Плоскость: различия между версиями
[отпатрулированная версия] | [отпатрулированная версия] |
Lesless (обсуждение | вклад) м откат правок 178.75.67.193 (обс.) к версии Arventur Метка: откат |
РобоСтася (обсуждение | вклад) м косметические изменения |
||
(не показаны 22 промежуточные версии 18 участников) | |||
Строка 5: | Строка 5: | ||
== Некоторые характеристические свойства плоскости == |
== Некоторые характеристические свойства плоскости == |
||
* Плоскость — поверхность, содержащая полностью каждую [[Прямая|прямую]], соединяющую любые её [[Точка (геометрия)|точки]]; |
* Плоскость — бесконечно большая поверхность, содержащая полностью каждую [[Прямая|прямую]], соединяющую любые её [[Точка (геометрия)|точки]]; |
||
* Две плоскости |
* Две различные плоскости либо являются [[Параллельность|параллельными]], либо пересекаются по прямой. |
||
* Прямая либо параллельна плоскости, либо пересекает её в одной точке, либо |
* Прямая либо параллельна плоскости, либо пересекает её в одной точке, либо содержится в плоскости. |
||
* Две прямые, [[Перпендикулярность|перпендикулярные]] одной и той же плоскости, параллельны друг другу. |
* Две прямые, [[Перпендикулярность|перпендикулярные]] одной и той же плоскости, параллельны друг другу. |
||
* Две плоскости, перпендикулярные одной и той же прямой, параллельны друг другу. |
* Две плоскости, перпендикулярные одной и той же прямой, параллельны друг другу. |
||
Строка 108: | Строка 108: | ||
<center><math>d=\frac{\mid[\bar r_2 - \bar r_1, \bar n]\mid}{\mid\bar n\mid}</math></center> |
<center><math>d=\frac{\mid[\bar r_2 - \bar r_1, \bar n]\mid}{\mid\bar n\mid}</math></center> |
||
[[Файл:Relations between planes.png|thumb|300px|right|Типы взаимного расположения трёх или менее плоскостей. В частности, 4 тип — пересечение двух плоскостей, 11 тип — плоскость E<sub>3</sub> проходит через линию пересечения плоскостей E<sub>1</sub> и E<sub>2</sub>, 12 тип — пересечение трёх плоскостей в точке |
[[Файл:Relations between planes.png|thumb|300px|right|Типы взаимного расположения трёх или менее плоскостей. В частности, 4 тип — пересечение двух плоскостей, 11 тип — плоскость E<sub>3</sub> проходит через линию пересечения плоскостей E<sub>1</sub> и E<sub>2</sub>, 12 тип — пересечение трёх плоскостей в точке]] |
||
== Связанные понятия == |
== Связанные понятия == |
||
Строка 127: | Строка 127: | ||
: <math>A_1A_2+B_1B_2+C_1C_2=0</math> или <math>(\mathbf{N_1}, \mathbf{N_2})=0</math>. (Скалярное произведение) |
: <math>A_1A_2+B_1B_2+C_1C_2=0</math> или <math>(\mathbf{N_1}, \mathbf{N_2})=0</math>. (Скалярное произведение) |
||
* '''Пучок плоскостей''' — все плоскости, проходящие через линию пересечения двух плоскостей. Уравнение пучка плоскостей, то есть любой плоскости, проходящей через линию пересечения двух плоскостей, имеет вид<ref name="Vect">{{книга|автор=Гусятников П.Б., Резниченко С.В.|заглавие=Векторная алгебра в примерах и задачах|место={{М}}|издательство=[[Высшая школа (издательство)|Высшая школа]]|год=1985|страниц=232|ссылка=http://reslib.com/book/Vektornaya_algebra_v_primerah_i_zadachah}}</ref>{{rp|222}}: |
* '''Пучок плоскостей''' — все плоскости, проходящие через линию пересечения двух плоскостей. Уравнение пучка плоскостей, то есть любой плоскости, проходящей через линию пересечения двух плоскостей, имеет вид<ref name="Vect">{{книга|автор=Гусятников П.Б., Резниченко С.В.|заглавие=Векторная алгебра в примерах и задачах|место={{М}}|издательство=[[Высшая школа (издательство)|Высшая школа]]|год=1985|страниц=232|ссылка=http://reslib.com/book/Vektornaya_algebra_v_primerah_i_zadachah|archive-date=2014-01-10|archive-url=https://web.archive.org/web/20140110162343/http://reslib.com/book/Vektornaya_algebra_v_primerah_i_zadachah}}</ref>{{rp|222}}: |
