Параллелограмм: различия между версиями

Интерактивная навигация по истории

(Показать все непатрулированные изменения)

[непроверенная версия]

← Предыдущая правка

Содержимое удалено Содержимое добавлено

ВизуальныйВики-текст

Линейный

Текущая версия от 16:32, 14 декабря 2024

Параллелогра́мм (др.-греч. παραλληλόγραμμον ← παράλληλος — параллельный + γραμμή — линия) — четырёхугольник, у которого противолежащие стороны попарно параллельны, то есть лежат на параллельных прямых^[1]. Существуют другие варианты определения➤.

Частными случаями параллелограмма являются прямоугольник (все углы прямые), ромб (все стороны равны) и квадрат (прямоугольник и ромб одновременно)^[1]. Параллелограмм, не являющийся прямоугольником или ромбом называют ромбоидом (при этом в литературе первой половины XX века термином «ромбоид» иногда именовался дельтоид).

Используется для указания ввода, вывода в графических алгоритмах.

Свойства

Противолежащие стороны параллелограмма и противолежащие углы параллелограмма — равны. Сумма углов, прилежащих к одной (любой) стороне, равна 180° (по свойству параллельных прямых).

Диагонали параллелограмма пересекаются, и точка пересечения делит их пополам. Точка пересечения диагоналей является центром симметрии параллелограмма. Параллелограмм диагональю делится на два равных треугольника. Средние линии параллелограмма пересекаются в точке пересечения его диагоналей. В этой точке две его диагонали и две его средние линии делятся пополам.

Стороны параллелограмма $a,b$ и опущенные на них высоты $h_{a},h_{b}$ соотносятся следующим образом:

{\frac {a}{b}}={\frac {h_{b}}{h_{a}}}

Тождество параллелограмма: сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна удвоенной сумме квадратов его двух смежных сторон:

d_{1}^{2}+d_{2}^{2}=2(a^{2}+b^{2})

,

где $a$ и $b$ — длины смежных сторон, а $d_{1}$ и $d_{2}$ — длины диагоналей. Тождество параллелограмма есть простое следствие формулы Эйлера для произвольного четырехугольника: учетверённый квадрат расстояния между серединами диагоналей равен сумме квадратов сторон четырёхугольника минус сумма квадратов его диагоналей. У параллелограмма противоположные стороны равны, а расстояние между серединами диагоналей равно нулю.

Аффинное преобразование всегда переводит параллелограмм в параллелограмм. Для любого параллелограмма существует аффинное преобразование, которое отображает его в квадрат.

Четырёхугольник, вершины которого совпадают с серединами сторон произвольного четырёхугольника, является параллелограммом, стороны которого параллельны диагоналям исходного четырёхугольника (вариньонов параллелограмм).

Признаки параллелограмма

Четырёхугольник $\square ABCD$ является параллелограммом, если выполняется одно из следующих условий (в этом случае выполняются и все остальные):

у четырёхугольника без самопересечений две противоположные стороны одновременно равны и параллельны: $AB=CD$ и $AB\parallel CD$ ;
все противоположные углы попарно равны: $\angle A=\angle C$ и $\angle B=\angle D$ ;
у четырёхугольника без самопересечений все противоположные стороны попарно равны: $AB=CD$ и $BC=DA$ ;
все противоположные стороны попарно параллельны: $AB\parallel CD$ и $BC\parallel DA$ ;
диагонали делятся в точке их пересечения пополам: $AO=OC$ и $BO=OD$ , где $O$ — точка пересечения диагоналей;
сумма расстояний между серединами противоположных сторон выпуклого четырёхугольника равна его полупериметру;
сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов сторон выпуклого четырёхугольника: $AC^{2}+BD^{2}=AB^{2}+BC^{2}+CD^{2}+DA^{2}$ .

Площадь параллелограмма

Площадь параллелограмма равна произведению его основания на высоту: $S=bh$ , где $b$ — сторона, $h$ — высота, проведённая к этой стороне. Также площадь параллелограмма может быть вычислена как произведение длин его смежных сторон $a$ и $b$ и синуса угла $\alpha$ между ними: $S=ab\sin \alpha$ .

