Энтропия в классической термодинамике: различия между версиями
[непроверенная версия] | [непроверенная версия] |
→Ошибки в понимании энтропии как меры беспорядка: орфография |
пунктуация |
||
(не показано 298 промежуточных версий, сделанных более чем 100 участниками) | |||
Строка 1: | Строка 1: | ||
{{Физическая величина |
|||
| Название = Энтропия |
|||
| Символ = <math>\ S, \, \eta</math> |
|||
| Размерность = <math>L^2MT^{-2}\theta^{-1}</math> |
|||
| СИ = [[Джоуль|Дж]]/[[Кельвин|К]] |
|||
| СГС = [[эрг]]/[[Кельвин|К]] |
|||
| Примечания = |
|||
}} |
|||
{{Термодинамические величины}} |
{{Термодинамические величины}} |
||
{{Wikiquote|Термодинамика#Термодинамическая энтропия|Термодинамическая энтропия}} |
|||
{{Родственные проекты|Category:Entropy|Термодинамическая энтропия}} |
|||
'''Термодинамическая энтропия''' <math> S </math>, часто именуемая просто [[энтропия|энтропией]], — [[физическая величина]], используемая для описания [[Термодинамическая система|термодинамической системы]], одна из основных [[термодинамические величины|термодинамических величин]]; энтропия и [[температура]] — сопряжённые термодинамические величины, необходимые для описания термических свойств системы и [[Тепловой процесс|тепловых процессов]] в ней. Энтропия является [[Термодинамическая функция состояния|функцией состояния]] и широко используется в [[Термодинамика|термодинамике]], в том числе [[Техническая термодинамика|технической]] (анализ работы [[Тепловая машина|тепловых машин]] и [[Холодильная установка|холодильных установок]]) и [[Химическая термодинамика|химической]] (расчёт [[Химическое равновесие|равновесий химических реакций]]). |
|||
'''Термодинами́ческая энтропи́я''' ''S'', часто просто именуемая '''энтропия''', в химии и термодинамике является функцией состояния термодинамической системы; её существование постулируется [[Второе начало термодинамики|вторым началом термодинамики]]. |
|||
Утверждение о существовании энтропии и перечисление её свойств составляют содержание [[Второе начало термодинамики|второго]] и [[Третье начало термодинамики|третьего начал термодинамики]]. Значимость данной величины для [[Физика|физики]] обусловлена тем, что наряду с [[Температура|температурой]] её используют для описания термических явлений и термических свойств макроскопических объектов. Качественные представления о термическом состоянии системы связаны с тепловыми ощущениями, выражаемыми понятиями «[[Теплота|теплее]]», «[[холод]]нее», «[[нагрев]]», «[[Теплопередача|охлаждение]]», «степень нагретости». К термическим относят свойства, характеризующие поведение [[Вещество|вещества]] при его нагреве или охлаждении: [[термические коэффициенты]], [[теплоёмкость]] и другие [[калорические коэффициенты]], [[Закон Кюри|постоянную Кюри]], показатели [[термостойкость|термостойкости]], пределы [[огнестойкость|огнестойкости]] и т. д.; примерами термических явлений служат [[термическое расширение]], [[пироэлектричество]], [[электрокалорический эффект]], [[теплопроводность]], изменение [[Агрегатное состояние|агрегатного состояния]] — [[кристаллизация]] и замерзание, [[плавление]] и [[таяние]], [[испарение]], [[кипение]], [[Сублимация (физика)|сублимация]] ([[возгонка]]), [[конденсация]] и другие процессы. |
|||
== Термодинамическое определение энтропии == |
|||
== Историческая справка == |
|||
Понятие энтропии было впервые введено в [[1865]] году [[Клаузиус, Рудольф|Рудольфом Клаузиусом]]. Он определил ''изменение энтропии'' термодинамической системы при ''обратимом процессе'' как отношение изменения общего количества [[тепло|тепла]] ''ΔQ'' к величине [[температура|абсолютной температуры]] ''T'': |
|||
Понятие энтропии, её обозначение и название были введены [[Клаузиус, Рудольф|Р. Клаузиусом]] (1865). Абстрактность этого понятия — одного из краеугольных камней термодинамики — и разнообразие подходов к обоснованию существования энтропии как термодинамической величины привели к появлению [[Аксиоматика термодинамики|аксиоматики термодинамики]]. |
