Квадратный корень из 2: различия между версиями

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску
[отпатрулированная версия][непроверенная версия]
Содержимое удалено Содержимое добавлено
Отмена — порча оформления, грамматическая ошибка
История: Недостающий пробел
 
(не показано 100 промежуточных версий 49 участников)
Строка 1: Строка 1:
{| class="infobox" style="width:370px"
{| class="infobox" style="width:370px"
| colspan="2" align="center" | [[Иррациональное число|Иррациональные числа]]<br /> {{Вещественные константы|inline=1}}
| colspan="2" align="center" | [[Иррациональное число|Иррациональные числа]]<br> {{Вещественные константы|inline=1}}
|-style="background:#f0f0f0"
|-style="background:#f0f0f0"
| nowrap="nowrap" | '''Система счисления''' || '''Оценка числа {{sqrt|2}}'''
| nowrap="nowrap" | '''Система счисления''' || '''Оценка числа {{sqrt|2}}'''
|-
|-
|align="right"| [[Десятичная система счисления|Десятичная]] || 1.4142135623730950488…
|align="right"| [[Десятичная система счисления|Десятичная]] || 1,4142135623730950488…
|-style="background:#f0f0f0"
|-style="background:#f0f0f0"
|align="right"| [[Двоичная система счисления|Двоичная]] || 1.0110101000001001111…
|align="right"| [[Двоичная система счисления|Двоичная]] || 1,0110101000001001111…
|-
|-
|align="right"| [[Шестнадцатеричная система счисления|Шестнадцатеричная]] || 1.6A09E667F3BCC908B2F…
|align="right"| [[Шестнадцатеричная система счисления|Шестнадцатеричная]] || 1,6A09E667F3BCC908B2F…
|-style="background:#f0f0f0"
|-style="background:#f0f0f0"
|align="right"| [[Шестидесятеричная система счисления|Шестидесятеричная]] || 1; 24 51 10 07 46 06 04 44 50 …
|align="right"| [[Шестидесятеричная система счисления|Шестидесятеричная]] || 1; 24 51 10 07 46 06 04 44 50 …
|-
|-
|align="right"| [[Рациональные приближения]] || <sup>3</sup>/<sub>2</sub>; <sup>7</sup>/<sub>5</sub>; <sup>17</sup>/<sub>12</sub>; <sup>41</sup>/<sub>29</sub>; <sup>99</sup>/<sub>70</sub>; <sup>239</sup>/<sub>169</sub>; <sup>577</sup>/<sub>408</sub>; <sup>1393</sup>/<sub>985</sub>; <sup>3363</sup>/<sub>2378</sub>; <sup>8119</sup>/<sub>5741</sub>; <sup>19601</sup>/<sub>13860</sub>
|align="right"| [[Рациональные приближения]] || <sup>3</sup>/<sub>2</sub>; <sup>7</sup>/<sub>5</sub>; <sup>17</sup>/<sub>12</sub>; <sup>41</sup>/<sub>29</sub>; <sup>99</sup>/<sub>70</sub>; <sup>239</sup>/<sub>169</sub>; <sup>577</sup>/<sub>408</sub>; <sup>1393</sup>/<sub>985</sub>; <sup>3363</sup>/<sub>2378</sub>; <sup>8119</sup>/<sub>5741</sub>; <sup>19601</sup>/<sub>13860</sub>; <sup>665857</sup>/<sub>470832</sub>
<small>(перечислено в порядке увеличения точности)</small>
<small>(перечислено в порядке увеличения точности)</small>
|-style="background:#f0f0f0"
|-style="background:#f0f0f0"
Строка 19: Строка 19:
|}
|}
{{Врезка | Выравнивание = right | Ширина = 30em | Содержание =
{{Врезка | Выравнивание = right | Ширина = 30em | Содержание =
<div style="text-align:right">
<div style="text-align:right; font-weight: bold; font-family:'Courier New';">
1,4142135623 7309504880 1688724209 6980785696 7187537694
1,4142135623 7309504880 1688724209 6980785696 7187537694
8073176679 7379907324 7846210703 8850387534 3276415727
8073176679 7379907324 7846210703 8850387534 3276415727
Строка 39: Строка 39:
1803268024 7442062926 9124859052 1810044598 4215059112
1803268024 7442062926 9124859052 1810044598 4215059112
0249441341 7285314781 0580360337 1077309182 8693147101
0249441341 7285314781 0580360337 1077309182 8693147101
7111168391 6581726889 4197587165 8215212822 9518488472
7111168391 6581726889 4197587165 8215212822 9518488472<br>
</div>
</div>
| Подпись =<hr />
| Подпись =<hr>
Первые 1000 знаков значения {{sqrt|2}}<ref>[http://www.gutenberg.org/files/129/129.txt The Square Root of Two, to 5 million digits]</ref>.
Значение <math>\sqrt{2}</math> с первой тысячей высших разрядов десятичной дроби<ref>{{Cite web |url=http://www.gutenberg.org/files/129/129.txt |title=The Square Root of Two, to 5 million digits |access-date=2015-02-15 |archive-date=2015-09-24 |archive-url=https://web.archive.org/web/20150924194032/http://www.gutenberg.org/files/129/129.txt |deadlink=no }}</ref>.
}}
}}
[[Файл:Square root of 2 triangle.svg|thumb|174x174px|Квадратный корень из 2 равен длине гипотенузы в прямоугольном треугольнике с длиной катетов 1.]]
[[Файл:Square root of 2 triangle.svg|thumb|174x174px|Квадратный корень из 2 равен длине гипотенузы в прямоугольном треугольнике с длиной катетов 1.]]
Строка 49: Строка 50:
Геометрически корень из 2 можно представить как длину [[Диагональ|диагонали]] квадрата со стороной 1 (это следует из [[Теорема Пифагора|теоремы Пифагора]]). Вероятно, это было первое известное в [[История математики|истории математики]] [[иррациональное число]] (то есть число, которое нельзя точно представить в виде [[Дробь (математика)|дроби]]).
Геометрически корень из 2 можно представить как длину [[Диагональ|диагонали]] квадрата со стороной 1 (это следует из [[Теорема Пифагора|теоремы Пифагора]]). Вероятно, это было первое известное в [[История математики|истории математики]] [[иррациональное число]] (то есть число, которое нельзя точно представить в виде [[Дробь (математика)|дроби]]).


