Кубический сплайн: различия между версиями

Интерактивная навигация по истории

(Показать все непатрулированные изменения)

[непроверенная версия]

← Предыдущая правка

Содержимое удалено Содержимое добавлено

ВизуальныйВики-текст

Линейный

Текущая версия от 06:38, 15 октября 2024

Кубический сплайн — гладкая функция, область определения которой разбита на конечное число отрезков, на каждом из которых она совпадает с некоторым кубическим многочленом (полиномом).

Описание

Функция $f(x)$ задана на отрезке $[a,b]$ , разбитом на части $[x_{i-1},x_{i}]$ , $a=x_{0}<x_{1}<...<x_{N}=b$ . Кубическим сплайном дефекта 1 (разность между степенью многочлена и порядком его производной) называется функция $S(x)$ , которая:

на каждом отрезке $[x_{i-1},x_{i}]$ является многочленом степени не выше третьей;
имеет непрерывные первую и вторую производные на всём отрезке $[a,b]$ ;
в точках $x_{i}$ выполняется равенство $S(x_{i})=f(x_{i})$ , т. е. сплайн $S(x)$ интерполирует функцию $f$ в точках $x_{i}$ .

Для однозначного задания сплайна перечисленных условий недостаточно, для построения сплайна необходимо наложить дополнительные требования — граничные условия:

"Естественный сплайн" — граничные условия вида: $S''(a)=S''(b)=0$ ;
Непрерывность второй производной — граничные условия вида: $S'''(a)=S'''(b)=0$ ;
Периодический сплайн — граничные условия вида: $S'(a)=S'(b)$ и $S''(a)=S''(b)$ .

Теорема: Для любой функции $f$ и любого разбиения отрезка $[a,b]$ на части $[x_{i-1},x_{i}]$ существует ровно один естественный сплайн $S_{i}(x)$ , удовлетворяющий перечисленным выше условиям.

Эта теорема является следствием более общей теоремы Шёнберга-Уитни об условиях существования интерполяционного сплайна.

Построение

На каждом отрезке $[x_{i},x_{i+1}],\ i={\overline {0,N-1}}$ функция $S(x)$ есть полином третьей степени $S_{i}(x)$ , коэффициенты которого надо определить. Запишем для удобства $S_{i}(x)$ в виде:

S_{i}(x)=a_{i}+b_{i}(x-x_{i})+{c_{i}}(x-x_{i})^{2}+{d_{i}}(x-x_{i})^{3}

тогда

S_{i}\left(x_{i}\right)=a_{i},\quad S'_{i}(x_{i})=b_{i},\quad S''_{i}(x_{i})=2c_{i},\quad S'''_{i}\left(x_{i}\right)=6d_{i}\quad i={\overline {1,N}}.

Условия непрерывности всех производных, до второго порядка включительно, записываются в виде

S_{i}\left(x_{i-1}\right)=S_{i-1}(x_{i-1}),

S'_{i}\left(x_{i-1}\right)=S'_{i-1}(x_{i-1}),

S''_{i}\left(x_{i-1}\right)=S''_{i-1}(x_{i-1}),

где $i$ меняется от $1$ до $N,$ а условия интерполяции в виде

S_{i}\left(x_{i}\right)=f(x_{i}).

Обозначим $:\quad h_{i}=x_{i}-x_{i-1}\quad (i={\overline {1,N}}),\quad f_{i}=f(x_{i})\quad (i={\overline {0,N}})$

Отсюда получаем формулы для вычисления коэффициентов "Естественного сплайна":

a_{i}=f(x_{i})

;

d_{i}={\frac {c_{i}-c_{i-1}}{3\cdot h_{i}}}

;

b_{i}={\frac {a_{i}-a_{i-1}}{h_{i}}}-{\frac {2\cdot c_{i-1}+c_{i}}{3}}\cdot h_{i}

;

c_{i-1}\cdot h_{i}+2\cdot c_{i}\cdot (h_{i}+h_{i+1})+c_{i+1}\cdot h_{i+1}=3\cdot \left({\frac {a_{i+1}-a_{i}}{h_{i+1}}}-{\frac {a_{i}-a_{i-1}}{h_{i}}}\right)

,

причем

c_{N}=S''(x_{N})=0

и

c_{1}-3\cdot d_{1}\cdot h_{1}=S''(x_{0})=0

^[1].

