Плоскость: различия между версиями

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску
[непроверенная версия][отпатрулированная версия]
Содержимое удалено Содержимое добавлено
Нет описания правки
Метки: отменено с мобильного устройства из мобильной версии
м косметические изменения
 
(не показаны 3 промежуточные версии 3 участников)
Строка 1: Строка 1:
{{другие значения}}
{{другие значения}}
{{Falseredirect|Плоскостность. Бббчюч.с.т}}
{{Falseredirect|Плоскостность}}
[[Файл:PlaneIntersection.png|right|thumb|Две пересекающиеся плоскости]]
[[Файл:PlaneIntersection.png|right|thumb|Две пересекающиеся плоскости]]
'''Пло́скость''' — одно из фундаментальных понятий в [[геометрия|геометрии]]. При систематическом изложении геометрии понятие плоскости обычно принимается за одно из исходных понятий, которое лишь косвенным образом определяется [[аксиома]]ми геометрии. В тесной связи с плоскостью принято рассматривать принадлежащие ей [[Точка (геометрия)|точки]] и [[Прямая|прямые]]; они также, как правило, вводятся как неопределяемые понятия, свойства которых задаются аксиоматически{{sfn |Математическая энциклопедия|1984|name=ME}}.
'''Пло́скость''' — одно из фундаментальных понятий в [[геометрия|геометрии]]. При систематическом изложении геометрии понятие плоскости обычно принимается за одно из исходных понятий, которое лишь косвенным образом определяется [[аксиома]]ми геометрии. В тесной связи с плоскостью принято рассматривать принадлежащие ей [[Точка (геометрия)|точки]] и [[Прямая|прямые]]; они также, как правило, вводятся как неопределяемые понятия, свойства которых задаются аксиоматически{{sfn |Математическая энциклопедия|1984|name=ME}}.


== Некоторые характеристические свойства плоскости ==
== Некоторые характеристические свойства плоскости ==
* Плоскость — поверхность, содержащая полностью каждую [[Прямая|прямую]], соединяющую любые её [[Точка (геометрия)|точки]];
* Плоскость — бесконечно большая поверхность, содержащая полностью каждую [[Прямая|прямую]], соединяющую любые её [[Точка (геометрия)|точки]];
* Две различные плоскости либо являются [[Параллельность|параллельными]], либо пересекаются по прямой.
* Две различные плоскости либо являются [[Параллельность|параллельными]], либо пересекаются по прямой.
* Прямая либо параллельна плоскости, либо пересекает её в одной точке, либо содержится в плоскости.
* Прямая либо параллельна плоскости, либо пересекает её в одной точке, либо содержится в плоскости.
Строка 108: Строка 108:
<center><math>d=\frac{\mid[\bar r_2 - \bar r_1, \bar n]\mid}{\mid\bar n\mid}</math></center>
<center><math>d=\frac{\mid[\bar r_2 - \bar r_1, \bar n]\mid}{\mid\bar n\mid}</math></center>


[[Файл:Relations between planes.png|thumb|300px|right|Типы взаимного расположения трёх или менее плоскостей. В частности, 4 тип — пересечение двух плоскостей, 11 тип — плоскость E<sub>3</sub> проходит через линию пересечения плоскостей E<sub>1</sub> и E<sub>2</sub>, 12 тип — пересечение трёх плоскостей в точке ]]
[[Файл:Relations between planes.png|thumb|300px|right|Типы взаимного расположения трёх или менее плоскостей. В частности, 4 тип — пересечение двух плоскостей, 11 тип — плоскость E<sub>3</sub> проходит через линию пересечения плоскостей E<sub>1</sub> и E<sub>2</sub>, 12 тип — пересечение трёх плоскостей в точке]]


== Связанные понятия ==
== Связанные понятия ==
Строка 127: Строка 127:
: <math>A_1A_2+B_1B_2+C_1C_2=0</math> или <math>(\mathbf{N_1}, \mathbf{N_2})=0</math>. (Скалярное произведение)
: <math>A_1A_2+B_1B_2+C_1C_2=0</math> или <math>(\mathbf{N_1}, \mathbf{N_2})=0</math>. (Скалярное произведение)