Ещё один способ определения площади параллелограмма — через длины смежных сторон $a$ и $b$ и длину любой из диагоналей $d$ по формуле Герона как сумма площадей двух равных примыкающих треугольников^[2]:

S=2\cdot {\sqrt {p(p-a)(p-b)(p-d)}}

,

где $p=(a+b+d)/2$ .

Примечания

В Викисловаре есть статья «параллелограмм»

↑ ¹ ² Справочник по элементарной математике, 2006, с. 332—333.
↑ Геометрия, 8 класс. Урок 14. Формула Герона (неопр.). Дата обращения: 26 октября 2023. Архивировано 3 апреля 2022 года.

Литература

Выгодский М. Я. Справочник по элементарной математике. — М.: АСТ, 2006. — 509 с. — ISBN 5-17-009554-6.

Ссылки

Weisstein, Eric W. Parallelogram (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.

[VYG-1] ¹ ² Справочник по элементарной математике, 2006, с. 332—333.

[2] Геометрия, 8 класс. Урок 14. Формула Герона (неопр.). Дата обращения: 26 октября 2023. Архивировано 3 апреля 2022 года.

[1]

[2]

@@ Строка 1: / Строка 1: @@
-[[Файл:Параллелограмм.svg|thumb|331x331px|Параллелограмм]]
+[[Файл:Параллелограмм.svg|мини|Параллелограмм]]
-'''Параллелогра́мм''' ({{lang-grc|παραλληλόγραμμον}} ← {{lang-grc2|[[wikt:παράλληλος#Греческий|παράλληλος]]}} «параллельный» + {{lang-grc2|[[wikt:γραμμή#Греческий|γραμμή]]}} «линия») — [[четырёхугольник]], у которого противолежащие стороны попарно параллельны, то есть лежат на [[Параллельные прямые|параллельных прямых]]. (См. другие определения {{переход|Признаки параллелограмма|1}})
+'''Параллелогра́мм''' ({{lang-grc|παραλληλόγραμμον}} ← {{lang-grc2|παράλληλος}} — параллельный + {{lang-grc2|γραμμή}} — линия) — [[четырёхугольник]], у которого противолежащие стороны попарно параллельны, то есть лежат на [[Параллельные прямые|параллельных прямых]]{{sfn |Справочник по элементарной математике|2006|с=332—333|name=VYG}}. Существуют другие варианты определения{{переход|#Признаки параллелограмма}}.
-Частными случаями параллелограмма являются [[прямоугольник]], [[квадрат]] и [[ромб]].
+{{Якорь|Ромбоид}}Частными случаями параллелограмма являются [[прямоугольник]] (все углы прямые), [[ромб]] (все стороны равны) и [[квадрат]] (прямоугольник и ромб одновременно)<ref name=VYG/>. Параллелограмм, не являющийся прямоугольником или ромбом называют ''ромбоидом'' (при этом в литературе первой половины XX века термином «ромбоид» иногда именовался [[дельтоид]]).
+Используется для указания ввода, вывода в графических алгоритмах.
 == Свойства ==
-[[File:Свойства параллелограмма.svg|thumb|Противоположные стороны параллелограмма равны, а диагонали в точке пересечения делятся пополам.]]
+[[Файл:Свойства параллелограмма.svg|thumb|Противоположные стороны параллелограмма равны, а диагонали в точке пересечения делятся пополам.]]
-[[File:Противоположные углы параллелограмма.svg|thumb|Сумма углов у основания параллелограмма равна 180°]]
+[[Файл:Противоположные углы параллелограмма.svg|thumb|Сумма углов у основания параллелограмма равна 180°]]
-* Противолежащие стороны параллелограмма равны.
+Противолежащие стороны параллелограмма и противолежащие углы параллелограмма — равны. Сумма углов, прилежащих к одной (любой) стороне, равна 180° (по свойству параллельных прямых).
-* Противолежащие углы параллелограмма равны.
-* Сумма углов, прилежащих к одной (любой) стороне, равна 180° (по свойству параллельных прямых).
-* Диагонали параллелограмма пересекаются, и точка пересечения делит их пополам:
-*: <math>\left|AO\right| = \left|OC\right|, \left|BO\right| = \left|OD\right|</math>.
-* Точка пересечения диагоналей является [[центр симметрии|центром симметрии]] параллелограмма.