Если учесть, что $c_{0}=c_{N}=0$ , то вычисление $c$ можно провести с помощью метода прогонки для трёхдиагональной матрицы.

Литература

de Boor, Carl. A Practical Guide to Splines. — New York: Springer-Verlag, 1978.
Роджерс Д., Адамс Дж. Математические основы машинной графики. — М.: Мир, 2001. — ISBN 5-03-002143-4.
Костомаров Д. П., Фаворский А. П. Вводные лекции по численным методам.
Волков Е. А. Глава 1. Приближение функций многочленами. § 11. Сплайны // Численные методы. — Учеб. пособие для вузов. — 2-е изд., испр.. — М.: Наука, 1987. — С. 63-68. — 248 с.

Ссылки

Примечания

↑ Аристова Е. Н., Завьялова Н. А., Лобанов А. И. Практические занятия по вычислительной математике Часть 1 (рус.). — 2014. — С. 159-160. — 243 с. — ISBN 978-5-7417-0541-4.
↑ Boor, 1978.

[1] Аристова Е. Н., Завьялова Н. А., Лобанов А. И. Практические занятия по вычислительной математике Часть 1 (рус.). — 2014. — С. 159-160. — 243 с. — ISBN 978-5-7417-0541-4.

[_e412c97553db35e0-2] Boor, 1978.

[1]

[2]

