Теорема Вигнера: различия между версиями

Интерактивная навигация по истории

(Показать все непатрулированные изменения)

[непроверенная версия]

← Предыдущая правка

Содержимое удалено Содержимое добавлено

ВизуальныйВики-текст

Линейный

Текущая версия от 14:59, 30 ноября 2024

Теорема Вигнера — теорема квантовой механики. Играет важную роль в математических основах квантовой механики. Она определяет, как физические симметрии (вращение^[1], перемещение в пространстве, CPT-преобразование) представлены математически в гильбертовом пространстве состояний. Названа в честь Юджина Вигнера, доказавшего её в 1931 г.^[2]

Пространство лучей

Проективное гильбертово пространство $\mathbb {P} H$ комплексного гильбертова пространства $H$ — это множество классов эквивалентности ненулевых векторов $\Psi \in H$ , для отношения эквивалентности $\sim$ на $H$ , заданного следующим образом:

\Psi \sim \Phi

тогда и только тогда, когда

\Psi =\lambda \Phi

для некоторого ненулевого комплексного числа

\lambda

.

Классы эквивалентности ${\underline {\Psi }}$ также называются лучами или проективными лучами^[3].

Формулировка

Предварительные сведения

Преобразование унитарно, если оно биективно и $\langle U\Psi ,U\Phi \rangle =\langle \Psi ,\Phi \rangle .$ Преобразование антиунитарно, если $\langle A\Psi ,A\Phi \rangle =\langle \Psi ,\Phi \rangle ^{*}=\langle \Phi ,\Psi \rangle .$

Пусть есть унитарное преобразование $U:H\to K$ гильбертовых пространств.

Определим ${\begin{aligned}T_{U}:\mathbb {P} H&\to \mathbb {P} K\\{\underline {\Psi }}&\mapsto {\underline {U\Psi }},\\\end{aligned}}$ которое является преобразованием симметрии, поскольку $T{\underline {\Psi }}\cdot T{\underline {\Phi }}={\frac {\left|\langle U\Psi ,U\Phi \rangle \right|}{\|U\Psi \|\|U\Phi \|}}={\frac {\left|\langle \Psi ,\Phi \rangle \right|}{\|\Psi \|\|\Phi \|}}={\underline {\Psi }}\cdot {\underline {\Phi }}.$ Таким же образом антиунитарные преобразования $A$ симметрии гильбертова пространства индуцируют преобразование симметрии пространства лучей.

Утверждение теоремы

Теорема Вигнера утверждает, что верно и обратное: Если $H$ и $K$ — гильбертовы пространства, и $T:\mathbb {P} H\to \mathbb {P} K$ — преобразование симметрии, тогда существует унитарное или антиунитарное преобразование $V:H\to K$ , которое индуцирует $T$ .^[2]^[4]^[5]

Доказательство см.^[2]^[4]

В некоторых источниках^[6] упоминается другая теорема Вигнера, которая относится к собственным состояниям симметричной квантово-механической системы, и говорит о том, что если гамильтониан инвариантен относительно преобразований какой-то группы, то его собственные функции образуют базис неприводимых представлений этой группы, а кратность вырождения уровня равна размерности представления.

Примечания

↑ Вигнер, 1961, с. 265—268.
↑ ¹ ² ³ Вигнер, 1961, с. 276—280.
↑ Weinberg, 2002, p. 49
↑ ¹ ² Bargmann V. Note on Wigner’s Theorem on Symmetry Operations Архивная копия от 2 июня 2021 на Wayback Machine // Journal of Mathematical Physics 5, 862 (1964); https://doi.org/10.1063/1.1704188
↑ Боголюбов, 1969, с. 104.
↑ Петрашень М. И., Трифонов Е. Д. "Применение теории групп в квантовой механике", 1967, Наука

Литература

Вигнер Е. Теория групп и ее приложения к квантовомеханической теории атомных спектров. — М.: ИЛ, 1961. — 443 с.
Боголюбов Н. Н., Логунов А. А., Тодоров, И. Т. Основы аксиоматического подхода в квантовой теории поля. — М.: Наука, 1969. — 424 с.
Weinberg, S. (2002), The Quantum Theory of Fields, vol. 1, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-55001-7 — Internet Archive

[_f31902ababc745b1-1] Вигнер, 1961, с. 265—268.

