Квадратный корень из 2: различия между версиями

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску
[отпатрулированная версия][непроверенная версия]
Содержимое удалено Содержимое добавлено
м откат правок 87.228.106.225 (обс.) к версии Nevgod
Метка: откат
История: Недостающий пробел
 
(не показано 85 промежуточных версий 41 участника)
Строка 12: Строка 12:
|align="right"| [[Шестидесятеричная система счисления|Шестидесятеричная]] || 1; 24 51 10 07 46 06 04 44 50 …
|align="right"| [[Шестидесятеричная система счисления|Шестидесятеричная]] || 1; 24 51 10 07 46 06 04 44 50 …
|-
|-
|align="right"| [[Рациональные приближения]] || <sup>3</sup>/<sub>2</sub>; <sup>7</sup>/<sub>5</sub>; <sup>17</sup>/<sub>12</sub>; <sup>41</sup>/<sub>29</sub>; <sup>99</sup>/<sub>70</sub>; <sup>239</sup>/<sub>169</sub>; <sup>577</sup>/<sub>408</sub>; <sup>1393</sup>/<sub>985</sub>; <sup>3363</sup>/<sub>2378</sub>; <sup>8119</sup>/<sub>5741</sub>; <sup>19601</sup>/<sub>13860</sub>
|align="right"| [[Рациональные приближения]] || <sup>3</sup>/<sub>2</sub>; <sup>7</sup>/<sub>5</sub>; <sup>17</sup>/<sub>12</sub>; <sup>41</sup>/<sub>29</sub>; <sup>99</sup>/<sub>70</sub>; <sup>239</sup>/<sub>169</sub>; <sup>577</sup>/<sub>408</sub>; <sup>1393</sup>/<sub>985</sub>; <sup>3363</sup>/<sub>2378</sub>; <sup>8119</sup>/<sub>5741</sub>; <sup>19601</sup>/<sub>13860</sub>; <sup>665857</sup>/<sub>470832</sub>
<small>(перечислено в порядке увеличения точности)</small>
<small>(перечислено в порядке увеличения точности)</small>
|-style="background:#f0f0f0"
|-style="background:#f0f0f0"
Строка 19: Строка 19:
|}
|}
{{Врезка | Выравнивание = right | Ширина = 30em | Содержание =
{{Врезка | Выравнивание = right | Ширина = 30em | Содержание =
<div style="text-align:right">
<div style="text-align:right; font-weight: bold; font-family:'Courier New';">
1,4142135623 7309504880 1688724209 6980785696 7187537694
1,4142135623 7309504880 1688724209 6980785696 7187537694
8073176679 7379907324 7846210703 8850387534 3276415727
8073176679 7379907324 7846210703 8850387534 3276415727
Строка 39: Строка 39:
1803268024 7442062926 9124859052 1810044598 4215059112
1803268024 7442062926 9124859052 1810044598 4215059112
0249441341 7285314781 0580360337 1077309182 8693147101
0249441341 7285314781 0580360337 1077309182 8693147101
7111168391 6581726889 4197587165 8215212822 9518488472
7111168391 6581726889 4197587165 8215212822 9518488472<br>
</div>
</div>
| Подпись =<hr>
| Подпись =<hr>
Первые 1000 знаков значения {{sqrt|2}}<ref>[http://www.gutenberg.org/files/129/129.txt The Square Root of Two, to 5 million digits]</ref>.
Значение <math>\sqrt{2}</math> с первой тысячей высших разрядов десятичной дроби<ref>{{Cite web |url=http://www.gutenberg.org/files/129/129.txt |title=The Square Root of Two, to 5 million digits |access-date=2015-02-15 |archive-date=2015-09-24 |archive-url=https://web.archive.org/web/20150924194032/http://www.gutenberg.org/files/129/129.txt |deadlink=no }}</ref>.
}}
}}
[[Файл:Square root of 2 triangle.svg|thumb|174x174px|Квадратный корень из 2 равен длине гипотенузы в прямоугольном треугольнике с длиной катетов 1.]]
[[Файл:Square root of 2 triangle.svg|thumb|174x174px|Квадратный корень из 2 равен длине гипотенузы в прямоугольном треугольнике с длиной катетов 1.]]
Строка 54: Строка 55:
== История ==
== История ==
[[Файл:Ybc7289-bw.jpg|thumb|200px|Вавилонская глиняная табличка с максимально точным указанием длины диагонали единичного квадрата четырёхзначным шестидесятеричным числом.]]
[[Файл:Ybc7289-bw.jpg|thumb|200px|Вавилонская глиняная табличка с максимально точным указанием длины диагонали единичного квадрата четырёхзначным шестидесятеричным числом.]]
Вавилонская глиняная табличка (ок. 1800–1600 до н. э.) даёт наиболее точное приближённое значение <math>\sqrt{2}</math> при записи в четырёх шестидесятеричных цифрах, что после округления составляет 6 точных десятичных цифр:
Вавилонская глиняная табличка (ок. 1800—1600 до н. э.) даёт наиболее точное приближённое значение <math>\sqrt{2}</math> при записи в четырёх шестидесятеричных цифрах, что после округления составляет 6 точных десятичных цифр:


:<math>1 + \frac{24}{60} + \frac{51}{60^2} + \frac{10}{60^3} = 1.41421(296).</math>
: <math>1 + \frac{24}{60} + \frac{51}{60^2} + \frac{10}{60^3} = 1.41421(296)\,.</math>


Другое раннее приближение этого числа в древнеиндийском математическом тексте, [[Шульба-сутры]] (ок. 800—200 до н. э.) даётся следующим образом:
Другое раннее приближение этого числа в древнеиндийском математическом тексте, называемом «''[[Шульба-сутры]]''» (ок. 800—200 до н. э.) даётся следующим образом:


: <math>1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{3 \cdot 4} - \frac{1}{3 \cdot4 \cdot 34} = \frac{577}{408} \approx 1.414215686.</math>
: <math>1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{3 \cdot 4} - \frac{1}{3 \cdot4 \cdot 34} = \frac{577}{408} \approx 1.414215686\,.</math>


[[Пифагореизм|Пифагорейцы]] обнаружили, что диагональ квадрата несоизмерима с его стороной, или на современном языке, что квадратный корень из двух является [[Иррациональное число|иррациональным]]. Мало что известно с определённостью о времени и обстоятельствах этого выдающегося открытия, но традиционно его авторство приписывается [[Гиппас из Метапонта|Гиппасу из Метапонта]], которого за это открытие, по разным вариантам легенды, пифагорейцы не то убили, не то изгнали, поставив ему в вину разрушение главной пифагорейской доктрины о том, что «всё есть [натуральное] число». Поэтому квадратный корень из 2 иногда называют постоянной Пифагора, так как именно пифагорейцы доказали его иррациональность, тем самым открыв существование иррациональных чисел{{нет АИ|22|09|2013}}.
[[Пифагореизм|Пифагорейцы]] обнаружили, что диагональ квадрата [[Соизмеримые величины|несоизмерима]] с его стороной, или на современном языке, что квадратный корень из двух является [[Иррациональное число|иррациональным числом]]. Мало что известно с определённостью о времени и обстоятельствах этого выдающегося открытия, но традиционно его авторство приписывается [[Гиппас из Метапонта|Гиппасу из Метапонта]], которого за это открытие, по разным вариантам легенды, пифагорейцы не то убили, не то изгнали, поставив ему в вину разрушение главной пифагорейской доктрины о том, что «всё есть [натуральное] число». Поэтому квадратный корень из 2 иногда называют постоянной Пифагора, так как именно пифагорейцы доказали его иррациональность, тем самым открыв существование иррациональных чисел<ref name="v100">{{cite web |url=https://nrich.maths.org/articles/dangerous-ratio |title=The dangerous ratio |access-date=2024-11-28 |archive-date=2024-11-28 |archive-url=https://web.archive.org/web/20241128175311/https://nrich.maths.org/articles/dangerous-ratio |date=2011-01-02 |url-status=live }}</ref>. Однако историки сомневаются в достоверности этих событий, и вообще в том, что несоизмеримые величины были открыты в 5 веке до н. э.<ref name="v101">{{cite journal |last=Von Fritz |first=Kurt |title=The discovery of incommensurability by Hippasus of Metapontum |url=http://users.uoa.gr/~apgiannop/Sources/von-Fritz-discovery-of-incommensurability-by-Hippasus.pdf |url-status=live |year=1944 |pages=242-243 |lang=en |journal=Annals of Mathematics |volume=46 |issue=2 |archive-url=https://web.archive.org/web/20201113060643/http://users.uoa.gr/~apgiannop/Sources/von-Fritz-discovery-of-incommensurability-by-Hippasus.pdf |archive-date=2020-11-13 |access-date=2024-11-28 |jstor=1969021 }}</ref>