|||
== Термодинамическая дефиниция энтропии == |
|||
:<math>\Delta S = \frac{\Delta Q}{T}.</math> |
|||
В термодинамике энтропию вводят, обосновывая её существование, перечисляя её свойства и строя для неё [[Шкала измерений|шкалу измерения]] на основании [[Первое начало термодинамики|первого]], второго и третьего начал термодинамики. |
|||
В термодинамических формализмах Клаузиуса{{sfn|Клаузиус|1934}} и [[Каратеодори, Константин|Каратеодори]]{{sfn|Каратеодори}} энтропию вводят одновременно с [[абсолютная термодинамическая температура|абсолютной термодинамической температурой]]. Математический аппарат термодинамики [[Гиббс, Джозайя Уиллард|Гиббса]]{{sfn|Гиббс Дж. В., Термодинамика. Статистическая механика|1982}} основан на использовании энтропии в качестве независимой термодинамической переменной, тогда как температура — естественный кандидат на эту роль, вводится как функция [[Внутренняя энергия|внутренней энергии]] и энтропии. Наконец, в [[Рациональная термодинамика|рациональной термодинамике]] энтропию выражают через внутреннюю энергию и температуру, которые рассматривают как основные неопределяемые переменные теории. |
|||
Рудольф Клаузиус дал величине ''S'' имя «энтропия», происходящее от греческого слова ''τρoπή'', «изменение» (изменение, превращение, преобразование). Данное равенство относится к изменению энтропии, не определяя полностью саму энтропию. |
|||
=== Энтропия простой системы === |
|||
Эта формула применима только для изотермического процесса (происходящего при постоянной температуре). Её обобщение на случай произвольного [[квазистатический процесс|квазистатического процесса]] выглядит так: |
|||
Первое начало (закон) термодинамики устанавливает связь между внутренней энергией, [[Термодинамическая работа|работой]] и [[Теплота|теплотой]]: одна из этих физических величин задаётся с помощью двух других, которые, будучи исходными объектами теории, в рамках самой этой теории определены быть не могут просто потому, что не существует понятий более общих, под которые их можно было бы подвести{{sfn|Хазен|2000|loc=глава VI, раздел 4. Полная и замкнутая формулировка аксиоматического определения энтропии и начал термодинамики.}}. Термодинамика заимствует понятия энергии и работы из других разделов физики{{sfn|Петров Н., Бранков Й., Современные проблемы термодинамики|1986|с=35}}{{sfn|Семенченко|1966|с=54}}, тогда как определение количеству теплоты, наоборот, даётся только и именно в термодинамике. Согласно Клаузиусу, теплоту <math>Q</math> определяют через внутреннюю энергию <math>U</math> и работу <math>W</math>{{sfn|Clausius|1887|S=33}}{{sfn|Борн|1964|с=230–231}}. При использовании [[Первое начало термодинамики#Правила знаков для теплоты и работы|термодинамического правила знаков]]<ref>Знак <math>+</math> или <math>-</math> перед <math>W</math> есть результат соглашения, какую работу считать положительной — совершаемую системой или совершаемую над системой. Встречающиеся в научной и учебной литературе варианты формулировок первого начала, отличающиеся знаками входящих в формулы величин, эквивалентны друг другу.</ref> математическое выражение для первого начала термодинамики в формулировке Клаузиуса имеет вид{{sfn|Борн|1964|с=231}}: |
|||
{{EF|:|<math> Q \equiv \Delta U - W.</math>|style=|ref= Дефиниция теплоты по Клаузиусу|center=}} |
|||
:<math>dS = \frac{\delta Q}{T}</math>, |
|||
