Октаэдральные соты порядка 4: различия между версиями

(Показать все непатрулированные изменения)

[отпатрулированная версия]

[непроверенная версия]

Содержимое удалено Содержимое добавлено

Линейный

Текущая версия от 19:33, 16 декабря 2024

Октаэдральные соты порядка 4
Перспективная проекция в модели Пуанкаре
Тип	Гиперболические правильные соты Паракомпактные однородные соты^[англ.]
Символы Шлефли\|{3,4,4} {3,4^1,1}
Диаграммы Коксетера — Дынкина	↔ ↔ ↔
Ячейки	октаэдр {3,4}
Грани	треугольник {3}
Краевая фигура	квадрат {4}
Вершинная фигура	Квадратный паркет, {4,4}
Двойственные соты	Квадратные мозаичные соты^[англ.], {4,4,3}
Группы Коксетера	[4,4,3] [3,4^1,1]
Свойства	Правильные

В гиперболическом пространстве размерности 3 восьмиугольные соты порядка 4 — правильные паракомпактные соты. Они называются паракомпактными, поскольку имеют бесконечные вершинные фигуры со всеми вершинами как идеальные точки на бесконечности. Если многогранник задан символом Шлефли {3,4,4}, он имеет четыре октаэдра {3,4} вокруг каждого ребра и бесконечное число октаэдров вокруг каждой вершины в квадратном паркете {4,4}, в качестве расположения вершин^[англ.]^[1].

Геометрические соты — это заполняющие пространство многогранники или ячейки большей размерности. Заполнение происходит так, что между ними не остаётся зазоров. Это пример более общего математического понятия мозаики или замощения в пространстве любой размерности.

Соты обычно строятся в обычном евклидовом («плоском») пространстве подобно выпуклым однородным сотам^[англ.]. Их можно построить также в неевклидовых пространствах, такие как однородные гиперболические соты^[англ.]. Любой конечный однородный многогранник может быть спроецирован на его описанную сферу для образования однородных сот в сферическом пространстве.

Симметрия

Построение с половинной симметрией, [3,4,4,1⁺], существует как {3,4^1,1}, с чередованием двух видов (цветов) октаэдральных ячеек. ↔ . Второе построение с половинной симметрией, [3,4,1⁺,4]: ↔ . Более высокий индекс симметрии, [3,4,4^*], индекс 8, существует с пирамидальной фундаментальной областью, [((3,∞,3)),((3,∞,3))]: .

Эти соты содержат , , которые замощают 2-гиперциклические поверхности наподобие паракомпактных мозаик или

Связанные многогранники и соты

Многогранник входит в 15 правильных гиперболических сот в 3-мерном пространстве, 11 из которых, подобно этим сотам, паракомпактны и имеют бесконечные ячейки или вершинные фигуры.

11 паракомпактных правильных сот
{6,3,3}	{6,3,4}	{6,3,5}	{6,3,6}	{4,4,3}	{4,4,4}
{3,3,6}	{4,3,6}	{5,3,6}	{3,6,3}	{3,4,4}

Имеется пятнадцать однородных сот^[англ.] в [4,4,3] семействе групп Коксетера, включая эту однородную форму.

Семейство сот [4,4,3]
{4,4,3}	r{4,4,3}	t{4,4,3}	rr{4,4,3}	t_0,3{4,4,3}	tr{4,4,3}	t_0,1,3{4,4,3}	t_0,1,2,3{4,4,3}


{3,4,4}	r{3,4,4}	t{3,4,4}	rr{3,4,4}	2t{3,4,4}	tr{3,4,4}	t_0,1,3{3,4,4}	t_0,1,2,3{3,4,4}

Соты являются частью последовательности сот с вершинной фигурой в виде квадратного паркета:

Соты {p,4,4}
Пространство	E³	H³
Форма	Аффинные	Паракомпактные		Некмпактные
Название	{2,4,4}	{3,4,4}	{4,4,4}	{5,4,4}	{6,4,4}	..{∞,4,4}
Coxeter
Image
Cells	{2,4}	{3,4}	{4,4}	{5,4}	{6,4}	{∞,4}

Соты являются частью последовательности правильных четырёхмерных многогранников и сот с октаэдральными ячейками^[англ.].

