Совершенное число: различия между версиями
[непроверенная версия] | [непроверенная версия] |
Совершенное число 496 в Евангелии от Иоанна. |
орфография |
||
(не показана 21 промежуточная версия 14 участников) | |||
Строка 1: | Строка 1: | ||
'''Соверше́нное число́''' ({{lang-grc|ἀριθμὸς τέλειος}}) — [[натуральное число]], равное сумме всех своих [[собственный делитель|собственных делителей]] (то есть всех положительных делителей, отличных от самого́ числа). Например, число 6 равно сумме своих собственных делителей {{nobr|1 + 2 + 3}}. Это понятие было введено [[Пифагореизм|пифагорейцами]] в VI веке {{донэ}}; согласно их [[нумерология|нумерологической]] мистике, совпадение числа с суммой своих делителей свидетельствовало об особом совершенстве такого числа<ref>{{книга|автор=[[Успенский, Владимир Андреевич|Успенский |
'''Соверше́нное число́''' ({{lang-grc|ἀριθμὸς τέλειος}}) — [[натуральное число]], равное сумме всех своих [[собственный делитель|собственных делителей]] (то есть всех положительных делителей, отличных от самого́ числа). Например, число 6 равно сумме своих собственных делителей {{nobr|1 + 2 + 3}}. Это понятие было введено [[Пифагореизм|пифагорейцами]] в VI веке {{донэ}}; согласно их [[нумерология|нумерологической]] мистике, совпадение числа с суммой своих делителей свидетельствовало об особом совершенстве такого числа<ref>{{книга|автор=[[Успенский, Владимир Андреевич|Успенский В. А.]] |заглавие=Предисловие к математике [сборник статей] |место=СПб |серия=Популярная наука, вып. 12 |издательство=ООО «Торгово-издательский дом Амфора» |год=2015 |страницы=87 |страниц=474 |isbn=978-5-367-03606-0}}</ref>. |
||
Если суммировать ''все'' делители числа (то есть добавить само число) <math> \sigma(N) - N = N</math> или <math> \sigma(N) = 2N,</math> получим другое эквивалентное определение: Совершенные числа — это числа, у которых сумма всех делителей в 2 раза больше самого числа. |
Если суммировать ''все'' делители числа (то есть добавить само число) <math> \sigma(N) - N = N</math> или <math> \sigma(N) = 2N,</math> получим другое эквивалентное определение: Совершенные числа — это числа, у которых сумма всех делителей в 2 раза больше самого числа. |
||
Строка 13: | Строка 13: | ||
# {{число|8589869056}}: <math>\ 2^{17-1}(2^{17}-1)</math> = {{число|65536}} · {{число|131071}}, |
# {{число|8589869056}}: <math>\ 2^{17-1}(2^{17}-1)</math> = {{число|65536}} · {{число|131071}}, |
||
# {{число|137438691328}}: <math>\ 2^{19-1}(2^{19}-1)</math> = {{число|262144}} · {{число|524287}}, |
# {{число|137438691328}}: <math>\ 2^{19-1}(2^{19}-1)</math> = {{число|262144}} · {{число|524287}}, |
||
# {{число|2 305 843 008 139 952 128}}: <math>\ 2^{31-1}(2^{31}-1)</math>, |
# {{число|2 305 843 008 139 952 128}}: <math>\ 2^{31-1}(2^{31}-1)</math> = 1 073 741 824 · 2 147 483 647, |
||
# {{число|2 658 455 991 569 831 744 654 692 615 953 842 176}}: <math>\ 2^{61-1}(2^{61}-1)</math>, |
# {{число|2 658 455 991 569 831 744 654 692 615 953 842 176}}: <math>\ 2^{61-1}(2^{61}-1)</math> = 1 152 921 504 606 846 976 · 2 305 843 009 213 693 951, |
||
# {{число|191 561 942 608 236 107 294 793 378 084 303 638 130 997 321 548 169 216}} : <math>\ 2^{89-1}(2^{89}-1)</math>, |
# {{число|191 561 942 608 236 107 294 793 378 084 303 638 130 997 321 548 169 216}} : <math>\ 2^{89-1}(2^{89}-1)</math> = 309 485 009 821 345 068 724 781 056 · 618 970 019 642 690 137 449 562 111, |
||
# 131 640 364 585 696 … 728 128: <math>\ 2^{107-1}(2^{107}-1)</math> |
|||
# 144 740 111 546 645 … 199 152 128: <math>\ 2^{127-1}(2^{127}-1)</math> |
|||
# 235 627 234 572 673 … 555 646 976: <math>\ 2^{521-1}(2^{521}-1)</math> |
|||
# 141 053 783 706 712 … 537 328 128: <math>\ 2^{607-1}(2^{607}-1)</math> |
|||
