Плоскость: различия между версиями

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску
[непроверенная версия][отпатрулированная версия]
Содержимое удалено Содержимое добавлено
Нет описания правки
Метки: с мобильного устройства из мобильной версии
м косметические изменения
 
(не показано 11 промежуточных версий 9 участников)
Строка 3: Строка 3:
[[Файл:PlaneIntersection.png|right|thumb|Две пересекающиеся плоскости]]
[[Файл:PlaneIntersection.png|right|thumb|Две пересекающиеся плоскости]]
'''Пло́скость''' — одно из фундаментальных понятий в [[геометрия|геометрии]]. При систематическом изложении геометрии понятие плоскости обычно принимается за одно из исходных понятий, которое лишь косвенным образом определяется [[аксиома]]ми геометрии. В тесной связи с плоскостью принято рассматривать принадлежащие ей [[Точка (геометрия)|точки]] и [[Прямая|прямые]]; они также, как правило, вводятся как неопределяемые понятия, свойства которых задаются аксиоматически{{sfn |Математическая энциклопедия|1984|name=ME}}.
'''Пло́скость''' — одно из фундаментальных понятий в [[геометрия|геометрии]]. При систематическом изложении геометрии понятие плоскости обычно принимается за одно из исходных понятий, которое лишь косвенным образом определяется [[аксиома]]ми геометрии. В тесной связи с плоскостью принято рассматривать принадлежащие ей [[Точка (геометрия)|точки]] и [[Прямая|прямые]]; они также, как правило, вводятся как неопределяемые понятия, свойства которых задаются аксиоматически{{sfn |Математическая энциклопедия|1984|name=ME}}.
Плоскость, это придуманная человеческими глазами точка измерения и ни чем не подтвержденая. В один и тот же момент, в Плоскости может находиться много количество предметов, не смотря на свою форму и структуру строения. Если изменить угло при просмотре той или иной Плоскости, то этих плоскостей становится больше. Человек не может дать точное определение, тому что называет плоскостей. Поэтому что Плоскость, может быть везде. Даже при изучении шара, мы видим Плоскост. А только потом Шар.


== Некоторые характеристические свойства плоскости ==
== Некоторые характеристические свойства плоскости ==
* Плоскость — поверхность, содержащая полностью каждую [[Прямая|прямую]], соединяющую любые её [[Точка (геометрия)|точки]];
* Плоскость — бесконечно большая поверхность, содержащая полностью каждую [[Прямая|прямую]], соединяющую любые её [[Точка (геометрия)|точки]];
* Две различные плоскости либо являются [[Параллельность|параллельными]], либо пересекаются по прямой.
* Две различные плоскости либо являются [[Параллельность|параллельными]], либо пересекаются по прямой.
* Прямая либо параллельна плоскости, либо пересекает её в одной точке, либо содержится в плоскости.
* Прямая либо параллельна плоскости, либо пересекает её в одной точке, либо содержится в плоскости.
Строка 109: Строка 108:
<center><math>d=\frac{\mid[\bar r_2 - \bar r_1, \bar n]\mid}{\mid\bar n\mid}</math></center>
<center><math>d=\frac{\mid[\bar r_2 - \bar r_1, \bar n]\mid}{\mid\bar n\mid}</math></center>


[[Файл:Relations between planes.png|thumb|300px|right|Типы взаимного расположения трёх или менее плоскостей. В частности, 4 тип — пересечение двух плоскостей, 11 тип — плоскость E<sub>3</sub> проходит через линию пересечения плоскостей E<sub>1</sub> и E<sub>2</sub>, 12 тип — пересечение трёх плоскостей в точке ]]
[[Файл:Relations between planes.png|thumb|300px|right|Типы взаимного расположения трёх или менее плоскостей. В частности, 4 тип — пересечение двух плоскостей, 11 тип — плоскость E<sub>3</sub> проходит через линию пересечения плоскостей E<sub>1</sub> и E<sub>2</sub>, 12 тип — пересечение трёх плоскостей в точке]]


== Связанные понятия ==
== Связанные понятия ==
Строка 128: Строка 127:
: <math>A_1A_2+B_1B_2+C_1C_2=0</math> или <math>(\mathbf{N_1}, \mathbf{N_2})=0</math>. (Скалярное произведение)
: <math>A_1A_2+B_1B_2+C_1C_2=0</math> или <math>(\mathbf{N_1}, \mathbf{N_2})=0</math>. (Скалярное произведение)


