в основном применяется для задач, определённых на |
* [[Метод Монте-Карло вспомогательного поля]]: в основном применяется для задач, определённых на решётке, хотя существуют новые работы, которые применяют этот метод к электронам в химических системах. |
||
* [[Квантовый метод Монте-Карло с непрерывным временем]]. |
* [[Квантовый метод Монте-Карло с непрерывным временем]]. |
||
* [[Детерминантный квантовый метод Монте-Карло]] или [[Квантовый метод Монте-Карло Хирша-Фая]] |
* [[Детерминантный квантовый метод Монте-Карло]] или [[Квантовый метод Монте-Карло Хирша-Фая]] |
||
* [[Гибридный квантовый метод Монте-Карло]] |
* [[Гибридный квантовый метод Монте-Карло]] |
||
* [[Квантовый метод Монте-Карло через интегралы вдоль траекторий]]: методика вычислений при ненулевых температурах, которую в основном используют для систем, где температурные эффекты имеют большое значение, в частности для сверхтекучего гелия. |
* [[Квантовый метод Монте-Карло через интегралы вдоль траекторий]]: методика вычислений при ненулевых температурах, которую в основном используют для систем, где температурные эффекты имеют большое значение, в частности для сверхтекучего гелия. |
||
* Стохастический алгоритм для функции Грина<ref>{{ |
* Стохастический алгоритм для функции Грина<ref>{{статья |заглавие=Stochastic Green function algorithm |издание=[[Physical Review|Physical Review E]] |том=77 |страницы=056705 |ссылка=http://journals.aps.org/pre/cited-by/10.1103/PhysRevE.77.056705 |accessdate=2015-02-05 |doi=10.1103/physreve.77.056705 |arxiv=0711.3839 |bibcode=2008PhRvE..77e6705R |язык=en |автор=Rousseau, V. G. |число=20 |месяц=5 |год=2008 |тип=journal}}{{Недоступная ссылка|date=Июль 2018 |bot=InternetArchiveBot }}</ref>: алгоритм, сконструированный для бозонов, моделирует определённый на решетке гамильтониан любой сложности, если только в нём нет проблемы со знаком. |
||
* Квантовый метод Монте-Карло мировых линий. |
* Квантовый метод Монте-Карло мировых линий. |
||
=== Динамика реального времени (замкнутые квантовые системы) === |
=== Динамика реального времени (замкнутые квантовые системы) === |
||
* [[ |
* [[Времязависимый вариационный квантовый метод Монте-Карло]]: расширение вариационного метода Монте-Карло на динамику чистых квантовых состояний. |
||
== Проекты и программные продукты == |
== Проекты и программные продукты == |
||
* [https://alf.physik.uni-wuerzburg.de ALF] |
* [https://alf.physik.uni-wuerzburg.de ALF] |
||
* [http://alps.comp-phys.org/mediawiki/ ALPS] |
* [http://alps.comp-phys.org/mediawiki/ ALPS] {{Архивировано|url=http://arquivo.pt/wayback/20160518213649/http://alps.comp-phys.org/mediawiki/ |date=2016-05-18 }} |
||
* [http://vallico.net/casinoqmc/ CASINO] |
* [http://vallico.net/casinoqmc/ CASINO] {{Wayback|url=http://vallico.net/casinoqmc/ |date=20150608170637 }} |
||
* [http://pages.physics.cornell.edu/~cyrus/champ.html CHAMP] |
* [http://pages.physics.cornell.edu/~cyrus/champ.html CHAMP] {{Wayback|url=http://pages.physics.cornell.edu/~cyrus/champ.html |date=20170806051111 }} |
||
* [http://code.google.com/p/montepython/ Monte Python] |
* [http://code.google.com/p/montepython/ Monte Python] {{Wayback|url=http://code.google.com/p/montepython/ |date=20121025171556 }} |
||
* [http://cms.mcc.uiuc.edu/pimcpp/ PIMC++] |
* [https://archive.today/20121212114353/http://cms.mcc.uiuc.edu/pimcpp/ PIMC++] |
||
* [http://code.google.com/p/pi-qmc/ pi-qmc] |
* [http://code.google.com/p/pi-qmc/ pi-qmc] {{Wayback|url=http://code.google.com/p/pi-qmc/ |date=20120714004416 }} |
||
* [http://qmcbeaver.sourceforge.net/ QMcBeaver] |
* [http://qmcbeaver.sourceforge.net/ QMcBeaver] {{Wayback|url=http://qmcbeaver.sourceforge.net/ |date=20170711111933 }} |
||
* [http://www.lct.jussieu.fr/pagesequipe/qmcmol/qmcmol/ QmcMol] |
* [https://web.archive.org/web/20160610062940/http://www.lct.jussieu.fr/pagesequipe/qmcmol/qmcmol/ QmcMol] |
||
* [http://www.qmcpack.org/ QMCPACK] |
* [http://www.qmcpack.org/ QMCPACK] {{Wayback|url=http://www.qmcpack.org/ |date=20191128010043 }} |
||
* [http://attaccalite.altervista.org/qumax/index.php Qumax] |
* [https://web.archive.org/web/20090324060721/http://www.attaccalite.altervista.org/qumax/index.php Qumax] |
||
* [http://www.qwalk.org/ Qwalk] |
* [http://www.qwalk.org/ Qwalk] {{Wayback|url=http://www.qwalk.org/ |date=20200204155532 }} |
||
* [http://qe-forge.org/gf/project/turborvb/ TurboRVB] |
* [http://qe-forge.org/gf/project/turborvb/ TurboRVB] {{Wayback|url=http://qe-forge.org/gf/project/turborvb/ |date=20170418164713 }} |
||
* [http://www.zori-code.com/ Zori] |