||
: <math>\alpha(A_1x+B_1y+C_1z+D_1)+\beta(A_2x+B_2y+C_2z+D_2)=0,</math> |
: <math>\alpha(A_1x+B_1y+C_1z+D_1)+\beta(A_2x+B_2y+C_2z+D_2)=0,</math> |
||
Строка 149: | Строка 149: | ||
<math> x = \vec{a_1}t_1 + \ldots + \vec{a_m}t_m + d, \vec{a_i} \in V</math> — векторное уравнение m-плоскости.<br> |
<math> x = \vec{a_1}t_1 + \ldots + \vec{a_m}t_m + d, \vec{a_i} \in V</math> — векторное уравнение m-плоскости.<br> |
||
Вектора <math>\vec{a_i}</math> образуют направляющее подпространство. Две m-плоскости <math>\alpha, \beta</math> называются ''параллельными'', если их направляющие пространства совпадают и <math> \exists x \in \alpha : x \notin \beta </math>. |
Вектора <math>\vec{a_i}</math> образуют направляющее подпространство. Две m-плоскости <math>\alpha, \beta</math> называются ''параллельными'', если их направляющие пространства совпадают и <math> \exists x \in \alpha : x \notin \beta </math>. |
||
(n-1)-плоскость в n-мерном пространстве называется ''[[гиперплоскость]]ю'' или просто ''плоскостью''. Для гиперплоскости существует общее уравнение плоскости. Пусть <math>\vec{n}</math> — нормальный вектор плоскости, <math> \vec{r} = (x^1,...,x^n)</math> — вектор переменных, <math>\vec{r_0}</math> — радиус вектор точки, принадлежащей плоскости, тогда:<br> |
|||
<math> (\vec{r} - \vec{r_0}, \vec{n}) = 0 </math> — общее уравнение плоскости. <br> |
<math> (\vec{r} - \vec{r_0}, \vec{n}) = 0 </math> — общее уравнение плоскости. <br> |
||
Имея матрицу направляющих векторов, уравнение можно записать так: <math> \det(\vec{r} - \vec{r_0} | A_{n,n-1}) = 0</math>, или:<br> |
Имея матрицу направляющих векторов, уравнение можно записать так: <math> \det(\vec{r} - \vec{r_0} | A_{n,n-1}) = 0</math>, или:<br> |
||
<math>\begin{vmatrix} x^1 - x_{0}^1 & a_{1}^1 & a_{2}^1 & ... & a_{n-1}^1 \\ x^2 - x_{0}^2 & a_{1}^2 & a_{2}^1 & ... & a_{n-1}^2 \\ ... & ... & ... & ... \\ x^n - x_{0}^n & a_{1}^n & a_{2}^n & ... & a_{n-1}^n \end{vmatrix} = 0 </math>.<br> |
<math>\begin{vmatrix} x^1 - x_{0}^1 & a_{1}^1 & a_{2}^1 & ... & a_{n-1}^1 \\ x^2 - x_{0}^2 & a_{1}^2 & a_{2}^1 & ... & a_{n-1}^2 \\ ... & ... & ... & ... \\ x^n - x_{0}^n & a_{1}^n & a_{2}^n & ... & a_{n-1}^n \end{vmatrix} = 0 </math>.<br> |
||
''Углом между плоскостями'' называется наименьший угол между их нормальными векторами. |
''Углом между плоскостями'' называется наименьший угол между их нормальными векторами. |
||
Примером 1-плоскости в трёхмерном пространстве (n=3) служит [[прямая]]. Её векторное уравнение имеет вид: <math> \alpha = \{a_x,a_y,a_z\}t + \{b_x,b_y,b_z\}</math>. В случае n = 2 прямая является гиперплоскостью. |
Примером 1-плоскости в трёхмерном пространстве (n=3) служит [[прямая]]. Её векторное уравнение имеет вид: <math> \alpha = \{a_x,a_y,a_z\}t + \{b_x,b_y,b_z\}</math>. В случае n = 2 прямая является гиперплоскостью. |
||
Строка 180: | Строка 181: | ||
{{ВС}} |
{{ВС}} |
||
[[Категория: |
[[Категория:Математические понятия]] |
||
[[Категория:Аксиоматические термины]] |
[[Категория:Аксиоматические термины]] |
||
[[Категория:Стереометрия]] |
[[Категория:Стереометрия]] |
||
[[Категория: |
[[Категория:Квадрики]] |
Текущая версия от 15:49, 23 октября 2024
Пло́скость — одно из фундаментальных понятий в геометрии. При систематическом изложении геометрии понятие плоскости обычно принимается за одно из исходных понятий, которое лишь косвенным образом определяется аксиомами геометрии. В тесной связи с плоскостью принято рассматривать принадлежащие ей точки и прямые; они также, как правило, вводятся как неопределяемые понятия, свойства которых задаются аксиоматически[1].
