Параллелограмм: различия между версиями

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску
[непроверенная версия][непроверенная версия]
Содержимое удалено Содержимое добавлено
Свойства: Не надо подстрочных примечаний без АИ о "неточности свойства", да еще и с "!", лучше бы дали АИ на другую формулировку. Попробую пока компромиссный вариант.
м автоматическая отмена правки участника 2A0E:1D47:8605:9200:9A7:6C20:A8A6:F27A - R:5B ORES: 0.8652
Метка: откат
 
(не показаны 43 промежуточные версии 20 участников)
Строка 1: Строка 1:
[[Файл:Параллелограмм.svg|thumb|331x331px|Параллелограмм]]
[[Файл:Параллелограмм.svg|мини|Параллелограмм]]
'''Параллелогра́мм''' ({{lang-grc|παραλληλόγραμμον}} ← {{lang-grc2|[[wikt:παράλληλος#Греческий|παράλληλος]]}} «параллельный» + {{lang-grc2|[[wikt:γραμμή#Греческий|γραμμή]]}} «линия») — [[четырёхугольник]], у которого противолежащие стороны попарно параллельны, то есть лежат на [[Параллельные прямые|параллельных прямых]]. (См. другие определения {{переход|Признаки параллелограмма|1}})
'''Параллелогра́мм''' ({{lang-grc|παραλληλόγραμμον}} ← {{lang-grc2|παράλληλος}} параллельный + {{lang-grc2|γραμμή}} линия) — [[четырёхугольник]], у которого противолежащие стороны попарно параллельны, то есть лежат на [[Параллельные прямые|параллельных прямых]]{{sfn |Справочник по элементарной математике|2006|с=332—333|name=VYG}}. Существуют другие варианты определения{{переход|#Признаки параллелограмма}}.


Частными случаями параллелограмма являются [[прямоугольник]], [[квадрат]] и [[ромб]].
{{Якорь|Ромбоид}}Частными случаями параллелограмма являются [[прямоугольник]] (все углы прямые), [[ромб]] (все стороны равны) и [[квадрат]] (прямоугольник и ромб одновременно)<ref name=VYG/>. Параллелограмм, не являющийся прямоугольником или ромбом называют ''ромбоидом'' (при этом в литературе первой половины XX века термином «ромбоид» иногда именовался [[дельтоид]]).

Используется для указания ввода, вывода в графических алгоритмах.


== Свойства ==
== Свойства ==
[[File:Свойства параллелограмма.svg|thumb|Противоположные стороны параллелограмма равны, а диагонали в точке пересечения делятся пополам.]]
[[Файл:Свойства параллелограмма.svg|thumb|Противоположные стороны параллелограмма равны, а диагонали в точке пересечения делятся пополам.]]
[[File:Противоположные углы параллелограмма.svg|thumb|Сумма углов у основания параллелограмма равна 180°]]
[[Файл:Противоположные углы параллелограмма.svg|thumb|Сумма углов у основания параллелограмма равна 180°]]
* Противолежащие стороны параллелограмма равны.
Противолежащие стороны параллелограмма и противолежащие углы параллелограмма — равны. Сумма углов, прилежащих к одной (любой) стороне, равна 180° (по свойству параллельных прямых).
* Противолежащие углы параллелограмма равны.
* Сумма углов, прилежащих к одной (любой) стороне, равна 180° (по свойству параллельных прямых).
* Диагонали параллелограмма пересекаются, и точка пересечения делит их пополам:
*: <math>\left|AO\right| = \left|OC\right|, \left|BO\right| = \left|OD\right|</math>.
* Точка пересечения диагоналей является [[центр симметрии|центром симметрии]] параллелограмма.
* Параллелограмм диагональю делится на два [[Конгруэнтность (геометрия)|равных]] треугольника.
* [[Средние линии четырёхугольника|Средние линии]] параллелограмма пересекаются в точке пересечения его диагоналей. В этой точке две его диагонали и две его средние линии делятся пополам.
* [[Тождество параллелограмма]]: сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна удвоенной сумме квадратов его двух смежных сторон: пусть
: <math>a</math> — длина стороны <math>AB</math>,
: <math>b</math> — длина стороны <math>BC</math>,
: <math>d_1</math> и <math>d_2</math> — длины диагоналей; тогда
:: '''<math>d_1^2+d_2^2 = 2(a^2 + b^2).</math> '''
: Тождество параллелограмма есть простое следствие [[Формула Эйлера для четырёхугольника|формулы Эйлера]] для произвольного [[четырехугольник]]а: ''учетверённый квадрат расстояния между серединами диагоналей равен сумме квадратов сторон четырёхугольника минус сумма квадратов его диагоналей''. У параллелограмма противоположные стороны равны, а расстояние между серединами диагоналей равно нулю.
* [[Аффинное преобразование]] всегда переводит параллелограмм в параллелограмм. Для любого параллелограмма существует аффинное преобразование, которое отображает его в квадрат.