Первое начало в этой формулировке вводит теплоту как физическую характеристику процесса, поведение которой определяется законом сохранения энергии, но не определяет её как математический объект. Детализировать [[Дефиниция|дефиницию]] теплоты проще всего для [[Равновесный процесс|равновесного процесса]], когда работу, а следовательно и теплоту, можно выразить через переменные состояния. Для бесконечно малого<ref>Элементарным (''инфинитезимальным'') называют процесс, для которого разница между начальным и конечным состояниями системы бесконечно мала.</ref> [[Равновесный процесс|равновесного процесса]] в простой системе<ref>Простой называют [[Термодинамическая система#Классификация термодинамических систем|закрытую термодеформационную систему]], представляющую собой [[Однородная среда|однородную]] [[Изотропная среда|изотропную среду]] ([[Термодинамическая фаза|фазу]]) неизменного [[Химический состав|химического состава]] и [[масса|массы]], описываемую посредством [[Переменная величина|переменных]] <math> P </math> (давление), <math> V </math> (объём) и <math> T </math> (температура). Такая система обладает двумя [[Правило фаз|термодинамическими степенями свободы]], то есть только две [[Параметр состояния|переменные состояния]] из трёх перечисленных являются независимыми. К простым системам относятся, в частности, [[газ]]ы и [[Жидкость|жидкости]] ([[Флюид (физика)|флюиды]]) в ситуации, когда [[Поверхностные явления|поверхностными эффектами]] и наличием внешних [[Силовое поле (физика)|силовых полей]] можно пренебречь. В более широкой трактовке под простой понимают любую термодеформационную систему с двумя степенями свободы, то есть такую термодинамическую систему, единственным видом работы которой является работа расширения (Сычёв В. В., Дифференциальные уравнения термодинамики, 1991, с. 9).</ref> возможен единственный вид работы — работа расширения/сжатия <math>W_v</math>: |
|||
где <math>dS</math> - приращение (дифференциал) энтропии, а <math>\delta Q</math> - бесконечно малое приращение количества теплоты. |
|||
{{EF|:|<math> \delta W_v = -PdV , </math>|style=|ref=Работа расширения/сжатия для равновесного процесса в простой системе|center=}} |
|||
Необходимо обратить внимание на то, что рассматриваемое термодинамическое определение применимо только к квазистатическим процессам (состоящим из непрерывно следующих друг за другом состояний равновесия). |
|||
где <math>P</math> — давление, <math>V</math> — объём; символ <math> \delta </math> означает, что соответствующая величина относится к бесконечно малому процессу. Таким образом, для первого начала термодинамики в формулировке Клаузиуса получаем{{sfn|Сивухин Д. В., Термодинамика и молекулярная физика|2005|с=59}}{{sfn|Радушкевич Л. В., Курс термодинамики|1971|с=36}}: |
|||
Поскольку энтропия является [[функция состояния|функцией состояния]], в левой части равенства стоит её [[полный дифференциал]]. Напротив, количество теплоты является [[функция процесса|функцией процесса]], в котором эта теплота была передана, поэтому <math>\delta Q</math> считать полным дифференциалом нельзя. |
|||
{{EF|:|<math> \delta Q = d U + PdV,</math>|style=|ref=Первое начало для равновесного процесса в простой системе|center=}} |
|||
Энтропия, таким образом, согласно вышеописанному, определена вплоть до произвольной аддитивной постоянной. [[Третье начало термодинамики]] позволяет определить её точнее: предел величины энтропии равновесной системы при стремлении температуры к абсолютному нулю полагают равным нулю. |
|||
где <math> \delta Q </math> — элементарная (бесконечно малая) теплота процесса. |
|||
== Статистическое определение энтропии: принцип Больцмана == |
|||
Это выражение, определяющее элементарную теплоту как математический объект, есть линейная [[дифференциальная форма]] (форма [[Пфафф, Иоганн Фридрих|Пфаффа]]) для двух независимых переменных. Для данной пфаффовой формы [[Эйлер, Леонард#Вклад в науку|условие интегрируемости Эйлера]] не выполняется, то есть <math> \delta Q </math> есть [[функционал]]{{sfn|Базаров И. П., Термодинамика|2010|с=37}}, а не полный дифференциал несуществующей функции <math> Q(U,V) </math>{{sfn|Радушкевич Л. В., Курс термодинамики|1971|с=36}}. Из теории дифференциальных форм известно, однако, что если выполняется [[Пфаффово уравнение#Интегрирование пфаффовых систем|условие Фробениуса]]<ref>Условия интегрируемости дифференциальных полиномов подробно рассмотрены в книге ''Белоконь Н. И.'', Термодинамика, 1954, с. 137—138.