# 541 625 262 843 658 … 984 291 328: <math>\ 2^{1279-1}(2^{1279}-1)</math> |
|||
: '''…''' |
: '''…''' |
||
Строка 27: | Строка 32: | ||
=== Чётные совершенные числа === |
=== Чётные совершенные числа === |
||
Алгоритм построения чётных совершенных чисел описан в IX книге [[Начала Евклида| |
Алгоритм построения чётных совершенных чисел описан в IX книге [[Начала Евклида|«Начал» Евклида]], где было доказано, что число <math>\ 2^{p-1}(2^p-1)</math> является совершенным, если число <math>\ 2^p-1</math> является [[простое число|простым]] (т. н. простые [[числа Мерсенна]])<ref>{{Cite web |url=http://www.arbuz.uz/z_sov1.html |title=Совершенная красота и совершенная бесполезность совершенных чисел |access-date=2010-04-19 |archive-date=2010-10-31 |archive-url=https://web.archive.org/web/20101031021614/http://arbuz.uz/z_sov1.html |deadlink=no }}</ref>. Впоследствии [[Леонард Эйлер]] доказал, что все чётные совершенные числа имеют вид, указанный Евклидом. |
||
В античные времена были известны только первые четыре совершенных числа (соответствующие {{math|''р''}} = 2, 3, 5 и 7), они приведены в |
В античные времена были известны только первые четыре совершенных числа (соответствующие {{math|''р''}} = 2, 3, 5 и 7), они приведены в «Арифметике» [[Никомах Геразский|Никомаха Геразского]]. |
||
Пятое, шестое и седьмое совершенные числа обнаружил в [[XIII |
Пятое, шестое и седьмое совершенные числа обнаружил в [[XIII век]]е арабский математик {{нп5|Исмаил ибн Фаллус|||Ibn Fallus}}, однако в Европе эти числа оставались неизвестны ещё несколько сотен лет. |
||
Пятое совершенное число {{num|33550336}}, соответствующее {{math|''р''}} = 13, нашёл в [[1536 год в науке|1536 году]] голландский математик Худалрик |
Пятое совершенное число {{num|33550336}}, соответствующее {{math|''р''}} = 13, нашёл в [[1536 год в науке|1536 году]] голландский математик Худалрик Peгиус ({{lang-la|Hudalrichus Regius}}) в трактате «''Utriusque Arithmetices''» (1536 год)<ref>{{книга |автор=Попов И. Н. |заглавие=Совершенные и дружественные числа: Учебное пособие |место=Архангельск |издательство=Поморский гос. университет им. М. В. Ломоносова |год=2005 |ссылка=https://narfu.ru/university/library/books/1610.pdf |страниц=153 |isbn=5-88086-514-2 |archive-date=2021-11-25 |archive-url=https://web.archive.org/web/20211125100406/https://narfu.ru/university/library/books/1610.pdf }}</ref>. Позднее это число было также обнаружено историками в неопубликованной рукописи [[Региомонтан]]а 1461 года<ref name=PN/>. |
||
В 1603 году итальянский математик [[Катальди, Пьетро|Катальди]] обнаружил и опубликовал шестое и седьмое совершенные числа: {{num|8589869056}} и {{num|137438691328}}. Они соответствуют {{math|''р''}} = 17 и {{math|''р''}} = 19 |
В 1603 году итальянский математик [[Катальди, Пьетро|Катальди]] обнаружил и опубликовал шестое и седьмое совершенные числа: {{num|8589869056}} и {{num|137438691328}}. Они соответствуют {{math|''р''}} = 17 и {{math|''р''}} = 19. Заодно он опроверг гипотезу [[Никомах Герасский|Никомаха]], согласно которой в последних цифрах членов последовательности совершенных чисел чередуются цифры 6 и 8<ref name=PN>{{Cite web |url=https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/HistTopics/Perfect_numbers/ |title=Perfect numbers |access-date=2021-09-21 |archive-date=2021-10-05 |archive-url=https://web.archive.org/web/20211005013348/https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/HistTopics/Perfect_numbers/ |deadlink=no }}</ref>. |
||
Восьмое совершенное число <math>\ 2^{31-1}(2^{31}-1)</math> в 1772 |
