Смешанное произведение: различия между версиями

[непроверенная версия]

[отпатрулированная версия]

Содержимое удалено Содержимое добавлено

Линейный

Текущая версия от 07:55, 2 октября 2024

Сме́шанное произведе́ние $(\mathbf {a} ,\mathbf {b} ,\mathbf {c} )$ векторов $\mathbf {a} ,\mathbf {b} ,\mathbf {c}$ — скалярное произведение вектора $\mathbf {a}$ на векторное произведение векторов $\mathbf {b}$ и $\mathbf {c}$ :

(\mathbf {a} ,\mathbf {b} ,\mathbf {c} )=\mathbf {a} \cdot \left(\mathbf {b} \times \mathbf {c} \right)

.

Иногда его называют тройным скалярным произведением векторов, по всей видимости из-за того, что результатом является скаляр (точнее — псевдоскаляр).

Геометрический смысл: модуль смешанного произведения численно равен объёму параллелепипеда, образованного векторами $\mathbf {a} ,\mathbf {b} ,\mathbf {c}$ .

Свойства

Смешанное произведение кососимметрично по отношению ко всем своим аргументам:

(\mathbf {a} ,\mathbf {b} ,\mathbf {c} )=(\mathbf {b} ,\mathbf {c} ,\mathbf {a} )=(\mathbf {c} ,\mathbf {a} ,\mathbf {b} )=-(\mathbf {b} ,\mathbf {a} ,\mathbf {c} )=-(\mathbf {c} ,\mathbf {b} ,\mathbf {a} )=-(\mathbf {a} ,\mathbf {c} ,\mathbf {b} );

т. е. перестановка любых двух сомножителей меняет знак произведения. Отсюда следует, что

\langle \mathbf {a} ,[\mathbf {b} ,\mathbf {c} ]\rangle =\langle [\mathbf {a} ,\mathbf {b} ],\mathbf {c} \rangle

Смешанное произведение $(\mathbf {a} ,\mathbf {b} ,\mathbf {c} )$ в правой декартовой системе координат (в ортонормированном базисе) равно определителю матрицы, составленной из векторов $\mathbf {a} ,\mathbf {b}$ и $\mathbf {c}$ :

(\mathbf {a} ,\mathbf {b} ,\mathbf {c} )={\begin{vmatrix}a_{x}&a_{y}&a_{z}\\b_{x}&b_{y}&b_{z}\\c_{x}&c_{y}&c_{z}\end{vmatrix}}.

Смешанное произведение $(\mathbf {a} ,\mathbf {b} ,\mathbf {c} )$ в левой декартовой системе координат (в ортонормированном базисе) равно определителю матрицы, составленной из векторов $\mathbf {a} ,\mathbf {b}$ и $\mathbf {c}$ , взятому со знаком «минус»:

(\mathbf {a} ,\mathbf {b} ,\mathbf {c} )=-{\begin{vmatrix}a_{x}&a_{y}&a_{z}\\b_{x}&b_{y}&b_{z}\\c_{x}&c_{y}&c_{z}\end{vmatrix}}.

В частности,

Если какие-то два вектора коллинеарны, то с любым третьим вектором они образуют смешанное произведение, равное нулю.
Если три вектора линейно зависимы (т. е. компланарны, лежат в одной плоскости), то их смешанное произведение равно нулю.
Геометрический смысл — Смешанное произведение $(\mathbf {a} ,\mathbf {b} ,\mathbf {c} )$ по абсолютному значению равно объёму параллелепипеда (см. рисунок), образованного векторами $\mathbf {a} ,\mathbf {b}$ и $\mathbf {c}$ ; знак зависит от того, является ли эта тройка векторов правой или левой.
Квадрат смешанного произведения векторов равен определителю Грама, определяемому ими^[1].

Смешанное произведение удобно записывается с помощью символа (тензора) Леви-Чивита:

(\mathbf {a} ,\mathbf {b} ,\mathbf {c} )=\sum _{i,j,k}\varepsilon _{ijk}a^{i}b^{j}c^{k}

(в последней формуле в ортонормированном базисе все индексы можно писать нижними; в этом случае эта формула совершенно прямо повторяет формулу с определителем, правда, при этом автоматически получается множитель (-1) для левых базисов).