Многогранники {3,4,p}
Пространство	S³	H³
Форма	Конечные	Паракомпактные	Некомпактные
Название	{3,4,3}	{3,4,4}	{3,4,5}	{3,4,6}	{3,4,7}	{3,4,8}	... {3,4,∞}
Рисунок
Vertex figure	{4,3}	{4,4}	{4,5}	{4,6}	{4,7}	{4,8}	{4,∞}

Спрямлённые восьмиугольные соты порядка 4

Спрямлённые восьмиугольные соты порядка 4

Тип	Паракомпактные однородные соты^[англ.]
Символы Шлефли	r{3,4,4} or t₁{3,4,4}
Диаграммы Коксетера — Дынкина	↔ ↔ ↔
Ячейки	r{4,3} {4,4}
Грани	треугольные {3} квадратные {4}
Вершинная фигура
Группы Коксетера	[4,4,3]
Свойства	вершинно транзитивны

Спрямлённые восьмиугольные соты порядка 4, t₁{3,4,4}, имеют фасеты в виде кубооктаэдра и квадратного паркета, с квадратной пирамидой в качестве вершинной фигуры.

Усечённые восьмиугольные соты порядка 4

Усечённые восьмиугольные соты порядка 4
Тип	Паракомпактные однородные соты^[англ.]
Символы Шлефли	t{3,4,4} или t_0,1{3,4,4}
Диаграммы Коксетера — Дынкина	↔ ↔ ↔
Ячейки	t{3,4} {4,4}
Грани	квадратные {4} шестиугольные {6}
Вершинная фигура
Группы Коксетера	[4,4,3]
Свойства	вершинно транзитивны

Усечённые восьмиугольные соты порядка 4, t_0,1{3,4,4}, имеют фасеты в виде усечённого октаэдра и квадратного паркета с квадратной пирамидой в качестве вершинной фигуры.

Скошенные восьмиугольные соты порядка 4

Скошенные восьмиугольные соты порядка 4
Тип	Паракомпактные однородные соты^[англ.]
Символы Шлефли	rr{3,4,4} или t_0,2{3,4,4} s₂{3,4,4}
Диаграммы Коксетера — Дынкина	↔
Ячейки	rr{3,4} r{4,4}
Грани	треугольник {3} квадрат {4}
Вершинная фигура	треугольная призма
Группы Коксетера	[4,4,3]
Свойства	вершинно транзитивны

Скошенные восьмиугольные соты порядка 4, t_0,2{3,4,4}, имеют грани в виде ромбокубооктаэдра и квадратного паркета с вершинной фигурой в виде треугольной призмы.

Скошено-усечённые восьмиугольные соты порядка 4

Скошено-усечённые восьмиугольные соты порядка 4
Тип	Паракомпактные однородные соты^[англ.]
Символы Шлефли	tr{3,4,4} или t_0,1,2{3,4,4}
Диаграммы Коксетера — Дынкина	↔
Ячейки	tr{3,4} r{4,4}
Грани	квадратные {4} шестиугольные {6} восьмиугольные {8}
Вершинная фигура	тетраэдр
Группы Коксетера	[4,4,3]
Свойства	вершинно транзитивны

Скошено-усечённые восьмиугольные соты порядка 4, t_0,1,2{3,4,4}, имеют фасеты в виде усечённого кубооктаэдра и квадратного паркета с тетраэдром в качестве вершинной фигуры.

Струг-усечённые восьмиугольные соты порядка 4

Струг-усечённые восьмиугольные соты порядка 4
Тип	Паракомпактные однородные соты^[англ.]
Символы Шлефли	t_0,1,3{3,4,4}
Диаграммы Коксетера — Дынкина	↔
Ячейки	t{3,4} rr{4,4}
Грани	треугольник {3} квадрат {4} восьмиугольные {8}
Вершинная фигура	квадратная пирамида
Группы Коксетера	[4,4,3]
Свойства	вершинно транзитивны

Струг-усечённые восьмиугольные соты порядка 4, t_0,1,3{3,4,4}, имеют фасеты в виде усечённого октаэдра и квадратного паркета с квадратной пирамидой в качестве вершинной фигуры.

Плосконосые восьмиугольные соты порядка 4

Плосконосые восьмиугольные соты порядка 4
Тип	Паракомпактные равнобедренные соты
Символы Шлефли	s{3,4,4}
Диаграммы Коксетера — Дынкина	↔ ↔ ↔
Ячейки	квадратный паркет икосаэдр квадратная пирамида
Грани	{3} {4}
Вершинная фигура
Группы Коксетера	[4,4,3⁺] [4^1,1,3⁺] [(4,4,(3,3)⁺)]
Свойства	вершинно транзитивны

Плосконосые восьмиугольные соты порядка 4, s{3,4,4}, имеют диаграмму Коксетера — Дынкина . Они являются равнобедренными сотами^[англ.] с квадратными пирамидами, квадратными мозаиками и икосаэдрами.

См. также

Примечания

↑ Coxeter, 1999, с. Chapter 10, Table III.

