Формула Гаусса

Формула Гаусса (соотношение Гаусса, уравнение Гаусса) — выражение для гауссовой кривизны поверхности в трёхмерном римановом пространстве через главные кривизны и секционную кривизну объемлющего пространства. В частности, если объемлющее пространство евклидово, то гауссова кривизна поверхности равна произведению главных кривизн в этой точке.

Это формула входит в уравнения Петерсона ― Кодацци.

Формулировка

Пусть $S$ — двумерная поверхность в трёхмерном римановом пространстве $M$. Тогда

$K_{S}(x)=K_{M}(\sigma _{S}(x))+\kappa _{1}(x)\kappa _{2}(x),$

где

• $K_{S}$ — гауссова кривизна поверхности $S$ в точке $x\in S$,
• $K_{M}(\sigma _{S}(x))$ — секционная кривизна пространства $M$ в направлении $\sigma _{S}(x)$, касательном к поверхности $S$ в точке $x$,
• $\kappa _{1}(x)$, $\kappa _{2}(x)$ — главные кривизны поверхности $S$ в точке $x.$

Вариации и обобщения

Формула допускает обобщения на произвольную размерность и коразмерность вложенного подмногообразия $S\subset M$. В этом случае тензор кривизны $R_{S}$ подмногообразия $S$ выражается через сужение тензора кривизны $R_{M}$ пространства $M$ на подпространство касательное к $S$ и вторую квадратичную форму $q_{S}$ подмногообразия $S$ на касательном пространстве $TS$ со значениями в нормальном пространстве к $S$:

$\langle R_{S}(X,Y)Z,W\rangle =\langle R_{M}(X,Y)Z,W\rangle +\langle q_{S}(Y,W),q_{S}(X,Z)\rangle -\langle q_{S}(X,W),q_{S}(Y,Z)\rangle .$

Следует иметь в виду, что разные авторы определяют тензор кривизны с разным знаком и порядком аргументов.

Из формулы Гаусса можно вывести следующие две формулу для скалярной кривизны $n$-мерного подмногообразия $S$ в объемлющем многообразии $M$:

$\mathrm {Sc} _{S}=\mathrm {Sc} _{M}+|H_{S}|^{2}-|q_{S}|^{2}=\mathrm {Sc} _{M}+{\tfrac {3}{2}}\cdot |H_{S}|^{2}-{\tfrac {n\cdot (n+2)}{2}}\cdot {\text{Ж}}_{S},$

где $H_{S}$ обозначает вектор средней кривизны, а ${\text{Ж}}_{S}$ — средний квадрат нормальных кривизн в точке.

Литература

• 1. Постников М. М. Риманова геометрия М.: Факториал, 1998, стр. 337.
• 2. Кобаяси Ш., Номидзу К. Основы дифференциальной геометрии М.: Наука, 1981, Т. 2, стр. 30.