Некоторые характеристические свойства плоскости
[править | править код]- Плоскость — бесконечно большая поверхность, содержащая полностью каждую прямую, соединяющую любые её точки;
- Две различные плоскости либо являются параллельными, либо пересекаются по прямой.
- Прямая либо параллельна плоскости, либо пересекает её в одной точке, либо содержится в плоскости.
- Две прямые, перпендикулярные одной и той же плоскости, параллельны друг другу.
- Две плоскости, перпендикулярные одной и той же прямой, параллельны друг другу.
Уравнения плоскости
[править | править код]Впервые встречается у А. К. Клеро (1731).
Уравнение плоскости в отрезках, по-видимому, впервые встречается у Г. Ламе (1816—1818).
Нормальное уравнение ввёл Л. О. Гессе (1861).
Плоскость — алгебраическая поверхность первого порядка: в декартовой системе координат плоскость может быть задана уравнением первой степени.
- Общее уравнение (полное) плоскости
где и — постоянные, причём и одновременно не равны нулю; в векторной форме:
где — радиус-вектор точки , вектор перпендикулярен к плоскости (нормальный вектор). Направляющие косинусы вектора :
Если один из коэффициентов в уравнении плоскости равен нулю, уравнение называется неполным. При плоскость проходит через начало координат, при (или , ) плоскость параллельна оси (соответственно или ). При (, или ) плоскость параллельна плоскости (соответственно или ).
- Уравнение плоскости в отрезках:
где , , — отрезки, отсекаемые плоскостью на осях и .
- Уравнение плоскости, проходящей через точку ,перпендикулярной вектору нормали :
в векторной форме:
- Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки , не лежащие на одной прямой:
(смешанное произведение векторов), иначе
- Нормальное (нормированное) уравнение плоскости
в векторной форме:
где - единичный вектор, — расстояние П. от начала координат. Уравнение (2) может быть получено из уравнения (1) умножением на нормирующий множитель
(знаки и противоположны).
Определение по точке и вектору нормали
[править | править код]В трёхмерном пространстве одним из важнейших способов определения плоскости является указание точки на плоскости и вектора нормали к ней.
Допустим, является радиусом-вектором точки , заданной на плоскости, и допустим, что n — это ненулевой вектор, перпендикулярный к плоскости (нормаль). Идея состоит в том, что точка с радиусом-вектором r находится на плоскости тогда и только тогда, когда вектор, проведённый от к , перпендикулярен n.
Вернёмся к тому, что два вектора являются перпендикулярными тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю. Отсюда следует, что нужная нам плоскость может быть выражена как множество всех точек r таких, что:
- (Здесь точка означает скалярное произведение, а не умножение.)
Развернув выражение, мы получим:
что является знакомым нам уравнением плоскости.
Например: Дано: точка на плоскости и вектор нормали .