Кубический сплайн: различия между версиями

Текущая версия от 06:38, 15 октября 2024

Содержание

Описание

Построение

Литература

Ссылки

Примечания

Навигация

@@ Строка 1: / Строка 1: @@
+'''Кубический сплайн''' — гладкая функция, область определения которой разбита на конечное число отрезков, на каждом из которых она совпадает с некоторым кубическим многочленом (полиномом).
-Некоторая функция ''f''(''x'') задана на отрезке <math>[a,b]</math>, разбитом на части <math>[x_{i-1},x_i]</math>, <math>a=x_0< x_1< ... <x_N=b</math>. [[Куб (алгебра)|Кубическим]] [[сплайн]]ом дефекта 1 называется [[Функция (математика)|функция]] <math>S(x)</math>, которая:
+== Описание ==
+Функция <math>f(x)</math>задана на отрезке <math>[a,b]</math>, разбитом на части <math>[x_{i-1},x_i]</math>, <math>a=x_0< x_1< ... <x_N=b</math>. [[Куб (алгебра)|Кубическим]] [[сплайн]]ом дефекта 1 (разность между степенью многочлена и порядком его производной) называется [[Функция (математика)|функция]] <math>S(x)</math>, которая:
 * на каждом отрезке <math>[x_{i-1},x_i]</math> является [[многочлен]]ом степени не выше третьей;
 * имеет непрерывные первую и вторую [[Производная функции|производные]] на всём отрезке <math>[a,b]</math>;
-* в точках <math>x_i</math> выполняется равенство <math>S(x_i) = f(x_i)</math>, т. е. сплайн <math>S(x)</math> [[Интерполяция|интерполирует]] функцию ''f'' в точках <math>x_i</math>.
+* в точках <math>x_i</math> выполняется равенство <math>S(x_i) = f(x_i)</math>, т. е. сплайн <math>S(x)</math> [[Интерполяция|интерполирует]] функцию <math>f</math>в точках <math>x_i</math>.
-Для однозначного задания сплайна перечисленных условий недостаточно, для построения сплайна необходимо наложить какие-то дополнительные требования.
+Для однозначного задания сплайна перечисленных условий недостаточно, для построения сплайна необходимо наложить дополнительные требования — граничные условия:
+# "Естественный сплайн" — граничные условия вида: <math>S''(a) = S''(b) = 0</math>;
-Естественным кубическим сплайном называется кубический сплайн, удовлетворяющий также граничным условиям вида:
-: <math>S''(a) = S''(b) = 0.</math>
+# Непрерывность второй производной — граничные условия вида: <math>S'''(a) = S'''(b) = 0</math>;
+# Периодический сплайн — граничные условия вида: <math>S'(a) = S'(b)</math>и <math>S''(a) = S''(b)</math>.
-'''Теорема:''' Для любой функции <math>f</math> и любого разбиения отрезка <math>[a,b]</math> существует ровно один естественный сплайн S(x), удовлетворяющий перечисленным выше условиям.
+'''Теорема:''' Для любой функции <math>f</math> и любого разбиения отрезка <math>[a,b]</math>на части <math>[x_{i-1},x_i]</math>существует ровно один естественный сплайн <math>S_{i}(x)</math>, удовлетворяющий перечисленным выше условиям.
 Эта теорема является следствием более общей теоремы [[Шёнберг, Исаак|Шёнберга]]-Уитни об условиях существования интерполяционного сплайна.
 == Построение ==
-На каждом отрезке <math>[x_{i - 1},x_{i}]</math> функция <math>S(x)</math> есть полином третьей степени <math>S_i(x)</math>, коэффициенты которого надо определить. Запишем для удобства <math>S_i(x)</math> в виде:
+На каждом отрезке <math>[x_{i},x_{i+1}],\ i=\overline{0,N-1}</math> функция <math>S(x)</math> есть полином третьей степени <math>S_i(x)</math>, коэффициенты которого надо определить. Запишем для удобства <math>S_i(x)</math> в виде:
-: <math>S_i(x) = a_i + b_i(x - x_i) + {c_i\over2}(x-x_i)^2 + {d_i\over6}(x - x_i)^3</math>
+:<math>S_i(x) = a_i + b_i(x - x_i) + {c_i}(x-x_i)^2 + {d_i}(x - x_i)^3</math>
 тогда