Обобщение

В $n$ -мерном пространстве естественным обобщением смешанного произведения, имеющего смысл ориентированного объема, является определитель матрицы $n\times n$ , составленной из строк или столбцов, заполненных координатами векторов. Смысл этой величины — ориентированный $n$ -мерный объем (подразумевается стандартный базис и тривиальная метрика).

В произвольном базисе произвольной размерности смешанное произведение удобно записывается с помощью символа (тензора) Леви-Чивиты соответствующей размерности:

(\mathbf {a} ,\mathbf {b} ,\mathbf {c} ,\ldots )=\sum _{i,j,k,\ldots }\varepsilon _{ijk\ldots }a^{i}b^{j}c^{k}\ldots

В двумерном пространстве таковым служит псевдоскалярное произведение.

См. также

Примечания

↑ Гусятников П. Б., Резниченко С. В. Векторная алгебра в примерах и задачах, 1985, Глава 4. Векторное и смешанное произведения. § 4. Смешанное произведение векторов… Пример 19*, с. 215.

Источники

Гусятников П. Б., Резниченко С. В. Векторная алгебра в примерах и задачах: Учеб. пособие для студентов инж.-тех. спец. вузов. М.: Высшая школа, 1985. 232 с., ил.

Ссылки

Смешанное произведение векторов и его свойства. Примеры решения задач

[_304c29a4fd35b094-1] Гусятников П. Б., Резниченко С. В. Векторная алгебра в примерах и задачах, 1985, Глава 4. Векторное и смешанное произведения. § 4. Смешанное произведение векторов… Пример 19*, с. 215.

[1]

