Параллелограмм: различия между версиями

Интерактивная навигация по истории

(Показать все непатрулированные изменения)

[непроверенная версия]

← Предыдущая правка

Содержимое удалено Содержимое добавлено

ВизуальныйВики-текст

Линейный

Текущая версия от 16:32, 14 декабря 2024

Параллелогра́мм (др.-греч. παραλληλόγραμμον ← παράλληλος — параллельный + γραμμή — линия) — четырёхугольник, у которого противолежащие стороны попарно параллельны, то есть лежат на параллельных прямых^[1]. Существуют другие варианты определения➤.

Частными случаями параллелограмма являются прямоугольник (все углы прямые), ромб (все стороны равны) и квадрат (прямоугольник и ромб одновременно)^[1]. Параллелограмм, не являющийся прямоугольником или ромбом называют ромбоидом (при этом в литературе первой половины XX века термином «ромбоид» иногда именовался дельтоид).

Используется для указания ввода, вывода в графических алгоритмах.

Свойства

Противолежащие стороны параллелограмма и противолежащие углы параллелограмма — равны. Сумма углов, прилежащих к одной (любой) стороне, равна 180° (по свойству параллельных прямых).

Диагонали параллелограмма пересекаются, и точка пересечения делит их пополам. Точка пересечения диагоналей является центром симметрии параллелограмма. Параллелограмм диагональю делится на два равных треугольника. Средние линии параллелограмма пересекаются в точке пересечения его диагоналей. В этой точке две его диагонали и две его средние линии делятся пополам.

Стороны параллелограмма $a,b$ и опущенные на них высоты $h_{a},h_{b}$ соотносятся следующим образом:

{\frac {a}{b}}={\frac {h_{b}}{h_{a}}}

Тождество параллелограмма: сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна удвоенной сумме квадратов его двух смежных сторон:

d_{1}^{2}+d_{2}^{2}=2(a^{2}+b^{2})

,

где $a$ и $b$ — длины смежных сторон, а $d_{1}$ и $d_{2}$ — длины диагоналей. Тождество параллелограмма есть простое следствие формулы Эйлера для произвольного четырехугольника: учетверённый квадрат расстояния между серединами диагоналей равен сумме квадратов сторон четырёхугольника минус сумма квадратов его диагоналей. У параллелограмма противоположные стороны равны, а расстояние между серединами диагоналей равно нулю.

Аффинное преобразование всегда переводит параллелограмм в параллелограмм. Для любого параллелограмма существует аффинное преобразование, которое отображает его в квадрат.

Четырёхугольник, вершины которого совпадают с серединами сторон произвольного четырёхугольника, является параллелограммом, стороны которого параллельны диагоналям исходного четырёхугольника (вариньонов параллелограмм).

Признаки параллелограмма

Четырёхугольник $\square ABCD$ является параллелограммом, если выполняется одно из следующих условий (в этом случае выполняются и все остальные):

у четырёхугольника без самопересечений две противоположные стороны одновременно равны и параллельны: $AB=CD$ и $AB\parallel CD$ ;
все противоположные углы попарно равны: $\angle A=\angle C$ и $\angle B=\angle D$ ;
у четырёхугольника без самопересечений все противоположные стороны попарно равны: $AB=CD$ и $BC=DA$ ;
все противоположные стороны попарно параллельны: $AB\parallel CD$ и $BC\parallel DA$ ;
диагонали делятся в точке их пересечения пополам: $AO=OC$ и $BO=OD$ , где $O$ — точка пересечения диагоналей;
сумма расстояний между серединами противоположных сторон выпуклого четырёхугольника равна его полупериметру;
сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов сторон выпуклого четырёхугольника: $AC^{2}+BD^{2}=AB^{2}+BC^{2}+CD^{2}+DA^{2}$ .

Площадь параллелограмма

Площадь параллелограмма равна произведению его основания на высоту: $S=bh$ , где $b$ — сторона, $h$ — высота, проведённая к этой стороне. Также площадь параллелограмма может быть вычислена как произведение длин его смежных сторон $a$ и $b$ и синуса угла $\alpha$ между ними: $S=ab\sin \alpha$ .

Ещё один способ определения площади параллелограмма — через длины смежных сторон $a$ и $b$ и длину любой из диагоналей $d$ по формуле Герона как сумма площадей двух равных примыкающих треугольников^[2]:

S=2\cdot {\sqrt {p(p-a)(p-b)(p-d)}}

,

где $p=(a+b+d)/2$ .

Примечания

В Викисловаре есть статья «параллелограмм»

↑ ¹ ² Справочник по элементарной математике, 2006, с. 332—333.
↑ Геометрия, 8 класс. Урок 14. Формула Герона (неопр.). Дата обращения: 26 октября 2023. Архивировано 3 апреля 2022 года.

Литература

Выгодский М. Я. Справочник по элементарной математике. — М.: АСТ, 2006. — 509 с. — ISBN 5-17-009554-6.