[_ae7899f71b3d8bdb-2] ¹ ² ³ Вигнер, 1961, с. 276—280.

[3] Weinberg, 2002, p. 49

[Barg-4] ¹ ² Bargmann V. Note on Wigner’s Theorem on Symmetry Operations Архивная копия от 2 июня 2021 на Wayback Machine // Journal of Mathematical Physics 5, 862 (1964); https://doi.org/10.1063/1.1704188

[_b9f6dd5da3ae1b70-5] Боголюбов, 1969, с. 104.

[6] Петрашень М. И., Трифонов Е. Д. "Применение теории групп в квантовой механике", 1967, Наука

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

@@ Строка 1: / Строка 1: @@
-'''Теорема Вигнера''' — теорема квантовой механики.
+'''Теорема Вигнера''' — теорема квантовой механики.
 Играет важную роль в [[Математические основы квантовой механики|математических основах квантовой механики]].
-Она определяет, как физические [[Симметрия|симметрии]] (вращение{{sfn|Вигнер|с=265-268|1961}}, перемещение в пространстве, [[CPT-инвариантность|CPT-преобразование]]) представлены математически в [[Гильбертово пространство|гильбертовом пространстве]] [[Квантовое состояние|состояний]].
+Она определяет, как физические [[Симметрия|симметрии]] (вращение{{sfn|Вигнер|с=265—268|1961}}, перемещение в пространстве, [[CPT-инвариантность|CPT-преобразование]]) представлены математически в [[Гильбертово пространство|гильбертовом пространстве]] [[Квантовое состояние|состояний]].
-Навана в честь [[Вигнер, Юджин|Юджином Вигнером]], доказавшего её в 1931 г.{{sfn|Вигнер|с=276-280|1961}}
+Названа в честь [[Вигнер, Юджин|Юджина Вигнера]], доказавшего её в 1931 г.{{sfn|Вигнер|с=276—280|1961}}
+==Пространство лучей==
+'''[[Проективное пространство|Проективное]] гильбертово пространство''' <math>\mathbb{P}H </math> комплексного [[Гильбертово пространство|гильбертова пространства]] <math>H</math> — это множество [[Фактормножество|классов эквивалентности]] ненулевых векторов  <math>\Psi\in H</math>, для отношения эквивалентности <math>\sim</math> на <math>H</math>, заданного следующим образом:
+:<math>\Psi \sim \Phi</math> тогда и только тогда, когда <math>\Psi = \lambda \Phi</math> для некоторого ненулевого комплексного числа <math>\lambda</math>.
+Классы эквивалентности <math>\underline{\Psi}</math> также называются '''лучами''' или '''проективными лучами'''<ref>{{harvnb|Weinberg|2002|p=49}}</ref>.
 == Формулировка ==
+===Предварительные сведения===
-Пусть {{mvar|H}} и {{mvar|K}} - [[Гильбертово пространство|гильбертовы пространства]], {{mvar|T}} - отображение нормированных лучей <math>\Psi</math> и <math>\Phi</math> пространства {{mvar|H}} на множество нормированных лучей  пространства {{mvar|K}} так, что при этом выполняется условие:
+Преобразование унитарно, если оно [[Биекция|биективно]] и
+<math display="block">\langle U \Psi, U \Phi\rangle = \langle \Psi, \Phi \rangle.</math>
+Преобразование антиунитарно, если
+<math display="block">\langle A \Psi, A \Phi\rangle = \langle\Psi, \Phi\rangle^* = \langle\Phi, \Psi\rangle.</math>
+Пусть есть унитарное преобразование <math>U:H \to K</math> гильбертовых пространств.
-:<math>\mid (T \Psi, T \Phi) \mid  =  \mid (\Psi, \Phi) \mid</math>
+Определим
