Хиральность (математика): различия между версиями

Интерактивная навигация по истории

[непроверенная версия]

[отпатрулированная версия]

← Предыдущая правка

Содержимое удалено Содержимое добавлено

ВизуальныйВики-текст

Линейный

Текущая версия от 18:57, 27 октября 2024

Хира́льность (англ. chirality, от др.-греч. χείρ — рука) — свойство геометрической фигуры, состоящее в отсутствии её совместимости со своей идеальной зеркальной копией^[1]^[2]. Другими словами, хиральность — отсутствие зеркальной симметрии у геометрической фигуры^[2].

Ахиральность — наличие зеркальной симметрии у геометрической фигуры^[2].

Произвольный невырожденный неравнобедренный треугольник — одна из простейших хиральных фигур на плоскости. Такой треугольник нельзя наложить на его зеркально симметричное изображение посредством комбинацией параллельных переносов и поворотов плоскости. Произвольный равнобедренный треугольник ахирален на плоскости^[2].

Однако хиральные треугольники на плоскости ахиральны в трёхмерном пространстве, поскольку всегда существует комбинация параллельного переноса и поворота трёхмерного пространства, идеально накладывающие треугольник на его зеркально симметричное изображение в плоскости^[2].

Хиральная фигура и её зеркальный образ называют энантиоморфами. Слово «энантиоморф» происходит от др.-греч. εναντιος (энантиос) — «противоположный», и μορφη (морфе) — «форма». Нехиральный объект также называется амфихиральным.

Винтовая линия (а также витая пряжа, штопор, пропеллер и т. п.) и лента Мёбиуса — это трёхмерные хиральные объекты. Фигурки тетрамино в форме букв J, L, S и Z из популярной игры «Тетрис» также обладают хиральностью, но только в двумерном пространстве.

Некоторым хиральным объектам, таким как винт, можно приписать правую (левую) ориентацию, в соответствии с правилом правой руки (правилом левой руки).

Хиральность и группы симметрии

Фигура ахиральна тогда и только тогда, когда её группа симметрий содержит хотя бы одну изометрию, меняющую ориентацию. В евклидовой геометрии любая изометрия имеет вид $v\mapsto Av+b$ , где $A$ — ортогональная матрица, а $b$ — вектор. Определитель матрицы $A$ равен 1 или −1. Если он равен −1, то изометрия меняет ориентацию, в противном случае она сохраняет ориентацию.

Хиральность в трёхмерном пространстве

В трёхмерном пространстве любая фигура, обладающая плоскостью симметрии или центром симметрии ахиральна. Однако, существуют ахиральные фигуры, не обладающие ни центром, ни плоскостью симметрии, например:

$F_{0}=\left\{(1,0,0),(0,1,0),(-1,0,0),(0,-1,0),(2,1,1),(-1,2,-1),(-2,-1,1),(1,-2,-1)\right\}$

Эта фигура инвариантна относительно меняющего ориентацию преобразования $(x,y,z)\mapsto (-y,x,-z)$ и поэтому ахиральна, но не обладает ни плоскостью, ни центром симметрии. Фигура

$F_{1}=\left\{(1,0,0),(-1,0,0),(0,2,0),(0,-2,0),(1,1,1),(-1,-1,-1)\right\}$

также ахиральна, так как начало координат является для неё центром симметрии, но у неё нет плоскости симметрии.

Хиральность в двух измерениях

В двумерном пространстве любая фигура, обладающая осью симметрии, является ахиральной. Можно показать, что любая ограниченная ахиральная фигура обладает осью симметрии. Для бесконечных фигур это не обязательно выполняется. Рассмотрим следующий (конечный) рисунок:

> > > > > > > > > >
 > > > > > > > > > >

Это хиральная фигура, так как она не совпадает со своим зеркальным изображением:

 > > > > > > > > > > 
> > > > > > > > > >

Но если продолжить его вправо и влево до бесконечности, то получится неограниченная ахиральная фигура, не обладающая осью симметрии. Её группа симметрий — это группа бордюра, порождённая единственным скользящим отражением.

Теория узлов

Узел называется ахиральным, если его можно непрерывно деформировать в его зеркальный образ, в противном случае его называют хиральным. Например, незаузлённый узел и «восьмёрка» ахиральны, в то время как трилистный узел хирален.