</ref>, то пфаффова форма имеет [[Простейшие дифференциальные уравнения первого порядка#Интегрирующий множитель|интегрирующий множитель/делитель]], превращающий эту форму в полный дифференциал и представляющий собой функцию тех же независимых переменных, которые входят в форму Пфаффа{{sfn|Кричевский И. Р., Понятия и основы термодинамики|1970|с=270}}. Пфаффовы формы, имеющие интегрирующий множитель/делитель называют ''голономными''; пфаффова форма двух переменных всегда голономна (теорема Коши){{sfn|Сычёв|1991|с=22}}{{sfn|Путилов К. А., Термодинамика|1971|с=13}}. Поэтому для простых равновесных систем существует функция состояния <math> S(U,V) </math>, полный дифференциал которой равен |
|||
В [[1877]] году [[Больцман, Людвиг|Людвиг Больцман]] нашёл, что энтропия системы может относиться к количеству возможных «микросостояний» (микроскопических состояний), согласующихся с их термодинамическими свойствами. Рассмотрим, например, [[идеальный газ]] в сосуде. Микросостояние определено как позиции и импульсы (моменты движения) каждого составляющего систему атома. Связность предъявляет к нам требования рассматривать только те микросостояния, для которых: |
|||
(I) месторасположения всех частей расположены в рамках сосуда, |
|||
(II) для получения общей энергии газа кинетические энергии атомов суммируются. |
|||
Больцман постулировал, что: |
|||
{{EF|:|<math>dS ~\equiv~ \frac{\delta Q}{T} ~=~ \frac{1}{T} dU ~+~ \frac{P}{T} dV , </math>|style=|ref=Дефиниция энтропии простой равновесной системы|center=}} |
|||
:<math>S = k (\ln \Omega) \,\!,</math> |
|||
где |
|||
где константу ''k=1,38•10<sup>–23</sup> Дж/К'' мы знаем теперь как [[постоянная Больцмана|постоянную Больцмана]], а ''Ω'' является числом микросостояний, которые возможны в имеющемся макроскопическом состоянии (статистический вес состояния). Этот постулат, известный как принцип Больцмана, может быть оценен как начало [[статистическая механика|статистической механики]], которая описывает термодинамические системы, используя статистическое поведение составляющих их компонентов. Принцип Больцмана связывает микроскопические свойства системы (Ω) с одним из её термодинамических свойств (''S''). |
|||
: <math>T = T(U,V)</math> |
|||
есть интегрирующий делитель для {{eqref|Первое начало для равновесного процесса в простой системе|формы Пфаффа}}. Клаузиус назвал функцию состояния <math>S</math> энтропией (от греческого ἐντροπία — изменение, превращение, преобразование). Второе начало термодинамики утверждает, что энтропия существует для любых равновесных систем, а не только простых, и что интегрирующий делитель <math>T</math> есть [[Температура#Эмпирическая, абсолютная и термодинамическая температуры|абсолютная термодинамическая температура]]{{sfn|Квасников|2002|с=43}}{{sfn|Сычёв|1991|с=24}}{{sfn|Радушкевич Л. В., Курс термодинамики|1971|с=111}}{{sfn|Путилов К. А., Термодинамика|1971|с=13}}. [[Неравновесная термодинамика]] распространяет представление о ''локальной энтропии'' и ''локальной температуре'' на любые термодинамические системы. |
|||
Согласно определению Больцмана, энтропия является просто функцией состояния. Так как ''Ω'' может быть только [[натуральное число|натуральным числом]] (1,2,3,…), то энтропия Больцмана должна быть ''положительной'' — исходя из свойств [[логарифм]]а. |
|||
Интегрирование {{eqref|Энтропия простой равновесной системы|уравнения для энтропии}} приводит к появлению в выражении для функции <math>S(U,V)</math> произвольной постоянной, зависящей от выбора начальной точки отсчёта энтропии. Произвол в выборе начального состояния для энтропии устраняет [[Третье начало термодинамики|третий закон термодинамики]]. |
|||
=== Ошибки в понимании энтропии как меры беспорядка === |
|||
=== Энтропия закрытой системы в термодинамике Клаузиуса — Каратеодори === |
|||