* [https://web.archive.org/web/20081230193502/http://www.zori-code.com/ Zori] |
||
== Ссылки == |
== Ссылки == |
Текущая версия от 22:42, 13 сентября 2024
Квантовые методы Монте-Карло — большая семья методов, для исследования сложных квантовых систем. Одна из главных задач — обеспечить надёжное решение (или достаточно точное приближение) квантовой задачи многих тел[англ.]. Различные варианты этого метода имеют общую особенность: они используют метод Монте-Карло для вычисления многомерных интегралов, возникающих в различных формулировках задачи многих тел. Квантовые методы Монте-Карло позволяют описывать сложные эффекты многих частиц, зашифрованные в волновой функции, выходя за рамки теории среднего поля и предлагая в некоторых случаях точные решения задачи многих тел. В частности, существует численно точный и полиномиальный масштабируемый алгоритм точного изучения статических свойств системы бозонов без геометрической фрустрации. Для фермионов не известно таких алгоритмов, но существуют отдельно алгоритмы, которые дают очень хорошие приближения их статических свойств, и отдельно квантовые алгоритмы Монте-Карло, которые численно точны, но экспоненциально масштабируемы.
Введение
[править | править код]В принципе любая физическая система описывается уравнением Шрёдингера для многих частиц, если только частицы не двигаются слишком быстро (то есть чтобы их скорость оставалась малой по сравнению со скоростью света, и релятивистскими эффектами можно было пренебречь). Это требование выполняется для широкого круга электронных задач в физике конденсированных сред, в Бозе-Эйнштейновском конденсате и в сверхтекучих жидкостях вроде жидкого гелия. Умение решать уравнения Шрёдингера для заданной системы позволяет предсказывать её поведение и имеет важные приложения во многих областях науки, начиная с материаловедения и заканчивая сложными биологическими системами. Сложность в том, что решения уравнения Шрёдингера требует знания многочастичной волновой функции в многомерном гильбертовом пространстве, размер которой, как правило, растёт экспоненциально при увеличении числа частиц.
Решение для большого числа частиц в основном невозможно за разумное время, даже для современных параллельных вычислений. Традиционно используются приближения многочастичных антисимметричных функций, составленных из одночастичных молекулярных орбиталей[1], что сводит задачу решения уравнения Шрёдингера к форме, с которой можно работать. Формулировка такого рода имеют несколько недостатков. Они либо ограничиваются учётом квантовых корреляций, например метод Хартри-Фока, или сходятся очень медленно, как в случае применения конфигурационных взаимодействий в квантовой химии.
Квантовые методы Монте-Карло открывает путь к непосредственному изучению многочастичных задач и многочастичных волновых функций без этих ограничений. Наиболее совершенные квантовые методы Монте-Карло дают точные решения многочастичных задачи системы бозонов без фрустраций, одновременно с приближенным, но как правило корректным описанием систем фермионов со взаимодействием. Большинство методов имеют целью нахождение волновой функции основного состояния системы, за исключением методов Монте-Карло для интегралов по траекториям и метода Монте-Карло для конечных температур, которые используются для вычисления матрицы плотности. Кроме стационарных задач можно решать также зависящее от времени уравнение Шрёдингера, хотя лишь приближено, ограничивая функциональную форму зависимой от времени волновой функции. Для этого разработан зависящий от времени вариационный метод Монте-Карло. С точки зрения теории вероятности вычисления ведущих собственных значений и соответствующих им волновых функций основного состояния опирается на численное решение задачи интегралов вдоль траекторий Фейнмана-Кака[2][3]. Математическая база модели поглощения частиц Фейнмана-Кака, секвенционного метода Монте-Карло и интерпретаций среднего поля заложена в работах[4][5][6][7][8].
Существует несколько квантовых методов Монте-Карло, в каждом из них Монте-Карло используется для решения задачи многих тел различными способами.
Методы
[править | править код]Нулевая температура (только основное состояние)
[править | править код]- Вариационный метод Монте-Карло: неплохой исходный пункт; используется при решении широкого круга различных квантовых задач.
- Диффузный метод Монте-Карло: самый популярный высокоточный метод для системы электронов (то есть, для химических расчётов), поскольку он сравнительно эффективно сходится к точному значению энергии основого состояния. Используется также для воспроизведения квантовой поведения атомов и тому подобное.