-* Параллелограмм диагональю делится на два [[Конгруэнтность (геометрия)|равных]] треугольника.
-* [[Средние линии четырёхугольника|Средние линии]] параллелограмма пересекаются в точке пересечения его диагоналей. В этой точке две его диагонали и две его средние линии делятся пополам.
-* [[Тождество параллелограмма]]: сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна удвоенной сумме квадратов его двух смежных сторон: пусть
-: <math>a</math> — длина стороны <math>AB</math>,
-: <math>b</math> — длина стороны <math>BC</math>,
-: <math>d_1</math> и <math>d_2</math> — длины диагоналей; тогда
-:: '''<math>d_1^2+d_2^2 = 2(a^2 + b^2).</math> '''
-: Тождество параллелограмма есть простое следствие [[Формула Эйлера для четырёхугольника|формулы Эйлера]] для произвольного [[четырехугольник]]а: ''учетверённый квадрат расстояния между серединами диагоналей равен сумме квадратов сторон четырёхугольника минус сумма квадратов его диагоналей''. У параллелограмма противоположные стороны равны, а расстояние между серединами диагоналей равно нулю.
-* [[Аффинное преобразование]] всегда переводит параллелограмм в параллелограмм. Для любого параллелограмма существует аффинное преобразование, которое отображает его в квадрат.
+Диагонали параллелограмма пересекаются, и точка пересечения делит их пополам. Точка пересечения диагоналей является [[центр симметрии|центром симметрии]] параллелограмма. Параллелограмм диагональю делится на два [[Конгруэнтность (геометрия)|равных]] треугольника. [[Средние линии четырёхугольника|Средние линии]] параллелограмма пересекаются в точке пересечения его диагоналей. В этой точке две его диагонали и две его средние линии делятся пополам.
-== Признаки параллелограмма ==
-[[Четырёхугольник]] ABCD является параллелограммом, если выполняется одно из следующих условий (в этом случае выполняются и все остальные):
+Стороны параллелограмма <math>a, b</math> и опущенные на них высоты <math>h_a, h_b</math> соотносятся следующим образом:
-# У четырёхугольника без самопересечений две противоположные стороны одновременно равны и параллельны: <math>AB = CD, AB \parallel CD</math>.
+: <math>\frac{a}{b}=\frac{h_b}{h_a}</math>
-# Все противоположные углы попарно равны: <math>\angle A = \angle C, \angle B = \angle D</math>.
-# У четырёхугольника без самопересечений все противоположные стороны попарно равны: <math>AB = CD, BC=DA</math>.
-# Все противоположные стороны попарно параллельны: <math> AB \parallel CD,  BC \parallel DA</math>.
-# Диагонали делятся в точке их пересечения пополам: <math>AO = OC, BO = OD</math>.
-# Сумма расстояний между серединами противоположных сторон выпуклого четырёхугольника равна его полупериметру.
-# Сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов сторон выпуклого четырёхугольника: <math>AC^2+BD^2 = AB^2+BC^2+CD^2+DA^2</math>.
+[[Тождество параллелограмма]]: сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна удвоенной сумме квадратов его двух смежных сторон:
-== Площадь параллелограмма ==
+: <math>d_1^2+d_2^2 = 2(a^2 + b^2)</math>,
-[[Файл:ParallelogramArea.svg|мини|Площадь параллелограмма, выражение через высоту]]
+где <math>a</math> и <math>b</math> — длины смежных сторон, а <math>d_1</math> и <math>d_2</math> — длины диагоналей.
-: ''Здесь приведены формулы, свойственные именно параллелограмму. См. также формулы для [[Четырёхугольник#Площадь|площади произвольных четырёхугольников]].''