Существует широко распространённое '''заблуждение''', что мы можем смотреть на ''Ω'' и как на меру беспорядка в системе. Казалось бы, это оправдано, потому что мы думаем об «упорядоченных» системах как о системах, имеющих очень малую возможность конфигурирования, а о «беспорядочных» системах, как об имеющих очень много возможных состояний. Рассмотрим, например, набор 10 монет, каждая из которых может находиться либо в состоянии «орёл», либо в состоянии «решка». Наиболее «упорядоченным» макроскопическим состоянием будет являться или 10 «орлов», или 10 «решек»; для каждого результата в каждом случае имеется только одна возможная конфигурация. И наоборот, наиболее «неупорядоченное» состояние содержит 5 «орлов» и 5 «решек», и здесь <sup>10</sup>C<sub>5</sub> = 252 способов для получения этого результата (см. [[комбинаторика]].) |
|||
Традиционный подход к построению термодинамики (аксиоматика Клаузиуса — Каратеодори) основан на использовании представления о внутренней энергии как базовом понятии теории, заимствовании формул для вычисления термодинамической работы из [[Механика сплошных сред|механики]] и [[Электродинамика сплошных сред|электродинамики]] [[Сплошная среда|сплошных сред]], и {{eqref|Дефиниция теплоты по Клаузиусу|первом начале термодинамики в формулировке Клаузиуса}}. |
|||
Помимо работы расширения/сжатия система может одновременно выполнять другие виды работ, например работу по изменению площади [[Поверхность раздела фаз|поверхности раздела фаз]], работу перемещения в [[Гравитационное поле|поле тяготения]], работу [[Поляризация диэлектриков|поляризации диэлектрика]] в электрическом поле и т. д. Объединяет все эти виды работ формальная структурная идентичность расчётных формул друг с другом и с {{eqref|Работа расширения/сжатия для равновесного процесса в простой системе|выражением для работы расширения/сжатия}}{{sfn|Базаров И. П., Термодинамика|2010|с=27}}{{sfn|Сычёв|2009|с=13}}{{sfn|Кубо Р., Термодинамика|1970|с=21}}: |
|||
С учётом [[второе начало термодинамики | второго начала термодинамики]] т.о. статистическое определение энтропии гласит, что беспорядок в изолированной [[закрытая система|закрытой системе]] может только возрастать. Это можно понять, взяв тот же пример с монетами. Допустим, что мы начали с 10 «орлами» и переворачиваем одну случайную монету каждую минуту. Когда мы проверим состояние системы через достаточно большой промежуток времени, ''возможно'', что мы увидим 10 «орлов» или даже 10 «решек», но [[вероятность]] этого очень мала; более вероятно, что мы увидим приблизительно равное количество «орлов» и «решек». То есть мы можем утверждать, что в замкнутой системе произвольно протекающие процессы ''наиболее вероятно'' протекают в направлении увеличения беспорядка или энтропии. |
|||
{{EF|:|<math> \delta W_i = X_idx_i , </math>|style=|ref=|center=}} |
|||
где <math>\delta W_i</math> — элементарная работа <math>i</math>-го типа, <math>x_i</math> — ''обобщённая координата'', сопряжённая с ''обобщённой силой'' <math>X_i.</math> Каждой обобщённой координате соответствует своя обобщённая сила; физические переменные, соответствующие обобщённым координатам и силам, конкретизируют применительно к решаемой задаче{{sfn|Базаров И. П., Термодинамика|2010|с=27–29}}{{sfn|Семенченко|1966|с=55}}. |
|||
Если однородная система одновременно совершает несколько различных видов работ, то они суммируются и полная работа системы <math>\delta W</math> равна{{sfn|Базаров И. П., Термодинамика|2010|с=27}}{{sfn|Сычёв|2009|с=14}}{{sfn|Кубо Р., Термодинамика|1970|с=20}} |
|||
Подобные же рассуждения можно применить и к [[идеальный газ|идеальному газу]]. В случае идеального газа наиболее вероятным состоянием, соответствующим максимуму энтропии, будет равномерное распределение молеул. |
|||
{{EF|:|<math> \delta W = \sum_i X_idx_i , </math>|style=|ref=Суммарная работа для равновесного процесса в однородной системе |center=}} |
|||
а для первого начала термодинамики получаем соотношение{{sfn|Базаров И. П., Термодинамика|2010|с=38}}{{sfn|Радушкевич Л. В., Курс термодинамики|1971|с=38}}: |
|||
{{EF|:|<math> \delta Q = d U - \sum_i X_idx_i ,</math>|style=|ref=Первое начало для равновесного процесса в однородной системе|center=}} |
|||
