Внутренняя метрика: различия между версиями

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску
[непроверенная версия][отпатрулированная версия]
Содержимое удалено Содержимое добавлено
Литература: I added 2 references
 
(не показано 7 промежуточных версий 4 участников)
Строка 2: Строка 2:
== Определения ==
== Определения ==
Метрика <math>\rho</math> на пространстве <math>X</math> называется ''внутренней'', если для любых двух точек <math>x,y\in X</math> расстояние между ними определяется формулой <math>\rho(x,y) = \inf \{ L(\gamma) \},</math> где <math>L(\gamma)</math> обозначает длину пути <math>\gamma</math> и точная нижняя грань берётся по всем путям <math>\gamma</math>, соединяющим точки <math>x,y\in X</math>.
Пусть задано [[топологическое пространство]] <math>X</math> и выбран класс некоторых ''допустимых путей'' <math>\Gamma</math>, содержащийся во множестве всех непрерывных путей в <math>X</math>.

* На пространстве <math>X</math> задан ''функционал длины'', если на множестве <math>\Gamma</math> задана функция <math>L \colon \Gamma \to \mathbb{R}_+ \cup \infty</math>, ставящая в соответствие каждому <math>\gamma \in \Gamma</math> значение <math>L(\gamma)</math> (неотрицательное число или бесконечность), которое называется ''длиной пути'' <math>\gamma</math>.

* Метрика <math>\rho</math> на пространстве <math>X</math> называется ''внутренней'', если для любых двух точек <math>x,y\in X</math> расстояние между ними определяется формулой <math>\rho(x,y) = \inf \{ L(\gamma) \},</math> где инфинум берётся по всех допустимым путям, соединяющим точки <math>x,y\in X</math>.


=== Связанные определения ===
=== Связанные определения ===
* Пусть <math>x,y\in X</math> — две произвольные точки метрического пространства <math>\rho, X</math> и <math>\varepsilon</math> — произвольное положительное число. Точка <math>z_\epsilon \in X</math> называется их ''<math>\varepsilon</math>-серединой'', если <math>\rho(x,z_\varepsilon),\ \rho(y,z_\varepsilon)<\tfrac12\rho(x,y)+\varepsilon.</math>
* Пусть <math>x,y\in X</math> — две произвольные точки метрического пространства <math>\rho, X</math> и <math>\varepsilon</math> — произвольное положительное число. Точка <math>z_\varepsilon \in X</math> называется их ''<math>\varepsilon</math>-серединой'', если <math>\rho(x,z_\varepsilon),\ \rho(y,z_\varepsilon)<\tfrac12\rho(x,y)+\varepsilon.</math>


* Метрическое пространство <math>(X,\rho)</math> называется ''геодезическим'', если любые две точки <math>X</math> можно соединить [[кратчайшая|кратчайшей]].
* Метрическое пространство <math>(X,\rho)</math> называется ''геодезическим'', если любые две точки <math>X</math> можно соединить [[кратчайшая|кратчайшей]].