+Тождество параллелограмма есть простое следствие [[Формула Эйлера для четырёхугольника|формулы Эйлера]] для произвольного [[четырехугольник]]а: учетверённый квадрат расстояния между серединами диагоналей равен сумме квадратов сторон четырёхугольника минус сумма квадратов его диагоналей. У параллелограмма противоположные стороны равны, а расстояние между серединами диагоналей равно нулю.
-* Площадь параллелограмма равна произведению его основания на [[Высота (геометрия)|высоту]]:
-: <math>S = bh</math> , где <math>b</math> — сторона, <math>h</math> — высота, проведённая к этой стороне.
+[[Аффинное преобразование]] всегда переводит параллелограмм в параллелограмм. Для любого параллелограмма существует аффинное преобразование, которое отображает его в квадрат.
-* Площадь параллелограмма равна произведению длин его смежных сторон и [[синус]]а угла между ними:
+Четырёхугольник, вершины которого совпадают с серединами сторон произвольного четырёхугольника, является параллелограммом, стороны которого параллельны диагоналям исходного четырёхугольника ([[вариньонов параллелограмм]]).
-: <math>S = ab\sin \alpha,</math>
+== Признаки параллелограмма ==
-: где <math>a</math> и <math>b</math> — смежные стороны, <math>\alpha</math> — угол между сторонами <math>a</math> и <math>b</math>.
+[[Четырёхугольник]] <math>\square ABCD</math> является параллелограммом, если выполняется одно из следующих условий (в этом случае выполняются и все остальные):
+* у четырёхугольника без самопересечений две противоположные стороны одновременно равны и параллельны: <math>AB = CD</math> и <math>AB \parallel CD</math>;
+* все противоположные углы попарно равны: <math>\angle A = \angle C</math> и <math>\angle B = \angle D</math>;
+* у четырёхугольника без самопересечений все противоположные стороны попарно равны: <math>AB = CD</math> и <math>BC=DA</math>;
+* все противоположные стороны попарно параллельны: <math> AB \parallel CD</math> и <math>BC \parallel DA</math>;
+* диагонали делятся в точке их пересечения пополам: <math>AO = OC</math> и <math>BO = OD</math>, где <math>O</math> — точка пересечения диагоналей;
+* сумма расстояний между серединами противоположных сторон выпуклого четырёхугольника равна его полупериметру;
+* сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов сторон выпуклого четырёхугольника: <math>AC^2+BD^2 = AB^2+BC^2+CD^2+DA^2</math>.
+== Площадь параллелограмма ==
-* Также площадь параллелограмма может быть выражена через стороны <math>a,\ b</math> и длину любой из диагоналей <math>d</math> по [[Формула Герона|формуле Герона]] как сумма площадей двух равных примыкающих треугольников:
+[[Файл:ParallelogramArea.svg|мини|Площадь параллелограмма, выражение через высоту]]
+Площадь параллелограмма равна произведению его основания на [[Высота (геометрия)|высоту]]: <math>S = bh</math>, где <math>b</math> — сторона, <math>h</math> — высота, проведённая к этой стороне. Также площадь параллелограмма может быть вычислена как произведение длин его смежных сторон <math>a</math> и <math>b</math> и [[синус]]а угла <math>\alpha</math> между ними: <math>S = ab\sin \alpha</math>.
+Ещё один способ определения площади параллелограмма — через длины смежных сторон <math>a</math> и <math>b</math> и длину любой из диагоналей <math>d</math> по [[Формула Герона|формуле Герона]] как сумма площадей двух равных примыкающих треугольников<ref>{{Cite web |url=https://resh.edu.ru/subject/lesson/2012/main/ |title=Геометрия, 8 класс. Урок 14. Формула Герона |access-date=2023-10-26 |archive-date=2022-04-03 |archive-url=https://web.archive.org/web/20220403054009/https://resh.edu.ru/subject/lesson/2012/main/ |url-status=live }}</ref>:
-: <math>S=2 \cdot \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-d)}</math>
+: <math>S=2 \cdot \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-d)}</math>,
-: где <math>p=(a+b+d)/2.</math>
+где <math>p=(a+b+d)/2</math>.
-=== Существование параллелограмма{{нет значимости|17|04|2023}}  ===
-Отметим, что для того чтобы параллелограмм с высотами <math>h_a</math> и <math>h_b</math>, опущенными из одной вершины, существовал, необходимо, чтобы его площадь была <math>S \geqslant h_{a}\cdot h_{b}</math> (кв. ед.)<ref>{{Публикация|Книга|заглавие=Геометрические задачи на экзаменах. Часть 1. Планиметрия|ссылка=https://file.11klasov.net/15587-geometricheskie-zadachi-na-jekzamenah-v-3-chastjah-shahmejster-ah.html|год=2015|автор=Шахмейстер А. Х.|ref=Шахмейстер|язык=|вид=книга|часть=Трапеция|ответственный=А. Х. Шахмейстер|место=СПб.|издательство=«Петроглиф» : «Виктория плюс»|место2=М.|издательство2=Издательство МЦНМО|страницы=179|страниц=392|иллюстрации=илл.|размеры=21 см|серия=Математика. Элективные курсы|тираж=1500|ббк=22.141я71.6|удк=373.167.1:512|isbn=978-5-98712-083-5|isbn2=978-5-91673-155-2|isbn3=978-5-4439-0347-7}}</ref>.
-{{Доказательство|'''Метод площадей'''. Пусть дан параллелограмм <math>\mathcal{ABCD}</math> со сторонами <math>\mathcal{AB=a}</math> и <math>\mathcal{BC=b}</math>, в котором проведены из одной вершины <math>\mathcal{B}</math> высоты <math>h_{\mathcal a}</math> и <math>h_{\mathcal b}</math>. Тогда площадь <math>S_{\mathcal{ABCD}}</math> параллелограмма можно вычислить как <math>S_{\mathcal{ABCD}} = a\cdot h_{\mathcal a}</math>, но в то же самое время <math>S_{\mathcal{ABCD}} = b\cdot h_{\mathcal b}</math>.<br> Получим систему <math>\begin{cases} a=\dfrac{S_{\mathcal{ABCD}}}{h_a} \\ b=\dfrac{S_{\mathcal{ABCD}}}{h_b} \end{cases}</math>, но <math>\begin{cases} a=\dfrac{S_{\mathcal{ABCD}}}{h_a}\geqslant h_{b} \left(a\geqslant h_{b} \text{ — свойство прямоугольного треугольника}\right)\\ b=\dfrac{S_{\mathcal{ABCD}}}{h_b}\geqslant h_{a} \left(b\geqslant h_{a} \text{ — свойство прямоугольного треугольника}\right)\end{cases}</math>. Следовательно, <math>S_{\mathcal{ABCD}} \geqslant h_{a}\cdot h_{b}</math>.}}
-== См. также ==
-{{Викисловарь|параллелограмм}}
-* [[Параллелепипед]]
-* [[Прямоугольник]]
-* [[Ромбоид]]
-* [[Теорема Вариньона (геометрия)|Параллелограмм Вариньона]]
-* [[Теорема Тебо|Теорема Тебо 1]]
 == Примечания ==
+{{Викисловарь|параллелограмм}}
 {{примечания}}
+== Литература ==
-{{rq|source}}
+* {{книга |автор=[[Выгодский, Марк Яковлевич|Выгодский М. Я.]] |место=М. |издательство=АСТ |год=2006
+  |заглавие=Справочник по элементарной математике |ref=Справочник по элементарной математике
+  |страниц=509 |isbn=5-17-009554-6}}
+== Ссылки ==
+* {{h|MathWorld|3={{mathworld|title=Parallelogram|urlname=Parallelogram}}}}
 {{Многоугольники}}
+{{ВС}}
 [[Категория:Четырёхугольники]]

Ссылки на внешние ресурсы
Тематические сайты	MathWorld
Словари и энциклопедии	Большая датская Большая китайская Большая норвежская Большая российская (старая версия) Большая советская (1 изд.) Брокгауза и Ефрона Britannica (онлайн)

Параллелограмм: различия между версиями

Текущая версия от 16:32, 14 декабря 2024

Содержание

Свойства

Признаки параллелограмма

Площадь параллелограмма

Примечания

Литература

Ссылки

Навигация

Параллелограмм: различия между версиями

Текущая версия от 16:32, 14 декабря 2024

Свойства

Признаки параллелограмма

Площадь параллелограмма

Примечания

Литература

Ссылки

Навигация

Поиск