[[Файл:Dedekind cut sqrt 2.svg| thumb| right| 200px| Квадратный корень из 2.]]
[[Файл:Dedekind cut sqrt 2.svg|thumb|200px|Квадратный корень из 2.]]
Хорошим и часто используемым приближением к <math>\sqrt{2}</math> является дробь <math>\tfrac{99}{70}</math>. Несмотря на то, что числитель и знаменатель дроби лишь двузначные целые, оно отличается от реального значения меньше, чем на 1/10000.
Хорошим и часто используемым приближением к <math>\sqrt{2}</math> является дробь <math>\tfrac{99}{70}</math>. Несмотря на то, что числитель и знаменатель дроби лишь двузначные целые, оно отличается от реального значения меньше, чем на 1/10000.


== История ==
== История ==
[[Файл:Ybc7289-bw.jpg|right|thumb|200px|Вавилонская глиняная табличка с максимально точным указанием длины диагонали единичного квадрата четырёхзначным шестидесятеричным числом.]]
[[Файл:Ybc7289-bw.jpg|thumb|200px|Вавилонская глиняная табличка с максимально точным указанием длины диагонали единичного квадрата четырёхзначным шестидесятеричным числом.]]
Вавилонская глиняная табличка (ок. 1800—1600 до н. э.) даёт наиболее точное приближённое значение <math>\sqrt{2}</math> при записи в четырёх шестидесятеричных цифрах, что после округления составляет 6 точных десятичных цифр:
Вавилонская глиняная табличка (ок. 1800—1600 до н. э.) даёт наиболее точное приближённое значение <math>\sqrt{2}</math> при записи в четырёх шестидесятеричных цифрах, что после округления составляет 6 точных десятичных цифр:


: <math>1 + \frac{24}{60} + \frac{51}{60^2} + \frac{10}{60^3} = 1.41421\overline{296}.</math>
: <math>1 + \frac{24}{60} + \frac{51}{60^2} + \frac{10}{60^3} = 1.41421(296)\,.</math>


Другое раннее приближение этого числа в древнеиндийском математическом тексте, [[Шульба-сутры]] (ок. 800—200 до н. э.) даётся следующим образом:
Другое раннее приближение этого числа в древнеиндийском математическом тексте, называемом «''[[Шульба-сутры]]''» (ок. 800—200 до н. э.) даётся следующим образом:


: <math>1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{3 \cdot 4} - \frac{1}{3 \cdot4 \cdot 34} = \frac{577}{408} \approx 1.414215686.</math>
: <math>1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{3 \cdot 4} - \frac{1}{3 \cdot4 \cdot 34} = \frac{577}{408} \approx 1.414215686\,.</math>


[[Пифагореизм|Пифагорейцы]] обнаружили, что диагональ квадрата несоизмерима с его стороной, или на современном языке, что квадратный корень из двух является [[Иррациональное число|иррациональным]]. Мало что известно с определённостью о времени и обстоятельствах этого выдающегося открытия, но традиционно его авторство приписывается [[Гиппас из Метапонта|Гиппасу из Метапонта]], которого за это открытие, по разным вариантам легенды, пифагорейцы не то убили, не то изгнали, поставив ему в вину разрушение главной пифагорейской доктрины о том, что «всё есть [натуральное] число». Поэтому квадратный корень из 2 иногда называют постоянной Пифагора, так как именно пифагорейцы доказали его иррациональность, тем самым открыв существование иррациональных чисел{{нет АИ|22|09|2013}}.
[[Пифагореизм|Пифагорейцы]] обнаружили, что диагональ квадрата [[Соизмеримые величины|несоизмерима]] с его стороной, или на современном языке, что квадратный корень из двух является [[Иррациональное число|иррациональным числом]]. Мало что известно с определённостью о времени и обстоятельствах этого выдающегося открытия, но традиционно его авторство приписывается [[Гиппас из Метапонта|Гиппасу из Метапонта]], которого за это открытие, по разным вариантам легенды, пифагорейцы не то убили, не то изгнали, поставив ему в вину разрушение главной пифагорейской доктрины о том, что «всё есть [натуральное] число». Поэтому квадратный корень из 2 иногда называют постоянной Пифагора, так как именно пифагорейцы доказали его иррациональность, тем самым открыв существование иррациональных чисел<ref name="v100">{{cite web |url=https://nrich.maths.org/articles/dangerous-ratio |title=The dangerous ratio |access-date=2024-11-28 |archive-date=2024-11-28 |archive-url=https://web.archive.org/web/20241128175311/https://nrich.maths.org/articles/dangerous-ratio |date=2011-01-02 |url-status=live }}</ref>. Однако историки сомневаются в достоверности этих событий, и вообще в том, что несоизмеримые величины были открыты в 5 веке до н. э.<ref name="v101">{{cite journal |last=Von Fritz |first=Kurt |title=The discovery of incommensurability by Hippasus of Metapontum |url=http://users.uoa.gr/~apgiannop/Sources/von-Fritz-discovery-of-incommensurability-by-Hippasus.pdf |url-status=live |year=1944 |pages=242-243 |lang=en |journal=Annals of Mathematics |volume=46 |issue=2 |archive-url=https://web.archive.org/web/20201113060643/http://users.uoa.gr/~apgiannop/Sources/von-Fritz-discovery-of-incommensurability-by-Hippasus.pdf |archive-date=2020-11-13 |access-date=2024-11-28 |jstor=1969021 }}</ref>