== Свойства ==
== Свойства ==
* Если <math>(X,\rho)</math> — пространство с внутренней метрикой, то для любых двух точек <math>x,y\in X</math> и любого <math>\varepsilon>0</math> существует их ''<math>\varepsilon</math>-середина''. В случае, когда [[метрическое пространство]] <math>(X,\rho)</math> [[Полное метрическое пространство|полное]], имеет место и обратное утверждение: если для любых двух точек <math>x,y\in X</math> и любого <math>\varepsilon>0</math> существует их ''<math>\varepsilon</math>-середина'', то эта метрика внутренняя.
* Если <math>(X,\rho)</math> — пространство с внутренней метрикой, то для любых двух точек <math>x,y\in X</math> и любого <math>\varepsilon>0</math> существует их ''<math>\varepsilon</math>-середина''.
**Лемма Менгера: В случае, когда [[метрическое пространство]] <math>(X,\rho)</math> [[Полное метрическое пространство|полное]], имеет место и обратное утверждение: если для любых двух точек <math>x,y\in X</math> и любого <math>\varepsilon>0</math> существует их ''<math>\varepsilon</math>-середина'', то эта метрика внутренняя.
* Полное метрическое пространство <math>(X,\rho)</math> с внутренней метрикой обладает следующим свойством: для любых двух точек <math>x,y\in X</math> и <math>\varepsilon>0</math> найдётся кривая длины <math><\rho(x,y)+\varepsilon,</math> соединяющая точки <math>x</math> и <math>y</math>. Кроме того, в полном метрическом пространстве с внутренней метрикой длина кратчайшей совпадает с расстоянием между её концами.
* Полное метрическое пространство <math>(X,\rho)</math> с внутренней метрикой обладает следующим свойством: для любых двух точек <math>x,y\in X</math> и <math>\varepsilon>0</math> найдётся кривая длины <math><\rho(x,y)+\varepsilon,</math> соединяющая точки <math>x</math> и <math>y</math>.
полном метрическом пространстве с внутренней метрикой длина кратчайшей совпадает с расстоянием между её концами.
* [[Теорема Хопфа — Ринова]]: Если <math>(X,\rho)</math> — [[локально компактное пространство|локально компактное]] [[Полное метрическое пространство|полное]] [[метрическое пространство]] с внутренней метрикой, то любые две точки <math>X</math> можно соединить кратчайшей. Более того, пространство <math>X</math> является [[ограниченно компактное пространство|ограниченно компактным]] (то есть все [[ограниченное множество|ограниченные]] [[замкнутое подмножество|замкнутые подмножества]] <math>X</math> являются [[компактное пространство|компактными]]).
* [[Теорема Хопфа — Ринова]]: Если <math>(X,\rho)</math> — [[локально компактное пространство|локально компактное]] [[Полное метрическое пространство|полное]] [[метрическое пространство]] с внутренней метрикой, то любые две точки <math>X</math> можно соединить кратчайшей. Более того, пространство <math>X</math> является [[ограниченно компактное пространство|ограниченно компактным]] (то есть все [[ограниченное множество|ограниченные]] [[замкнутое подмножество|замкнутые подмножества]] <math>X</math> являются [[компактное пространство|компактными]]).
*Локально компактное пространство с внутренней метрикой является геодезическим.


== См. также ==
== Примеры ==
* [[Риманово многообразие]]
* [[Риманово многообразие]]
* [[Субриманово многообразие]]
* [[Субриманово многообразие]]
Строка 24: Строка 23:


== Литература ==
== Литература ==
* ''Бураго Д.Ю., Бураго Ю.Д., Иванов С.В.'', Курс метрической геометрии. — Москва-Ижевск, Институт компьютерных исследований, 2004.
* ''Бураго Д.Ю., Бураго Ю.Д., Иванов С.В.'', Курс метрической геометрии. — Москва-Ижевск, Институт компьютерных исследований, 2004. ISBN 5-93972-300-4
*Herbert Busemann, Selected Works, (Athanase Papadopoulos, ed.) Volume I, 908 p., Springer International Publishing, 2018.
*Herbert Busemann, Selected Works, (Athanase Papadopoulos, ed.) Volume II, 842 p., Springer International Publishing, 2018.


[[Категория:Дифференциальная геометрия и топология]]
[[Категория:Дифференциальная геометрия и топология]]

Текущая версия от 04:00, 30 декабря 2023

Внутренняя метрика — метрика в пространстве, определяемая с помощью функционала длины, как инфимум длин всех путей (кривых), соединяющих данную пару точек.

Определения

[править | править код]

Метрика на пространстве называется внутренней, если для любых двух точек расстояние между ними определяется формулой где обозначает длину пути и точная нижняя грань берётся по всем путям , соединяющим точки .

Связанные определения

[править | править код]
  • Пусть — две произвольные точки метрического пространства и — произвольное положительное число. Точка называется их -серединой, если
  • Метрическое пространство называется геодезическим, если любые две точки можно соединить кратчайшей.
  • Если — пространство с внутренней метрикой, то для любых двух точек и любого существует их -середина.
    • Лемма Менгера: В случае, когда метрическое пространство полное, имеет место и обратное утверждение: если для любых двух точек и любого существует их -середина, то эта метрика внутренняя.
  • Полное метрическое пространство с внутренней метрикой обладает следующим свойством: для любых двух точек и найдётся кривая длины соединяющая точки и .
  • В полном метрическом пространстве с внутренней метрикой длина кратчайшей совпадает с расстоянием между её концами.
  • Теорема Хопфа — Ринова: Если локально компактное полное метрическое пространство с внутренней метрикой, то любые две точки можно соединить кратчайшей. Более того, пространство является ограниченно компактным (то есть все ограниченные замкнутые подмножества являются компактными).
  • Локально компактное пространство с внутренней метрикой является геодезическим.

Литература

[править | править код]
  • Бураго Д.Ю., Бураго Ю.Д., Иванов С.В., Курс метрической геометрии. — Москва-Ижевск, Институт компьютерных исследований, 2004. ISBN 5-93972-300-4