-Тогда существует оператор {{mvar|O}} из пространства {{mvar|H}} в пространство {{mvar|K}}, определённый с точностью до постоянного [[множитель|множителя]], который порождает {{mvar|T}} и который аддитивен, т. е. обладает свойством:
+<math display="block">\begin{align}
+T_U: \mathbb{P}H &\to \mathbb{P}K \\
+     \underline{\Psi} &\mapsto \underline{U\Psi},\\
+\end{align}</math>
+которое является преобразованием симметрии, поскольку
+<math display="block">
+  T\underline{\Psi} \cdot T\underline{\Phi}  =
+\frac{ \left|\langle U\Psi, U\Phi \rangle\right|}{\|U\Psi\|\|U\Phi\|} = \frac{\left|\langle\Psi, \Phi\rangle\right|}{\|\Psi\|\|\Phi\|}
+  = \underline{\Psi} \cdot \underline{\Phi}.
+</math>
+Таким же образом антиунитарные преобразования <math>A</math> симметрии гильбертова пространства индуцируют преобразование симметрии пространства лучей.
+===Утверждение теоремы===
-:<math>O(\Psi_1 + \Psi_2) = O \Psi_1 + O \Psi_2</math>
+Теорема Вигнера утверждает, что верно и обратное:
+Если <math>H</math> и <math>K</math> — гильбертовы пространства, и <math>T:\mathbb{P}H \to \mathbb{P}K </math> — преобразование симметрии, тогда существует унитарное или антиунитарное преобразование <math>V: H \to K</math>, которое индуцирует <math>T</math>.{{sfn|Вигнер|с=276—280|1961}}<ref name ="Barg">''[[Баргман, Валентин|Bargmann V.]]'' [http://www.entsphere.com/pub/pdf/1964%20Bargman,%20Note%20on%20Wigner's%20%20Theorem%20%20on%20%20Symmetry%20%20Operations.pdf Note on Wigner’s Theorem on Symmetry Operations] {{Wayback|url=http://www.entsphere.com/pub/pdf/1964%20Bargman%2C%20Note%20on%20Wigner%27s%20%20Theorem%20%20on%20%20Symmetry%20%20Operations.pdf |date=20210602212944 }} // Journal of Mathematical Physics 5, 862 (1964); https://doi.org/10.1063/1.1704188</ref>{{sfn|Боголюбов|с=104|1969}}
+Доказательство см.{{sfn|Вигнер|с=276—280|1961}}<ref name ="Barg"></ref>
-и который является либо унитарным, т. е. обладает свойством:
+==Комментарии==
-:<math>(O \Psi, O \Phi) = (\Psi, \Phi)</math>
+В некоторых источниках<ref>Петрашень М. И., Трифонов Е. Д. "Применение теории групп в квантовой механике", 1967, Наука </ref> упоминается другая теорема Вигнера, которая относится к собственным состояниям симметричной квантово-механической системы, и говорит о том, что если гамильтониан инвариантен относительно преобразований какой-то группы, то его собственные функции образуют базис [[Неприводимое представление|неприводимых представлений]] этой группы, а кратность [[Вырождение_(квантовая_механика)|вырождения]] уровня равна размерности представления.
+<!--Пусть {{mvar|H}} и {{mvar|K}} — [[Гильбертово пространство|гильбертовы пространства]], {{mvar|T}} — отображение нормированных лучей <math>\Psi</math> и <math>\Phi</math> пространства {{mvar|H}} на множество нормированных лучей пространства {{mvar|K}} так, что при этом выполняется условие:
-либо антиунитарным, т. е. обладает свойством:{{sfn|Вигнер|с=276-280|1961}}<ref name ="Barg">''[[Баргман, Валентин|Bargmann V.]]'' [http://www.entsphere.com/pub/pdf/1964%20Bargman,%20Note%20on%20Wigner's%20%20Theorem%20%20on%20%20Symmetry%20%20Operations.pdf Note on Wigner's Theorem on Symmetry Operations] // Journal of Mathematical Physics 5, 862 (1964); https://doi.org/10.1063/1.1704188</ref>{{sfn|Боголюбов|с=104|1969}}