- Рептационный метод Монте-Карло: современный метод вычислений при нулевой температуре, связанный с интегралами по траекториям, область применения та же что и диффузионного метода Монте-Карло, но предположения другие, поэтому преимущества и недостатки отличаются. Рептация — термин из физики полимеров, описывает переползания длинных цепочек змейкой.
- Гауссов квантовый метод Монте-Карло
- Нахождение основного состояния через интегралы вдоль траекторий: в основном используется для системы бозонов; для тех где физические наблюдаемые величины можно вычислить точно, то есть с произвольно малой погрешностью.
Ненулевые температуры (термодинамика)
[править | править код]- Метод Монте-Карло вспомогательного поля: в основном применяется для задач, определённых на решётке, хотя существуют новые работы, которые применяют этот метод к электронам в химических системах.
- Квантовый метод Монте-Карло с непрерывным временем.
- Детерминантный квантовый метод Монте-Карло или Квантовый метод Монте-Карло Хирша-Фая
- Гибридный квантовый метод Монте-Карло
- Квантовый метод Монте-Карло через интегралы вдоль траекторий: методика вычислений при ненулевых температурах, которую в основном используют для систем, где температурные эффекты имеют большое значение, в частности для сверхтекучего гелия.
- Стохастический алгоритм для функции Грина[9]: алгоритм, сконструированный для бозонов, моделирует определённый на решетке гамильтониан любой сложности, если только в нём нет проблемы со знаком.
- Квантовый метод Монте-Карло мировых линий.
Динамика реального времени (замкнутые квантовые системы)
[править | править код]- Времязависимый вариационный квантовый метод Монте-Карло: расширение вариационного метода Монте-Карло на динамику чистых квантовых состояний.
Проекты и программные продукты
[править | править код]- ALF
- ALPS Архивировано 18 мая 2016 года.
- CASINO Архивная копия от 8 июня 2015 на Wayback Machine
- CHAMP Архивная копия от 6 августа 2017 на Wayback Machine
- Monte Python Архивная копия от 25 октября 2012 на Wayback Machine
- PIMC++
- pi-qmc Архивная копия от 14 июля 2012 на Wayback Machine
- QMcBeaver Архивная копия от 11 июля 2017 на Wayback Machine
- QmcMol
- QMCPACK Архивная копия от 28 ноября 2019 на Wayback Machine
- Qumax
- Qwalk Архивная копия от 4 февраля 2020 на Wayback Machine
- TurboRVB Архивная копия от 18 апреля 2017 на Wayback Machine
- Zori
Ссылки
[править | править код]- ↑ Functional form of the wave function Архивная копия от 18 июля 2009 на Wayback Machine
- ↑ Caffarel, Michel; Claverie, Pierre. Development of a pure diffusion quantum Monte Carlo method using a full generalized Feynman–Kac formula. I. Formalism (англ.) // Journal of Chemical Physics : journal. — 1988. — Vol. 88, no. 2. — P. 1088—1099. — ISSN 0021-9606. — doi:10.1063/1.454227. — . Архивировано 12 июня 2015 года. Архивированная копия . Дата обращения: 18 января 2018. Архивировано 12 июня 2015 года.
- ↑ Korzeniowski, A.; Fry, J. L.; Orr, D. E.; Fazleev, N. G. Feynman-Kac path-integral calculation of the ground-state energies of atoms (англ.) // Physical Review Letters : journal. — 1992. — 10 August (vol. 69, no. 6). — P. 893—896. — doi:10.1103/PhysRevLett.69.893. — .
- ↑ EUDML | Particle approximations of Lyapunov exponents connected to Schrödinger operators and Feynman–Kac semigroups - P. Del Moral, L. Miclo. eudml.org. Дата обращения: 11 июня 2015. Архивировано 4 февраля 2017 года.
- ↑ Del Moral, Pierre; Doucet, Arnaud. Particle Motions in Absorbing Medium with Hard and Soft Obstacles (англ.) // Stochastic Analysis and Applications : journal. — 2004. — 1 January (vol. 22, no. 5). — P. 1175—1207. — ISSN 0736-2994. — doi:10.1081/SAP-200026444.
- ↑ Del Moral, Pierre. Mean field simulation for Monte Carlo integration (англ.). — Chapman & Hall/CRC Press, 2013. — P. 626. Архивировано 8 июня 2015 года.. — «Monographs on Statistics & Applied Probability».
- ↑ Del Moral, Pierre. Feynman-Kac formulae. Genealogical and interacting particle approximations (англ.). — Springer, 2004. — P. 575.. — «Series: Probability and Applications».
- ↑ Del Moral, Pierre; Miclo, Laurent. Branching and Interacting Particle Systems Approximations of Feynman-Kac Formulae with Applications to Non-Linear Filtering (англ.). — 2000. — Vol. 1729. — P. 1—145. — doi:10.1007/bfb0103798.
- ↑ Rousseau, V. G. Stochastic Green function algorithm (англ.) // Physical Review E : journal. — 2008. — 20 May (vol. 77). — P. 056705. — doi:10.1103/physreve.77.056705. — . — arXiv:0711.3839. (недоступная ссылка)