Восьмое совершенное число <math>\ 2^{31-1}(2^{31}-1)</math> в 1772 году открыл [[Эйлер, Леонард|Леонард Эйлер]], а также доказал, что любое чётное совершенное число должно иметь вид <math>\ 2^{n-1}(2^{n}-1)</math>, причём <math>\ 2^{n}-1 </math> должно быть простым. |
||
Девятое совершенное число <math>\ 2^{61-1}(2^{61}-1)</math> в 1883 |
Девятое совершенное число <math>\ 2^{61-1}(2^{61}-1)</math> в 1883 году открыл [[Первушин Иван Михеевич|Иван Михеевич Первушин]] — священник Русской православной церкви из Шадринского уезда Пермской губернии<ref>{{книга |заглавие=Уральская историческая энциклопедия |издание=Изд. 2-е, перераб. и доп. |ответственный=Гл. ред. В.В. Алексеев|место=Екатеринбург |издательство=Академкнига; УрО РАН |год=2000 |страниц=637, [1] |isbn=5-7691-0795-2 |ссылка=http://www.ihist.uran.ru/files/2000_UralHist.pdf |access-date=2024-01-21 |archive-date=2018-09-05 |archive-url=https://web.archive.org/web/20180905175711/http://www.ihist.uran.ru/files/2000_UralHist.pdf |url-status=live |язык=ru}}</ref>. |
||
В начале XX века были найдены ещё три совершенных числа (для {{math|''р''}} = 89, 107 и 127). В дальнейшем поиск затормозился вплоть до середины XX века, когда с появлением компьютеров стали возможными вычисления, превосходящие человеческие возможности. |
В начале XX века были найдены ещё три совершенных числа (для {{math|''р''}} = 89, 107 и 127). В дальнейшем поиск затормозился вплоть до середины XX века, когда с появлением компьютеров стали возможными вычисления, превосходящие человеческие возможности. |
||
На 2024 год известно |
На 2024 год известно 52 совершенных числа, вытекающих из простых [[Число Мерсенна|чисел Мерсенна]], поиском которых занимается проект [[распределённые вычисления|распределённых вычислений]] [[GIMPS]]. |
||
52-е совершенное число обнаружил 36-летний Люк Дюрант из Калифорнии, США. Оно равно <math>\ 2^{136 279 841-1}(2^{136 279 841}-1)</math>. |
|||
=== Нечётные совершенные числа === |
=== Нечётные совершенные числа === |
||
Нечётных совершенных чисел до сих пор не обнаружено, однако не доказано и то, что их не существует. Неизвестно также, конечно ли множество нечётных совершенных чисел, если они существуют. |
Нечётных совершенных чисел до сих пор не обнаружено, однако не доказано и то, что их не существует. Неизвестно также, конечно ли множество нечётных совершенных чисел, если они существуют. |
||
Доказано, что нечётное совершенное число, если оно существует, превышает 10<sup> |
Доказано, что нечётное совершенное число, если оно существует, превышает 10<sup>2200</sup>; при этом число простых делителей такого числа с учётом кратности не меньше 101<ref name="Ochem and Rao (2012)">{{статья |заглавие=Odd perfect numbers are greater than 10<sup>1500</sup> |издание={{Нп3|Mathematics of Computation}} |том=81 |номер=279 |doi=10.1090/S0025-5718-2012-02563-4 |ссылка=http://www.lirmm.fr/~ochem/opn/opn.pdf |страницы=1869—1877 |zbl=pre06051364 |issn=0025-5718 |язык=en |тип=journal |автор=Ochem, Pascal; Rao, Michaël |год=2012 |archivedate=2016-01-15 |archiveurl=https://web.archive.org/web/20160115151106/http://www.lirmm.fr/~ochem/opn/opn.pdf }}</ref>. Поиском нечётных совершенных чисел занимается проект [[распределённые вычисления|распределённых вычислений]] [https://web.archive.org/web/20181106015226/http://oddperfect.org/ oddperfect.org/] |
||
Многие учёные, изучавшие совершенные числа, говорят, что нечётных совершенных не существует. |
|||
''Пэйс Нильсен, математик из Университета Бригама Янга'' |
|||
Даже в XIX веке количество ограничений было таким, что Сильвестер сделал вывод, что «появление нечётного совершенного числа – этакий побег от сложной сети условий, окружающих его со всех сторон – будет практически чудом»<ref>{{Cite web|url=https://habr.com/ru/articles/520514/|title=Математики открыли новый фронт в битве с древней числовой задачей|lang=ru|website=Хабр|date=2020-09-24|access-date=2024-11-10}}</ref> |