* '''Пучок плоскостей''' — все плоскости, проходящие через линию пересечения двух плоскостей. Уравнение пучка плоскостей, то есть любой плоскости, проходящей через линию пересечения двух плоскостей, имеет вид<ref name="Vect">{{книга|автор=Гусятников П.Б., Резниченко С.В.|заглавие=Векторная алгебра в примерах и задачах|место={{М}}|издательство=[[Высшая школа (издательство)|Высшая школа]]|год=1985|страниц=232|ссылка=http://reslib.com/book/Vektornaya_algebra_v_primerah_i_zadachah}}</ref>{{rp|222}}:
* '''Пучок плоскостей''' — все плоскости, проходящие через линию пересечения двух плоскостей. Уравнение пучка плоскостей, то есть любой плоскости, проходящей через линию пересечения двух плоскостей, имеет вид<ref name="Vect">{{книга|автор=Гусятников П.Б., Резниченко С.В.|заглавие=Векторная алгебра в примерах и задачах|место={{М}}|издательство=[[Высшая школа (издательство)|Высшая школа]]|год=1985|страниц=232|ссылка=http://reslib.com/book/Vektornaya_algebra_v_primerah_i_zadachah|archive-date=2014-01-10|archive-url=https://web.archive.org/web/20140110162343/http://reslib.com/book/Vektornaya_algebra_v_primerah_i_zadachah}}</ref>{{rp|222}}:


: <math>\alpha(A_1x+B_1y+C_1z+D_1)+\beta(A_2x+B_2y+C_2z+D_2)=0,</math>
: <math>\alpha(A_1x+B_1y+C_1z+D_1)+\beta(A_2x+B_2y+C_2z+D_2)=0,</math>
Строка 150: Строка 149:
<math> x = \vec{a_1}t_1 + \ldots + \vec{a_m}t_m + d, \vec{a_i} \in V</math> — векторное уравнение m-плоскости.<br>
<math> x = \vec{a_1}t_1 + \ldots + \vec{a_m}t_m + d, \vec{a_i} \in V</math> — векторное уравнение m-плоскости.<br>
Вектора <math>\vec{a_i}</math> образуют направляющее подпространство. Две m-плоскости <math>\alpha, \beta</math> называются ''параллельными'', если их направляющие пространства совпадают и <math> \exists x \in \alpha : x \notin \beta </math>.
Вектора <math>\vec{a_i}</math> образуют направляющее подпространство. Две m-плоскости <math>\alpha, \beta</math> называются ''параллельными'', если их направляющие пространства совпадают и <math> \exists x \in \alpha : x \notin \beta </math>.

<p> (n-1)-плоскость в n-мерном пространстве называется ''[[гиперплоскость]]ю'' или просто ''плоскостью''. Для гиперплоскости существует общее уравнение плоскости. Пусть <math>\vec{n}</math> — нормальный вектор плоскости, <math> \vec{r} = (x^1,...,x^n)</math> — вектор переменных, <math>\vec{r_0}</math> — радиус вектор точки, принадлежащей плоскости, тогда:<br>
(n-1)-плоскость в n-мерном пространстве называется ''[[гиперплоскость]]ю'' или просто ''плоскостью''. Для гиперплоскости существует общее уравнение плоскости. Пусть <math>\vec{n}</math> — нормальный вектор плоскости, <math> \vec{r} = (x^1,...,x^n)</math> — вектор переменных, <math>\vec{r_0}</math> — радиус вектор точки, принадлежащей плоскости, тогда:<br>
<math> (\vec{r} - \vec{r_0}, \vec{n}) = 0 </math> — общее уравнение плоскости. <br>
<math> (\vec{r} - \vec{r_0}, \vec{n}) = 0 </math> — общее уравнение плоскости. <br>
Имея матрицу направляющих векторов, уравнение можно записать так: <math> \det(\vec{r} - \vec{r_0} | A_{n,n-1}) = 0</math>, или:<br>
Имея матрицу направляющих векторов, уравнение можно записать так: <math> \det(\vec{r} - \vec{r_0} | A_{n,n-1}) = 0</math>, или:<br>
<math>\begin{vmatrix} x^1 - x_{0}^1 & a_{1}^1 & a_{2}^1 & ... & a_{n-1}^1 \\ x^2 - x_{0}^2 & a_{1}^2 & a_{2}^1 & ... & a_{n-1}^2 \\ ... & ... & ... & ... \\ x^n - x_{0}^n & a_{1}^n & a_{2}^n & ... & a_{n-1}^n \end{vmatrix} = 0 </math>.<br>
<math>\begin{vmatrix} x^1 - x_{0}^1 & a_{1}^1 & a_{2}^1 & ... & a_{n-1}^1 \\ x^2 - x_{0}^2 & a_{1}^2 & a_{2}^1 & ... & a_{n-1}^2 \\ ... & ... & ... & ... \\ x^n - x_{0}^n & a_{1}^n & a_{2}^n & ... & a_{n-1}^n \end{vmatrix} = 0 </math>.<br>
''Углом между плоскостями'' называется наименьший угол между их нормальными векторами. </p>
''Углом между плоскостями'' называется наименьший угол между их нормальными векторами.