== Алгоритмы вычисления ==
== Алгоритмы вычисления ==
Существует множество алгоритмов для вычисления значения квадратного корня из двух. В результате алгоритма получается приблизительное значение <math>\sqrt{2}</math> в виде [[Обыкновенная дробь|обыкновенной]] или [[Десятичная дробь|десятичной дроби]]. Самый популярный алгоритм для этого, который используется во многих компьютерах и калькуляторах, это вавилонский метод вычисления квадратных корней. Он состоит в следующем:
Существует множество алгоритмов для приближения значения квадратного корня из двух [[Обыкновенная дробь|обыкновенными]] или [[Десятичная дробь|десятичными дробями]]. Самый популярный алгоритм для этого, который используется во многих компьютерах и калькуляторах, это вавилонский метод вычисления квадратных корней (частный случай [[Метод Ньютона|метода Ньютона]]). Он состоит в следующем:


: <math>a_{n+1} = \frac{a_n + \frac{2}{a_n}}{2}=\frac{a_n}{2}+\frac{1}{a_n}. </math>
: <math>a_{n+1} = \frac{a_n + \frac{2}{a_n}}{2}=\frac{a_n}{2}+\frac{1}{a_n}. </math>


Чем больше повторений в алгоритме (то есть, чем больше «n»), тем лучше приближение квадратного корня из двух. Каждое повторение приблизительно удваивает количество правильных цифр. Приведём несколько первых приближений, начиная с <math>a_0 = 1</math>:
Чем больше повторений в алгоритме (то есть, чем больше <math>n</math>), тем лучше приближение квадратного корня из двух. Каждое повторение приблизительно удваивает количество правильных цифр. Несколько первых приближений, начиная с <math>a_0 = 1</math>:


* <math>\frac{3}{2}={ \color{Green} 1 }{,}5</math>
* 3/2 = '''1'''.5
* <math>\frac{17}{12}={ \color{Green} 1{,}41 }6\ldots</math>
* 17/12 = '''1.41'''6…
* 577/408 = '''1.41421'''5…
* <math>\frac{577}{408}={ \color{Green} 1{,}41421 }5\ldots</math>
* 665857/470832 = '''1.41421356237'''46…
* <math>\frac{665857}{470832}={ \color{Green} 1{,}41421356237 }46\ldots</math>


В 1997 году [[Ясумаса Канада]] вычислил значение <math>\sqrt{2}</math> до 137 438 953 444 десятичных знаков после запятой. В феврале 2007 года рекорд был побит: Сигэру Кондо вычислил 200 миллиардов десятичных знаков после запятой в течение 13 дней и 14 часов, используя процессор с частотой 3,6 ГГц и 16 [[Гигабайт|ГБ]] [[ОЗУ]]. Среди математических констант только [[Пи (число)|<math>\pi</math>]] было вычислено более точно{{Нет АИ|10|03|2016}}.
В 1997 году [[Ясумаса Канада]] вычислил значение <math>\sqrt{2}</math> до 137 438 953 444 десятичных знаков после запятой. В феврале 2007 года рекорд был побит: Сигэру Кондо вычислил 200 миллиардов десятичных знаков после запятой в течение 13 дней и 14 часов, используя процессор с частотой 3,6 ГГц и 16 [[Гигабайт|ГБ]] [[ОЗУ]].


== Мнемоническое правило ==
== Мнемоническое правило ==
Строка 83: Строка 84:


== Свойства квадратного корня из двух ==
== Свойства квадратного корня из двух ==
Половина <math>\sqrt{2}</math> приблизительно равна 0.70710 67811 86548; эта величина даёт в геометрии и тригонометрии координаты [[единичный вектор|единичного вектора]], образующего угол 45° с координатными осями:
Половина <math>\sqrt{2}</math> приблизительно равна 0,70710 67811 86548; эта величина даёт в геометрии и [[Тригонометрия|тригонометрии]] координаты [[единичный вектор|единичного вектора]], образующего угол 45° с координатными осями:
: <math>\frac{\sqrt{2}}{2} = \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \cos(45^\circ) = \sin(45^\circ).</math>
:<math>\frac{\sqrt{2}}{2} = \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \cos 45^\circ = \sin 45^\circ.</math>