-: <math>S_i\left(x_i\right) = a_i, \quad S'_i(x_i) = b_i, \quad S''_i(x_i) = c_i</math>
+:<math>S_i\left(x_i\right) = a_i, \quad S'_i(x_i) = b_i, \quad S''_i(x_i) = 2c_i, \quad
+S'''_i\left(x_i\right) = 6d_i \quad i=\overline{1,N}.</math>
-Условия непрерывности всех производных до второго порядка включительно
+Условия непрерывности всех производных, до второго порядка включительно, записываются в виде <br />
+:<math>S_i\left(x_{i-1}\right) = S_{i-1}(x_{i-1}),</math><br />
-записываются в виде <br />
-<math>S_i\left(x_{i-1}\right) = S_{i-1}(x_{i-1})</math><br />
+:<math>S'_i\left(x_{i-1}\right) = S'_{i-1}(x_{i-1}),</math><br />
-<math>S'_i\left(x_{i-1}\right) = S'_{i-1}(x_{i-1})</math><br />
+:<math>S''_i\left(x_{i-1}\right) = S''_{i-1}(x_{i-1}),</math><br />
-<math>S''_i\left(x_{i-1}\right) = S''_{i-1}(x_{i-1})</math><br />
-а условия интерполяции в виде
-: <math>S_i\left(x_{i}\right) = f(x_{i})</math>
+где <math>i</math> меняется от <math>1</math> до <math>N,</math> а условия интерполяции в виде
-Обозначим<math>: \quad h_i = x_i - x_{i-1}, \quad f_{i} = f(x_{i})</math>
+:<math>S_i\left(x_{i}\right) = f(x_{i}).</math>
+Обозначим<math>: \quad h_i = x_i - x_{i-1}\quad (i = \overline{1,N}), \quad f_{i} = f(x_{i})\quad (i = \overline{0,N})</math>
-Отсюда получаем формулы для вычисления коэффициентов сплайна:
-: <math>a_i = f\left(x_{i}\right)</math>
-: <math>h_{i}c_{i-1} + 2(h_i + h_{i+1})c_i + h_{i+1}c_{i+1} =
-\left({{f_{i+1} - f_i}\over{h_{i+1}}} - {{f_{i} - f_{i-1}}\over{h_{i}}}\right)</math>
-: <math>d_i = {{c_i - c_{i-1}}\over{h_i}}</math>
-: <math>b_i = {1\over2}h_ic_i - {1\over6}h^2_id_i + {{f_i - f_{i-1}}\over{h_i}}= {{f_i - f_{i-1}}\over{h_i}} + {{h_i(2c_i + c_{i-1})}\over6}</math>
+Отсюда получаем формулы для вычисления коэффициентов "Естественного сплайна":
-Если учесть, что <math>c_0 = c_n = 0</math>, то вычисление <math>c</math> можно провести с помощью [[Метод прогонки|метода прогонки]] для [[трёхдиагональная матрица|трёхдиагональной матрицы]].
+:<math id="ai">a_{i} = f(x_{i})</math>;
+:<math id="di">d_{i} = \frac{c_{i} - c_{i - 1}}{3 \cdot h_{i}}</math>;
-Реализация на языке [[C++]]
+:<math>b_{i} = \frac{a_{i} - a_{i - 1}}{h_{i}} - \frac{2 \cdot c_{i-1} + c_{i}}{3} \cdot h_{i}</math>;
-<source lang="cpp">
+:<math id="ci">c_{i - 1} \cdot h_{i} + 2 \cdot c_{i} \cdot(h_{i} + h_{i+1}) + c_{i + 1} \cdot h_{i+1} = 3 \cdot \left(\frac{a_{i+1} - a_{i}}{h_{i+1}} - \frac{a_{i} - a_{i - 1}}{h_{i}}\right)</math>,
-#include <cstdlib>
+:причем <math>c_{N} = S''(x_{N}) = 0</math> и <math>c_{1} - 3 \cdot d_{1} \cdot h_{1} = S''(x_{0}) = 0</math> <ref>{{Книга|автор=Аристова Е. Н., Завьялова Н. А., Лобанов А. И.|заглавие=Практические занятия по вычислительной математике Часть 1|год=2014|язык=ru|страницы=159-160|страниц=243|isbn=978-5-7417-0541-4}}</ref>.
-#include <cmath>
+Если учесть, что <math>c_{0} = c_{N} = 0</math>, то вычисление <math>c</math> можно провести с помощью [[Метод прогонки|метода прогонки]] для [[трёхдиагональная матрица|трёхдиагональной матрицы]].
-#include <limits>
-class cubic_spline
-{
-private:
-	// Структура, описывающая сплайн на каждом сегменте сетки
-	struct spline_tuple
-	{
-		double a, b, c, d, x;
-	};
-	spline_tuple *splines; // Сплайн
-	std::size_t n; // Количество узлов сетки
-	void free_mem(); // Освобождение памяти
-public:
-	cubic_spline(); //конструктор
-	~cubic_spline(); //деструктор
-	// Построение сплайна
-	// x - узлы сетки, должны быть упорядочены по возрастанию, кратные узлы запрещены
-	// y - значения функции в узлах сетки
-	// n - количество узлов сетки