Примером 1-плоскости в трёхмерном пространстве (n=3) служит [[прямая]]. Её векторное уравнение имеет вид: <math> \alpha = \{a_x,a_y,a_z\}t + \{b_x,b_y,b_z\}</math>. В случае n = 2 прямая является гиперплоскостью.
Примером 1-плоскости в трёхмерном пространстве (n=3) служит [[прямая]]. Её векторное уравнение имеет вид: <math> \alpha = \{a_x,a_y,a_z\}t + \{b_x,b_y,b_z\}</math>. В случае n = 2 прямая является гиперплоскостью.

Текущая версия от 15:49, 23 октября 2024

Две пересекающиеся плоскости

Пло́скость — одно из фундаментальных понятий в геометрии. При систематическом изложении геометрии понятие плоскости обычно принимается за одно из исходных понятий, которое лишь косвенным образом определяется аксиомами геометрии. В тесной связи с плоскостью принято рассматривать принадлежащие ей точки и прямые; они также, как правило, вводятся как неопределяемые понятия, свойства которых задаются аксиоматически[1].

Некоторые характеристические свойства плоскости

[править | править код]
  • Плоскость — бесконечно большая поверхность, содержащая полностью каждую прямую, соединяющую любые её точки;
  • Две различные плоскости либо являются параллельными, либо пересекаются по прямой.
  • Прямая либо параллельна плоскости, либо пересекает её в одной точке, либо содержится в плоскости.
  • Две прямые, перпендикулярные одной и той же плоскости, параллельны друг другу.
  • Две плоскости, перпендикулярные одной и той же прямой, параллельны друг другу.
Плоскость и два её нормальных вектора: n1 и n2

Уравнения плоскости

[править | править код]

Впервые встречается у А. К. Клеро (1731).

Уравнение плоскости в отрезках, по-видимому, впервые встречается у Г. Ламе (18161818).

Нормальное уравнение ввёл Л. О. Гессе (1861).

Плоскость — алгебраическая поверхность первого порядка: в декартовой системе координат плоскость может быть задана уравнением первой степени.

  • Общее уравнение (полное) плоскости

где и  — постоянные, причём и одновременно не равны нулю; в векторной форме:

где  — радиус-вектор точки , вектор перпендикулярен к плоскости (нормальный вектор). Направляющие косинусы вектора :

Если один из коэффициентов в уравнении плоскости равен нулю, уравнение называется неполным. При плоскость проходит через начало координат, при (или , ) плоскость параллельна оси (соответственно или ). При (, или ) плоскость параллельна плоскости (соответственно или ).

  • Уравнение плоскости в отрезках:

где , ,  — отрезки, отсекаемые плоскостью на осях и .

  • Уравнение плоскости, проходящей через точку ,перпендикулярной вектору нормали :

в векторной форме:

  • Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки , не лежащие на одной прямой:

(смешанное произведение векторов), иначе

  • Нормальное (нормированное) уравнение плоскости

в векторной форме:

где - единичный вектор,  — расстояние П. от начала координат. Уравнение (2) может быть получено из уравнения (1) умножением на нормирующий множитель

(знаки и противоположны).

Определение по точке и вектору нормали

[править | править код]

В трёхмерном пространстве одним из важнейших способов определения плоскости является указание точки на плоскости и вектора нормали к ней.

Допустим, является радиусом-вектором точки , заданной на плоскости, и допустим, что n — это ненулевой вектор, перпендикулярный к плоскости (нормаль). Идея состоит в том, что точка с радиусом-вектором r находится на плоскости тогда и только тогда, когда вектор, проведённый от к , перпендикулярен n.

Вернёмся к тому, что два вектора являются перпендикулярными тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю. Отсюда следует, что нужная нам плоскость может быть выражена как множество всех точек r таких, что:

(Здесь точка означает скалярное произведение, а не умножение.)