Одно из интересных свойств <math>\sqrt{2}</math> состоит в следующем:
Одно из интересных свойств <math>\sqrt{2}</math> состоит в следующем:
Строка 96: Строка 97:
: <math>\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2 + \cdots}}} = 2.</math>
: <math>\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2 + \cdots}}} = 2.</math>


Квадратный корень из двух может быть выражен в мнимых единицах ''i'' используя только квадратные корни и арифметические операции:
Квадратный корень из двух может быть выражен в мнимых единицах ''i'', используя только квадратные корни и арифметические операции:


: <math>\frac{\sqrt{i}+i \sqrt{i}}{i}</math> и <math>\frac{\sqrt{-i}-i \sqrt{-i}}{-i}.</math>
: <math>\frac{\sqrt{i}+i \sqrt{i}}{i}</math> и <math>\frac{\sqrt{-i}-i \sqrt{-i}}{-i}.</math>
Строка 105: Строка 106:


Квадратный корень из двух может быть также использован для приближения [[Пи (число)|<math>\pi</math>]]:
Квадратный корень из двух может быть также использован для приближения [[Пи (число)|<math>\pi</math>]]:
: <math>2^m\sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2+\cdots+\sqrt{2}}}} \to \pi\text{ as }m \to \infty</math>
:<math>2^m\sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2+\cdots+\sqrt{2}}}} \to \pi \quad</math>при <math>m \to \infty .</math>


С точки зрения [[Абстрактная алгебра|высшей алгебры]], <math>\sqrt{2}</math> является корнем [[многочлен]]а <math>x^2-2</math> и поэтому является [[Целое алгебраическое число|целым алгебраическим числом]]<ref>Не путать с [[Целое число|целым числом]].</ref>. Множество чисел вида <math>a+b\sqrt{2}</math>, где <math>a, b</math> — [[Рациональное число|рациональные числа]], образует [[Поле (алгебра)|алгебраическое поле]]. Оно обозначается <math>\mathbb{Q}[\sqrt{2}]</math> и является [[Поле (алгебра)|подполем]] поля [[Вещественное число|вещественных чисел]].
С точки зрения [[Абстрактная алгебра|высшей алгебры]], <math>\sqrt{2}</math> является корнем [[многочлен]]а <math>x^2-2</math> и поэтому является [[Целое алгебраическое число|целым алгебраическим числом]]<ref>Не путать с [[Целое число|целым числом]].</ref>. Множество чисел вида <math>a+b\sqrt{2}</math>, где <math>a, b</math> — [[Рациональное число|рациональные числа]], образует [[Поле (алгебра)|алгебраическое поле]]. Оно обозначается <math>\mathbb{Q}[\sqrt{2}]</math> и является [[Поле (алгебра)|подполем]] поля [[Вещественное число|вещественных чисел]].


== Доказательство иррациональности ==
== Доказательство иррациональности ==

Применим [[доказательство от противного]]: допустим, <math>\sqrt{2}</math> [[рациональное число|рационален]], то есть представляется в виде дроби <math>\frac{m}{n}</math>, где <math>m</math> и <math>n</math> — [[целое число|целые числа]].
=== Доказательство через разложение на множители ===
Применим [[доказательство от противного]]: допустим, <math>\sqrt{2}</math> [[рациональное число|рационален]], то есть представляется в виде дроби <math>\frac{m}{n}</math>, где <math>m</math> — [[целое число]], а <math>n</math> — [[натуральное число|натуральное]].

Возведём предполагаемое равенство в квадрат:
Возведём предполагаемое равенство в квадрат:
: <math>\sqrt{2} = \frac{m}{n} \Rightarrow 2 = \frac{m^2}{n^2} \Rightarrow m^2 = 2n^2</math>.
: <math>\sqrt{2} = \frac{m}{n} \Rightarrow 2 = \frac{m^2}{n^2} \Rightarrow m^2 = 2n^2</math>.