Ссылки

Weisstein, Eric W. Parallelogram (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.

[VYG-1] ¹ ² Справочник по элементарной математике, 2006, с. 332—333.

[2] Геометрия, 8 класс. Урок 14. Формула Герона (неопр.). Дата обращения: 26 октября 2023. Архивировано 3 апреля 2022 года.

[1]

[2]

@@ Строка 2: / Строка 2: @@
 '''Параллелогра́мм''' ({{lang-grc|παραλληλόγραμμον}} ← {{lang-grc2|παράλληλος}} — параллельный + {{lang-grc2|γραμμή}} — линия) — [[четырёхугольник]], у которого противолежащие стороны попарно параллельны, то есть лежат на [[Параллельные прямые|параллельных прямых]]{{sfn |Справочник по элементарной математике|2006|с=332—333|name=VYG}}. Существуют другие варианты определения{{переход|#Признаки параллелограмма}}.
 {{Якорь|Ромбоид}}Частными случаями параллелограмма являются [[прямоугольник]] (все углы прямые), [[ромб]] (все стороны равны) и [[квадрат]] (прямоугольник и ромб одновременно)<ref name=VYG/>. Параллелограмм, не являющийся прямоугольником или ромбом называют ''ромбоидом'' (при этом в литературе первой половины XX века термином «ромбоид» иногда именовался [[дельтоид]]).
+Используется для указания ввода, вывода в графических алгоритмах.
 == Свойства ==
@@ Строка 9: / Строка 11: @@
 Противолежащие стороны параллелограмма и противолежащие углы параллелограмма — равны. Сумма углов, прилежащих к одной (любой) стороне, равна 180° (по свойству параллельных прямых).
-Диагонали параллелограмма пересекаются, и точка пересечения делит их пополам. Точка пересечения диагоналей является [[центр симметрии|центром симметрии]] параллелограмма. Параллелограмм диагональю делится на два [[Конгруэнтность (геометрия)|равных]] треугольника. [[Средние линии четырёхугольника|Средние линии]] параллелограмма пересекаются в точке пересечения его диагоналей. В этой точке две его диагонали и две его средние линии не делятся пополам.
+Диагонали параллелограмма пересекаются, и точка пересечения делит их пополам. Точка пересечения диагоналей является [[центр симметрии|центром симметрии]] параллелограмма. Параллелограмм диагональю делится на два [[Конгруэнтность (геометрия)|равных]] треугольника. [[Средние линии четырёхугольника|Средние линии]] параллелограмма пересекаются в точке пересечения его диагоналей. В этой точке две его диагонали и две его средние линии делятся пополам.
 Стороны параллелограмма <math>a, b</math> и опущенные на них высоты <math>h_a, h_b</math> соотносятся следующим образом:
@@ Строка 17: / Строка 19: @@
 : <math>d_1^2+d_2^2 = 2(a^2 + b^2)</math>,
 где <math>a</math> и <math>b</math> — длины смежных сторон, а <math>d_1</math> и <math>d_2</math> — длины диагоналей.
+Тождество параллелограмма есть простое следствие [[Формула Эйлера для четырёхугольника|формулы Эйлера]] для произвольного [[четырехугольник]]а: учетверённый квадрат расстояния между серединами диагоналей равен сумме квадратов сторон четырёхугольника минус сумма квадратов его диагоналей. У параллелограмма противоположные стороны равны, а расстояние между серединами диагоналей равно нулю.
-Тождество параллелограмма можно доказать, используя [[теорема косинусов|теорему косинусов]] на треугольниках, образовываемых диагоналями.
 [[Аффинное преобразование]] всегда переводит параллелограмм в параллелограмм. Для любого параллелограмма существует аффинное преобразование, которое отображает его в квадрат.
 Четырёхугольник, вершины которого совпадают с серединами сторон произвольного четырёхугольника, является параллелограммом, стороны которого параллельны диагоналям исходного четырёхугольника ([[вариньонов параллелограмм]]).
-В параллелограмме отношение меньшей из смежных сторон к большей из этих сторон не меньше тангенса половины угла между диагоналями данного параллелограмма. И указанное отношение равно указанному тангенсу тогда и только тогда, когда этот параллелограмм — прямоугольник или ромб.
-Угол между диагоналями произвольного параллелограмма (не тупой угол) содержит в своей внутренней области меньшую из смежных сторон данного параллелограмма.