Диагонали параллелограмма пересекаются, и точка пересечения делит их пополам. Точка пересечения диагоналей является [[центр симметрии|центром симметрии]] параллелограмма. Параллелограмм диагональю делится на два [[Конгруэнтность (геометрия)|равных]] треугольника. [[Средние линии четырёхугольника|Средние линии]] параллелограмма пересекаются в точке пересечения его диагоналей. В этой точке две его диагонали и две его средние линии делятся пополам.
== Признаки параллелограмма ==
[[Четырёхугольник]] ABCD является параллелограммом, если выполняется одно из следующих условий (в этом случае выполняются и все остальные):


Стороны параллелограмма <math>a, b</math> и опущенные на них высоты <math>h_a, h_b</math> соотносятся следующим образом:
# У четырёхугольника без самопересечений две противоположные стороны одновременно равны и параллельны: <math>AB = CD, AB \parallel CD</math>.
: <math>\frac{a}{b}=\frac{h_b}{h_a}</math>
# Все противоположные углы попарно равны: <math>\angle A = \angle C, \angle B = \angle D</math>.
# У четырёхугольника без самопересечений все противоположные стороны попарно равны: <math>AB = CD, BC=DA</math>.
# Все противоположные стороны попарно параллельны: <math> AB \parallel CD, BC \parallel DA</math>.
# Диагонали делятся в точке их пересечения пополам: <math>AO = OC, BO = OD</math>.
# Сумма расстояний между серединами противоположных сторон выпуклого четырёхугольника равна его полупериметру.
# Сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов сторон выпуклого четырёхугольника: <math>AC^2+BD^2 = AB^2+BC^2+CD^2+DA^2</math>.


[[Тождество параллелограмма]]: сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна удвоенной сумме квадратов его двух смежных сторон:
== Площадь параллелограмма ==
: <math>d_1^2+d_2^2 = 2(a^2 + b^2)</math>,
: ''Здесь приведены формулы, свойственные именно параллелограмму. См. также формулы для [[Четырёхугольник#Площадь|площади произвольных четырёхугольников]].''
где <math>a</math> и <math>b</math> — длины смежных сторон, а <math>d_1</math> и <math>d_2</math> — длины диагоналей.
Тождество параллелограмма есть простое следствие [[Формула Эйлера для четырёхугольника|формулы Эйлера]] для произвольного [[четырехугольник]]а: учетверённый квадрат расстояния между серединами диагоналей равен сумме квадратов сторон четырёхугольника минус сумма квадратов его диагоналей. У параллелограмма противоположные стороны равны, а расстояние между серединами диагоналей равно нулю.


[[Аффинное преобразование]] всегда переводит параллелограмм в параллелограмм. Для любого параллелограмма существует аффинное преобразование, которое отображает его в квадрат.
Площадь параллелограмма равна произведению его основания на высоту:


Четырёхугольник, вершины которого совпадают с серединами сторон произвольного четырёхугольника, является параллелограммом, стороны которого параллельны диагоналям исходного четырёхугольника ([[вариньонов параллелограмм]]).
: <math>S = ah</math> , где <math>a</math> — сторона, <math>h</math> — высота, проведённая к этой стороне.