См. также

Примечания

↑ Соколов В. И. Хиральность, 1978.
↑ ¹ ² ³ ⁴ ⁵ Petitjean М. Chirality in metric spaces, 2010, p. 27.

Источники

Соколов В И. Хиральность // Большая советская энциклопедия. (В 30 томах) Гл. ред. А. М. Прохоров. Изд. 3-е. М.: «Советская энциклопедия», 1978. Т. 28. Франкфурт — Чага. 1978. 616 с. с илл., 28 л. илл., 4 л. карт, 1 карта — вкладка. С. 291. Хиральность // БСЭ 3-е издание. Основной вариант Архивная копия от 25 апреля 2024 на Wayback Machine
Petitjean М. Chirality in metric spaces // Symmetry: Culture and Science. 2010. Vol. 21. Nos. 1–3. P. 27–36. Хиральность // [1]

Ссылки

Математическая теория хиральности (Michel Petitjean) (англ.)

[_0e72fcbe16eb188b-1] Соколов В. И. Хиральность, 1978.

[_78f2d376f058b8d8-2] ¹ ² ³ ⁴ ⁵ Petitjean М. Chirality in metric spaces, 2010, p. 27.

[1]

[2]

@@ Строка 1: / Строка 1: @@
 {{другие значения|Хиральность}}
+{{Обзорная статья|Хиральность|Ориентация}}
-В [[геометрия|геометрии]] фигуру называют '''хиральной''' (и говорят, что она обладает '''хиральностью'''), если она не совпадает со своим зеркальным отображением, точнее, не может быть совмещена с ним только вращениями и параллельными переносами. Хиральная фигура и её зеркальный образ называют '''энантиоморфами'''. Слово ''хиральность'' происходит от греческого χειρ (хеир) — рука. Это самый известный ххиральный обьект. Слово ''энантиоморф'' происходит от греческого εναντιος (энантиос) — 'противоположный', и μορφη (морфе) — 'форма'. Нехиральный обьект называется '''ахиральным''' или '''амфихиральным'''.
+[[Файл:3D Cartesian Coodinate Handedness.jpg|right|thumb|350px|[[Правило левой руки]] и [[правило правой руки]]]]
+'''Хира́льность''' ({{lang-en|chirality}}, от [[Древнегреческий язык|др.-греч.]] [[wikt:ru:χείρ|χείρ]] — рука) — свойство [[Геометрическая фигура|геометрической фигуры]], состоящее в отсутствии её совместимости со своей идеальной зеркальной копией{{sfn|''Соколов В. И.'' Хиральность, 1978}}{{sfn|''Petitjean М.'' Chirality in metric spaces,  2010|loc=p. 27}}. Другими словами, '''хиральность''' — отсутствие зеркальной симметрии у геометрической фигуры{{sfn|''Petitjean М.'' Chirality in metric spaces,  2010|loc=p. 27}}.
-[[Винтовая линия]] (а также витая пряжа, штопор, пропеллер и т.п.) и [[лента Мёбиуса]] — это трёхмерные хиральные обьекты. Фигурки [[тетрамино]] в форме букв J, L, S и Z из популярной игры «[[Тетрис]]» также обладают хиральностью, но только в двумерном пространстве.
+'''Ахиральность''' — наличие зеркальной симметрии у геометрической фигуры{{sfn|''Petitjean М.'' Chirality in metric spaces,  2010|loc=p. 27}}.
-Некоторым хиральным обьектам, таким как винт, можно приписать правую или левую [[Ориентация|ориентацию]], в соответсвии с [[правило правой руки|правилом правой руки]].
+Произвольный невырожденный [[Равнобедренный треугольник|неравнобедренный треугольник]] — одна из простейших хиральных фигур на [[Плоскость|плоскости]]. Такой треугольник нельзя наложить на его [[Зеркальная симметрия|зеркально симметричное]] изображение посредством комбинацией [[Параллельный перенос|параллельных переносов]] и [[Поворот|поворотов]] плоскости. Произвольный равнобедренный треугольник ахирален на плоскости{{sfn|''Petitjean М.'' Chirality in metric spaces,  2010|loc=p. 27}}.
+Однако хиральные треугольники на плоскости ахиральны в [[Трёхмерное пространство|трёхмерном пространстве]], поскольку всегда существует комбинация параллельного переноса и поворота трёхмерного пространства, идеально накладывающие треугольник на его зеркально симметричное изображение в плоскости{{sfn|''Petitjean М.'' Chirality in metric spaces,  2010|loc=p. 27}}.
