Эллипсоид вращения: различия между версиями

Интерактивная навигация по истории

[отпатрулированная версия]

[непроверенная версия]

← Предыдущая правка

Содержимое удалено Содержимое добавлено

ВизуальныйВики-текст

Линейный

Текущая версия от 05:51, 1 июня 2024

Эллипсо́ид враще́ния (сферо́ид) — поверхность вращения в трёхмерном пространстве, образованная при вращении эллипса вокруг одной из его главных осей.

Термин «сфероид» для обозначения двух вариантов эллипсоида вращения ввёл Архимед: «… мы полагаем следующее: если эллипс при сохранении неподвижной большей оси поворачивается, возвращаясь в исходное положение, то охватываемая им фигура будет называться вытянутым сфероидом (παραμακες σφαιροιδες). Если эллипс поворачивается при сохранении в неподвижности малой оси и возвращается назад, то охватываемая им фигура будет называться сплюснутым сфероидом (επιπλατυ σφαιροιδες).»^[1]

Эллипсоид вращения является частным случаем эллипсоида, две из трёх полуосей которого имеют одинаковую длину

( $a_{x}=a_{y}=a$ ):

{\frac {x^{2}}{a_{x}^{2}}}+{\frac {y^{2}}{a_{y}^{2}}}+{\frac {z^{2}}{b^{2}}}={\frac {\rho ^{2}}{a^{2}}}+{\frac {z^{2}}{b^{2}}}=1.

В частном случае, когда все три полуоси равны, исходный эллипс представляет собой окружность, а эллипсоид вращения вырождается в сферу.

Вытянутый эллипсоид вращения

Вытянутый эллипсоид вращения (вытянутый сфероид) можно также определить как геометрическое место точек пространства, для которых сумма расстояний до двух заданных точек (фокусов) постоянна.

Зеркало в виде вытянутого эллипсоида вращения обладает следующим свойством: лучи света, исходящие из одного из фокусов эллипсоида, после отражения соберутся в другом фокусе.

Сплюснутый эллипсоид вращения

Сплюснутый эллипсоид вращения (сплюснутый сфероид) можно также определить как геометрическое место точек пространства, для которых сумма расстояний до ближайшей и до наиболее удалённой точки заданной окружности постоянна.

Основные формулы

Площадь поверхности:

сплюснутый эллипсоид вращения ( $a>b$ ):

S=2\pi a\left(a+{\frac {b^{2}}{\sqrt {a^{2}-b^{2}}}}\ln \left({\frac {a+{\sqrt {a^{2}-b^{2}}}}{b}}\right)\right)=2\pi a^{2}\left(1+{\frac {1-e^{2}}{e}}\operatorname {Arth} e\right)=2\pi a^{2}+\pi {\frac {b^{2}}{e}}\ln \left({\frac {1+e}{1-e}}\right),

где

e^{2}=1-{\frac {b^{2}}{a^{2}}};

вытянутый эллипсоид вращения ( $a<b$ ):

S=2\pi a\left(a+{\frac {b^{2}}{\sqrt {b^{2}-a^{2}}}}\arcsin \left({\frac {\sqrt {b^{2}-a^{2}}}{b}}\right)\right)=2\pi a^{2}\left(1+{\frac {b}{ae}}\arcsin \,e\right),

где

e^{2}=1-{\frac {a^{2}}{b^{2}}}.

Объём:

V={\frac {4}{3}}\pi a^{2}b

Примеры

Форма Земли — с хорошим приближением представляет собой сплюснутый эллипсоид вращения^[2] с ${{\frac {a}{b}}\approx {\frac {301}{299}}}$ .

Применение

Свойство вытянутого эллипсоида вращения отражать лучи, направленные в один из фокусов, в другой фокус, используется в телескопах системы Грегори и в антеннах Грегори.