====== Существование параллелограмма{{нет значимости|17|04|2023}} ======
== Признаки параллелограмма ==
[[Четырёхугольник]] <math>\square ABCD</math> является параллелограммом, если выполняется одно из следующих условий (в этом случае выполняются и все остальные):
Отметим, что для того чтобы параллелограмм с высотами <math>h_a</math> и <math>h_b</math>, опущенными из одной вершины, существовал, необходимо, чтобы его площадь была <math>S \geqslant h_{a}\cdot h_{b}</math> (кв. ед.)<ref>{{Публикация|Книга|заглавие=Геометрические задачи на экзаменах. Часть 1. Планиметрия|ссылка=https://file.11klasov.net/15587-geometricheskie-zadachi-na-jekzamenah-v-3-chastjah-shahmejster-ah.html|год=2015|автор=Шахмейстер А. Х.|ref=Шахмейстер|язык=|вид=книга|часть=Трапеция|ответственный=А. Х. Шахмейстер|место=СПб.|издательство=«Петроглиф» : «Виктория плюс»|место2=М.|издательство2=Издательство МЦНМО|страницы=179|страниц=392|иллюстрации=илл.|размеры=21 см|серия=Математика. Элективные курсы|тираж=1500|ббк=22.141я71.6|удк=373.167.1:512|isbn=978-5-98712-083-5|isbn2=978-5-91673-155-2|isbn3=978-5-4439-0347-7}}</ref>.
* у четырёхугольника без самопересечений две противоположные стороны одновременно равны и параллельны: <math>AB = CD</math> и <math>AB \parallel CD</math>;
{{Доказательство|'''Метод площадей'''. Пусть дан параллелограмм <math>\mathcal{ABCD}</math> со сторонами <math>\mathcal{AB=a}</math> и <math>\mathcal{BC=b}</math>, в котором проведены из одной вершины <math>\mathcal{B}</math> высоты <math>h_{\mathcal a}</math> и <math>h_{\mathcal b}</math>. Тогда площадь <math>S_{\mathcal{ABCD}}</math> параллелограмма можно вычислить как <math>S_{\mathcal{ABCD}} = a\cdot h_{\mathcal a}</math>, но в то же самое время <math>S_{\mathcal{ABCD}} = b\cdot h_{\mathcal b}</math>.<br> Получим систему <math>\begin{cases} a=\dfrac{S_{\mathcal{ABCD}}}{h_a} \\ b=\dfrac{S_{\mathcal{ABCD}}}{h_b} \end{cases}</math>, но <math>\begin{cases} a=\dfrac{S_{\mathcal{ABCD}}}{h_a}\geqslant h_{b} \left(a\geqslant h_{b} \text{ — свойство прямоугольного треугольника}\right)\\ b=\dfrac{S_{\mathcal{ABCD}}}{h_b}\geqslant h_{a} \left(b\geqslant h_{a} \text{ — свойство прямоугольного треугольника}\right)\end{cases}</math>. Следовательно, <math>S_{\mathcal{ABCD}} \geqslant h_{a}\cdot h_{b}</math>.}}
* все противоположные углы попарно равны: <math>\angle A = \angle C</math> и <math>\angle B = \angle D</math>;
* у четырёхугольника без самопересечений все противоположные стороны попарно равны: <math>AB = CD</math> и <math>BC=DA</math>;
* все противоположные стороны попарно параллельны: <math> AB \parallel CD</math> и <math>BC \parallel DA</math>;
* диагонали делятся в точке их пересечения пополам: <math>AO = OC</math> и <math>BO = OD</math>, где <math>O</math> — точка пересечения диагоналей;
* сумма расстояний между серединами противоположных сторон выпуклого четырёхугольника равна его полупериметру;
* сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов сторон выпуклого четырёхугольника: <math>AC^2+BD^2 = AB^2+BC^2+CD^2+DA^2</math>.


Площадь параллелограмма равна произведению его сторон и [[синус]]а угла между ними:
== Площадь параллелограмма ==
[[Файл:ParallelogramArea.svg|мини|Площадь параллелограмма, выражение через высоту]]
Площадь параллелограмма равна произведению его основания на [[Высота (геометрия)|высоту]]: <math>S = bh</math>, где <math>b</math> — сторона, <math>h</math> — высота, проведённая к этой стороне. Также площадь параллелограмма может быть вычислена как произведение длин его смежных сторон <math>a</math> и <math>b</math> и [[синус]]а угла <math>\alpha</math> между ними: <math>S = ab\sin \alpha</math>.


Ещё один способ определения площади параллелограмма — через длины смежных сторон <math>a</math> и <math>b</math> и длину любой из диагоналей <math>d</math> по [[Формула Герона|формуле Герона]] как сумма площадей двух равных примыкающих треугольников<ref>{{Cite web |url=https://resh.edu.ru/subject/lesson/2012/main/ |title=Геометрия, 8 класс. Урок 14. Формула Герона |access-date=2023-10-26 |archive-date=2022-04-03 |archive-url=https://web.archive.org/web/20220403054009/https://resh.edu.ru/subject/lesson/2012/main/ |url-status=live }}</ref>:
: <math>S = ab\sin \alpha,</math>
: <math>S=2 \cdot \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-d)}</math>,
где <math>p=(a+b+d)/2</math>.


== Примечания ==
: где <math>a</math> и <math>b</math> — стороны, а <math>\alpha</math> — угол между сторонами <math>a</math> и <math>b</math>.
{{Викисловарь|параллелограмм}}
{{примечания}}


== Литература ==
Также площадь параллелограмма может быть выражена через стороны <math>a,\ b</math> и длину любой из диагоналей <math>d</math> по [[Формула Герона|формуле Герона]] как сумма площадей двух равных примыкающих треугольников:
* {{книга |автор=[[Выгодский, Марк Яковлевич|Выгодский М. Я.]] |место=М. |издательство=АСТ |год=2006
|заглавие=Справочник по элементарной математике |ref=Справочник по элементарной математике
|страниц=509 |isbn=5-17-009554-6}}