-	void build_spline(const double *x, const double *y, std::size_t n);
-	// Вычисление значения интерполированной функции в произвольной точке
-	double f(double x) const;
-};
-cubic_spline::cubic_spline() : splines(NULL)
-{
-}
-cubic_spline::~cubic_spline()
-{
-	free_mem();
-}
-void cubic_spline::build_spline(const double *x, const double *y, std::size_t n)
-{
-	free_mem();
-	this->n = n;
-	// Инициализация массива сплайнов
-	splines = new spline_tuple[n];
-	for (std::size_t i = 0; i < n; ++i)
-	{
-		splines[i].x = x[i];
-		splines[i].a = y[i];
-	}
-	splines[0].c = 0.;
-	// Решение СЛАУ относительно коэффициентов сплайнов c[i] методом прогонки для трехдиагональных матриц
-	// Вычисление прогоночных коэффициентов - прямой ход метода прогонки
-	double *alpha = new double[n - 1];
-	double *beta = new double[n - 1];
-	double A, B, C, F, h_i, h_i1, z;
-	alpha[0] = beta[0] = 0.;
-	for (std::size_t i = 1; i < n - 1; ++i)
-	{
-		h_i = x[i] - x[i - 1], h_i1 = x[i + 1] - x[i];
-		A = h_i;
-		C = 2. * (h_i + h_i1);
-		B = h_i1;
-		F = 6. * ((y[i + 1] - y[i]) / h_i1 - (y[i] - y[i - 1]) / h_i);
-		z = (A * alpha[i - 1] + C);
-		alpha[i] = -B / z;
-		beta[i] = (F - A * beta[i - 1]) / z;
-	}
-	splines[n - 1].c = (F - A * beta[n - 2]) / (C + A * alpha[n - 2]);
-	// Нахождение решения - обратный ход метода прогонки
-	for (int i = n - 2; i > 0; --i)
-		splines[i].c = alpha[i] * splines[i + 1].c + beta[i];
-	// Освобождение памяти, занимаемой прогоночными коэффициентами
-	delete[] beta;
-	delete[] alpha;
-	// По известным коэффициентам c[i] находим значения b[i] и d[i]
-	for (int i = n - 1; i > 0; --i)
-	{
-		double h_i = x[i] - x[i - 1];
-		splines[i].d = (splines[i].c - splines[i - 1].c) / h_i;
-		splines[i].b = h_i * (2. * splines[i].c + splines[i - 1].c) / 6. + (y[i] - y[i - 1]) / h_i;
-	}
-}
-double cubic_spline::f(double x) const
-{
-	if (!splines)
-		return std::numeric_limits<double>::quiet_NaN(); // Если сплайны ещё не построены - возвращаем NaN
-	spline_tuple *s;
-	if (x <= splines[0].x) // Если x меньше точки сетки x[0] - пользуемся первым эл-том массива
-		s = splines + 1;
-	else if (x >= splines[n - 1].x) // Если x больше точки сетки x[n - 1] - пользуемся последним эл-том массива
-		s = splines + n - 1;
-	else // Иначе x лежит между граничными точками сетки - производим бинарный поиск нужного эл-та массива
-	{
-		std::size_t i = 0, j = n - 1;
-		while (i + 1 < j)
-		{
-			std::size_t k = i + (j - i) / 2;
-			if (x <= splines[k].x)
-				j = k;
-			else
-				i = k;
-		}
-		s = splines + j;
-	}
-	double dx = (x - s->x);
-	return s->a + (s->b + (s->c / 2. + s->d * dx / 6.) * dx) * dx; // Вычисляем значение сплайна в заданной точке.
-}
-void cubic_spline::free_mem()
-{
-	delete[] splines;
-	splines = NULL;
-}
-</source>
-Реализация на языке [[C Sharp|C#]] Платформа [[.NET Framework|.NET]]
-<source lang="csharp">
-// Интерполирование функций естественными кубическими сплайнами
-using System;
-class CubicSpline
-{
-    SplineTuple[] splines; // Сплайн
-    // Структура, описывающая сплайн на каждом сегменте сетки
-    private struct SplineTuple
-    {
-        public double a, b, c, d, x;
-    }
-    // Построение сплайна
-    // x - узлы сетки, должны быть упорядочены по возрастанию, кратные узлы запрещены
-    // y - значения функции в узлах сетки
-    // n - количество узлов сетки
-    public void BuildSpline(double[] x, double[] y, int n)
-    {
-        // Инициализация массива сплайнов
-        splines = new SplineTuple[n];
-        for (int i = 0; i < n; ++i)
-        {