Слева — радиотелескоп РТ-70, исполненный по системе антенны Грегори.
Справа — оптическая схема телескопа Грегори; малое зеркало имеет форму вытянутого эллипсоида вращения

Примечания

↑ L. Russo. The forgotten revolution (неопр.). — Springer, Berlin, 2004. — С. 180.
↑ Эллипсоид вращения // Настольный энциклопедический словарь: В 8 томах. — М.: Изд. тов. А. Гарбель и К°, 1891—1895.

[1] L. Russo. The forgotten revolution (неопр.). — Springer, Berlin, 2004. — С. 180.

[2] Эллипсоид вращения // Настольный энциклопедический словарь: В 8 томах. — М.: Изд. тов. А. Гарбель и К°, 1891—1895.

[1]

[2]

@@ Строка 5: / Строка 5: @@
 Термин «сфероид» для обозначения двух вариантов эллипсоида вращения ввёл [[Архимед]]:
-«… мы полагаем следующее: если эллипс при сохранении неподвижной большей оси поворачивается, возвращаясь в исходное положение, то охватываемая им фигура будет называться вытянутым сфероидом (παραμακες σφαιροιδες). Если эллипс поворачивается при сохранении в неподвижности малой оси и возвращается назад, то охватываемая им фигура будет называться сплюснутым сфероидом (επιπλατυ σφαιροιδες).»
+«… мы полагаем следующее: если эллипс при сохранении неподвижной большей оси поворачивается, возвращаясь в исходное положение, то охватываемая им фигура будет называться вытянутым сфероидом (παραμακες σφαιροιδες). Если эллипс поворачивается при сохранении в неподвижности малой оси и возвращается назад, то охватываемая им фигура будет называться сплюснутым сфероидом (επιπλατυ σφαιροιδες).»<ref>{{книга |заглавие=The forgotten revolution |ссылка=https://archive.org/details/forgottenrevolut00russ_217 |издательство=Springer, Berlin |год=2004 |страницы=[https://archive.org/details/forgottenrevolut00russ_217/page/n184 180] |ref=L. Russo |язык=und |автор=L. Russo}}</ref>
-<ref>{{книга |заглавие=The forgotten revolution |ссылка=https://archive.org/details/forgottenrevolut00russ_217 |издательство=Springer, Berlin |год=2004 |страницы=[https://archive.org/details/forgottenrevolut00russ_217/page/n184 180] |ref=L. Russo |язык=und |автор=L. Russo}}</ref>
-Эллипсоид вращения является частным случаем [[эллипсоид]]а, две из трёх полуосей которого имеют одинаковую длину (<math>a_x=a_y=a</math>):
+Эллипсоид вращения является частным случаем [[эллипсоид]]а, две из трёх полуосей которого имеют одинаковую длину
-: <math>\frac{x^2}{{a_x}^2}+\frac{y^2}{{a_y}^2}+\frac{z^2}{b^2}=\frac{\rho^2}{a^2}+\frac{z^2}{b^2}=1.</math>
+(<math>a_x=a_y=a</math>):
+: <math>\frac{x^2}{a_x^2}+\frac{y^2}{a_y^2}+\frac{z^2}{b^2}=\frac{\rho^2}{a^2}+\frac{z^2}{b^2}=1.</math>
 В частном случае, когда все три полуоси равны, исходный эллипс представляет собой [[окружность]], а эллипсоид вращения вырождается в [[сфера|сферу]].
@@ Строка 24: / Строка 25: @@
 == Основные формулы ==
 * Площадь поверхности:
+:* сплюснутый эллипсоид вращения (<math>a > b</math>):