== Ссылки ==
: <math>S=2 \cdot \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-d)}</math>
* {{h|MathWorld|3={{mathworld|title=Parallelogram|urlname=Parallelogram}}}}

: где <math>p=(a+b+d)/2.</math>

== См. также ==
{{Викисловарь|параллелограмм}}
* [[Параллелепипед]]
* [[Прямоугольник]]
* [[Ромбоид]]
* [[Теорема Вариньона (геометрия)|Параллелограмм Вариньона]]
* [[Теорема Тебо|Теорема Тебо 1]]

== Примечания ==
{{примечания}}


{{rq|source}}
{{Многоугольники}}
{{Многоугольники}}
{{ВС}}


[[Категория:Четырёхугольники]]
[[Категория:Четырёхугольники]]

Текущая версия от 16:32, 14 декабря 2024

Параллелограмм

Параллелогра́мм (др.-греч. παραλληλόγραμμονπαράλληλος — параллельный + γραμμή — линия) — четырёхугольник, у которого противолежащие стороны попарно параллельны, то есть лежат на параллельных прямых[1]. Существуют другие варианты определения.

Частными случаями параллелограмма являются прямоугольник (все углы прямые), ромб (все стороны равны) и квадрат (прямоугольник и ромб одновременно)[1]. Параллелограмм, не являющийся прямоугольником или ромбом называют ромбоидом (при этом в литературе первой половины XX века термином «ромбоид» иногда именовался дельтоид).

Используется для указания ввода, вывода в графических алгоритмах.

Противоположные стороны параллелограмма равны, а диагонали в точке пересечения делятся пополам.
Сумма углов у основания параллелограмма равна 180°

Противолежащие стороны параллелограмма и противолежащие углы параллелограмма — равны. Сумма углов, прилежащих к одной (любой) стороне, равна 180° (по свойству параллельных прямых).

Диагонали параллелограмма пересекаются, и точка пересечения делит их пополам. Точка пересечения диагоналей является центром симметрии параллелограмма. Параллелограмм диагональю делится на два равных треугольника. Средние линии параллелограмма пересекаются в точке пересечения его диагоналей. В этой точке две его диагонали и две его средние линии делятся пополам.

Стороны параллелограмма и опущенные на них высоты соотносятся следующим образом:

Тождество параллелограмма: сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна удвоенной сумме квадратов его двух смежных сторон:

,

где  и  — длины смежных сторон, а и  — длины диагоналей. Тождество параллелограмма есть простое следствие формулы Эйлера для произвольного четырехугольника: учетверённый квадрат расстояния между серединами диагоналей равен сумме квадратов сторон четырёхугольника минус сумма квадратов его диагоналей. У параллелограмма противоположные стороны равны, а расстояние между серединами диагоналей равно нулю.

Аффинное преобразование всегда переводит параллелограмм в параллелограмм. Для любого параллелограмма существует аффинное преобразование, которое отображает его в квадрат.

Четырёхугольник, вершины которого совпадают с серединами сторон произвольного четырёхугольника, является параллелограммом, стороны которого параллельны диагоналям исходного четырёхугольника (вариньонов параллелограмм).

Признаки параллелограмма

[править | править код]

Четырёхугольник является параллелограммом, если выполняется одно из следующих условий (в этом случае выполняются и все остальные):

  • у четырёхугольника без самопересечений две противоположные стороны одновременно равны и параллельны: и ;
  • все противоположные углы попарно равны: и ;
  • у четырёхугольника без самопересечений все противоположные стороны попарно равны: и ;
  • все противоположные стороны попарно параллельны: и ;
  • диагонали делятся в точке их пересечения пополам: и , где  — точка пересечения диагоналей;
  • сумма расстояний между серединами противоположных сторон выпуклого четырёхугольника равна его полупериметру;
  • сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов сторон выпуклого четырёхугольника: .

Площадь параллелограмма

[править | править код]
Площадь параллелограмма, выражение через высоту

Площадь параллелограмма равна произведению его основания на высоту: , где  — сторона,  — высота, проведённая к этой стороне. Также площадь параллелограмма может быть вычислена как произведение длин его смежных сторон и и синуса угла между ними: .

Ещё один способ определения площади параллелограмма — через длины смежных сторон и и длину любой из диагоналей по формуле Герона как сумма площадей двух равных примыкающих треугольников[2]:

,

где .

Примечания

[править | править код]
  1. 1 2 Справочник по элементарной математике, 2006, с. 332—333.
  2. Геометрия, 8 класс. Урок 14. Формула Герона. Дата обращения: 26 октября 2023. Архивировано 3 апреля 2022 года.

Литература

[править | править код]
  • Выгодский М. Я. Справочник по элементарной математике. — М.: АСТ, 2006. — 509 с. — ISBN 5-17-009554-6.