Конец топологического пространства: различия между версиями

[отпатрулированная версия]

Содержимое удалено Содержимое добавлено

Линейный

Текущая версия от 11:01, 24 мая 2016

Конец топологического пространства — грубо говоря, компонента связности его «идеальной границы». То есть, каждый конец представляет собой способ двигаться к бесконечности в пространстве.

Добавление точки на каждом конце даёт компактификацию исходного пространства, известную как конечная компактификация.

Определение

Пусть X — топологическое пространство, и пусть

K_{1}\subset K_{2}\subset \dots

есть возрастающая последовательность компактных подмножеств в X, чьи внутренности покрывают X. Тогда X имеет один конец для каждой последовательности

U_{1}\supset U_{2}\supset \dots

,

где каждое U_n — это компонента связности дополнения X\K_n.

Несложно доказать, что число концов не зависит от конкретной последовательности {K_n} компактных множеств.

Примеры

Компактное пространство не имеет концов.
Вещественная прямая $\scriptstyle \mathbb {R}$ имеет два конца, ∞ и −∞.
Евклидово пространство $\scriptstyle \mathbb {R} ^{n}$ $\scriptstyle \mathbb {R} ^{n}$ при n > 1 имеет только один конец. Это происходит потому, что у $\scriptstyle \mathbb {R} ^{n}\setminus K$ $\scriptstyle \mathbb {R} ^{n}\setminus K$ есть только одна неограниченная компонента для любого компакта K.
- Более того, если М — компактное многообразие с краем, то число концов его внутренности равно числу компонент связности границы М.
Объединение n лучей, исходящих из начала координат в $\scriptstyle \mathbb {R} ^{2}$ , имеет n концов.
Бесконечное полное бинарное дерево имеет несчётное число концов. Эти концы можно рассматривать в качестве «кроны» бесконечного дерева. В конечной компактификации множество концов гомеоморфно Канторову множеству.

История

Понятие конца топологического пространства было введено Гансом Фройденталем в 1931 году.

Вариации и обобщения

Определение конца данное выше относится только к пространствам X, которые допускают исчерпывание компактами. Однако оно может быть обобщено следующим образом: пусть X — любое топологическое пространство, рассмотрим прямую систему {K} компактных подмножеств в X с отображениями включения. Рассмотрим соответствующую обратную систему связных компонент дополнений {π₀(X\K)}. Тогда множество концов в Х определяется как обратный предел этой обратной системы.

Ссылки

Diestel, Reinhard; Kühn, Daniela (2003), "Graph-theoretical versus topological ends of graphs", Journal of Combinatorial Theory, Series B, 87 (1): 197—206, doi:10.1016/S0095-8956(02)00034-5, MR 1967888.
Freudenthal, Hans (1931), "Über die Enden topologischer Räume und Gruppen", Mathematische Zeitschrift, 33, Springer Berlin / Heidelberg: 692—713, doi:10.1007/BF01174375, ISSN 0025-5874, Zbl 0002.05603
Ross Geoghegan, Topological methods in group theory, GTM-243 (2008), Springer ISBN 978-0-387-74611-1.
Peter Scott, Terry Wall, Topological methods in group theory, London Math. Soc. Lecture Note Ser., 36, Cambridge Univ. Press (1979) 137—203.