|||
== Свойства == |
== Свойства == |
||
* Все чётные совершенные числа (кроме 6) являются суммой кубов последовательных нечётных натуральных чисел |
* Все чётные совершенные числа (кроме 6) являются суммой кубов последовательных нечётных натуральных чисел |
||
:: <math>1^3+3^3+5^3+\ldots+(2n-1)^3 = n^2(2n^2 - 1)</math> |
:: <math>1^3+3^3+5^3+\ldots+(2n-1)^3 = n^2(2n^2 - 1)</math> |
||
* Все чётные совершенные числа являются [[Треугольное число|треугольными]] и одновременно [[Шестиугольное число|шестиугольными числами]], то есть |
* Все чётные совершенные числа являются [[Треугольное число|треугольными]] и одновременно [[Шестиугольное число|шестиугольными числами]], то есть могут быть представлены в виде <math>n ( {2n - 1} )</math> для некоторого натурального числа <math>n</math>. |
||
* Сумма всех чисел, обратных делителям совершенного числа (включая само число), равна 2. Это прямое следствие определения и того факта, что сумма делителей при делении на само число дает сумму чисел, обратных делителям. |
* Сумма всех чисел, обратных делителям совершенного числа (включая само число), равна 2. Это прямое следствие определения и того факта, что сумма делителей при делении на само число дает сумму чисел, обратных делителям. |
||
* Все совершенные числа являются [[число Оре|числами Оре]]. |
* Все совершенные числа являются [[число Оре|числами Оре]]. |
||
* Все чётные совершенные числа, кроме 6 и 496, заканчиваются в десятичной записи на 16, 28, 36, 56 или 76. |
* Все чётные совершенные числа, кроме 6 и 496, заканчиваются в десятичной записи на 16, 28, 36, 56 или 76. |
||
* Если сложить все цифры чётного совершенного числа (кроме 6), затем сложить все цифры полученного числа и так повторять, пока не получится однозначное число<ref>см. [[Нумерология#Сокращение чисел до цифр]]</ref>, то это число будет равно 1 {{s|1=(2 + 8 = 10, 1 + 0 = 1; 4 + 9 + 6 = 19, 1 + 9 = 10…)}} Эквивалентная формулировка: остаток от деления чётного совершенного числа, отличного от 6, на 9 равен 1. |
* Если сложить все цифры чётного совершенного числа (кроме 6), затем сложить все цифры полученного числа и так повторять, пока не получится однозначное число<ref>см. [[Нумерология#Сокращение чисел до цифр]]</ref>, то это число будет равно 1 {{s|1=(2 + 8 = 10, 1 + 0 = 1; 4 + 9 + 6 = 19, 1 + 9 = 10…)}} Эквивалентная формулировка: остаток от деления чётного совершенного числа, отличного от 6, на 9 равен 1. |
||
* Благодаря своей форме <math>2^{p-1}(2^p-1)</math> |
* Благодаря своей форме <math>2^{p-1}(2^p-1)</math> каждое чётное совершенное число представлено в двоичной форме в виде последовательности <math>p</math> единиц, за которыми следует <math>p-1</math> нолей, например: <math>6_{10} = 110_2, 28_{10} = 11100_2, 496_{10} = 111110000_2, 8128_{10} = 1111111000000_2</math> ({{OEIS|id=A135650}}). |
||
== В религии == |
== В религии == |
||
Строка 72: | Строка 85: | ||
{{конец цитаты|источник=}} |
{{конец цитаты|источник=}} |
||
В Евангелии от Иоанна число 496 связывает воедино Пролог и Эпилог. В Прологе 496 слогов, а в Эпилоге (более пространном) 496 слов<ref>{{книга |автор=[[Ричард Бокэм]] [пер. с англ. Н. Холмогоровой] |заглавие=Иисус глазами очевидцев : первые дни христианства: живые голоса свидетелей |место=Москва |издательство=Эксмо |страниц=669 |isbn=978-5-699-46401-2}}</ref>. |