-:<math>(O \Psi, O \Phi) = \overline{(\Psi, \Phi)} = (\Phi, \Psi)</math>
+: <math>\mid (T \Psi, T \Phi) \mid  =  \mid (\Psi, \Phi) \mid</math>
+Тогда существует оператор {{mvar|O}} из пространства {{mvar|H}} в пространство {{mvar|K}}, определённый с точностью до постоянного [[множитель|множителя]], который порождает {{mvar|T}} и который аддитивен, то есть обладает свойством:
-Доказательство см.{{sfn|Вигнер|с=276-280|1961}}<ref name ="Barg"></ref>
+: <math>O(\Psi_1 + \Psi_2) = O \Psi_1 + O \Psi_2</math>
-== Пояснения ==
+и который является либо унитарным, то есть обладает свойством:
-Нормированным (или единичным) лучом называется совокупность всех [[Единичный вектор|единичных векторов]] в [[Гильбертово пространство|гильбертовом пространстве]], [[Коллинеарность|коллинеарных]] с заданным вектором. Знак <math>(...)</math> означает
-[[скалярное произведение]] в гильбертовом пространстве. Знак <math>\mid...\mid</math> означает операцию взятия [[Абсолютная величина|модуля]]. Знак <math> \overline{(...)}</math> означает операцию [[комплексное сопряжение|комплексного сопряжения]].
+: <math>(O \Psi, O \Phi) = (\Psi, \Phi)</math>
+либо антиунитарным, то есть обладает свойством:
+== Пояснения ==
+Нормированным (или единичным) лучом называется совокупность всех [[Единичный вектор|единичных векторов]] в [[Гильбертово пространство|гильбертовом пространстве]], [[Коллинеарность|коллинеарных]] с заданным вектором. Знак <math>(...)</math> означает
+[[скалярное произведение]] в гильбертовом пространстве. Знак <math>\mid...\mid</math> означает операцию взятия [[Абсолютная величина|модуля]]. Знак <math> \overline{(...)}</math> означает операцию [[комплексное сопряжение|комплексного сопряжения]]. -->
 == Примечания ==
@@ Строка 36: / Строка 67: @@
  | ref  = Вигнер}}
 * {{книга | автор = [[Боголюбов, Николай Николаевич|Боголюбов Н. Н.]], [[Логунов, Анатолий Алексеевич|Логунов А. А.]], Тодоров, И. Т. | заглавие = Основы аксиоматического подхода в квантовой теории поля | место = {{М.}} | издательство = [[Наука (издательство)|Наука]] | год = 1969 | страниц = 424 | isbn = | ref  = Боголюбов}}
+* {{citation| title = The Quantum Theory of Fields
+ | last = Weinberg | first = S. | year = 2002
+ | publisher = Cambridge University Press
+ | volume = 1
+ | url = https://archive.org/details/quantumtheoryoff00stev | via = [[Internet Archive]]
+ | isbn = 978-0-521-55001-7
+}}
 [[Категория:Квантовая механика]]

Теорема Вигнера: различия между версиями

Текущая версия от 14:59, 30 ноября 2024

Содержание

Пространство лучей

Формулировка

Предварительные сведения

Утверждение теоремы

Комментарии

Примечания

Литература

Навигация

Теорема Вигнера: различия между версиями

Текущая версия от 14:59, 30 ноября 2024

Пространство лучей

Формулировка

Предварительные сведения

Утверждение теоремы

Комментарии

Примечания

Литература

Навигация

Поиск