@@ Строка 1: / Строка 1: @@
-'''Сме́шанное произведе́ние''' <math>(\mathbf{a}, \mathbf{b}, \mathbf{c})</math> [[вектор]]ов <math>\mathbf{a}, \mathbf{b}, \mathbf{c}</math> — [[скалярное произведение]] [[вектор]]а <math>\mathbf{a}</math> на [[векторное произведение]] [[вектор]]ов <math>\mathbf{b}</math> и <math>\mathbf{c}</math>:
+'''Сме́шанное произведе́ние''' <math>(\mathbf{a}, \mathbf{b}, \mathbf{c})</math> [[Вектор (математика)|векторов]] <math>\mathbf{a}, \mathbf{b}, \mathbf{c}</math> — [[скалярное произведение]] [[Вектор (математика)|вектора]] <math>\mathbf{a}</math> на [[векторное произведение]] [[Вектор (математика)|векторов]] <math>\mathbf{b}</math> и <math>\mathbf{c}</math>:
-: <math>(\mathbf{a}, \mathbf{b}, \mathbf c) = \langle\mathbf a, [\mathbf b, \mathbf c]\rangle = \mathbf{a}\cdot\left(\mathbf{b}\times\mathbf c\right)</math>.
+: <math>(\mathbf{a}, \mathbf{b}, \mathbf c) = \mathbf{a}\cdot\left(\mathbf{b}\times\mathbf c\right)</math>.
 Иногда его называют ''тройным скалярным произведением'' векторов, по всей видимости из-за того, что результатом является [[скаляр]] (точнее — [[псевдоскаляр]]).
-''Геометрический смысл:'' Смешанное произведение численно равно объёму [[параллелепипед]]а, образованного [[вектор]]ами <math>\mathbf a, \mathbf b, \mathbf c</math>.
+''Геометрический смысл:'' модуль смешанного произведения численно равен объёму [[параллелепипед]]а, образованного [[Вектор (математика)|векторами]] <math>\mathbf a, \mathbf b, \mathbf c</math>.
 == Свойства ==
@@ Строка 11: / Строка 11: @@
 : т.&nbsp;е. перестановка любых двух сомножителей меняет знак произведения. Отсюда следует, что
 : <math>\lang \mathbf a, [\mathbf b, \mathbf c]\rang = \lang [\mathbf a, \mathbf b], \mathbf c\rang</math>
-* Смешанное произведение <math> ( \mathbf{a}, \mathbf{b}, \mathbf{c} ) </math> в правой декартовой системе координат (в ортонормированном базисе) равно [[определитель|определителю]] [[Матрица (математика)|матрицы]], составленной из векторов <math> \mathbf{a}, \mathbf{b}</math> и <math>\mathbf{c}</math>:
+* Смешанное произведение <math> ( \mathbf{a}, \mathbf{b}, \mathbf{c} ) </math> в правой [[Декартова система координат|декартовой системе координат]] (в ортонормированном базисе) равно [[определитель|определителю]] [[Матрица (математика)|матрицы]], составленной из векторов <math> \mathbf{a}, \mathbf{b}</math> и <math>\mathbf{c}</math>:
 : <math> ( \mathbf{a}, \mathbf{b}, \mathbf{c} ) = \begin{vmatrix} a_x & a_y & a_z \\ b_x & b_y & b_z \\ c_x & c_y & c_z \end{vmatrix}. </math>
+* Смешанное произведение <math> ( \mathbf{a}, \mathbf{b}, \mathbf{c} ) </math> в левой декартовой системе координат (в ортонормированном базисе) равно [[определитель|определителю]] [[Матрица (математика)|матрицы]], составленной из векторов <math> \mathbf{a}, \mathbf{b}</math> и <math>\mathbf{c}</math>, взятому со знаком «минус»:
+: <math> ( \mathbf{a}, \mathbf{b}, \mathbf{c} ) = - \begin{vmatrix} a_x & a_y & a_z \\ b_x & b_y & b_z \\ c_x & c_y & c_z \end{vmatrix}. </math>
 : В частности,
-** Если три вектора [[линейная независимость|линейно зависимы]] (т.&nbsp;е. компланарны, лежат в одной плоскости), то их смешанное произведение равно нулю.
+* Если какие-то два вектора коллинеарны, то с любым третьим вектором они образуют смешанное произведение, равное нулю.
+* Если три вектора [[линейная независимость|линейно зависимы]] (т.&nbsp;е. компланарны, лежат в одной плоскости), то их смешанное произведение равно нулю.
-* Геометрический смысл — Смешанное произведение <math> ( \mathbf{a}, \mathbf{b}, \mathbf{c} ) </math> по абсолютному значению равно объёму [[параллелепипед]]а, образованного векторами <math> \mathbf{a}, \mathbf{b}</math> и <math>\mathbf{c};</math> знак зависит от того, является ли эта тройка векторов правой или левой.
+* Геометрический смысл — Смешанное произведение <math> ( \mathbf{a}, \mathbf{b}, \mathbf{c} ) </math> по абсолютному значению равно объёму [[параллелепипед]]а (см. рисунок), образованного векторами <math> \mathbf{a}, \mathbf{b}</math> и <math>\mathbf{c}</math>; знак зависит от того, является ли эта тройка векторов правой или левой.