В [[Евангелие от Иоанна|Евангелии от Иоанна]] число 496 связывает воедино Пролог и Эпилог. В Прологе 496 слогов, а в Эпилоге (более пространном) 496 слов<ref>{{книга |автор=[[Ричард Бокэм]] [пер. с англ. Н. Холмогоровой] |заглавие=Иисус глазами очевидцев : первые дни христианства: живые голоса свидетелей |место=Москва |издательство=Эксмо |год=2011 |страниц=669 |isbn=978-5-699-46401-2}}</ref>. |
||
В сочинении « |
В сочинении «[[О граде Божьем]]» [[Августин Блаженный|святой Августин]] писал<ref>[http://libok.ru/read/?id=78 ''Саймон Сингх''. Великая Теорема Ферма. с. 9]{{Недоступная ссылка|date=Ноябрь 2018 |bot=InternetArchiveBot }}.</ref>: |
||
{{начало цитаты}} |
{{начало цитаты}} |
||
Число 6 совершенно само по себе, а не потому, что Господь сотворил всё сущее за 6 дней; скорее наоборот, Бог сотворил всё сущее за 6 дней потому, что это число совершенно. И оно оставалось бы совершенным, даже если бы не было сотворения за 6 дней. |
Число 6 совершенно само по себе, а не потому, что Господь сотворил всё сущее за 6 дней; скорее наоборот, Бог сотворил всё сущее за 6 дней потому, что это число совершенно. И оно оставалось бы совершенным, даже если бы не было сотворения за 6 дней. |
||
Строка 85: | Строка 98: | ||
* совершенные числа, для которых сумма собственных делителей равна самому числу. |
* совершенные числа, для которых сумма собственных делителей равна самому числу. |
||
Современные исследования показали, что наиболее распространены недостаточные числа, их примерно 75 %. Избыточных чисел немногим менее 25 %. Доля совершенных чисел на интервале от 1 до <math>N</math> с ростом <math>N</math> стремится к нулю<ref>{{книга |автор=[[Стюарт, Иэн (математик)|Стюарт |
Современные исследования показали, что наиболее распространены недостаточные числа, их примерно 75 %. Избыточных чисел немногим менее 25 %. Доля совершенных чисел на интервале от 1 до <math>N</math> с ростом <math>N</math> стремится к нулю<ref>{{книга |автор=[[Стюарт, Иэн (математик)|Стюарт И.]] |ref=Иэн Стюарт |заглавие=Невероятные числа профессора Стюарта |место=М. |издательство=Альпина нон-фикшн |страниц=422 |оригинал=Professor Stewart's incredible numbers |год=2016 |isbn=978-5-91671-530-9 |страницы=103—104}}</ref>. |
||
Натуральное число, сумма всех делителей которого кратна самому числу, называется {{iw|мультисовершенное число|мультисовершенным||Multiply perfect number}}<ref>{{Cite web |url=http://wwwhomes.uni-bielefeld.de/achim/mpn.html |title=The Multiply Perfect Numbers Page |access-date=2022-02-10 |archive-date=2020-02-19 |archive-url=https://web.archive.org/web/20200219180458/http://wwwhomes.uni-bielefeld.de/achim/mpn.html |deadlink=no }}</ref>. |
Натуральное число, сумма всех делителей которого кратна самому числу, называется {{iw|мультисовершенное число|мультисовершенным||Multiply perfect number}}<ref>{{Cite web |url=http://wwwhomes.uni-bielefeld.de/achim/mpn.html |title=The Multiply Perfect Numbers Page |access-date=2022-02-10 |archive-date=2020-02-19 |archive-url=https://web.archive.org/web/20200219180458/http://wwwhomes.uni-bielefeld.de/achim/mpn.html |deadlink=no }}</ref>. |
||
Строка 107: | Строка 120: | ||
{{Числа по характеристикам делимости}} |
{{Числа по характеристикам делимости}} |
||
[[Категория:Математические гипотезы]] |
|||
[[Категория:Целочисленные последовательности]] |
[[Категория:Целочисленные последовательности]] |
Текущая версия от 21:14, 20 ноября 2024
Соверше́нное число́ (др.-греч. ἀριθμὸς τέλειος) — натуральное число, равное сумме всех своих собственных делителей (то есть всех положительных делителей, отличных от самого́ числа). Например, число 6 равно сумме своих собственных делителей 1 + 2 + 3. Это понятие было введено пифагорейцами в VI веке до н. э.; согласно их нумерологической мистике, совпадение числа с суммой своих делителей свидетельствовало об особом совершенстве такого числа[1].