Так как разложение m<sup>2</sup> на простые множители содержит 2 в четной степени, а 2n<sup>2</sup> — в нечетной, равенство m<sup>2</sup>=2n<sup>2</sup> невозможно.
Так как разложение <math>m^2</math> на простые множители содержит <math>2</math> в чётной степени, а <math>2n^2</math> — в нечётной, равенство <math>m^2=2n^2</math> невозможно.
Значит, исходное предположение было неверным, и <math>\sqrt{2}</math> — иррациональное число.
Значит, исходное предположение было неверным, и <math>\sqrt{2}</math> — иррациональное число.


Строка 120: Строка 125:
: <math>\ \sqrt{2} = 1 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{2 + \ddots}}}}. </math>
: <math>\ \sqrt{2} = 1 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{2 + \ddots}}}}. </math>


[[Непрерывная дробь|Подходящие дроби]] данной непрерывной дроби дают приближённые значения, быстро сходящиеся к точному квадратному корню из двух. Способ их вычисления прост: если обозначить предыдущую подходящую дробь <math>\frac {m}{n}</math>, то последующая имеет вид <math>\frac {m+2 n}{m+n}</math>. Скорость сходимости здесь меньше, чем у метода Ньютона, но вычисления гораздо проще. Выпишем несколько первых приближений:
[[Непрерывная дробь|Подходящие дроби]] данной непрерывной дроби дают приближённые значения, быстро сходящиеся к точному квадратному корню из двух. Способ их вычисления прост: если обозначить предыдущую подходящую дробь <math>\frac {m}{n}</math>, то последующая имеет вид <math>\frac {m+2 n}{m+n}</math>. [[Скорость сходимости]] здесь меньше, чем у вавилонского метода, но вычисления гораздо проще. Выпишем несколько первых приближений:
: <math>\frac {3}{2}; \ \frac {7}{5}; \ \frac {17}{12}; \ \frac {41}{29}; \ \frac {99}{70}; \ \frac {239}{169}; \ \frac {577}{408}; \ \frac {1393}{985}; \ \frac {3363}{2378} \dots </math>
: <math>\frac {3}{2}; \ \frac {7}{5}; \ \frac {17}{12}; \ \frac {41}{29}; \ \frac {99}{70}; \ \frac {239}{169}; \ \frac {577}{408}; \ \frac {1393}{985}; \ \frac {3363}{2378} \dots </math>
Квадрат последней приведенной дроби равен (округлённо) 2,000000177.
Квадрат последней приведенной дроби равен (округлённо) 2,000000177.


== Практическое применение ==
== Размер бумаги ==
=== Размер бумаги ===
Квадратный корень из двух используется в соотношении сторон листа бумаги формата [[ISO 216]]. Соотношение сторон равно <math>1:\sqrt{2}</math>. При разрезании листа пополам параллельно его короткой стороне, получатся два листа той же пропорции. Это позволяет нумеровать форматы бумаги одним числом по убыванию площади листа (числу разрезов): А0, А1, А2, А3, [[А4]],…
<math>\ \sqrt{2} </math> используется в соотношении сторон листа бумаги формата [[ISO 216]] серий A и B, а также серии C по [[ISO 217]]. Соотношение сторон равно <math>1:\sqrt{2}</math>. При разрезании листа пополам параллельно его короткой стороне получатся два листа той же пропорции. Это позволяет нумеровать форматы бумаги одним числом по убыванию площади листа (числу разрезов): А0, А1, А2, А3, [[А4]],… и B0, B1, B2, B3...

Аналогичным способом (делением листа пополам) рациональное приближение к корню из двух (7/5) используется в форматах фотобумаги: 2R (2,5×3,5 дюйма), 3R (3,5×5 дюймов), 5R (5×7").


== См. также ==
== См. также ==
* [[Иррациональные числа]]
* [[Иррациональные числа]]
* [[Теорема Виета]]
* [[Теорема Виета]]

== Примечания ==
{{примечания}}


== Литература ==
== Литература ==
Строка 137: Строка 148:


== Ссылки ==
== Ссылки ==
* [http://mathworld.wolfram.com/PythagorassConstant.html Pythagoras's Constant]{{ref-en}}.
* [http://mathworld.wolfram.com/PythagorassConstant.html Pythagoras’s Constant] {{Wayback|url=http://mathworld.wolfram.com/PythagorassConstant.html |date=20181220195713 }}{{ref-en}}.

