Параллелограмм: различия между версиями
[непроверенная версия] | [непроверенная версия] |
Tchenand (обсуждение | вклад) →Свойства: Не надо подстрочных примечаний без АИ о "неточности свойства", да еще и с "!", лучше бы дали АИ на другую формулировку. Попробую пока компромиссный вариант. |
EyeBot (обсуждение | вклад) м автоматическая отмена правки участника 2A0E:1D47:8605:9200:9A7:6C20:A8A6:F27A - R:5B ORES: 0.8652 Метка: откат |
||
(не показаны 43 промежуточные версии 20 участников) | |||
Строка 1: | Строка 1: | ||
[[Файл:Параллелограмм.svg| |
[[Файл:Параллелограмм.svg|мини|Параллелограмм]] |
||
'''Параллелогра́мм''' ({{lang-grc|παραλληλόγραμμον}} ← {{lang-grc2| |
'''Параллелогра́мм''' ({{lang-grc|παραλληλόγραμμον}} ← {{lang-grc2|παράλληλος}} — параллельный + {{lang-grc2|γραμμή}} — линия) — [[четырёхугольник]], у которого противолежащие стороны попарно параллельны, то есть лежат на [[Параллельные прямые|параллельных прямых]]{{sfn |Справочник по элементарной математике|2006|с=332—333|name=VYG}}. Существуют другие варианты определения{{переход|#Признаки параллелограмма}}. |
||
Частными случаями параллелограмма являются [[прямоугольник]], [[ |
{{Якорь|Ромбоид}}Частными случаями параллелограмма являются [[прямоугольник]] (все углы прямые), [[ромб]] (все стороны равны) и [[квадрат]] (прямоугольник и ромб одновременно)<ref name=VYG/>. Параллелограмм, не являющийся прямоугольником или ромбом называют ''ромбоидом'' (при этом в литературе первой половины XX века термином «ромбоид» иногда именовался [[дельтоид]]). |
||
Используется для указания ввода, вывода в графических алгоритмах. |
|||
== Свойства == |
== Свойства == |
||
[[ |
[[Файл:Свойства параллелограмма.svg|thumb|Противоположные стороны параллелограмма равны, а диагонали в точке пересечения делятся пополам.]] |
||
[[ |
[[Файл:Противоположные углы параллелограмма.svg|thumb|Сумма углов у основания параллелограмма равна 180°]] |
||
Противолежащие стороны параллелограмма и противолежащие углы параллелограмма — равны. Сумма углов, прилежащих к одной (любой) стороне, равна 180° (по свойству параллельных прямых). |
|||
* Противолежащие углы параллелограмма равны. |
|||
* Сумма углов, прилежащих к одной (любой) стороне, равна 180° (по свойству параллельных прямых). |
|||
* Диагонали параллелограмма пересекаются, и точка пересечения делит их пополам: |
|||
*: <math>\left|AO\right| = \left|OC\right|, \left|BO\right| = \left|OD\right|</math>. |
|||
* Точка пересечения диагоналей является [[центр симметрии|центром симметрии]] параллелограмма. |
|||
* Параллелограмм диагональю делится на два [[Конгруэнтность (геометрия)|равных]] треугольника. |
|||
⚫ | |||
⚫ | |||
: <math>a</math> — длина стороны <math>AB</math>, |
|||
: <math>b</math> — длина стороны <math>BC</math>, |
|||
⚫ | |||
⚫ | |||
⚫ | |||
⚫ | |||
⚫ | Диагонали параллелограмма пересекаются, и точка пересечения делит их пополам. Точка пересечения диагоналей является [[центр симметрии|центром симметрии]] параллелограмма. Параллелограмм диагональю делится на два [[Конгруэнтность (геометрия)|равных]] треугольника. [[Средние линии четырёхугольника|Средние линии]] параллелограмма пересекаются в точке пересечения его диагоналей. В этой точке две его диагонали и две его средние линии делятся пополам. |
||
== Признаки параллелограмма == |
|||
⚫ | |||
Стороны параллелограмма <math>a, b</math> и опущенные на них высоты <math>h_a, h_b</math> соотносятся следующим образом: |
|||
⚫ | |||
: <math>\frac{a}{b}=\frac{h_b}{h_a}</math> |
|||
⚫ | |||
⚫ | |||
⚫ | |||
⚫ | |||
⚫ | |||
⚫ | |||
⚫ | |||
== Площадь параллелограмма == |
|||
⚫ | |||
: ''Здесь приведены формулы, свойственные именно параллелограмму. См. также формулы для [[Четырёхугольник#Площадь|площади произвольных четырёхугольников]].'' |
|||
⚫ | |||
⚫ | Тождество параллелограмма есть простое следствие [[Формула Эйлера для четырёхугольника|формулы Эйлера]] для произвольного [[четырехугольник]]а: учетверённый квадрат расстояния между серединами диагоналей равен сумме квадратов сторон четырёхугольника минус сумма квадратов его диагоналей. У параллелограмма противоположные стороны равны, а расстояние между серединами диагоналей равно нулю. |
||
⚫ | |||
Площадь параллелограмма равна произведению его основания на высоту: |
|||
Четырёхугольник, вершины которого совпадают с серединами сторон произвольного четырёхугольника, является параллелограммом, стороны которого параллельны диагоналям исходного четырёхугольника ([[вариньонов параллелограмм]]). |
|||
: <math>S = ah</math> , где <math>a</math> — сторона, <math>h</math> — высота, проведённая к этой стороне. |
|||
== Признаки параллелограмма == |
|||
⚫ | |||