Если суммировать все делители числа (то есть добавить само число) или получим другое эквивалентное определение: Совершенные числа — это числа, у которых сумма всех делителей в 2 раза больше самого числа.
По мере того как натуральные числа возрастают, совершенные числа встречаются всё реже. Неизвестно, бесконечно ли множество всех совершенных чисел. Неизвестно также, есть ли среди них нечётные.
Совершенные числа образуют последовательность A000396 в OEIS:
- 6: = 2 · 3,
- 28: = 4 · 7,
- 496: = 16 · 31,
- 8128: = 64 · 127,
- 33 550 336: = 4096 · 8191,
- 8 589 869 056: = 65 536 · 131 071,
- 137 438 691 328: = 262 144 · 524 287,
- 2 305 843 008 139 952 128: = 1 073 741 824 · 2 147 483 647,
- 2 658 455 991 569 831 744 654 692 615 953 842 176: = 1 152 921 504 606 846 976 · 2 305 843 009 213 693 951,
- 191 561 942 608 236 107 294 793 378 084 303 638 130 997 321 548 169 216 : = 309 485 009 821 345 068 724 781 056 · 618 970 019 642 690 137 449 562 111,
- 131 640 364 585 696 … 728 128:
- 144 740 111 546 645 … 199 152 128:
- 235 627 234 572 673 … 555 646 976:
- 141 053 783 706 712 … 537 328 128:
- 541 625 262 843 658 … 984 291 328:
- …
Примеры
[править | править код]- 1-е совершенное число — 6 имеет следующие собственные делители: 1, 2, 3; их сумма равна 6.
- 2-е совершенное число — 28 имеет следующие собственные делители: 1, 2, 4, 7, 14; их сумма равна 28.
- 3-е совершенное число — 496 имеет следующие собственные делители: 1, 2, 4, 8, 16, 31, 62, 124, 248; их сумма равна 496.
- 4-е совершенное число — 8128 имеет следующие собственные делители: 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 127, 254, 508, 1016, 2032, 4064; их сумма равна 8128.
История изучения
[править | править код]Чётные совершенные числа
[править | править код]Алгоритм построения чётных совершенных чисел описан в IX книге «Начал» Евклида, где было доказано, что число является совершенным, если число является простым (т. н. простые числа Мерсенна)[2]. Впоследствии Леонард Эйлер доказал, что все чётные совершенные числа имеют вид, указанный Евклидом.
В античные времена были известны только первые четыре совершенных числа (соответствующие р = 2, 3, 5 и 7), они приведены в «Арифметике» Никомаха Геразского.
Пятое, шестое и седьмое совершенные числа обнаружил в XIII веке арабский математик Исмаил ибн Фаллус[англ.], однако в Европе эти числа оставались неизвестны ещё несколько сотен лет.
Пятое совершенное число 33 550 336, соответствующее р = 13, нашёл в 1536 году голландский математик Худалрик Peгиус (лат. Hudalrichus Regius) в трактате «Utriusque Arithmetices» (1536 год)[3]. Позднее это число было также обнаружено историками в неопубликованной рукописи Региомонтана 1461 года[4].
В 1603 году итальянский математик Катальди обнаружил и опубликовал шестое и седьмое совершенные числа: 8 589 869 056 и 137 438 691 328. Они соответствуют р = 17 и р = 19. Заодно он опроверг гипотезу Никомаха, согласно которой в последних цифрах членов последовательности совершенных чисел чередуются цифры 6 и 8[4].
Восьмое совершенное число в 1772 году открыл Леонард Эйлер, а также доказал, что любое чётное совершенное число должно иметь вид , причём должно быть простым.