которое как и в случае простой системы представляет собой форму Пфаффа. Следствием второго начала термодинамики в любой его формулировке является вывод о том, что пфаффова форма <math>\delta Q</math> при любом числе переменных всегда голономна{{sfn|Сычёв|1991|с=24}} и, следовательно, для любой закрытой термодинамической системы существуют энтропия |
|||
{{EF|:|<math> S = S(U,\{x_i\}) </math>|style= |ref= Энтропия однородной закрытой системы|center= }} |
|||
На самом деле подобное понимание энтропии совершенно неправомерно. Рассмотрим пример - распределение молекул в поле тяготения. В этом случае наиболее вероятным распределением молекул будет распределение согласно [[барометрическая формула|барометрической формуле]] Больцмана. Другой пример - учёт электромагнитных сил взаимодействия между ионами. В этом случае наиболее вероятным состоянием, соответствующим максимуму энтропии, будет упорядоченное кристаллическое состояние, а совсем не "хаос". |
|||
и абсолютная термодинамическая температура |
|||
Это неверное понимание энтропии появилось во время развития [[теория информации|теории информации]], в связи с парадоксом термодинамики, связанным с мысленным экспериментом т.н. "[[демон Максвелла|демона Максвелла]]". Суть парадокса заключалась в том, что рассматривалось два сосуда с разными температурами, соединённых узкой трубкой с затворками, которыми управлял т.н. "демон". "Демон" мог измерять скорость отдельных летящих молекул, и т.о. избирательно пропускать более быстрые в сосуд с высокой температурой, а более медленные - в сосуд с низкой. Из этого мысленного эксперимента вытекало кажущееся противоречие со вторым началом термодинамики. |
|||
: <math>T = T(U,\{x_i\}).</math> |
|||
Парадокс может быть разрешён при помощи теории информации. Для измерения скорости молекулы "демон" должен был бы получить информацию о её скорости. Но всякое получение информации - материальный процесс, сопровождающийся возрастанием энтропии. Количественный анализ, проведённый, например, в <ref>Бриллюэн Л. Наука и теория информации. - М., 1960.</ref> показал, что приращение энтропии при измерении превосходит по абсолютной величине уменьшение энтропии, вызванное перераспрелением молекул "демоном". |
|||
Выражение <math>\{x_i\}</math> есть сокращение для перечисления <math>x_1,x_2,...,x_i,...</math> переменных определённого типа, в данном случае — обобщённых координат. |
|||
Однако в дальнейшем наука пошла по неверному пути, когда многие учёные стали отождествлять информацию с "отрицательной энтропией". Начало этому заблуждению положил Н. Винер <ref>Винер Н. Кибернетика. - М.: Советское радио, 1958.</ref> (стр. 23). На самом деле энтропия '''не является''' "мерой дезорганизации, мерой беспорядка и хаоса", а информация совсем не является мерой упорядоченности, организованности, порядка. |
|||
=== Энтропия открытой системы === |
|||
Подобное неверное понимание, ставшее распространённым научным мифом, принесло немало вреда развитию науки и техники во второй половине XX века. |
|||
Принимая, что теплота и работа являются двумя единственно возможными формами передачи энергии{{sfn|Глазов В. М., Основы физической химии|1981|с=29}}{{sfn|Путилов К. А., Термодинамика|1971|с=40}}{{sfn|Сейдж Б. Х., Термодинамика многокомпонентных систем|1969|с=54}}, а изменение энергии, связанное с переносом вещества в [[Открытые системы (термодинамика)|открытой системе]], есть составная часть общей работы, называемая [[Химическая работа (работа перераспределения масс веществ)|химической работой]] (работой перераспределения масс веществ{{sfn|Тамм М. Е., Третьяков Ю. Д., Физико-химические основы неорганической химии|2004|с=11}}), в случае однородной открытой системы {{eqref|Первое начало для равновесного процесса в однородной системе|дифференциальную форму <math>\delta Q</math> для закрытой системы}} следует дополнить слагаемым, учитывающим элементарную химическую работу <math>\delta Z</math>{{sfn|Lebon|2008|p =14}}{{sfn|Жариков|2005|loc=уравнение (2.4).}}{{sfn|Callen|1985|p =36}}{{sfn|Сычёв|2009|с=257}}{{sfn|Путилов К. А., Термодинамика|1971|с=125}}: |