Литература

Coxeter. Tables I and II: Regular polytopes and honeycombs // Regular Polytopes^[англ.]. — 3rd. ed.. — Dover Publications, 1973. — С. 294–296. — ISBN 0-486-61480-8.
Coxeter. Chapter 10: Regular honeycombs in hyperbolic space, Summary tables II,III,IV,V // The Beauty of Geometry: Twelve Essays. — Dover Publications, 1999. — С. 212-213. — ISBN 0-486-40919-8.
Jeffrey R. Weeks. Chapter 16-17: Geometries on Three-manifolds I,II // The Shape of Space. — 2nd. — 2002. — ISBN 0-8247-0709-5.
N.W. Johnson. Uniform Polytopes. — (Manuscript).
- N.W. Johnson. The Theory of Uniform Polytopes and Honeycombs. — University of Toronto, 1966. — (Ph.D. Dissertation).
- N.W. Johnson. Chapter 13: Hyperbolic Coxeter groups // Geometries and Transformations. — 2015.
- Norman W. Johnson, Asia Ivic Weiss. Quadratic Integers and Coxeter Groups // Can. J. Math.. — 1999. — Т. 51, вып. 6. — С. 1307–1336.

[_bf7ed2078ec17f18-1] Coxeter, 1999, с. Chapter 10, Table III.

[1]