Уравнение плоскости записывается так:
Расстояние от точки до плоскости
[править | править код]Расстояние от точки до плоскости — это наименьшее из расстояний между этой точкой и точками плоскости. Известно, что расстояние от точки до плоскости равно длине перпендикуляра, опущенного из этой точки на плоскость.
- Отклонение точки от плоскости заданной нормированным уравнением
- ,если и начало координат лежат по разные стороны плоскости, в противоположном случае . Расстояние от точки до плоскости равно
- Расстояние от точки , до плоскости, заданной уравнением , вычисляется по формуле:
Расстояние между параллельными плоскостями
[править | править код]- Расстояние между плоскостями, заданными уравнениями и :
- Расстояние между плоскостями, заданными уравнениями и :
Связанные понятия
[править | править код]- Угол между двумя плоскостями. Если уравнения П. заданы в виде (1), то
Если в векторной форме, то
- Плоскости параллельны, если
- или (Векторное произведение)
- Плоскости перпендикулярны, если
- или . (Скалярное произведение)
- Пучок плоскостей — все плоскости, проходящие через линию пересечения двух плоскостей. Уравнение пучка плоскостей, то есть любой плоскости, проходящей через линию пересечения двух плоскостей, имеет вид[2]:222:
- где и — любые числа, не равные одновременно нулю. Уравнение самой этой линии можно найти из уравнения пучка, подставляя α=1, β=0 и α=0, β=1.
- Связка плоскостей — все плоскости, проходящие через точку пересечения трёх плоскостей[2]:224. Уравнение связки плоскостей, то есть любой плоскости, проходящей через точку пересечения трёх плоскостей, имеет вид:
- где , и — любые числа, не равные одновременно нулю. Саму эту точку можно найти из уравнения связки, подставляя α=1, β=0, γ=0; α=0, β=1, γ=0 и α=0, β=0, γ=1 и решая получившуюся систему уравнений.
Вариации и обобщения
[править | править код]Плоскости в неевклидовом пространстве
[править | править код]Метрика плоскости не обязана быть евклидовой. В зависимости от введенных отношений инцидентности точек и прямых, различают проективные, аффинные, гиперболические и эллиптические плоскости[1].
Многомерные плоскости
[править | править код]Пусть дано n-мерное аффинное-конечномерное пространство , над полем действительных чисел. В нём выбрана прямоугольная система координат . m-плоскостью называется множество точек , радиус векторы которых удовлетворяют следующему соотношению — матрица, столбцы которой образует направляющие подпространство плоскости, — вектор переменных, — радиус-вектор одной из точек плоскости.
Указанное соотношение можно из матрично-векторного вида перевести в векторный:
— векторное уравнение m-плоскости.
Вектора образуют направляющее подпространство. Две m-плоскости называются параллельными, если их направляющие пространства совпадают и .
(n-1)-плоскость в n-мерном пространстве называется гиперплоскостью или просто плоскостью. Для гиперплоскости существует общее уравнение плоскости. Пусть — нормальный вектор плоскости, — вектор переменных, — радиус вектор точки, принадлежащей плоскости, тогда:
— общее уравнение плоскости.
Имея матрицу направляющих векторов, уравнение можно записать так: , или:
.
Углом между плоскостями называется наименьший угол между их нормальными векторами.
Примером 1-плоскости в трёхмерном пространстве (n=3) служит прямая. Её векторное уравнение имеет вид: . В случае n = 2 прямая является гиперплоскостью.
Гиперплоскость в трёхмерном пространстве соответствует привычному понятию плоскости.
См. также
[править | править код]Примечания
[править | править код]- ↑ 1 2 Математическая энциклопедия, 1984.
- ↑ 1 2 Гусятников П.Б., Резниченко С.В. Векторная алгебра в примерах и задачах. — М.: Высшая школа, 1985. — 232 с. Архивировано 10 января 2014 года.
Литература
[править | править код]- Ильин В. А., Позняк Э. Г. Аналитическая геометрия. — М.: Физматлит, 2002. — 240 с.
- Плоскость // Математическая энциклопедия (в 5 томах). — М.: Советская Энциклопедия, 1984. — Т. 4. — С. 318—319.
Ссылки
[править | править код]- На Викискладе есть медиафайлы по теме Плоскость