== Примечания ==
{{примечания}}



{{нет источников|дата=2014-07-04}}
{{нет источников|дата=2014-07-04}}
{{Иррациональные числа}}

[[Категория:Математические константы]]
[[Категория:Математические константы]]
[[Категория:Иррациональные числа]]
[[Категория:Иррациональные числа]]
[[Категория:Алгебраические числа]]
[[Категория:Алгебраические числа]]
[[Категория:Непрерывная дробь]]

Текущая версия от 14:04, 10 декабря 2024

Иррациональные числа
ζ(3) — ρ — 2 — 3 — 5ln 2φ,Φ — ψα,δ — eeπ и π
Система счисления Оценка числа 2
Десятичная 1,4142135623730950488…
Двоичная 1,0110101000001001111…
Шестнадцатеричная 1,6A09E667F3BCC908B2F…
Шестидесятеричная 1; 24 51 10 07 46 06 04 44 50 …
Рациональные приближения 3/2; 7/5; 17/12; 41/29; 99/70; 239/169; 577/408; 1393/985; 3363/2378; 8119/5741; 19601/13860; 665857/470832

(перечислено в порядке увеличения точности)

Непрерывная дробь
Квадратный корень из 2 равен длине гипотенузы в прямоугольном треугольнике с длиной катетов 1.

Квадратный корень из числа 2 — положительное вещественное число, которое при умножении само на себя даёт число 2. Обозначение:

Геометрически корень из 2 можно представить как длину диагонали квадрата со стороной 1 (это следует из теоремы Пифагора). Вероятно, это было первое известное в истории математики иррациональное число (то есть число, которое нельзя точно представить в виде дроби).

Квадратный корень из 2.

Хорошим и часто используемым приближением к является дробь . Несмотря на то, что числитель и знаменатель дроби лишь двузначные целые, оно отличается от реального значения меньше, чем на 1/10000.

Вавилонская глиняная табличка с максимально точным указанием длины диагонали единичного квадрата четырёхзначным шестидесятеричным числом.

Вавилонская глиняная табличка (ок. 1800—1600 до н. э.) даёт наиболее точное приближённое значение при записи в четырёх шестидесятеричных цифрах, что после округления составляет 6 точных десятичных цифр:

Другое раннее приближение этого числа в древнеиндийском математическом тексте, называемом «Шульба-сутры» (ок. 800—200 до н. э.) даётся следующим образом:

Пифагорейцы обнаружили, что диагональ квадрата несоизмерима с его стороной, или на современном языке, что квадратный корень из двух является иррациональным числом. Мало что известно с определённостью о времени и обстоятельствах этого выдающегося открытия, но традиционно его авторство приписывается Гиппасу из Метапонта, которого за это открытие, по разным вариантам легенды, пифагорейцы не то убили, не то изгнали, поставив ему в вину разрушение главной пифагорейской доктрины о том, что «всё есть [натуральное] число». Поэтому квадратный корень из 2 иногда называют постоянной Пифагора, так как именно пифагорейцы доказали его иррациональность, тем самым открыв существование иррациональных чисел[2]. Однако историки сомневаются в достоверности этих событий, и вообще в том, что несоизмеримые величины были открыты в 5 веке до н. э.[3]

Алгоритмы вычисления

[править | править код]

Существует множество алгоритмов для приближения значения квадратного корня из двух обыкновенными или десятичными дробями. Самый популярный алгоритм для этого, который используется во многих компьютерах и калькуляторах, это вавилонский метод вычисления квадратных корней (частный случай метода Ньютона). Он состоит в следующем:

Чем больше повторений в алгоритме (то есть, чем больше ), тем лучше приближение квадратного корня из двух. Каждое повторение приблизительно удваивает количество правильных цифр. Несколько первых приближений, начиная с :

В 1997 году Ясумаса Канада вычислил значение до 137 438 953 444 десятичных знаков после запятой. В феврале 2007 года рекорд был побит: Сигэру Кондо вычислил 200 миллиардов десятичных знаков после запятой в течение 13 дней и 14 часов, используя процессор с частотой 3,6 ГГц и 16 ГБ ОЗУ.