* '''Пучок плоскостей''' — все плоскости, проходящие через линию пересечения двух плоскостей. Уравнение пучка плоскостей, то есть любой плоскости, проходящей через линию пересечения двух плоскостей, имеет вид<ref name="Vect">{{книга|автор=Гусятников П.Б., Резниченко С.В.|заглавие=Векторная алгебра в примерах и задачах|место={{М}}|издательство=[[Высшая школа (издательство)|Высшая школа]]|год=1985|страниц=232|ссылка=http://reslib.com/book/Vektornaya_algebra_v_primerah_i_zadachah}}</ref>{{rp|222}}:
* '''Пучок плоскостей''' — все плоскости, проходящие через линию пересечения двух плоскостей. Уравнение пучка плоскостей, то есть любой плоскости, проходящей через линию пересечения двух плоскостей, имеет вид<ref name="Vect">{{книга|автор=Гусятников П.Б., Резниченко С.В.|заглавие=Векторная алгебра в примерах и задачах|место={{М}}|издательство=[[Высшая школа (издательство)|Высшая школа]]|год=1985|страниц=232|ссылка=http://reslib.com/book/Vektornaya_algebra_v_primerah_i_zadachah|archive-date=2014-01-10|archive-url=https://web.archive.org/web/20140110162343/http://reslib.com/book/Vektornaya_algebra_v_primerah_i_zadachah}}</ref>{{rp|222}}:


: <math>\alpha(A_1x+B_1y+C_1z+D_1)+\beta(A_2x+B_2y+C_2z+D_2)=0,</math>
: <math>\alpha(A_1x+B_1y+C_1z+D_1)+\beta(A_2x+B_2y+C_2z+D_2)=0,</math>
Строка 149: Строка 149:
<math> x = \vec{a_1}t_1 + \ldots + \vec{a_m}t_m + d, \vec{a_i} \in V</math> — векторное уравнение m-плоскости.<br>
<math> x = \vec{a_1}t_1 + \ldots + \vec{a_m}t_m + d, \vec{a_i} \in V</math> — векторное уравнение m-плоскости.<br>
Вектора <math>\vec{a_i}</math> образуют направляющее подпространство. Две m-плоскости <math>\alpha, \beta</math> называются ''параллельными'', если их направляющие пространства совпадают и <math> \exists x \in \alpha : x \notin \beta </math>.
Вектора <math>\vec{a_i}</math> образуют направляющее подпространство. Две m-плоскости <math>\alpha, \beta</math> называются ''параллельными'', если их направляющие пространства совпадают и <math> \exists x \in \alpha : x \notin \beta </math>.

<p> (n-1)-плоскость в n-мерном пространстве называется ''[[гиперплоскость]]ю'' или просто ''плоскостью''. Для гиперплоскости существует общее уравнение плоскости. Пусть <math>\vec{n}</math> — нормальный вектор плоскости, <math> \vec{r} = (x^1,...,x^n)</math> — вектор переменных, <math>\vec{r_0}</math> — радиус вектор точки, принадлежащей плоскости, тогда:<br>
(n-1)-плоскость в n-мерном пространстве называется ''[[гиперплоскость]]ю'' или просто ''плоскостью''. Для гиперплоскости существует общее уравнение плоскости. Пусть <math>\vec{n}</math> — нормальный вектор плоскости, <math> \vec{r} = (x^1,...,x^n)</math> — вектор переменных, <math>\vec{r_0}</math> — радиус вектор точки, принадлежащей плоскости, тогда:<br>
<math> (\vec{r} - \vec{r_0}, \vec{n}) = 0 </math> — общее уравнение плоскости. <br>
<math> (\vec{r} - \vec{r_0}, \vec{n}) = 0 </math> — общее уравнение плоскости. <br>
Имея матрицу направляющих векторов, уравнение можно записать так: <math> \det(\vec{r} - \vec{r_0} | A_{n,n-1}) = 0</math>, или:<br>
Имея матрицу направляющих векторов, уравнение можно записать так: <math> \det(\vec{r} - \vec{r_0} | A_{n,n-1}) = 0</math>, или:<br>
<math>\begin{vmatrix} x^1 - x_{0}^1 & a_{1}^1 & a_{2}^1 & ... & a_{n-1}^1 \\ x^2 - x_{0}^2 & a_{1}^2 & a_{2}^1 & ... & a_{n-1}^2 \\ ... & ... & ... & ... \\ x^n - x_{0}^n & a_{1}^n & a_{2}^n & ... & a_{n-1}^n \end{vmatrix} = 0 </math>.<br>
<math>\begin{vmatrix} x^1 - x_{0}^1 & a_{1}^1 & a_{2}^1 & ... & a_{n-1}^1 \\ x^2 - x_{0}^2 & a_{1}^2 & a_{2}^1 & ... & a_{n-1}^2 \\ ... & ... & ... & ... \\ x^n - x_{0}^n & a_{1}^n & a_{2}^n & ... & a_{n-1}^n \end{vmatrix} = 0 </math>.<br>
''Углом между плоскостями'' называется наименьший угол между их нормальными векторами. </p>
''Углом между плоскостями'' называется наименьший угол между их нормальными векторами.