-            splines[i].x = x[i];
-            splines[i].a = y[i];
-        }
-        splines[0].c = splines[n - 1].c = 0.0;
-        // Решение СЛАУ относительно коэффициентов сплайнов c[i] методом прогонки для трехдиагональных матриц
-        // Вычисление прогоночных коэффициентов - прямой ход метода прогонки
-        double[] alpha = new double[n - 1];
-        double[] beta  = new double[n - 1];
-        alpha[0] = beta[0] = 0.0;
-        for (int i = 1; i < n - 1; ++i)
-        {
-            double hi  = x[i] - x[i - 1];
-            double hi1 = x[i + 1] - x[i];
-            double A = hi;
-            double C = 2.0 * (hi + hi1);
-            double B = hi1;
-            double F = 6.0 * ((y[i + 1] - y[i]) / hi1 - (y[i] - y[i - 1]) / hi);
-            double z = (A * alpha[i - 1] + C);
-            alpha[i] = -B / z;
-            beta[i] = (F - A * beta[i - 1]) / z;
-        }
-        // Нахождение решения - обратный ход метода прогонки
-        for (int i = n - 2; i > 0; --i)
-        {
-            splines[i].c = alpha[i] * splines[i + 1].c + beta[i];
-        }
-        // По известным коэффициентам c[i] находим значения b[i] и d[i]
-        for (int i = n - 1; i > 0; --i)
-        {
-            double hi = x[i] - x[i - 1];
-            splines[i].d = (splines[i].c - splines[i - 1].c) / hi;
-            splines[i].b = hi * (2.0 * splines[i].c + splines[i - 1].c) / 6.0 + (y[i] - y[i - 1]) / hi;
-        }
-    }
-    // Вычисление значения интерполированной функции в произвольной точке
-    public double Interpolate(double x)
-    {
-        if (splines == null)
-        {
-            return double.NaN; // Если сплайны ещё не построены - возвращаем NaN
-        }
-        int n = splines.Length;
-        SplineTuple s;
-        if (x <= splines[0].x) // Если x меньше точки сетки x[0] - пользуемся первым эл-тов массива
-        {
-            s = splines[0];
-        }
-        else if (x >= splines[n - 1].x) // Если x больше точки сетки x[n - 1] - пользуемся последним эл-том массива
-        {
-            s = splines[n - 1];
-        }
-        else // Иначе x лежит между граничными точками сетки - производим бинарный поиск нужного эл-та массива
-        {
-            int i = 0;
-            int j = n - 1;
-            while (i + 1 < j)
-            {
-                int k = i + (j - i) / 2;
-                if (x <= splines[k].x)
-                {
-                    j = k;
-                }
-                else
-                {
-                    i = k;
-                }
-            }
-            s = splines[j];
-        }
-        double dx = x - s.x;
-        // Вычисляем значение сплайна в заданной точке по схеме Горнера (в принципе, "умный" компилятор применил бы схему Горнера сам, но ведь не все так умны, как кажутся)
-        return s.a + (s.b + (s.c / 2.0 + s.d * dx / 6.0) * dx) * dx;
-    }
-}
-</source>
-Реализация на языке [[PHP]]<syntaxhighlight lang="php">
-class CubicSpline
-{
-	private static $_splines = []; // Сплайн
-	// Структура, описывающая сплайн на каждом сегменте сетки
-	private static $_spline_struct = [
-				'a' => 0,
-				'b' => 0,
-				'c' => 0,
-				'd' => 0,
-				'x' => 0,
-			];
-	/**
-	*   Построение сплайна
-    *
-	* @param array $x - узлы сетки, должны быть упорядочены по возрастанию, кратные узлы запрещены
-	* @param array $y - значения функции в узлах сетки
-	* @param integer $n - количество узлов сетки
-	*
-	* @return array возвращаем страктуру сплайна
-	*/
-	public static function buildSpline($x, $y, $n)
-	{
-      	// Инициализация массива сплайнов