@@ Строка 1: / Строка 1: @@
 {| class="wikitable" align="right" style="margin-left:10px" width="320"
-!bgcolor=#e7dcc3 colspan=2| octahedral tiling honeycomb порядка 4
+!bgcolor=#e7dcc3 colspan=2| Октаэдральные соты порядка 4
 |-
 |bgcolor=#ffffff align=center colspan=2|[[Файл:H3 344 CC center.png|320px]]<BR>[[Перспектива|Перспективная проекция]]<BR>в [[Конформно-евклидова модель|модели Пуанкаре]]
@@ Строка 14: / Строка 14: @@
 |bgcolor=#e7dcc3|Грани||[[треугольник]] {3}
 |-
-|bgcolor=#e7dcc3|Edge figure||[[квадрат]] {4}
+|bgcolor=#e7dcc3|Краевая фигура||[[квадрат]] {4}
 |-
-|bgcolor=#e7dcc3| Вершинная фигура||[[ Квадратный паркет]], {4,4}<BR>[[Файл:Square tiling uniform coloring 1.png|40px]] [[Файл:Square tiling uniform coloring 7.png|40px]] [[Файл:Square tiling uniform coloring 8.png|40px]] [[Файл:Square tiling uniform coloring 9.png|40px]]
+|bgcolor=#e7dcc3| Вершинная фигура||[[ Квадратный паркет]], {4,4}<BR>[[Файл:Square tiling uniform coloring 1.svg|40px]] [[Файл:Square tiling uniform coloring 7.png|40px]] [[Файл:Square tiling uniform coloring 8.png|40px]] [[Файл:Square tiling uniform coloring 9.png|40px]]
 |-
-|bgcolor=#e7dcc3|Двойственные соты||{{не переведено 5|Квадатные мозаичные соты|||Square tiling honeycomb}}, {4,4,3}
+|bgcolor=#e7dcc3|Двойственные соты||{{не переведено 5|Квадратные мозаичные соты|||Square tiling honeycomb}}, {4,4,3}
 |-
 |bgcolor=#e7dcc3|[[Диаграммы Коксетера — Дынкина#Ранги 4-5|Группы Коксетера]]||[4,4,3]<BR>[3,4<sup>1,1</sup>]
@@ Строка 24: / Строка 24: @@
 |bgcolor=#e7dcc3|Свойства||Правильные
 |}
-В [[Геометрия Лобачевского|гиперболическом пространстве]] размерности 3 '''восьмиугольные соты порядка 4''' — это правильные паракомпактные соты. Они называются ''паракомпактными'', поскольку они имеют бесконечные [[Вершинная фигура|вершинные фигуры]] со всеми вершинами как [[Идеальная точка|идеальные точки]] на бесконечности. Если многогранник задан [[Символ Шлефли|символом Шлефли]] {3,4,4}, он имеет четыре [[октаэдр]]а {3,4} вокруг каждого ребра и бесконечное число октаэдров вокруг каждой вершины в [[Квадратный паркет|квадратном паркете]] {4,4} в качестве {{не переведено 5|Расположение вершин|расположения вершин||vertex arrangement}}{{sfn|Coxeter|1999|с=Chapter 10, Table III}}.
+В [[Геометрия Лобачевского|гиперболическом пространстве]] [[Размерность пространства|размерности]] 3 '''восьмиугольные соты порядка 4''' — правильные паракомпактные соты. Они называются ''паракомпактными'', поскольку имеют бесконечные [[Вершинная фигура|вершинные фигуры]] со всеми вершинами как [[Идеальная точка|идеальные точки]] на бесконечности. Если многогранник задан [[Символ Шлефли|символом Шлефли]] {3,4,4}, он имеет четыре [[октаэдр]]а {3,4} вокруг каждого ребра и бесконечное число октаэдров вокруг каждой вершины в [[Квадратный паркет|квадратном паркете]] {4,4}, в качестве {{не переведено 5|Расположение вершин|расположения вершин||vertex arrangement}}{{sfn|Coxeter|1999|с=Chapter 10, Table III}}.
-[[Соты (геометрия)|Геометрические соты]] — это ''заполняющие пространство''  [[Многогранник|многогранники]] или ''ячейки'' большей размерности, так что между ними не остаётся зазоров. Это пример более общего математического понятия ''мозаики'' или ''[[Паркет (геометрия)|замощения]]'' в пространстве любой размерности.
+[[Соты (геометрия)|Геометрические соты]] — это ''заполняющие пространство'' [[Многогранник|многогранники]] или ''ячейки'' большей размерности. Заполнение происходит так, что между ними не остаётся зазоров. Это пример более общего математического понятия ''мозаики'' или ''[[Паркет (геометрия)|замощения]]'' в пространстве любой размерности.
-Соты обычно строятся в обычном [[Евклидова геометрия|евклидовом]] («плоском») пространстве подобно {{не переведено 5|Выпуклые однородные соты|выпуклым однородным сотам||convex uniform honeycomb}}. Их можно построить также в [[Неевклидова геометрия|неевклидовых пространствах]], такие как {{не переведено 5|Однородные соты в гиперболическом пространстве|однородные гиперболические соты||Uniform honeycombs in hyperbolic space}}. Любой конечный {{не переведено 5|однородный многогранник|||uniform polytope}} может быть спроецирован на его [[Описанная сфера|описанную сферу]] для образования однородных сот в сферическом пространстве.
+Соты обычно строятся в обычном [[Евклидова геометрия|евклидовом]] («плоском») пространстве подобно {{не переведено 5|Выпуклые однородные соты|выпуклым однородным сотам||convex uniform honeycomb}}. Их можно построить также в [[Неевклидова геометрия|неевклидовых пространствах]], такие как {{не переведено 5|Однородные соты в гиперболическом пространстве|однородные гиперболические соты||Uniform honeycombs in hyperbolic space}}. Любой конечный [[однородный многогранник]] может быть спроецирован на его [[Описанная сфера|описанную сферу]] для образования однородных сот в сферическом пространстве.