+Хиральная фигура и её зеркальный образ называют '''''энантиоморфами'''''.
+Слово «энантиоморф» происходит от {{lang-grc|εναντιος}} (энантиос) — «противоположный», и {{lang-grc2|μορφη}} (морфе) — «форма».
+Нехиральный объект также называется '''''амфихиральным'''''.
+[[Винтовая линия]] (а также витая пряжа, [[Штопор (инструмент)|штопор]], [[пропеллер]] и т. п.) и [[лента Мёбиуса]] — это трёхмерные хиральные объекты. Фигурки [[тетрамино]] в форме букв J, L, S и Z из популярной игры «[[Тетрис]]» также обладают хиральностью, но только в двумерном пространстве.
+Некоторым хиральным объектам, таким как [[Винт (простейший механизм)|винт]], можно приписать правую (левую) [[Ориентация|ориентацию]], в соответствии с [[Правило правой руки|правилом правой руки]] ([[Правило левой руки|правилом левой руки]]).
 == Хиральность и группы симметрии ==
-Фигура ахиральна тогда и только тогда, когда её [[группа (математика)|группа]] [[Симметрия|симметрий]] содержит хотя бы одну изометрию, меняющую ориентацию. В евклидовой геометрии любая [[изометрия]] имеет вид <math>v\mapsto Av+b</math>, где <math>A</math> — [[ортогональная матрица]], а <math>b</math> — вектор. [[Определитель]] матрицы <math>A</math> равен 1 или -1. Если он равен -1, то изометрия ''меняет [[Ориентация|ориентацию]]'', в противном случае она сохраняет ориентацию.
+Фигура ахиральна тогда и только тогда, когда её [[группа (математика)|группа]] [[Симметрия|симметрий]] содержит хотя бы одну изометрию, меняющую ориентацию. В евклидовой геометрии любая [[Изометрия (математика)|изометрия]] имеет вид <math>v\mapsto Av+b</math>, где <math>A</math> — [[ортогональная матрица]], а <math>b</math> — [[Вектор (математика)|вектор]]. [[Определитель]] матрицы <math>A</math> равен 1 или −1. Если он равен −1, то изометрия ''меняет [[Ориентация|ориентацию]]'', в противном случае она сохраняет ориентацию.
 == Хиральность в трёхмерном пространстве ==
-В трёхмерном пространстве любая фигура, обладающая [[Зеркальная симметрия|плоскостью симметрии]] или [[Центральная симметрия|центром симметрии]] ахиральна. Однако, существуют ахиральные финуры, не обладающие ни центром, ни плоскостью симметрии, например:
+В трёхмерном пространстве любая фигура, обладающая [[Зеркальная симметрия|плоскостью симметрии]] или [[Центральная симметрия|центром симметрии]] ахиральна. Однако, существуют ахиральные фигуры, не обладающие ни центром, ни плоскостью симметрии, например:
 <math>F_0=\left\{(1,0,0),(0,1,0),(-1,0,0),(0,-1,0),(2,1,1),(-1,2,-1),(-2,-1,1),(1,-2,-1)\right\}</math>
 Эта фигура инвариантна относительно меняющего ориентацию преобразования <math>(x,y,z)\mapsto(-y,x,-z)</math> и поэтому ахиральна, но не обладает ни плоскостью, ни центром симметрии. Фигура
 <math>F_1=\left\{(1,0,0),(-1,0,0),(0,2,0),(0,-2,0),(1,1,1),(-1,-1,-1)\right\}</math>
-также ахиральна, т.к. начало координат является для неё центром симметрии, но у неё нет плоскости симметрии.
+также ахиральна, так как начало координат является для неё центром симметрии, но у неё нет плоскости симметрии.
 == Хиральность в двух измерениях ==
-В двумерном пространстве любая фигура, обладающая [[Осевая симметрия|осью симметрии]], является ахиральной. Можно показать, что любая ограниченная ахиральная фигура обладает осью симметрии. Для бесконечных фигур это не обязательно выполняется. Рассмотри следующий (конечный) рисунок:
+В двумерном пространстве любая фигура, обладающая [[Осевая симметрия|осью симметрии]], является ахиральной. Можно показать, что любая ограниченная ахиральная фигура обладает осью симметрии. Для бесконечных фигур это не обязательно выполняется. Рассмотрим следующий (конечный) рисунок:
  > > > > > > > > > >
   > > > > > > > > > >
-Это хиральная фигура, т.к. она не совпадает со своим зеркальным изображением:
+Это хиральная фигура, так как она не совпадает со своим зеркальным изображением:
   > > > > > > > > > >
  > > > > > > > > > >
-Но если продолжить его вправо и влево до бесконечности, то получится неограниченная ахиральная фигура, не обладающая осью симметрии. Её группа симметрий — это [[группа бордюра]], порождённая единственным [[Скользящая симметрия|скользящим отражением]].
+Но если продолжить его вправо и влево до бесконечности, то получится неограниченная ахиральная фигура, не обладающая осью симметрии. Её группа симметрий — это [[группа бордюра]], порождённая единственным [[Скользящая симметрия|скользящим отражением]].
 == Теория узлов ==
-[[Узел (топология)|Узел]] называется [[амфихиральный Узел|ахиральным]], если его можно непрерывно деформировать в его зеркальный образ, в противном случае его называют хиральным. Например, [[незаузленный узел]] и [[Восьмёрка (теория узлов)|«восьмерка»]] ахиральны, в то время как [[трилистный узел]] хирален.
+[[Узел (топология)|Узел]] называется [[Амфихиральный узел|ахиральным]], если его можно непрерывно деформировать в его зеркальный образ, в противном случае его называют хиральным. Например, [[незаузлённый узел]] и [[Восьмёрка (теория узлов)|«восьмёрка»]] ахиральны, в то время как [[трилистный узел]] хирален.
 == См. также ==
+* [[Симметрия]]
-* [[Хиральность (физика)]]
+* [[Орнамент]]
-* [[Хиральность (химия)]]
+* [[Ориентация]]
+== Примечания ==
+{{примечания}}
+== Источники ==
-== Внешние ссылки ==
+* {{h|''Соколов В. И.'' Хиральность, 1978|3=
-*[http://petitjeanmichel.free.fr/itoweb.petitjean.html Математическая теория хиральности] (Michel Petitjean) {{ref-en}}
+''Соколов В И.'' Хиральность // ''[[Большая советская энциклопедия]].'' (В 30 томах) Гл. ред. [[Прохоров, Александр Михайлович|А. М. Прохоров]]. Изд. 3-е. М.: «[[Большая российская энциклопедия (издательство)|Советская энциклопедия]]», 1978. Т. 28. Франкфурт — Чага. 1978. 616 с. с илл., 28 л. илл., 4 л. карт, 1 карта — вкладка. С. 291. [http://bse.uaio.ru/BSE/2802.htm Хиральность] // [http://bse.uaio.ru/BSE/bse30.htm#x000 БСЭ 3-е издание. Основной вариант] {{Wayback|http://bse.uaio.ru/BSE/2802.htm |date=20240425}}
+}}
+* {{h|''Petitjean М.'' Chirality in metric spaces,  2010|3=
+''Petitjean М.'' Chirality in metric spaces // Symmetry: Culture and Science. 2010. Vol. 21. Nos. 1–3. P. 27–36. [http://bse.uaio.ru/BSE/2802.htm Хиральность] // [https://studyres.com/doc/16347814/chirality-in-metric-spaces]
+}}
+== Ссылки ==
-[[Категория:Симметрия]]
+* [http://petitjeanmichel.free.fr/itoweb.petitjean.html Математическая теория хиральности] (Michel Petitjean) {{ref-en}}
+[[Категория:Симметрия (математика)]]
-[[en:Chirality (mathematics)]]
+[[Категория:Теория узлов]]
-[[eo:Nememspegulsimetrieco]]
+[[Категория:Топология]]
-[[fr:Chiralité (mathématiques)]]
+[[Категория:Ориентация]]
-[[it:Chiralità (matematica)]]

Хиральность (математика): различия между версиями

Текущая версия от 18:57, 27 октября 2024

Содержание

Хиральность и группы симметрии

Хиральность в трёхмерном пространстве

Хиральность в двух измерениях

Теория узлов

См. также

Примечания

Источники

Ссылки

Навигация

Хиральность (математика): различия между версиями

Текущая версия от 18:57, 27 октября 2024

Хиральность и группы симметрии

Хиральность в трёхмерном пространстве

Хиральность в двух измерениях

Теория узлов

См. также

Примечания

Источники

Ссылки

Навигация

Поиск