-        for ($i = 0; $i < $n; ++$i) {
-            self::$_splines[$i]['x'] = $x[$i];
-            self::$_splines[$i]['a'] = $y[$i];
-        }
-        self::$_splines[0]['c'] = self::$_splines[$n - 1]['c'] = 0;
-        // Решение СЛАУ относительно коэффициентов сплайнов c[i] методом прогонки для трехдиагональных матриц
-        // Вычисление прогоночных коэффициентов - прямой ход метода прогонки
-        $alpha = [];
-        $beta  = [];
-        $alpha[0] = $beta[0] = 0;
-        for ($i = 1; $i < ($n - 1); ++$i) {
-            $hi  = $x[$i] - $x[$i - 1];
-            $hi1 = $x[$i + 1] - $x[$i];
-            $A = $hi;
-            $C = 2.0 * ($hi + $hi1);
-            $B = $hi1;
-            $F = 6.0 * (($y[$i + 1] - $y[$i]) / $hi1 - ($y[$i] - $y[$i - 1]) / $hi);
-            $z = ($A * $alpha[$i - 1] + $C);
-            $alpha[$i] = -$B / $z;
-            $beta[$i] = ($F - $A * $beta[$i - 1]) / $z;
-        }
-        // Нахождение решения - обратный ход метода прогонки
-        for ($i = ($n - 2); $i > 0; --$i){
-            self::$_splines[$i]['c'] = $alpha[$i] * self::$_splines[$i + 1]['c'] + $beta[$i];
-        }
-        // По известным коэффициентам c[i] находим значения b[i] и d[i]
-        for ($i = ($n - 1); $i > 0; --$i) {
-            $hi = $x[$i] - $x[$i - 1];
-            self::$_splines[$i]['d'] = (self::$_splines[$i]['c']- self::$_splines[$i - 1]['c']) / $hi;
-            self::$_splines[$i]['b'] = $hi * (2.0 * self::$_splines[$i]['c'] + self::$_splines[$i - 1]['c']) / 6.0 + ($y[$i] - $y[$i - 1]) / $hi;
-        }
-        return self::$_splines;
-	}
-	// Вычисление значения интерполированной функции в произвольной точке
-    public static function interpolate($x)
-    {
-        if (self::$_splines == null) {
-            return null; // Если сплайны ещё не построены - возвращаем NULL
-        }
-        $n = count(self::$_splines);
-        $s = self::$_spline_struct;
-        if ($x <= self::$_splines[0]['x']) { // Если x меньше точки сетки x[0] - пользуемся первым эл-тов массива
-            $s = self::$_splines[0];
-        } elseif ($x >= self::$_splines[$n - 1]['x']) { // Если x больше точки сетки x[n - 1] - пользуемся последним эл-том массива
-            $s = self::$_splines[$n - 1];
-        } else { // Иначе x лежит между граничными точками сетки - производим бинарный поиск нужного эл-та массива
-            $i = 0;
-            $j = $n - 1;
-            while (($i + 1) < $j) {
-                $k = $i + ($j - $i) / 2;
-                if ($x <= self::$_splines[$k]['x']) {
-                    $j = $k;
-                } else {
-                    $i = $k;
-                }
-            }
-            $s = self::$_splines[$j];
-        }
-        $dx = $x - $s['x'];
-        // Вычисляем значение сплайна в заданной точке по схеме Горнера (в принципе, "умный" компилятор применил бы схему Горнера сам, но ведь не все так умны, как кажутся)
-        return $s['a'] + ($s['b'] + ($s['c'] / 2.0 + $s['d'] * $dx / 6.0) * $dx) * $dx;
-    }
-}
-</syntaxhighlight>
-Python 2.7, шаг постоянный
-<source lang="python">
-from collections import defaultdict
-from matplotlib import mlab
-import bisect, pylab, math
-def drange(start, stop, step):
-    while start < stop: yield start; start += step;
-class Dot:
-    def __init__(self, x, y): self.x, self.y = [x, y]
-class Tuple: a, b, c, d, x = [0., 0., 0., 0., 0.]
-def buildSpline(dots):
-    for i in range(len(dots)): splines[i].x, splines[i].a = dots[i].x, dots[i].y