Примером 1-плоскости в трёхмерном пространстве (n=3) служит [[прямая]]. Её векторное уравнение имеет вид: <math> \alpha = \{a_x,a_y,a_z\}t + \{b_x,b_y,b_z\}</math>. В случае n = 2 прямая является гиперплоскостью.
Примером 1-плоскости в трёхмерном пространстве (n=3) служит [[прямая]]. Её векторное уравнение имеет вид: <math> \alpha = \{a_x,a_y,a_z\}t + \{b_x,b_y,b_z\}</math>. В случае n = 2 прямая является гиперплоскостью.

Текущая версия от 15:49, 23 октября 2024

Две пересекающиеся плоскости

Пло́скость — одно из фундаментальных понятий в геометрии. При систематическом изложении геометрии понятие плоскости обычно принимается за одно из исходных понятий, которое лишь косвенным образом определяется аксиомами геометрии. В тесной связи с плоскостью принято рассматривать принадлежащие ей точки и прямые; они также, как правило, вводятся как неопределяемые понятия, свойства которых задаются аксиоматически[1].

Некоторые характеристические свойства плоскости

[править | править код]
  • Плоскость — бесконечно большая поверхность, содержащая полностью каждую прямую, соединяющую любые её точки;
  • Две различные плоскости либо являются параллельными, либо пересекаются по прямой.
  • Прямая либо параллельна плоскости, либо пересекает её в одной точке, либо содержится в плоскости.
  • Две прямые, перпендикулярные одной и той же плоскости, параллельны друг другу.
  • Две плоскости, перпендикулярные одной и той же прямой, параллельны друг другу.
Плоскость и два её нормальных вектора: n1 и n2

Уравнения плоскости

[править | править код]

Впервые встречается у А. К. Клеро (1731).

Уравнение плоскости в отрезках, по-видимому, впервые встречается у Г. Ламе (18161818).

Нормальное уравнение ввёл Л. О. Гессе (1861).

Плоскость — алгебраическая поверхность первого порядка: в декартовой системе координат плоскость может быть задана уравнением первой степени.

  • Общее уравнение (полное) плоскости

где и  — постоянные, причём и одновременно не равны нулю; в векторной форме:

где  — радиус-вектор точки , вектор перпендикулярен к плоскости (нормальный вектор). Направляющие косинусы вектора :

Если один из коэффициентов в уравнении плоскости равен нулю, уравнение называется неполным. При плоскость проходит через начало координат, при (или , ) плоскость параллельна оси (соответственно или ). При (, или ) плоскость параллельна плоскости (соответственно или ).

  • Уравнение плоскости в отрезках:

где , ,  — отрезки, отсекаемые плоскостью на осях и .

  • Уравнение плоскости, проходящей через точку ,перпендикулярной вектору нормали :

в векторной форме:

  • Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки , не лежащие на одной прямой:

(смешанное произведение векторов), иначе

  • Нормальное (нормированное) уравнение плоскости

в векторной форме:

где - единичный вектор,  — расстояние П. от начала координат. Уравнение (2) может быть получено из уравнения (1) умножением на нормирующий множитель

(знаки и противоположны).

Определение по точке и вектору нормали

[править | править код]

В трёхмерном пространстве одним из важнейших способов определения плоскости является указание точки на плоскости и вектора нормали к ней.

Допустим, является радиусом-вектором точки , заданной на плоскости, и допустим, что n — это ненулевой вектор, перпендикулярный к плоскости (нормаль). Идея состоит в том, что точка с радиусом-вектором r находится на плоскости тогда и только тогда, когда вектор, проведённый от к , перпендикулярен n.

Вернёмся к тому, что два вектора являются перпендикулярными тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю. Отсюда следует, что нужная нам плоскость может быть выражена как множество всех точек r таких, что:

(Здесь точка означает скалярное произведение, а не умножение.)

Развернув выражение, мы получим:

что является знакомым нам уравнением плоскости.