== Алгоритмы вычисления ==
== Алгоритмы вычисления ==
Существует множество алгоритмов для вычисления значения квадратного корня из двух. В результате алгоритма получается приблизительное значение <math>\sqrt{2}</math> в виде [[Обыкновенная дробь|обыкновенной]] или [[Десятичная дробь|десятичной дроби]]. Самый популярный алгоритм для этого, который используется во многих компьютерах и калькуляторах, это вавилонский метод вычисления квадратных корней. Он состоит в следующем:
Существует множество алгоритмов для приближения значения квадратного корня из двух [[Обыкновенная дробь|обыкновенными]] или [[Десятичная дробь|десятичными дробями]]. Самый популярный алгоритм для этого, который используется во многих компьютерах и калькуляторах, это вавилонский метод вычисления квадратных корней (частный случай [[Метод Ньютона|метода Ньютона]]). Он состоит в следующем:


: <math>a_{n+1} = \frac{a_n + \frac{2}{a_n}}{2}=\frac{a_n}{2}+\frac{1}{a_n}. </math>
: <math>a_{n+1} = \frac{a_n + \frac{2}{a_n}}{2}=\frac{a_n}{2}+\frac{1}{a_n}. </math>
Строка 83: Строка 84:


== Свойства квадратного корня из двух ==
== Свойства квадратного корня из двух ==
Половина <math>\sqrt{2}</math> приблизительно равна 0,70710 67811 86548; эта величина даёт в геометрии и тригонометрии координаты [[единичный вектор|единичного вектора]], образующего угол 45° с координатными осями:
Половина <math>\sqrt{2}</math> приблизительно равна 0,70710 67811 86548; эта величина даёт в геометрии и [[Тригонометрия|тригонометрии]] координаты [[единичный вектор|единичного вектора]], образующего угол 45° с координатными осями:
:<math>\frac{\sqrt{2}}{2} = \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \cos 45^\circ = \sin 45^\circ.</math>
:<math>\frac{\sqrt{2}}{2} = \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \cos 45^\circ = \sin 45^\circ.</math>


Строка 110: Строка 111:


== Доказательство иррациональности ==
== Доказательство иррациональности ==

Применим [[доказательство от противного]]: допустим, <math>\sqrt{2}</math> [[рациональное число|рационален]], то есть представляется в виде дроби <math>\frac{m}{n}</math>, где <math>m</math> и <math>n</math> — [[целое число|целые числа]].
=== Доказательство через разложение на множители ===
Применим [[доказательство от противного]]: допустим, <math>\sqrt{2}</math> [[рациональное число|рационален]], то есть представляется в виде дроби <math>\frac{m}{n}</math>, где <math>m</math> — [[целое число]], а <math>n</math> — [[натуральное число|натуральное]].


Возведём предполагаемое равенство в квадрат:
Возведём предполагаемое равенство в квадрат:
Строка 122: Строка 125:
: <math>\ \sqrt{2} = 1 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{2 + \ddots}}}}. </math>
: <math>\ \sqrt{2} = 1 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{2 + \ddots}}}}. </math>


[[Непрерывная дробь|Подходящие дроби]] данной непрерывной дроби дают приближённые значения, быстро сходящиеся к точному квадратному корню из двух. Способ их вычисления прост: если обозначить предыдущую подходящую дробь <math>\frac {m}{n}</math>, то последующая имеет вид <math>\frac {m+2 n}{m+n}</math>. Скорость сходимости здесь меньше, чем у метода Ньютона, но вычисления гораздо проще. Выпишем несколько первых приближений:
[[Непрерывная дробь|Подходящие дроби]] данной непрерывной дроби дают приближённые значения, быстро сходящиеся к точному квадратному корню из двух. Способ их вычисления прост: если обозначить предыдущую подходящую дробь <math>\frac {m}{n}</math>, то последующая имеет вид <math>\frac {m+2 n}{m+n}</math>. [[Скорость сходимости]] здесь меньше, чем у вавилонского метода, но вычисления гораздо проще. Выпишем несколько первых приближений:
: <math>\frac {3}{2}; \ \frac {7}{5}; \ \frac {17}{12}; \ \frac {41}{29}; \ \frac {99}{70}; \ \frac {239}{169}; \ \frac {577}{408}; \ \frac {1393}{985}; \ \frac {3363}{2378} \dots </math>
: <math>\frac {3}{2}; \ \frac {7}{5}; \ \frac {17}{12}; \ \frac {41}{29}; \ \frac {99}{70}; \ \frac {239}{169}; \ \frac {577}{408}; \ \frac {1393}{985}; \ \frac {3363}{2378} \dots </math>
Квадрат последней приведенной дроби равен (округлённо) 2,000000177.
Квадрат последней приведенной дроби равен (округлённо) 2,000000177.