Отметим, что для того чтобы параллелограмм с высотами <math>h_a</math> и <math>h_b</math>, опущенными из одной вершины, существовал, необходимо, чтобы его площадь была <math>S \geqslant h_{a}\cdot h_{b}</math> (кв. ед.)<ref>{{Публикация|Книга|заглавие=Геометрические задачи на экзаменах. Часть 1. Планиметрия|ссылка=https://file.11klasov.net/15587-geometricheskie-zadachi-na-jekzamenah-v-3-chastjah-shahmejster-ah.html|год=2015|автор=Шахмейстер А. Х.|ref=Шахмейстер|язык=|вид=книга|часть=Трапеция|ответственный=А. Х. Шахмейстер|место=СПб.|издательство=«Петроглиф» : «Виктория плюс»|место2=М.|издательство2=Издательство МЦНМО|страницы=179|страниц=392|иллюстрации=илл.|размеры=21 см|серия=Математика. Элективные курсы|тираж=1500|ббк=22.141я71.6|удк=373.167.1:512|isbn=978-5-98712-083-5|isbn2=978-5-91673-155-2|isbn3=978-5-4439-0347-7}}</ref>. |
|||
⚫ | |||
{{Доказательство|'''Метод площадей'''. Пусть дан параллелограмм <math>\mathcal{ABCD}</math> со сторонами <math>\mathcal{AB=a}</math> и <math>\mathcal{BC=b}</math>, в котором проведены из одной вершины <math>\mathcal{B}</math> высоты <math>h_{\mathcal a}</math> и <math>h_{\mathcal b}</math>. Тогда площадь <math>S_{\mathcal{ABCD}}</math> параллелограмма можно вычислить как <math>S_{\mathcal{ABCD}} = a\cdot h_{\mathcal a}</math>, но в то же самое время <math>S_{\mathcal{ABCD}} = b\cdot h_{\mathcal b}</math>.<br> Получим систему <math>\begin{cases} a=\dfrac{S_{\mathcal{ABCD}}}{h_a} \\ b=\dfrac{S_{\mathcal{ABCD}}}{h_b} \end{cases}</math>, но <math>\begin{cases} a=\dfrac{S_{\mathcal{ABCD}}}{h_a}\geqslant h_{b} \left(a\geqslant h_{b} \text{ — свойство прямоугольного треугольника}\right)\\ b=\dfrac{S_{\mathcal{ABCD}}}{h_b}\geqslant h_{a} \left(b\geqslant h_{a} \text{ — свойство прямоугольного треугольника}\right)\end{cases}</math>. Следовательно, <math>S_{\mathcal{ABCD}} \geqslant h_{a}\cdot h_{b}</math>.}} |
|||
⚫ | |||
⚫ | |||
⚫ | |||
⚫ | |||
⚫ | |||
⚫ | |||
Площадь параллелограмма |
== Площадь параллелограмма == |
||
[[Файл:ParallelogramArea.svg|мини|Площадь параллелограмма, выражение через высоту]] |
|||
Площадь параллелограмма равна произведению его основания на [[Высота (геометрия)|высоту]]: <math>S = bh</math>, где <math>b</math> — сторона, <math>h</math> — высота, проведённая к этой стороне. Также площадь параллелограмма может быть вычислена как произведение длин его смежных сторон <math>a</math> и <math>b</math> и [[синус]]а угла <math>\alpha</math> между ними: <math>S = ab\sin \alpha</math>. |
|||
Ещё один способ определения площади параллелограмма — через длины смежных сторон <math>a</math> и <math>b</math> и длину любой из диагоналей <math>d</math> по [[Формула Герона|формуле Герона]] как сумма площадей двух равных примыкающих треугольников<ref>{{Cite web |url=https://resh.edu.ru/subject/lesson/2012/main/ |title=Геометрия, 8 класс. Урок 14. Формула Герона |access-date=2023-10-26 |archive-date=2022-04-03 |archive-url=https://web.archive.org/web/20220403054009/https://resh.edu.ru/subject/lesson/2012/main/ |url-status=live }}</ref>: |
|||
: <math>S |
: <math>S=2 \cdot \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-d)}</math>, |
||
⚫ | |||
⚫ | |||
: где <math>a</math> и <math>b</math> — стороны, а <math>\alpha</math> — угол между сторонами <math>a</math> и <math>b</math>. |
|||
⚫ | |||
⚫ | |||
== Литература == |
|||
Также площадь параллелограмма может быть выражена через стороны <math>a,\ b</math> и длину любой из диагоналей <math>d</math> по [[Формула Герона|формуле Герона]] как сумма площадей двух равных примыкающих треугольников: |
|||
* {{книга |автор=[[Выгодский, Марк Яковлевич|Выгодский М. Я.]] |место=М. |издательство=АСТ |год=2006 |
|||
|заглавие=Справочник по элементарной математике |ref=Справочник по элементарной математике |
|||
|страниц=509 |isbn=5-17-009554-6}} |
|||
== Ссылки == |
|||
: <math>S=2 \cdot \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-d)}</math> |
|||
* {{h|MathWorld|3={{mathworld|title=Parallelogram|urlname=Parallelogram}}}} |
|||
⚫ | |||
== См. также == |
|||
⚫ | |||
* [[Параллелепипед]] |
|||
* [[Прямоугольник]] |
|||
* [[Ромбоид]] |
|||
* [[Теорема Вариньона (геометрия)|Параллелограмм Вариньона]] |
|||
* [[Теорема Тебо|Теорема Тебо 1]] |
|||
⚫ | |||
⚫ | |||
{{rq|source}} |
|||
{{Многоугольники}} |
{{Многоугольники}} |
||
{{ВС}} |
|||
[[Категория:Четырёхугольники]] |
[[Категория:Четырёхугольники]] |
Текущая версия от 16:32, 14 декабря 2024
Параллелогра́мм (др.-греч. παραλληλόγραμμον ← παράλληλος — параллельный + γραμμή — линия) — четырёхугольник, у которого противолежащие стороны попарно параллельны, то есть лежат на параллельных прямых[1]. Существуют другие варианты определения .