Например: Дано: точка на плоскости и вектор нормали .

Уравнение плоскости записывается так:

Расстояние от точки до плоскости

[править | править код]

Расстояние от точки до плоскости — это наименьшее из расстояний между этой точкой и точками плоскости. Известно, что расстояние от точки до плоскости равно длине перпендикуляра, опущенного из этой точки на плоскость.

  • Отклонение точки от плоскости заданной нормированным уравнением
,если и начало координат лежат по разные стороны плоскости, в противоположном случае . Расстояние от точки до плоскости равно
  • Расстояние от точки , до плоскости, заданной уравнением , вычисляется по формуле:

Расстояние между параллельными плоскостями

[править | править код]
  • Расстояние между плоскостями, заданными уравнениями и :
  • Расстояние между плоскостями, заданными уравнениями и :
Типы взаимного расположения трёх или менее плоскостей. В частности, 4 тип — пересечение двух плоскостей, 11 тип — плоскость E3 проходит через линию пересечения плоскостей E1 и E2, 12 тип — пересечение трёх плоскостей в точке

Связанные понятия

[править | править код]
  • Угол между двумя плоскостями. Если уравнения П. заданы в виде (1), то

Если в векторной форме, то

или (Векторное произведение)
  • Плоскости перпендикулярны, если
или . (Скалярное произведение)
  • Пучок плоскостей — все плоскости, проходящие через линию пересечения двух плоскостей. Уравнение пучка плоскостей, то есть любой плоскости, проходящей через линию пересечения двух плоскостей, имеет вид[2]:222:
где и  — любые числа, не равные одновременно нулю. Уравнение самой этой линии можно найти из уравнения пучка, подставляя α=1, β=0 и α=0, β=1.
  • Связка плоскостей — все плоскости, проходящие через точку пересечения трёх плоскостей[2]:224. Уравнение связки плоскостей, то есть любой плоскости, проходящей через точку пересечения трёх плоскостей, имеет вид:
где , и  — любые числа, не равные одновременно нулю. Саму эту точку можно найти из уравнения связки, подставляя α=1, β=0, γ=0; α=0, β=1, γ=0 и α=0, β=0, γ=1 и решая получившуюся систему уравнений.

Вариации и обобщения

[править | править код]

Плоскости в неевклидовом пространстве

[править | править код]

Метрика плоскости не обязана быть евклидовой. В зависимости от введенных отношений инцидентности точек и прямых, различают проективные, аффинные, гиперболические и эллиптические плоскости[1].

Многомерные плоскости

[править | править код]

Пусть дано n-мерное аффинное-конечномерное пространство , над полем действительных чисел. В нём выбрана прямоугольная система координат . m-плоскостью называется множество точек , радиус векторы которых удовлетворяют следующему соотношению — матрица, столбцы которой образует направляющие подпространство плоскости, — вектор переменных, — радиус-вектор одной из точек плоскости.
Указанное соотношение можно из матрично-векторного вида перевести в векторный:
— векторное уравнение m-плоскости.
Вектора образуют направляющее подпространство. Две m-плоскости называются параллельными, если их направляющие пространства совпадают и .

(n-1)-плоскость в n-мерном пространстве называется гиперплоскостью или просто плоскостью. Для гиперплоскости существует общее уравнение плоскости. Пусть — нормальный вектор плоскости, — вектор переменных, — радиус вектор точки, принадлежащей плоскости, тогда:
— общее уравнение плоскости.
Имея матрицу направляющих векторов, уравнение можно записать так: , или:
.
Углом между плоскостями называется наименьший угол между их нормальными векторами.

Примером 1-плоскости в трёхмерном пространстве (n=3) служит прямая. Её векторное уравнение имеет вид: . В случае n = 2 прямая является гиперплоскостью.

Гиперплоскость в трёхмерном пространстве соответствует привычному понятию плоскости.

Примечания

[править | править код]
  1. 1 2 Математическая энциклопедия, 1984.
  2. 1 2 Гусятников П.Б., Резниченко С.В. Векторная алгебра в примерах и задачах. — М.: Высшая школа, 1985. — 232 с. Архивировано 10 января 2014 года.

Литература

[править | править код]
  • Ильин В. А., Позняк Э. Г. Аналитическая геометрия. — М.: Физматлит, 2002. — 240 с.
  • Плоскость // Математическая энциклопедия (в 5 томах). — М.: Советская Энциклопедия, 1984. — Т. 4. — С. 318—319.