Участник:Черный Дракон/Песочница: различия между версиями
Перейти к навигации
Перейти к поиску
Содержимое удалено Содержимое добавлено
Нет описания правки |
Нет описания правки |
||
| (не показано 29 промежуточных версий этого же участника) | |||
| Строка 1: | Строка 1: | ||
: [[Участник:Черный_Дракон/Теорема_Мюрхеда|Теорема Мюрхеда]] |
|||
Пусть <math>f(x) = \alpha e^{\beta x}</math> |
|||
: [[Участник:Черный_Дракон/Деление|Деление]] |
|||
: [[Машина Тьюринга|МТ]] : [[Участник:Черный_Дракон/Протокол_МТ|Протокол]] |
|||
Тогда <math>f^{(n)}(x) = \alpha \beta ^n e^{\beta x}</math> |
|||
: [[Участник:Черный_Дракон/LaTeX|LaTeX]] |
|||
: [[Участник:Черный_Дракон/Лекции|Лекции]] |
|||
И решением уравнения <math>f(x)=f^{(n)}(x)</math> будут функции<math>\alpha e^{\beta x}</math> (а также их суммы), для которых <math>\beta^n = 1</math>, т.е. <math>\beta = \cos \frac{2\pi k}{n}+i\sin\frac{2\pi k}{n},\quad k=0,1,...,n-1</math> |
|||
Для n=1: |
|||
: <math>\alpha e^x</math> |
|||
Для n=2: |
|||
: <math>\alpha e^x, \alpha e^{-x}</math> |
|||
: <math>\sinh x = \frac{e^x - e^{-x}}{2}</math>, т.е. гиперболический синус это сумма решений для n=2 <math>\left(\frac{1}{2}e^x,-\frac{1}{2}e^{-x}\right)</math>, а значит <math>\sinh'' x = \sinh x</math> |
|||
Для n=4: |
|||
: <math>\alpha e^x, \alpha e^{-x}, \alpha e^{ix}, \alpha e^{-ix}</math> |
|||
: <math>\sin x = \frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i}</math>, т.е. синус это сумма решений для n=4 <math>\left(\frac{1}{2i}e^ix,-\frac{1}{2i}e^{-ix}\right)</math>, следовательно <math>\sin ^{(4)} x = \sin x</math> |
|||
Остается только доказать, что функции вида <math>\alpha e^{\beta x}, \beta^n=1</math> (и их суммы) являются единственными решениями уравнений <math>f^{(n)} (x)=f(x)</math> |
|||
== Доказательства == |
|||
=== n=1 === |
|||
<math>f'(x)=f(x)</math> |
|||
<math>\frac{f'(x)}{f(x)}=1</math> |
|||
<math>(\ln(f(x)))'=1</math> |
|||
<math>\ln(f(x))=x+c</math> |
|||
<math>f(x)=e^{x+c}=e^c e^x=\alpha e^x</math> |
|||