-    alpha, beta = [defaultdict(lambda: 0.), defaultdict(lambda: 0.)]
-    for i in range(1, len(dots)-1):
-        C = 4. * in_step
-        F = 6. * ((dots[i + 1].y - dots[i].y) / in_step - (dots[i].y - dots[i - 1].y) / in_step)
-        z = (in_step* alpha[i - 1] + C)
-        alpha[i] = -in_step / z
-        beta[i] = (F - in_step* beta[i - 1]) / z
-    for i in reversed(range(1, len(dots) - 1)): splines[i].c = alpha[i] * splines[i+1].c + beta[i]
-    for i in reversed(range(1, len(dots))):
-        hi = dots[i].x - dots[i-1].x
-        splines[i].d = (splines[i].c - splines[i-1].c) / hi
-        splines[i].b = hi * (2.0 * splines[i].c + splines[i - 1].c) / 6.0 + (dots[i].y - dots[i-1].y) / hi
-def calc(x):
-    distribution = sorted([t[1].x for t in splines.items()])
-    indx = bisect.bisect_left(distribution, x)
-    if indx == len(distribution): return 0
-    dx = x - splines[indx].x
-    return splines[indx].a + splines[indx].b * dx + splines[indx].c * dx**2 / 2. + splines[indx].d * dx**3 / 6.
-#============================================
-in_func =  lambda x:  math.sin(x)
-in_min_x = 0
-in_max_x = 25
-in_step = 2.5
-out_min_x = 0
-out_max_x = 25
-out_step = 0.1
-#============================================
-#build model
-splines = defaultdict(lambda: Tuple())
-buildSpline(map(lambda x: Dot(x, in_func(x)), [x for x in drange(in_min_x, in_max_x+1, in_step)]))
-#print result
-for x in drange(out_min_x, out_max_x, out_step):
-    print str(x) + ';' + str(calc(x))
-#build graphics
-xlist = mlab.frange (out_min_x, out_max_x, out_step)
-pylab.plot(xlist, [calc(x) for x in xlist])
-pylab.plot(xlist, [in_func(x) for x in xlist])
-pylab.show()
-</source>
 == Литература ==
+# {{книга | автор = de Boor, Carl | заглавие = A Practical Guide to Splines | ссылка = https://archive.org/details/practicalguideto0027debo | издательство=Springer-Verlag | место=New York | год = 1978 | ref = Boor}}
-* {{книга|автор=Роджерс Д., Адамс Дж.|заглавие=Математические основы машинной графики|издательство=Мир|место=М.|Издание=2-е, перераб. и доп.|станиц=604|год=2001|isbn=5-03-002143-4}}
+# {{книга|автор=Роджерс Д., Адамс Дж.|заглавие=Математические основы машинной графики|издательство=Мир|место=М.|Издание=2-е, перераб. и доп.|станиц=604|год=2001|isbn=5-03-002143-4}}
-* {{книга|автор=Костомаров Д. П., Фаворский А. П.|заглавие=Вводные лекции по численным методам}}
+# {{книга|автор=[[Костомаров, Дмитрий Павлович|Костомаров Д. П.]], [[Фаворский, Антон Павлович|Фаворский А. П.]]|заглавие=Вводные лекции по численным методам}}
-* {{книга |автор=Волков Е. А. |заглавие=Численные методы |издание=Учеб. пособие для вузов. — 2-е изд., испр. |место={{М.}} |издательство=Наука |год=1987 |страниц=248 |часть=Глава 1. Приближение функций многочленами. § 11. Сплайны |страницы=63-68}}
+# {{книга |автор=Волков Е. А. |заглавие=Численные методы |издание=Учеб. пособие для вузов. — 2-е изд., испр. |место={{М.}} |издательство=Наука |год=1987 |страниц=248 |часть=Глава 1. Приближение функций многочленами. § 11. Сплайны |страницы=63-68}}
 == Ссылки ==
 * [http://rudtp.pp.ru/cubicspline/ Интерполяция кубическими сплайнами на JavaScript (рус.)]
+* [https://github.com/ValexCorp/Cubic-Interpolation Cubic Interpolation] {{sfn|Boor|1978}}
+== Примечания ==
+{{примечания}}
 {{rq|refless}}
@@ Строка 472: / Строка 65: @@
 [[Категория:Численные методы]]
 [[Категория:Интерполяция]]
-[[Категория:Статьи с примерами кода C++]]

Кубический сплайн: различия между версиями

Текущая версия от 06:38, 15 октября 2024

Описание

Построение

Литература

Ссылки

Примечания

Навигация

Поиск