-Диагонали <math>d_1\leqslant d_2</math> параллелограмма, отличного от ромба, выражаются через длины <math>a</math> и <math>b</math> его смежных сторон и угол <math>\theta</math> между диагоналями данного параллелограмма, содержащий во внутренней области сторону <math>b</math>:
-: <math>d_1=\sqrt{\frac{\bigl(a\cos\frac{\theta}{2}\bigr)^2-\bigl(b\sin\frac{\theta}{2}\bigr)^2}{\cos\theta}}-\sqrt{\frac{\bigl(b\cos\frac{\theta}{2}\bigr)^2-\bigl(a\sin\frac{\theta}{2}\bigr)^2}{\cos\theta}} =</math>
-:: <math>= \sqrt{a^2+b^2-\sqrt{(2ab)^2-\bigl((a^2-b^2)\tan \theta\bigr)^2}}</math>;
-: <math>d_2=\sqrt{\frac{\bigl(a\cos\frac{\theta}{2}\bigr)^2-\bigl(b\sin\frac{\theta}{2}\bigr)^2}{\cos\theta}}+\sqrt{\frac{\bigl(b\cos\frac{\theta}{2}\bigr)^2-\bigl(a\sin\frac{\theta}{2}\bigr)^2}{\cos\theta}} =</math>
-:: <math>= \sqrt{a^2+b^2+\sqrt{(2ab)^2-\bigl((a^2-b^2)\tan \theta\bigr)^2}}</math>.
-Угол <math>\theta</math> между диагоналями произвольного параллелограмма (не тупой угол) может являться любым одним из положительных решений неравенства
-: <math>\theta\leqslant\arccos\frac{|k^2-1|}{k^2+1}</math>,
-: где <math>k</math> — везде одно и то же отношение смежных сторон параллелограмма. Равенство здесь достигается тогда и только тогда, когда данный параллелограмм — прямоугольник (если при этом <math>k\neq 1</math>) или ромб (если <math>k=1</math>).
-Высоты <math>h_a</math> и <math>h_b</math>, проведённые соответственно к сторонам <math>a</math> и <math>b</math> параллелограмма, который отличен от ромба и угол между диагоналями которого равен <math>\theta</math>, могут быть найдены по формулам
-: <math>h_a=\frac{|a^2-b^2|\tan\theta}{2a}</math>;
-: <math>h_b=\frac{|a^2-b^2|\tan\theta}{2b}</math>.
-Здесь <math>\theta</math> — угол, во внутренней области которого расположена меньшая из смежных сторон <math>a</math>, <math>b</math> такого параллелограмма.
-Угол <math>\alpha</math> (не тупой) между смежными сторонами параллелограмма, отличного от ромба, выражается через длины смежных сторон <math>a</math>, <math>b</math> и угол <math>\theta</math> (острый) между диагоналями данного параллелограмма как
-: <math>\alpha=\arcsin\frac{|a^2-b^2|\tan\theta}{2ab}</math>.
-Угол <math>\theta</math> (острый) между диагоналями параллелограмма, отличного от ромба, выражается через длины смежных сторон <math>a</math>, <math>b</math> и угол <math>\alpha</math> между ними по формуле:
-: <math>\theta=\arctan\frac{2ab\sin\alpha}{|a^2-b^2|}=\arctan\frac{2S}{|a^2-b^2|}</math>,
-где <math>S</math> — площадь данного параллелограмма.
-И ещё, если <math>d_1</math> и <math>d_2</math> — диагонали данного параллелограмма, а <math>a</math> и <math>b</math> — смежные его стороны, то угол <math>\theta</math> между диагоналями этого параллелограмма, содержащий во внутренней области сторону <math>b</math>, можно найти как
-: <math>\theta=\arccos\frac{a^2-b^2}{d_1d_2}</math>.
 == Признаки параллелограмма ==
@@ Строка 74: / Строка 42: @@
 : <math>S=2 \cdot \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-d)}</math>,
 где <math>p=(a+b+d)/2</math>.
-И ещё, если параллелограмм отличен от ромба, — через длины смежных сторон <math>a</math> и <math>b</math> и угол <math>\theta</math> между диагоналями параллелограмма:
-: <math>S=\frac{|a^2-b^2|\tan\theta}{2}</math>.
-Здесь <math>\theta</math> — угол, во внутренней области которого расположена меньшая из смежных сторон этого параллелограмма.
-И можно найти площадь параллелограмма через длины <math>d_1</math> и <math>d_2</math> его диагоналей и длины его смежных сторон: <math>a</math> и <math>b</math>:
-: <math>S=\frac{\sqrt{(d_1d_2)^2-(a^2-b^2)^2}}{2}</math>.
 == Примечания ==

Ссылки на внешние ресурсы
Тематические сайты	MathWorld
Словари и энциклопедии	Большая датская Большая китайская Большая норвежская Большая российская (старая версия) Большая советская (1 изд.) Брокгауза и Ефрона Britannica (онлайн)

Параллелограмм: различия между версиями

Текущая версия от 16:32, 14 декабря 2024

Содержание

Свойства

Признаки параллелограмма

Площадь параллелограмма

Примечания

Литература

Ссылки

Навигация

Параллелограмм: различия между версиями

Текущая версия от 16:32, 14 декабря 2024

Свойства

Признаки параллелограмма

Площадь параллелограмма

Примечания

Литература

Ссылки

Навигация

Поиск