Частными случаями параллелограмма являются прямоугольник (все углы прямые), ромб (все стороны равны) и квадрат (прямоугольник и ромб одновременно)[1]. Параллелограмм, не являющийся прямоугольником или ромбом называют ромбоидом (при этом в литературе первой половины XX века термином «ромбоид» иногда именовался дельтоид).
Используется для указания ввода, вывода в графических алгоритмах.
Свойства
[править | править код]Противолежащие стороны параллелограмма и противолежащие углы параллелограмма — равны. Сумма углов, прилежащих к одной (любой) стороне, равна 180° (по свойству параллельных прямых).
Диагонали параллелограмма пересекаются, и точка пересечения делит их пополам. Точка пересечения диагоналей является центром симметрии параллелограмма. Параллелограмм диагональю делится на два равных треугольника. Средние линии параллелограмма пересекаются в точке пересечения его диагоналей. В этой точке две его диагонали и две его средние линии делятся пополам.
Стороны параллелограмма и опущенные на них высоты соотносятся следующим образом:
Тождество параллелограмма: сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна удвоенной сумме квадратов его двух смежных сторон:
- ,
где и — длины смежных сторон, а и — длины диагоналей. Тождество параллелограмма есть простое следствие формулы Эйлера для произвольного четырехугольника: учетверённый квадрат расстояния между серединами диагоналей равен сумме квадратов сторон четырёхугольника минус сумма квадратов его диагоналей. У параллелограмма противоположные стороны равны, а расстояние между серединами диагоналей равно нулю.
Аффинное преобразование всегда переводит параллелограмм в параллелограмм. Для любого параллелограмма существует аффинное преобразование, которое отображает его в квадрат.
Четырёхугольник, вершины которого совпадают с серединами сторон произвольного четырёхугольника, является параллелограммом, стороны которого параллельны диагоналям исходного четырёхугольника (вариньонов параллелограмм).
Признаки параллелограмма
[править | править код]Четырёхугольник является параллелограммом, если выполняется одно из следующих условий (в этом случае выполняются и все остальные):
- у четырёхугольника без самопересечений две противоположные стороны одновременно равны и параллельны: и ;
- все противоположные углы попарно равны: и ;
- у четырёхугольника без самопересечений все противоположные стороны попарно равны: и ;
- все противоположные стороны попарно параллельны: и ;
- диагонали делятся в точке их пересечения пополам: и , где — точка пересечения диагоналей;
- сумма расстояний между серединами противоположных сторон выпуклого четырёхугольника равна его полупериметру;
- сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов сторон выпуклого четырёхугольника: .
Площадь параллелограмма
[править | править код]Площадь параллелограмма равна произведению его основания на высоту: , где — сторона, — высота, проведённая к этой стороне. Также площадь параллелограмма может быть вычислена как произведение длин его смежных сторон и и синуса угла между ними: .
Ещё один способ определения площади параллелограмма — через длины смежных сторон и и длину любой из диагоналей по формуле Герона как сумма площадей двух равных примыкающих треугольников[2]:
- ,
где .
Примечания
[править | править код]- ↑ 1 2 Справочник по элементарной математике, 2006, с. 332—333.
- ↑ Геометрия, 8 класс. Урок 14. Формула Герона . Дата обращения: 26 октября 2023. Архивировано 3 апреля 2022 года.
Литература
[править | править код]- Выгодский М. Я. Справочник по элементарной математике. — М.: АСТ, 2006. — 509 с. — ISBN 5-17-009554-6.
Ссылки
[править | править код]- Weisstein, Eric W. Parallelogram (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.