-: <math>2\pi a\left(a + \frac{b^2}{\sqrt{a^2-b^2}}\ln\left(\frac{a+\sqrt{a^2-b^2}}{b}\right)\right)</math>, (для сплюснутого, a > b)
+:: <math>S=2\pi a\left(a + \frac{b^2}{\sqrt{a^2-b^2}}\ln\left(\frac{a+\sqrt{a^2-b^2}}{b}\right)\right) = 2\pi a^2\left(1+\frac{1-e^2}{e}\operatorname{Arth}e\right)=2\pi a^2+\pi \frac{b^2}{e}\ln \left( \frac{1+e}{1-e}\right),</math> где <math>e^2=1-\frac{b^2}{a^2};</math>
+:* вытянутый эллипсоид вращения (<math>a < b</math>):
-: <math>2\pi a\left(a + \frac{b^2}{\sqrt{b^2-a^2}}\arcsin\left(\frac{\sqrt{b^2-a^2}}{b}\right)\right)</math>, (для вытянутого, a < b)
+:: <math>S=2\pi a\left(a + \frac{b^2}{\sqrt{b^2-a^2}}\arcsin\left(\frac{\sqrt{b^2-a^2}}{b}\right)\right) = 2\pi a^2\left(1+\frac{b}{ae}\arcsin \, e\right),</math> где <math>e^2=1-\frac{a^2}{b^2}.</math>
 * Объём:
-: <math>\frac{4}{3}\pi a^2 b</math>
+: <math>V=\frac{4}{3}\pi a^2 b</math>
+<!--Здесь <math>o\!\varepsilon</math> — [[угловой эксцентриситет]]:
+:: <math>o\!\varepsilon=\arccos\left(\frac{b}{a}\right)=2\operatorname{arctg}\left(\sqrt{\frac{a-b}{a+b}}\right),\quad\mathrm{}</math> (сплюснутый)
-Здесь <math>o\!\varepsilon</math> — [[угловой эксцентриситет]]:
-:: <math>o\!\varepsilon=\arccos\left(\frac{b}{a}\right)=2\arctan\left(\sqrt{\frac{a-b}{a+b}}\right)\quad\mathrm{}</math>, (сплюснутый)
+::: <math>=\arccos\left(\frac{a}{b}\right)=2\operatorname{arctg}\left(\sqrt{\frac{b-a}{b+a}}\right),\quad\mathrm{}</math> (вытянутый)
-::: <math>=\arccos\left(\frac{a}{b}\right)=2\arctan\left(\sqrt{\frac{b-a}{b+a}}\right)\quad\mathrm{}</math>, (вытянутый)
-:: ''(sin(oε) часто выражается как [[эксцентриситет]], ''«''e''»'')''
+:: ''(sin(oε) часто выражается как [[эксцентриситет]], ''«''e''»'')'' -->
 == Примеры ==
-[[Фигура Земли|Форма Земли]] — с хорошим приближением представляет собой сплюснутый эллипсоид вращения с <math>{\frac{a}{b}\approx{\frac{301}{299}}}</math>.
+[[Фигура Земли|Форма Земли]] — с хорошим приближением представляет собой сплюснутый эллипсоид вращения<ref>{{ВТ-НЭСГ|Эллипсоид вращения}}</ref> с  <math>{\frac{a}{b}\approx{\frac{301}{299}}}</math>.
 == Применение ==
@@ Строка 50: / Строка 51: @@
 {{geometry-stub}}
-[[Категория:Поверхности]]
+[[Категория:Квадрики]]
+[[Категория:Геометрические фигуры]]

Ссылки на внешние ресурсы
Тематические сайты	MathWorld
Словари и энциклопедии	Большая каталанская Большая норвежская Britannica (11-th) Britannica (онлайн) Настольный

Эллипсоид вращения: различия между версиями

Текущая версия от 05:51, 1 июня 2024

Содержание

Вытянутый эллипсоид вращения

Сплюснутый эллипсоид вращения

Основные формулы

Примеры

Применение

Примечания

Навигация

Эллипсоид вращения: различия между версиями

Текущая версия от 05:51, 1 июня 2024

Вытянутый эллипсоид вращения

Сплюснутый эллипсоид вращения

Основные формулы

Примеры

Применение

Примечания

Навигация

Поиск