Девятое совершенное число в 1883 году открыл Иван Михеевич Первушин — священник Русской православной церкви из Шадринского уезда Пермской губернии[5].
В начале XX века были найдены ещё три совершенных числа (для р = 89, 107 и 127). В дальнейшем поиск затормозился вплоть до середины XX века, когда с появлением компьютеров стали возможными вычисления, превосходящие человеческие возможности.
На 2024 год известно 52 совершенных числа, вытекающих из простых чисел Мерсенна, поиском которых занимается проект распределённых вычислений GIMPS.
52-е совершенное число обнаружил 36-летний Люк Дюрант из Калифорнии, США. Оно равно .
Нечётные совершенные числа
[править | править код]Нечётных совершенных чисел до сих пор не обнаружено, однако не доказано и то, что их не существует. Неизвестно также, конечно ли множество нечётных совершенных чисел, если они существуют.
Доказано, что нечётное совершенное число, если оно существует, превышает 102200; при этом число простых делителей такого числа с учётом кратности не меньше 101[6]. Поиском нечётных совершенных чисел занимается проект распределённых вычислений oddperfect.org/
Многие учёные, изучавшие совершенные числа, говорят, что нечётных совершенных не существует.
Пэйс Нильсен, математик из Университета Бригама Янга
Даже в XIX веке количество ограничений было таким, что Сильвестер сделал вывод, что «появление нечётного совершенного числа – этакий побег от сложной сети условий, окружающих его со всех сторон – будет практически чудом»[7]
Свойства
[править | править код]- Все чётные совершенные числа (кроме 6) являются суммой кубов последовательных нечётных натуральных чисел
- Все чётные совершенные числа являются треугольными и одновременно шестиугольными числами, то есть могут быть представлены в виде для некоторого натурального числа .
- Сумма всех чисел, обратных делителям совершенного числа (включая само число), равна 2. Это прямое следствие определения и того факта, что сумма делителей при делении на само число дает сумму чисел, обратных делителям.
- Все совершенные числа являются числами Оре.
- Все чётные совершенные числа, кроме 6 и 496, заканчиваются в десятичной записи на 16, 28, 36, 56 или 76.
- Если сложить все цифры чётного совершенного числа (кроме 6), затем сложить все цифры полученного числа и так повторять, пока не получится однозначное число[8], то это число будет равно 1 (2 + 8 = 10, 1 + 0 = 1; 4 + 9 + 6 = 19, 1 + 9 = 10…) Эквивалентная формулировка: остаток от деления чётного совершенного числа, отличного от 6, на 9 равен 1.
- Благодаря своей форме каждое чётное совершенное число представлено в двоичной форме в виде последовательности единиц, за которыми следует нолей, например: (последовательность A135650 в OEIS).
В религии
[править | править код]Особенный («совершенный») характер чисел 6 и 28 был признан в культурах, имеющих основание в авраамических религиях, утверждающих, что Бог сотворил мир за 6 дней и обративших внимание на то, что Луна совершает оборот вокруг Земли примерно за 28 дней.
Джеймс А. Эшельман в книге «Еврейские иерархические имена Брии»[9] пишет, что в соответствии с гематрией:
Не менее важна идея, выраженная числом 496. Это «теософское расширение» числа 31 (то есть сумма всех целых чисел от 1 до 31). Помимо всего прочего, это сумма слова малхут (царство). Таким образом, Царство, полное проявление первичной идеи Бога, предстает в гематрии как естественное дополнение или проявление числа 31, которое является числом имени 78.
«Левиафан» (букв. «извивающийся») — один из четырёх Князей Тьмы, воплощённый в форме змея. Поэтому удерживать Левиафана — значит контролировать энергии Нефеш, ассоциируемые со сфирой йесод. Во-вторых, «змей изгибающийся» может означать и «свернувшийся кольцами змей», то есть Кундалини. В-третьих, гематрия слова «Левиафан» — 496, так же как и слова «Малхут» (Царство); представление о том, что архангел Йесод сдерживает природу Малхут, даёт богатую пищу для размышлений. В-четвёртых, число 496 — это сумма чисел от 1 до 31, то есть полное расширение, или проявление, имени «Эль», божественного имени трёх высших сфирот в Брии (в том числе и сфиры Кетер, ангелом которой является Йехоэль).