Мнемоническое правило

[править | править код]

Для запоминания значения корня из двойки с восемью знаками после запятой (1,41421356) можно воспользоваться следующим текстом (число букв в каждом слове соответствует десятичной цифре): «И плод у меня, но у них много корней».

Свойства квадратного корня из двух

[править | править код]

Половина приблизительно равна 0,70710 67811 86548; эта величина даёт в геометрии и тригонометрии координаты единичного вектора, образующего угол 45° с координатными осями:

Одно из интересных свойств состоит в следующем:

. Потому что

Это является результатом свойства серебряного сечения.

Другое интересное свойство :

Квадратный корень из двух может быть выражен в мнимых единицах i, используя только квадратные корни и арифметические операции:

и

Квадратный корень из 2 является единственным числом, отличным от 1, чья бесконечная тетрация равна его квадрату.

Квадратный корень из двух может быть также использован для приближения :

при

С точки зрения высшей алгебры, является корнем многочлена и поэтому является целым алгебраическим числом[4]. Множество чисел вида , где  — рациональные числа, образует алгебраическое поле. Оно обозначается и является подполем поля вещественных чисел.

Доказательство иррациональности

[править | править код]

Доказательство через разложение на множители

[править | править код]

Применим доказательство от противного: допустим, рационален, то есть представляется в виде дроби , где  — целое число, а  — натуральное.

Возведём предполагаемое равенство в квадрат:

.

Так как разложение на простые множители содержит в чётной степени, а  — в нечётной, равенство невозможно. Значит, исходное предположение было неверным, и  — иррациональное число.

Непрерывная дробь

[править | править код]

Квадратный корень из двух может быть представлен в виде непрерывной дроби:

Подходящие дроби данной непрерывной дроби дают приближённые значения, быстро сходящиеся к точному квадратному корню из двух. Способ их вычисления прост: если обозначить предыдущую подходящую дробь , то последующая имеет вид . Скорость сходимости здесь меньше, чем у вавилонского метода, но вычисления гораздо проще. Выпишем несколько первых приближений:

Квадрат последней приведенной дроби равен (округлённо) 2,000000177.

Практическое применение

[править | править код]

Размер бумаги

[править | править код]

используется в соотношении сторон листа бумаги формата ISO 216 серий A и B, а также серии C по ISO 217. Соотношение сторон равно . При разрезании листа пополам параллельно его короткой стороне получатся два листа той же пропорции. Это позволяет нумеровать форматы бумаги одним числом по убыванию площади листа (числу разрезов): А0, А1, А2, А3, А4,… и B0, B1, B2, B3...

Аналогичным способом (делением листа пополам) рациональное приближение к корню из двух (7/5) используется в форматах фотобумаги: 2R (2,5×3,5 дюйма), 3R (3,5×5 дюймов), 5R (5×7").

Примечания

[править | править код]
  1. The Square Root of Two, to 5 million digits. Дата обращения: 15 февраля 2015. Архивировано 24 сентября 2015 года.
  2. The dangerous ratio (2 января 2011). Дата обращения: 28 ноября 2024. Архивировано 28 ноября 2024 года.
  3. Von Fritz, Kurt (1944). "The discovery of incommensurability by Hippasus of Metapontum" (PDF). Annals of Mathematics (англ.). 46 (2): 242–243. JSTOR 1969021. Архивировано (PDF) 13 ноября 2020. Дата обращения: 28 ноября 2024.
  4. Не путать с целым числом.

Литература

[править | править код]
  • Клауди Альсина. Секта чисел. Теорема Пифагора. — М.: Де Агостини, 2014. — 152 с. — (Мир математики: в 45 томах, том 5). — ISBN 978-5-9774-0633-8.