|||
{{EF|:|<math> \delta Z = \sum_j \mu_j d m_j , </math>|style=|ref=Химическая работа для равновесного процесса в открытой однородной системе|center=}} |
|||
== Энтропия в открытых системах == |
|||
где <math>m_j</math> — [[масса]] <math>j</math>-го [[Компоненты (в термодинамике и химии)|компонента]]<ref>Использование масс компонентов, а не масс [[Составляющее вещество|составляющих систему веществ]] в качестве обобщённых координат в выражении для химической работы означает отказ от прямого рассмотрения влияния химических реакций на массы веществ, ибо химические превращения в системе уже учтены при подсчёте числа компонентов.</ref>, <math>\mu_j</math> — [[химический потенциал]] этого компонента. |
|||
В силу [[второе начало термодинамики | второго начала термодинамики]], энтропия <math>S_i</math> замкнутой системы не может уменьшаться» (закон неубывания энтропии). Математически это можно записать так: <math>dS_i \ge 0 </math>, индекс <math>i</math> обозначает так называемую внутреннюю энтропию, соответствующую замкнутой системе. В открытой системе возможны потоки тепла как из системы, так и внутрь неё. В случае наличия потока тепла в систему приходит количество тепла <math>\delta Q_1</math> при температуре <math>T_1</math> и уходит количество тепла <math>\delta Q_2</math> при температуре <math>T_2</math>. Приращение энтропии, связанное с данными тепловыми потоками, равно: |
|||
Пфаффова форма <math>\delta Q</math> для открытой однородной системы равна{{sfn|Кубо Р., Термодинамика|1970|с=20}} |
|||
<math>dS_o = \frac{\delta Q_1}{ T_1}- \frac{\delta Q_2}{ T_2}. </math> |
|||
{{EF|:|<math> \delta Q = d U - \sum_i X_idx_i - \sum_j \mu_j d m_j .</math>|style=|ref=Первое начало для равновесного процесса в открытой однородной системе|center=}} |
|||
В стационарных системах обычно <math>\delta Q_1 = \delta Q_2 </math>, <math> T_1 > T_2 </math>, так что <math> dS_o <0 </math>. Поскольку здесь изменение энтропии отрицательно, то часто употребляют выражение «приток негэнтропии», вместо оттока энтропии из системы. Негэнтропия определяется таким образом как обратная величина энтропии. |
|||
Суммарное изменение энтропии открытой системы будет равно: |
|||
Дальнейшие рассуждения о существовании энтропии |
|||
<math>dS = dS_i + dS_o .</math> |
|||
: <math> S = S(U,\{x_i\},\{m_j\}) </math> |
|||
Если всё время <math>dS >0</math>, то рост внутренней энтропии не компенсируется притоком внешней негэнтропии, система движется к ближайшему состоянию равновесия, в котором осуществляется возможный для этого состояния максимальный хаос. Если <math>dS =0</math>, то мы имеем стационарный процесс с неизменной общей энтропией. В этом случае в системе осуществляется некоторая внутренняя работа с генерацией внутренней энтропии, которая преобразует, например, температуру <math> T_1 </math> внешнего потока тепла в температуру <math> T_2 </math> уходящего из системы потока тепла. В случае, когда <math>dS \le 0</math>, возникают условия для развития, прогрессивной усложняющейся эволюции, роста порядка и новых структур, жизни живых организмов. |
|||
и абсолютной термодинамической температуры |
|||
== Измерение энтропии == |
|||
: <math>T = T(U,\{x_i\},\{m_j\}) </math> |
|||
В реальных [[эксперимент]]ах очень трудно измерить энтропию системы. Техники измерения базируются на термодинамическом определении энтропии и требуют экстремально аккуратной [[калориметрия|калориметрии]]. |
|||
для открытой системы ничем не отличаются от соображений, высказанных при рассмотрении закрытой системы, поэтому ниже перечислены причины, по которым открытые системы потребовали отдельного рассмотрения. |
|||