@@ Строка 1: / Строка 1: @@
-'''Концах [[Топологическое пространство|топологического пространства]]''' — грубо говоря [[Связное пространство|компонента связности]] его «идеальной границы».
+'''Конец [[Топологическое пространство|топологического пространства]]''' — грубо говоря, [[компонента связности]] его «идеальной границы».
 То есть, каждый конец представляет собой способ двигаться к [[Бесконечность|бесконечности]] в пространстве.
-Добавление точки на каждом конце дает [[Компактификация|компактификацию]] исходного пространства, известного как '''конечная компактификация'''.
+Добавление точки на каждом конце даёт [[Компактификация|компактификацию]] исходного пространства, известную как '''конечная компактификация'''.
 == Определение ==
-Пусть ''X'' [[топологическое пространство]], и пусть
+Пусть ''X'' — [[топологическое пространство]], и пусть
 : <math>K_1\subset K_2\subset\dots</math>
 есть возрастающая последовательность [[Компактное пространство|компактных подмножеств]] в ''X'', чьи [[Внутренность|внутренности]] [[Покрытие (математика)|покрывают]] ''X''.
 Тогда ''X'' имеет один '''конец''' для каждой последовательности
 : <math>U_1\supset U_2\supset\dots</math>,
-где каждый ''U''<sub>''n''</sub> это [[Связное пространство|связная компонента]]  ''X''\''K''<sub>''n''</sub>.
+где каждое ''U''<sub>''n''</sub> — это компонента связности дополнения ''X''\''K''<sub>''n''</sub>.
 Несложно доказать, что число концов не зависит от конкретной последовательности {''K''<sub>''n''</sub>} компактных множеств.
-==Конечная компактификация==
-В конечной компактификации X добавляется по одной идеальной точке k для каждого конца ''U''<sub>''i''</sub>.
-При этом окрестностью такой идеальной тоски k точки считается любоее множество состоящее из k и открытого множества V в X содержащего одино из можеств ''U''<sub>''i''</sub>.
-==Вариации и обобщения==
-Определение конца данное выше относится только к пространствам ''X'',
-которые допускают исчерпывания компактами.
-Однако оно может быть обобщено следующим образом: пусть ''X''  любое топологическое пространство, рассмотрим [[Индуктивный предел|прямую систему]] {''K''} компактных подмножеств в ''X'' с отображениями включения.
-Рассмотрим соответствующая обратная система связных компонент дополнений {''π''<sub>0</sub>(''X''\''K'')}.
-Тогда '''множество концов''' в ''Х'' определяется как [[Проективный предел|обратный предел]] этой обратной системы.
 == Примеры ==
 * [[Компактное пространство]] не имеет концов.
-* В вещественная прямая <math>\scriptstyle \mathbb{R} </math> имеет два конца,&#x20;∞ и&#x20;&#x2212;∞
+* Вещественная прямая <math>\scriptstyle \mathbb{R} </math> имеет два конца, ∞ и −∞.
-* Евклидовом пространстве <math>\scriptstyle \mathbb{R}^n </math> при n > 1 имеет только один конец. Это происходит потому, что <math>\scriptstyle \mathbb{R}^n \setminus K</math> есть только одна неограниченная компонента для любого компакта ''K''.
+* Евклидово пространство <math>\scriptstyle \mathbb{R}^n </math> при n > 1 имеет только один конец. Это происходит потому, что у <math>\scriptstyle \mathbb{R}^n \setminus K</math> есть только одна неограниченная компонента для любого компакта ''K''.
-* Более того, если ''М'' --- компактное [[Многообразие|многообразие с краем]], то число концов его внутренности равно числу компонент связности границы ''М''.
+** Более того, если ''М'' — компактное [[Многообразие|многообразие с краем]], то число концов его внутренности равно числу компонент связности границы ''М''.
-* Объединение ''n'' [[Прямая|лучей]], исходящими из начала координат в <math>\scriptstyle \mathbb{R}^2 </math> имеет ''n'' концов.
+* Объединение ''n'' [[Прямая|лучей]], исходящих из начала координат в <math>\scriptstyle \mathbb{R}^2 </math>, имеет ''n'' концов.