В Евангелии от Иоанна число 496 связывает воедино Пролог и Эпилог. В Прологе 496 слогов, а в Эпилоге (более пространном) 496 слов[10].
В сочинении «О граде Божьем» святой Августин писал[11]:
Число 6 совершенно само по себе, а не потому, что Господь сотворил всё сущее за 6 дней; скорее наоборот, Бог сотворил всё сущее за 6 дней потому, что это число совершенно. И оно оставалось бы совершенным, даже если бы не было сотворения за 6 дней.
Вариации и обобщения
[править | править код]Античные математики различали три типа натуральных чисел, в зависимости от суммы их собственных делителей:
- избыточные числа, для которых сумма собственных делителей больше, чем само число;
- недостаточные числа, для которых сумма собственных делителей меньше, чем само число;
- совершенные числа, для которых сумма собственных делителей равна самому числу.
Современные исследования показали, что наиболее распространены недостаточные числа, их примерно 75 %. Избыточных чисел немногим менее 25 %. Доля совершенных чисел на интервале от 1 до с ростом стремится к нулю[12].
Натуральное число, сумма всех делителей которого кратна самому числу, называется мультисовершенным[англ.][13].
См. также
[править | править код]- Дружественные числа
- Магические числа (физика)
- Открытые математические проблемы
- Полусовершенные числа
- Слегка избыточные числа (квазисовершенные числа)
- Слегка недостаточные числа
- Суперсовершенные числа
Примечания
[править | править код]- ↑ Успенский В. А. Предисловие к математике [сборник статей]. — СПб.: ООО «Торгово-издательский дом Амфора», 2015. — С. 87. — 474 с. — (Популярная наука, вып. 12). — ISBN 978-5-367-03606-0.
- ↑ Совершенная красота и совершенная бесполезность совершенных чисел . Дата обращения: 19 апреля 2010. Архивировано 31 октября 2010 года.
- ↑ Попов И. Н. Совершенные и дружественные числа: Учебное пособие. — Архангельск: Поморский гос. университет им. М. В. Ломоносова, 2005. — 153 с. — ISBN 5-88086-514-2. Архивировано 25 ноября 2021 года.
- ↑ 1 2 Perfect numbers . Дата обращения: 21 сентября 2021. Архивировано 5 октября 2021 года.
- ↑ Уральская историческая энциклопедия / Гл. ред. В.В. Алексеев. — Изд. 2-е, перераб. и доп.. — Екатеринбург: Академкнига; УрО РАН, 2000. — 637, [1] с. — ISBN 5-7691-0795-2. Архивировано 5 сентября 2018 года.
- ↑ Ochem, Pascal; Rao, Michaël. Odd perfect numbers are greater than 101500 (англ.) // Mathematics of Computation[англ.] : journal. — 2012. — Vol. 81, no. 279. — P. 1869—1877. — ISSN 0025-5718. — doi:10.1090/S0025-5718-2012-02563-4. Архивировано 15 января 2016 года.
- ↑ Математики открыли новый фронт в битве с древней числовой задачей . Хабр (24 сентября 2020). Дата обращения: 10 ноября 2024.
- ↑ см. Нумерология#Сокращение чисел до цифр
- ↑ Числа . Дата обращения: 10 сентября 2011. Архивировано 16 апреля 2015 года.
- ↑ Ричард Бокэм [пер. с англ. Н. Холмогоровой]. Иисус глазами очевидцев : первые дни христианства: живые голоса свидетелей. — Москва: Эксмо, 2011. — 669 с. — ISBN 978-5-699-46401-2.
- ↑ Саймон Сингх. Великая Теорема Ферма. с. 9 (недоступная ссылка).
- ↑ Стюарт И. Невероятные числа профессора Стюарта = Professor Stewart's incredible numbers. — М.: Альпина нон-фикшн, 2016. — С. 103—104. — 422 с. — ISBN 978-5-91671-530-9.
- ↑ The Multiply Perfect Numbers Page . Дата обращения: 10 февраля 2022. Архивировано 19 февраля 2020 года.
Ссылки
[править | править код]- Депман И. Совершенные числа // Квант. — 1991. — № 5. — С. 13—17.
- Евгений Епифанов. Совершенные числа . Элементы.