+* Квадрат смешанного произведения векторов равен [[определитель Грама|определителю Грама]], определяемому ими{{sfn|''Гусятников П. Б., Резниченко С. В.'' Векторная алгебра в примерах и задачах, 1985|loc=Глава 4. Векторное и смешанное произведения. § 4. Смешанное произведение векторов… Пример 19*, с. 215}}.
+[[Файл:Parallelepiped volume.svg|right|thumb|240px|Три вектора, определяющие параллелепипед.]]
-* Смешанное произведение удобно записывается с помощью [[символ Леви-Чивита|символа (тензора) Леви-Чивиты]]:
-: <math>(\mathbf a,\mathbf b,\mathbf c) = \sum_{i,j,k} \varepsilon_{ijk}a^i b^j c^k </math>
+* Смешанное произведение удобно записывается с помощью [[символ Леви-Чивита|символа (тензора) Леви-Чивита]]:
-(в последней формуле в ортонормированном базисе все индексы можно писать нижними; в этом случае эта формула совершенно прямо повторяет формулу с определителем, правда, при этом автоматически получается множитель (-1) для левых базисов).
+:: <math>(\mathbf a,\mathbf b,\mathbf c) = \sum_{i,j,k} \varepsilon_{ijk}a^i b^j c^k </math>
+: (в последней формуле в ортонормированном базисе все индексы можно писать нижними; в этом случае эта формула совершенно прямо повторяет формулу с определителем, правда, при этом автоматически получается множитель (-1) для левых базисов).
 == Обобщение ==
-В <math>\ n</math>-мерном пространстве естественным обобщением смешанного произведения, имеющего смысл ориентированного объема, является определитель матрицы <math> n \times n </math>, составленной из строк или столбцов, заполненных координатами векторов. Смысл этой величины — ориентированный <math>\ n</math>-мерный объем (подразумевается стандартный базис и тривиальная метрика).
+В <math>n</math>-мерном пространстве естественным обобщением смешанного произведения, имеющего смысл ориентированного объема, является определитель матрицы <math> n \times n </math>, составленной из строк или столбцов, заполненных координатами векторов. Смысл этой величины — ориентированный <math>n</math>-мерный объем (подразумевается стандартный базис и тривиальная метрика).
-В произвольном базисе произвольной размерности смешанное произведение удобно записывается с помощью [[символ Леви-Чивита|символа (тензора) Леви-Чивиты]] соответствующей размерности:
+В произвольном базисе произвольной размерности смешанное произведение удобно записывается с помощью [[Символ Леви-Чивиты|символа (тензора) Леви-Чивиты]] соответствующей размерности:
 : <math>(\mathbf a,\mathbf b,\mathbf c, \ldots) = \sum_{i,j,k,\ldots} \varepsilon_{ijk\ldots}a^i b^j c^k \ldots</math>
 В двумерном пространстве таковым служит [[псевдоскалярное произведение]].
 == См. также ==
-* [[Тройное векторное произведение]]
+* [[Двойное векторное произведение]]
 * [[Векторное произведение]]
 * [[Скалярное произведение]]
+* [[Псевдоскалярное произведение]]
+== Примечания ==
+{{примечания}}
+== Источники ==
+* {{h|''Гусятников П. Б., Резниченко С. В.'' Векторная алгебра в примерах и задачах, 1985|3=
+''Гусятников П. Б., Резниченко С. В.'' Векторная алгебра в примерах и задачах: Учеб. пособие для студентов инж.-тех. спец. вузов. М.: Высшая школа, 1985. 232 с., ил.
+}}
 == Ссылки ==
+* [http://mathhelpplanet.com/static.php?p=smeshannoe-proizvedenie-vektorov-i-yego-svoistva Смешанное произведение векторов и его свойства. Примеры решения задач]
+{{Вектора и матрицы}}
-{{math-stub}}
-[[Категория:Векторный анализ]]
-[[Категория:Векторы]]
+[[Категория:Векторный анализ]]
-[[cs:Smíšený součin]]
+[[Категория:Тернарные операции]]
-[[de:Spatprodukt]]
-[[en:Triple product]]
-[[fr:Calcul vectoriel en géométrie euclidienne#Produit mixte]]
-[[he:מכפלה מעורבת]]
-[[hu:Vegyes szorzat]]
-[[ko:삼중곱]]
-[[pl:Iloczyn mieszany]]
-[[pt:Produto triplo]]
-[[sl:Mešani produkt]]
-[[sv:Trippelprodukt]]
-[[zh:三重积]]

Смешанное произведение: различия между версиями

Текущая версия от 07:55, 2 октября 2024

Содержание

Свойства

Обобщение

См. также

Примечания

Источники

Ссылки

Навигация

Смешанное произведение: различия между версиями

Текущая версия от 07:55, 2 октября 2024

Свойства

Обобщение

См. также

Примечания

Источники

Ссылки

Навигация

Поиск