-* [[Двоичное дерево|бесконечное полное бинарное дерево]] имеет несчётное число концов.  Эти концы можно рассматривать в качестве “кроны” бесконечного дерева. В конечной компактификации, множество концов  гомеоморфно [[Канторово множество|Канторову множеству]].
+* [[Двоичное дерево|Бесконечное полное бинарное дерево]] имеет несчётное число концов. Эти концы можно рассматривать в качестве «кроны» бесконечного дерева. В конечной компактификации множество концов гомеоморфно [[Канторово множество|Канторову множеству]].
 == История ==
-Понятие конца топологического пространства было введено [[Фройденталь, Ханс|Ганс&#x20;Фройденталь]]&#x20;<span>(</span>[[:en:End_(topology)#CITEREFFreudenthal1931|1931]]<span>)</span>.
+Понятие конца топологического пространства было введено [[Фройденталь, Ханс|Гансом Фройденталем]] в 1931 году.
+== Вариации и обобщения ==
+Определение конца данное выше относится только к пространствам ''X'',
+которые допускают исчерпывание компактами.
+Однако оно может быть обобщено следующим образом: пусть ''X'' — любое топологическое пространство, рассмотрим [[Индуктивный предел|прямую систему]] {''K''} компактных подмножеств в ''X'' с отображениями включения.
+Рассмотрим соответствующую обратную систему связных компонент дополнений {''π''<sub>0</sub>(''X''\''K'')}.
+Тогда '''множество концов''' в ''Х'' определяется как [[Проективный предел|обратный предел]] этой обратной системы.
 == Ссылки ==
-* {{Шаблон:Citation|last1 = Diestel|first1 = Reinhard|last2 = Kühn|first2 = Daniela|author2-link = Daniela Kühn|doi = 10.1016/S0095-8956(02)00034-5|issue = 1|journal = [[Journal of Combinatorial Theory]]|series = Series B|mr = 1967888|pages = 197–206|title = Graph-theoretical versus topological ends of graphs|volume = 87|year = 2003}}.
+* {{Citation|last1 = Diestel|first1 = Reinhard|last2 = Kühn|first2 = Daniela|doi = 10.1016/S0095-8956(02)00034-5|issue = 1|journal = [[Journal of Combinatorial Theory]]|series = Series B|mr = 1967888|pages = 197–206|title = Graph-theoretical versus topological ends of graphs|volume = 87|year = 2003}}.
-* {{Шаблон:Citation|last1 = Freudenthal|first1 = Hans|author1-link = Hans Freudenthal|title = Über die Enden topologischer Räume und Gruppen|publisher = Springer Berlin / Heidelberg|doi = 10.1007/BF01174375|zbl = 0002.05603|year = 1931|journal = [[Mathematische Zeitschrift]]|issn = 0025-5874|volume = 33|pages = 692–713}}
+* {{Citation|last1 = Freudenthal|first1 = Hans|title = Über die Enden topologischer Räume und Gruppen|publisher = Springer Berlin / Heidelberg|doi = 10.1007/BF01174375|zbl = 0002.05603|year = 1931|journal = [[Mathematische Zeitschrift]]|issn = 0025-5874|volume = 33|pages = 692–713}}
-* Ross Geoghegan, ''Topological methods in group theory'', GTM-243 (2008), Springer [[:en:Special:BookSources/9780387746111|ISBN 978-0-387-74611-1]].
+* Ross Geoghegan, ''Topological methods in group theory'', GTM-243 (2008), Springer ISBN 978-0-387-74611-1.
-* Peter Scott, Terry Wall, ''Topological methods in group theory'', London Math. Soc. Lecture Note Ser., 36, Cambridge Univ. Press (1979) 137-203.
+* Peter Scott, Terry Wall, ''Topological methods in group theory'', London Math. Soc. Lecture Note Ser., 36, Cambridge Univ. Press (1979) 137—203.
 [[Категория:Общая топология]]

Конец топологического пространства: различия между версиями

Текущая версия от 11:01, 24 мая 2016

Содержание

Определение

Примеры

История

Вариации и обобщения

Ссылки

Навигация

Конец топологического пространства: различия между версиями

Текущая версия от 11:01, 24 мая 2016

Определение

Примеры

История

Вариации и обобщения

Ссылки

Навигация

Поиск