Развернув выражение, мы получим:

что является знакомым нам уравнением плоскости.

Например: Дано: точка на плоскости и вектор нормали .

Уравнение плоскости записывается так:

Расстояние от точки до плоскости

[править | править код]

Расстояние от точки до плоскости — это наименьшее из расстояний между этой точкой и точками плоскости. Известно, что расстояние от точки до плоскости равно длине перпендикуляра, опущенного из этой точки на плоскость.

  • Отклонение точки от плоскости заданной нормированным уравнением
,если и начало координат лежат по разные стороны плоскости, в противоположном случае . Расстояние от точки до плоскости равно
  • Расстояние от точки , до плоскости, заданной уравнением , вычисляется по формуле:

Расстояние между параллельными плоскостями

[править | править код]
  • Расстояние между плоскостями, заданными уравнениями и :
  • Расстояние между плоскостями, заданными уравнениями и :
Типы взаимного расположения трёх или менее плоскостей. В частности, 4 тип — пересечение двух плоскостей, 11 тип — плоскость E3 проходит через линию пересечения плоскостей E1 и E2, 12 тип — пересечение трёх плоскостей в точке

Связанные понятия

[править | править код]
  • Угол между двумя плоскостями. Если уравнения П. заданы в виде (1), то

Если в векторной форме, то

или (Векторное произведение)
  • Плоскости перпендикулярны, если
или . (Скалярное произведение)
  • Пучок плоскостей — все плоскости, проходящие через линию пересечения двух плоскостей. Уравнение пучка плоскостей, то есть любой плоскости, проходящей через линию пересечения двух плоскостей, имеет вид[2]:222:
где и  — любые числа, не равные одновременно нулю. Уравнение самой этой линии можно найти из уравнения пучка, подставляя α=1, β=0 и α=0, β=1.
  • Связка плоскостей — все плоскости, проходящие через точку пересечения трёх плоскостей[2]:224. Уравнение связки плоскостей, то есть любой плоскости, проходящей через точку пересечения трёх плоскостей, имеет вид:
где , и  — любые числа, не равные одновременно нулю. Саму эту точку можно найти из уравнения связки, подставляя α=1, β=0, γ=0; α=0, β=1, γ=0 и α=0, β=0, γ=1 и решая получившуюся систему уравнений.

Вариации и обобщения

[править | править код]

Плоскости в неевклидовом пространстве

[править | править код]

Метрика плоскости не обязана быть евклидовой. В зависимости от введенных отношений инцидентности точек и прямых, различают проективные, аффинные, гиперболические и эллиптические плоскости[1].

Многомерные плоскости

[править | править код]

Пусть дано n-мерное аффинное-конечномерное пространство , над полем действительных чисел. В нём выбрана прямоугольная система координат . m-плоскостью называется множество точек , радиус векторы которых удовлетворяют следующему соотношению — матрица, столбцы которой образует направляющие подпространство плоскости, — вектор переменных, — радиус-вектор одной из точек плоскости.
Указанное соотношение можно из матрично-векторного вида перевести в векторный:
— векторное уравнение m-плоскости.
Вектора образуют направляющее подпространство. Две m-плоскости называются параллельными, если их направляющие пространства совпадают и .

(n-1)-плоскость в n-мерном пространстве называется гиперплоскостью или просто плоскостью. Для гиперплоскости существует общее уравнение плоскости. Пусть — нормальный вектор плоскости, — вектор переменных, — радиус вектор точки, принадлежащей плоскости, тогда:
— общее уравнение плоскости.
Имея матрицу направляющих векторов, уравнение можно записать так: , или:
.
Углом между плоскостями называется наименьший угол между их нормальными векторами.

Примером 1-плоскости в трёхмерном пространстве (n=3) служит прямая. Её векторное уравнение имеет вид: . В случае n = 2 прямая является гиперплоскостью.

Гиперплоскость в трёхмерном пространстве соответствует привычному понятию плоскости.

Примечания

[править | править код]
  1. 1 2 Математическая энциклопедия, 1984.
  2. 1 2 Гусятников П.Б., Резниченко С.В. Векторная алгебра в примерах и задачах. — М.: Высшая школа, 1985. — 232 с. Архивировано 10 января 2014 года.

Литература

[править | править код]
  • Ильин В. А., Позняк Э. Г. Аналитическая геометрия. — М.: Физматлит, 2002. — 240 с.
  • Плоскость // Математическая энциклопедия (в 5 томах). — М.: Советская Энциклопедия, 1984. — Т. 4. — С. 318—319.