Кубический сплайн

Кубический сплайн — гладкая функция, область определения которой разбита на конечное число отрезков, на каждом из которых она совпадает с некоторым кубическим многочленом (полиномом).

Описание

Функция $f(x)$задана на отрезке $[a,b]$, разбитом на части $[x_{i-1},x_{i}]$, $a=x_{0}<x_{1}<...<x_{N}=b$. Кубическим сплайном дефекта 1 (разность между степенью многочлена и порядком его производной) называется функция $S(x)$, которая:

• на каждом отрезке $[x_{i-1},x_{i}]$ является многочленом степени не выше третьей;
• имеет непрерывные первую и вторую производные на всём отрезке $[a,b]$;
• в точках $x_{i}$ выполняется равенство $S(x_{i})=f(x_{i})$, т. е. сплайн $S(x)$ интерполирует функцию $f$в точках $x_{i}$.

Для однозначного задания сплайна перечисленных условий недостаточно, для построения сплайна необходимо наложить дополнительные требования — граничные условия:

1. "Естественный сплайн" — граничные условия вида: $S''(a)=S''(b)=0$;
2. Непрерывность второй производной — граничные условия вида: $S'''(a)=S'''(b)=0$;
3. Периодический сплайн — граничные условия вида: $S'(a)=S'(b)$и $S''(a)=S''(b)$.

Теорема: Для любой функции $f$ и любого разбиения отрезка $[a,b]$на части $[x_{i-1},x_{i}]$существует ровно один естественный сплайн $S_{i}(x)$, удовлетворяющий перечисленным выше условиям.

Эта теорема является следствием более общей теоремы Шёнберга-Уитни об условиях существования интерполяционного сплайна.

Построение

На каждом отрезке $[x_{i},x_{i+1}],\ i={\overline {0,N-1}}$ функция $S(x)$ есть полином третьей степени $S_{i}(x)$, коэффициенты которого надо определить. Запишем для удобства $S_{i}(x)$ в виде:

$S_{i}(x)=a_{i}+b_{i}(x-x_{i})+{c_{i}}(x-x_{i})^{2}+{d_{i}}(x-x_{i})^{3}$

тогда

$S_{i}\left(x_{i}\right)=a_{i},\quad S'_{i}(x_{i})=b_{i},\quad S''_{i}(x_{i})=2c_{i},\quad S'''_{i}\left(x_{i}\right)=6d_{i}\quad i={\overline {1,N}}.$

Условия непрерывности всех производных, до второго порядка включительно, записываются в виде

$S_{i}\left(x_{i-1}\right)=S_{i-1}(x_{i-1}),$

$S'_{i}\left(x_{i-1}\right)=S'_{i-1}(x_{i-1}),$

$S''_{i}\left(x_{i-1}\right)=S''_{i-1}(x_{i-1}),$

где $i$ меняется от $1$ до $N,$ а условия интерполяции в виде

$S_{i}\left(x_{i}\right)=f(x_{i}).$

Обозначим$:\quad h_{i}=x_{i}-x_{i-1}\quad (i={\overline {1,N}}),\quad f_{i}=f(x_{i})\quad (i={\overline {0,N}})$

Отсюда получаем формулы для вычисления коэффициентов "Естественного сплайна":

$a_{i}=f(x_{i})$;

$d_{i}={\frac {c_{i}-c_{i-1}}{3\cdot h_{i}}}$;

$b_{i}={\frac {a_{i}-a_{i-1}}{h_{i}}}-{\frac {2\cdot c_{i-1}+c_{i}}{3}}\cdot h_{i}$;

$c_{i-1}\cdot h_{i}+2\cdot c_{i}\cdot (h_{i}+h_{i+1})+c_{i+1}\cdot h_{i+1}=3\cdot \left({\frac {a_{i+1}-a_{i}}{h_{i+1}}}-{\frac {a_{i}-a_{i-1}}{h_{i}}}\right)$,

причем $c_{N}=S''(x_{N})=0$ и $c_{1}-3\cdot d_{1}\cdot h_{1}=S''(x_{0})=0$ .

Если учесть, что $c_{0}=c_{N}=0$, то вычисление $c$ можно провести с помощью метода прогонки для трёхдиагональной матрицы.

Литература

1. de Boor, Carl. A Practical Guide to Splines. — New York: Springer-Verlag, 1978.
2. Роджерс Д., Адамс Дж. Математические основы машинной графики. — М.: Мир, 2001. — ISBN 5-03-002143-4.
3. Костомаров Д. П., Фаворский А. П. Вводные лекции по численным методам.
4. Волков Е. А. Глава 1. Приближение функций многочленами. § 11. Сплайны // Численные методы. — Учеб. пособие для вузов. — 2-е изд., испр.. — М.: Наука, 1987. — С. 63-68. — 248 с.

Ссылки

• Интерполяция кубическими сплайнами на JavaScript (рус.)
• Cubic Interpolation