 == Симметрия ==
-Построение с половинной симметрией, [3,4,4,1<sup>+</sup>], существует как {3,4<sup>1,1</sup>}, с чередованием двух видов (цветов) октаэдральных ячеек. {{CDD|node_1|3|node|4|node|4|node_h0}} ↔ {{CDD|node_1|3|node|split1-44|nodes}}. Второе построение с половинной симметрией, [3,4,1<sup>+</sup>,4]: {{CDD|node_1|3|node|4|node_h0|4|node}} ↔ {{CDD|node_1|split1|nodes|2a2b-cross|nodes}}. Более высокий индекс симметрии, [3,4,4<sup>*</sup>], индекс 8, существует с пирамидальной фундаментальной областью, [((3,∞,3)),((3,∞,3))]:  {{CDD|branchu|split2|node_1|split1|branchu}}.
+Построение с половинной симметрией, [3,4,4,1<sup>+</sup>], существует как {3,4<sup>1,1</sup>}, с чередованием двух видов (цветов) октаэдральных ячеек. {{CDD|node_1|3|node|4|node|4|node_h0}} ↔ {{CDD|node_1|3|node|split1-44|nodes}}. Второе построение с половинной [[Симметрия|симметрией]], [3,4,1<sup>+</sup>,4]: {{CDD|node_1|3|node|4|node_h0|4|node}} ↔ {{CDD|node_1|split1|nodes|2a2b-cross|nodes}}. Более высокий индекс симметрии, [3,4,4<sup>*</sup>], индекс 8, существует с пирамидальной фундаментальной областью, [((3,∞,3)),((3,∞,3))]:  {{CDD|branchu|split2|node_1|split1|branchu}}.
 Эти соты содержат {{CDD|node_1|split1|branchu}}, {{CDD|node_1|3|node|ultra|node}}, которые замощают 2-[[Гиперцикл (геометрия)|гиперциклические]] поверхности наподобие паракомпактных мозаик {{CDD|node_1|split1|branch|labelinfin}} или {{CDD|node_1|3|node|infin|node}}
@@ Строка 158: / Строка 158: @@
 |bgcolor=#e7dcc3|[[Диаграммы Коксетера — Дынкина|Диаграммы<br/>Коксетера — Дынкина]]||{{CDD|node_1|3|node_1|4|node|4|node_1}}<BR>{{CDD|node_1|split1|nodes_11|2a2b-cross|nodes_11}} ↔ {{CDD|node_1|3|node_1|4|node_h0|4|node_1}}
 |-
-|bgcolor=#e7dcc3|Ячейки||[[Усечённый октаэдр|t{3,4}]] [[Файл:Uniform polyhedron-43-t01.png|40px]]<BR>[[Квадратный паркет|rr{4,4}]][[Файл:Uniform tiling 44-t02.png|40px]]
+|bgcolor=#e7dcc3|Ячейки||[[Усечённый октаэдр|t{3,4}]] [[Файл:Uniform polyhedron-43-t01.png|40px]]<BR>[[Квадратный паркет|rr{4,4}]][[Файл:Uniform tiling 44-t02.svg|40px]]
 |-
 |bgcolor=#e7dcc3|Грани||[[треугольник]] {3}<BR>[[квадрат]] {4}<BR>[[Восьмиугольник|восьмиугольные]] {8}
@@ Строка 208: / Строка 208: @@
 |ref=Coxeter
 |заглавие={{не переведено 5|Regular Polytopes (книга)|Regular Polytopes||Regular Polytopes (book) }}
+|ссылка=https://archive.org/details/regularpolytopes00coxe_869
 |издание=3rd. ed.
 |издательство=Dover Publications
@@ Строка 213: / Строка 214: @@
 |isbn=0-486-61480-8
 |часть=Tables I and II: Regular polytopes and honeycombs
+|страницы=[https://archive.org/details/regularpolytopes00coxe_869/page/n317 294]–296
-|страницы=294–296
 }}
 *{{книга
@@ Строка 229: / Строка 230: @@
 |автор=Jeffrey R. Weeks
 |заглавие=The Shape of Space
+|год=2002
+|ссылка=https://archive.org/details/shapeofspace0000week_a8u9
 |издание=2nd
 |isbn=0-8247-0709-5
@@ Строка 234: / Строка 237: @@
 }}
 * {{книга
-|автор={{не переведено 5|Джонсон, Норман|N.W. Johnson||Norman Johnson (mathematician)}}
+|автор=[[Джонсон, Норман|N.W. Johnson]]
 |заглавие=Uniform Polytopes
 |серия=Manuscript
 }}
 **{{книга
-|автор={{не переведено 5|Джонсон, Норман|N.W. Johnson||Norman Johnson (mathematician)}}
+|автор=[[Джонсон, Норман|N.W. Johnson]]
 |заглавие=The Theory of Uniform Polytopes and Honeycombs
 |серия=Ph.D. Dissertation
@@ Строка 246: / Строка 249: @@
 }}
 ** {{книга
-|автор={{не переведено 5|Джонсон, Норман|N.W. Johnson||Norman Johnson (mathematician)}}
+|автор=[[Джонсон, Норман|N.W. Johnson]]
 |заглавие=Geometries and Transformations
 |год=2015
@@ Строка 263: / Строка 266: @@
 {{refend}}
-[[Категория:Honeycombs (geometry)]]
+[[Категория:Соты (геометрия)]]
 {{rq|checktranslate|style|grammar}}

Октаэдральные соты порядка 4: различия между версиями

Текущая версия от 19:33, 16 декабря 2024

Содержание

Симметрия

Связанные многогранники и соты

Спрямлённые восьмиугольные соты порядка 4

Усечённые восьмиугольные соты порядка 4

Скошенные восьмиугольные соты порядка 4

Скошено-усечённые восьмиугольные соты порядка 4

Струг-усечённые восьмиугольные соты порядка 4

Плосконосые восьмиугольные соты порядка 4

См. также

Примечания

Литература

Навигация

Октаэдральные соты порядка 4: различия между версиями

Текущая версия от 19:33, 16 декабря 2024

Симметрия

Связанные многогранники и соты

Спрямлённые восьмиугольные соты порядка 4

Усечённые восьмиугольные соты порядка 4

Скошенные восьмиугольные соты порядка 4

Скошено-усечённые восьмиугольные соты порядка 4

Струг-усечённые восьмиугольные соты порядка 4

Плосконосые восьмиугольные соты порядка 4

См. также

Примечания

Литература

Навигация

Поиск