== Практическое применение ==
== Размер бумаги ==
=== Размер бумаги ===
Квадратный корень из двух используется в соотношении сторон листа бумаги формата [[ISO 216]]. Соотношение сторон равно <math>1:\sqrt{2}</math>. При разрезании листа пополам параллельно его короткой стороне получатся два листа той же пропорции. Это позволяет нумеровать форматы бумаги одним числом по убыванию площади листа (числу разрезов): А0, А1, А2, А3, [[А4]],…
<math>\ \sqrt{2} </math> используется в соотношении сторон листа бумаги формата [[ISO 216]] серий A и B, а также серии C по [[ISO 217]]. Соотношение сторон равно <math>1:\sqrt{2}</math>. При разрезании листа пополам параллельно его короткой стороне получатся два листа той же пропорции. Это позволяет нумеровать форматы бумаги одним числом по убыванию площади листа (числу разрезов): А0, А1, А2, А3, [[А4]],… и B0, B1, B2, B3...

Аналогичным способом (делением листа пополам) рациональное приближение к корню из двух (7/5) используется в форматах фотобумаги: 2R (2,5×3,5 дюйма), 3R (3,5×5 дюймов), 5R (5×7").


== См. также ==
== См. также ==
Строка 142: Строка 148:


== Ссылки ==
== Ссылки ==
* [http://mathworld.wolfram.com/PythagorassConstant.html Pythagoras’s Constant]{{ref-en}}.
* [http://mathworld.wolfram.com/PythagorassConstant.html Pythagoras’s Constant] {{Wayback|url=http://mathworld.wolfram.com/PythagorassConstant.html |date=20181220195713 }}{{ref-en}}.


{{нет источников|дата=2014-07-04}}
{{нет источников|дата=2014-07-04}}
Строка 149: Строка 155:
[[Категория:Иррациональные числа]]
[[Категория:Иррациональные числа]]
[[Категория:Алгебраические числа]]
[[Категория:Алгебраические числа]]
[[Категория:Непрерывная дробь]]

Текущая версия от 14:04, 10 декабря 2024

Иррациональные числа
ζ(3) — ρ — 2 — 3 — 5ln 2φ,Φ — ψα,δ — eeπ и π
Система счисления Оценка числа 2
Десятичная 1,4142135623730950488…
Двоичная 1,0110101000001001111…
Шестнадцатеричная 1,6A09E667F3BCC908B2F…
Шестидесятеричная 1; 24 51 10 07 46 06 04 44 50 …
Рациональные приближения 3/2; 7/5; 17/12; 41/29; 99/70; 239/169; 577/408; 1393/985; 3363/2378; 8119/5741; 19601/13860; 665857/470832

(перечислено в порядке увеличения точности)

Непрерывная дробь
Квадратный корень из 2 равен длине гипотенузы в прямоугольном треугольнике с длиной катетов 1.

Квадратный корень из числа 2 — положительное вещественное число, которое при умножении само на себя даёт число 2. Обозначение:

Геометрически корень из 2 можно представить как длину диагонали квадрата со стороной 1 (это следует из теоремы Пифагора). Вероятно, это было первое известное в истории математики иррациональное число (то есть число, которое нельзя точно представить в виде дроби).

Квадратный корень из 2.

Хорошим и часто используемым приближением к является дробь . Несмотря на то, что числитель и знаменатель дроби лишь двузначные целые, оно отличается от реального значения меньше, чем на 1/10000.

Вавилонская глиняная табличка с максимально точным указанием длины диагонали единичного квадрата четырёхзначным шестидесятеричным числом.

Вавилонская глиняная табличка (ок. 1800—1600 до н. э.) даёт наиболее точное приближённое значение при записи в четырёх шестидесятеричных цифрах, что после округления составляет 6 точных десятичных цифр:

Другое раннее приближение этого числа в древнеиндийском математическом тексте, называемом «Шульба-сутры» (ок. 800—200 до н. э.) даётся следующим образом:

Пифагорейцы обнаружили, что диагональ квадрата несоизмерима с его стороной, или на современном языке, что квадратный корень из двух является иррациональным числом. Мало что известно с определённостью о времени и обстоятельствах этого выдающегося открытия, но традиционно его авторство приписывается Гиппасу из Метапонта, которого за это открытие, по разным вариантам легенды, пифагорейцы не то убили, не то изгнали, поставив ему в вину разрушение главной пифагорейской доктрины о том, что «всё есть [натуральное] число». Поэтому квадратный корень из 2 иногда называют постоянной Пифагора, так как именно пифагорейцы доказали его иррациональность, тем самым открыв существование иррациональных чисел[2]. Однако историки сомневаются в достоверности этих событий, и вообще в том, что несоизмеримые величины были открыты в 5 веке до н. э.[3]

Алгоритмы вычисления

[править | править код]

Существует множество алгоритмов для приближения значения квадратного корня из двух обыкновенными или десятичными дробями. Самый популярный алгоритм для этого, который используется во многих компьютерах и калькуляторах, это вавилонский метод вычисления квадратных корней (частный случай метода Ньютона). Он состоит в следующем:

Чем больше повторений в алгоритме (то есть, чем больше ), тем лучше приближение квадратного корня из двух. Каждое повторение приблизительно удваивает количество правильных цифр. Несколько первых приближений, начиная с :

В 1997 году Ясумаса Канада вычислил значение до 137 438 953 444 десятичных знаков после запятой. В феврале 2007 года рекорд был побит: Сигэру Кондо вычислил 200 миллиардов десятичных знаков после запятой в течение 13 дней и 14 часов, используя процессор с частотой 3,6 ГГц и 16 ГБ ОЗУ.

Мнемоническое правило

[править | править код]

Для запоминания значения корня из двойки с восемью знаками после запятой (1,41421356) можно воспользоваться следующим текстом (число букв в каждом слове соответствует десятичной цифре): «И плод у меня, но у них много корней».

Свойства квадратного корня из двух

[править | править код]

Половина приблизительно равна 0,70710 67811 86548; эта величина даёт в геометрии и тригонометрии координаты единичного вектора, образующего угол 45° с координатными осями:

Одно из интересных свойств состоит в следующем:

. Потому что

Это является результатом свойства серебряного сечения.

Другое интересное свойство :

Квадратный корень из двух может быть выражен в мнимых единицах i, используя только квадратные корни и арифметические операции:

и

Квадратный корень из 2 является единственным числом, отличным от 1, чья бесконечная тетрация равна его квадрату.

Квадратный корень из двух может быть также использован для приближения :

при

С точки зрения высшей алгебры, является корнем многочлена и поэтому является целым алгебраическим числом[4]. Множество чисел вида , где  — рациональные числа, образует алгебраическое поле. Оно обозначается и является подполем поля вещественных чисел.

Доказательство иррациональности

[править | править код]

Доказательство через разложение на множители

[править | править код]

Применим доказательство от противного: допустим, рационален, то есть представляется в виде дроби , где  — целое число, а  — натуральное.

Возведём предполагаемое равенство в квадрат:

.

Так как разложение на простые множители содержит в чётной степени, а  — в нечётной, равенство невозможно. Значит, исходное предположение было неверным, и  — иррациональное число.

Непрерывная дробь

[править | править код]

Квадратный корень из двух может быть представлен в виде непрерывной дроби:

Подходящие дроби данной непрерывной дроби дают приближённые значения, быстро сходящиеся к точному квадратному корню из двух. Способ их вычисления прост: если обозначить предыдущую подходящую дробь , то последующая имеет вид . Скорость сходимости здесь меньше, чем у вавилонского метода, но вычисления гораздо проще. Выпишем несколько первых приближений:

Квадрат последней приведенной дроби равен (округлённо) 2,000000177.

Практическое применение

[править | править код]

Размер бумаги

[править | править код]

используется в соотношении сторон листа бумаги формата ISO 216 серий A и B, а также серии C по ISO 217. Соотношение сторон равно . При разрезании листа пополам параллельно его короткой стороне получатся два листа той же пропорции. Это позволяет нумеровать форматы бумаги одним числом по убыванию площади листа (числу разрезов): А0, А1, А2, А3, А4,… и B0, B1, B2, B3...

Аналогичным способом (делением листа пополам) рациональное приближение к корню из двух (7/5) используется в форматах фотобумаги: 2R (2,5×3,5 дюйма), 3R (3,5×5 дюймов), 5R (5×7").

Примечания

[править | править код]
  1. The Square Root of Two, to 5 million digits. Дата обращения: 15 февраля 2015. Архивировано 24 сентября 2015 года.
  2. The dangerous ratio (2 января 2011). Дата обращения: 28 ноября 2024. Архивировано 28 ноября 2024 года.
  3. Von Fritz, Kurt (1944). "The discovery of incommensurability by Hippasus of Metapontum" (PDF). Annals of Mathematics (англ.). 46 (2): 242–243. JSTOR 1969021. Архивировано (PDF) 13 ноября 2020. Дата обращения: 28 ноября 2024.
  4. Не путать с целым числом.

Литература

[править | править код]
  • Клауди Альсина. Секта чисел. Теорема Пифагора. — М.: Де Агостини, 2014. — 152 с. — (Мир математики: в 45 томах, том 5). — ISBN 978-5-9774-0633-8.