Для упрощения мы будем исследовать механическую систему, термодинамические состояния которой будут определены через её объем ''V'' и давление ''P''. Для измерения энтропии определенного состояния мы должны сперва измерить [[теплоёмкость|теплоёмкость]] при постоянных объёме и давлении (обозначенную ''C<sub>V</sub>'' и ''C<sub>P</sub>'' соответственно), для успешного набора состояний между первоначальным состоянием и требуемым. Тепловые ёмкости связаны с энтропией ''S'' и с температурой ''T'' согласно формуле: |
|||
Первая из этих причин состоит в том, что использование в понятийном аппарате термодинамики химической работы как части общей работы делает неэквивалентными представления об [[Адиабатная оболочка|адиабатной изоляции]] как накладывающей запрет на обмен веществом (то есть любая адиабатно изолированная система есть система закрытая или, говоря иначе, масса есть адиабатически заторможенная величина){{sfn|Квасников И. А., Молекулярная физика|2009|с=31}}{{sfn|Квасников|2002|с=22}}{{sfn|Петров Н., Бранков Й., Современные проблемы термодинамики|1986|с=66}}{{sfn|Tisza|1966}}, и адиабатной изоляции как допускающей обмен энергией только в форме работы{{sfn|Бэр Г. Д., Техническая термодинамика|1977|с=73}}{{sfn|Залевски К., Феноменологическая и статистическая термодинамика|1973|с=10}}. Восстановить эквивалентность приведённых выше формулировок об адиабатной изоляции удаётся, если модифицировать {{eqref|Дефиниция теплоты по Клаузиусу|дефиницию теплоты по Клаузиусу}}, добавив к теплоте и работе третью форму передачи энергии — ''энергию переноса массы'' <math>Z</math>{{sfn|Пригожин И., Кондепуди Д., Современная термодинамика|2002|с=52}}{{sfn|Кубо Р., Термодинамика|1970|с=16}}: |
|||
:<math>C_X = T \left(\frac{\partial S}{\partial T}\right)_X</math> |
|||
{{EF|:|<math> Q \equiv \Delta U - W - Z , </math>|style=|ref=Модифицированная дефиниция теплоты для открытой системы|center=}} |
|||
где нижний индекс ''X'' относится к постоянным объёму и давлению. Мы можем проинтегрировать для получения изменения энтропии: |
|||
где <math>\delta Z</math> задаётся {{eqref|Химическая работа для равновесного процесса в открытой однородной системе|выражением для химической работы}}. |
|||
:<math>\Delta S = \int \frac{C_X}{T} dT</math> |
|||
Вторая причина отдельного рассмотрения вопроса об энтропии открытых систем заключается в следующем. За исключением химического потенциала все входящие в {{eqref|Первое начало для равновесного процесса в открытой однородной системе|пфаффову форму <math>\delta Q</math> для открытой системы}} переменные в рамках термодинамического формализма представляют собой неопределяемые величины, заимствуемые из других разделов физики, что подразумевает необязательность их описания в самой термодинамике. Химический потенциал вводится в термодинамике и либо должен быть отнесён к базовым неопределяемым понятиям, для которых возможно только пояснительное описание, либо же от термодинамики требуется точная дефиниция химического потенциала. Как неопределяемую величину химический потенциал можно вводить одновременно с температурой и энтропией (более, того П. А. Жилин{{sfn|Жилин П. А., Рациональная механика сплошных сред|2012}} считает такой подход единственно правильным<ref>«…Понятия энергии, температуры, энтропии и химического потенциала вводятся одновременно и по отдельности определить их принципиально нельзя» (с. 48), «…Нельзя сначала определить внутреннюю энергию, а затем химический потенциал и энтропию. Все эти понятия могут быть введены только одновременно» (с. 140).</ref>), но традиционно химический потенциал предпочитают вводить в рассмотрение как вторичную переменную на основе предварительно сформированного представления об энтропии открытой системы. Для этого вслед за У. Гиббсом{{sfn|Петров Н., Бранков Й., Современные проблемы термодинамики|1986|с=43}}{{sfn|Tisza|1966}} без доказательства принимают утверждение о существовании энтропии открытой системы{{sfn|Воронин Г. Ф., Основы термодинамики|1987|с=50}}{{sfn|Callen|1985|p =28—29}}{{sfn|Мюнстер А., Химическая термодинамика|1971|с=69}} |
|||
Таким образом, мы можем получить значение энтропии любого состояния (''P'',''V'') по отношению к первоначальному состоянию (''P<sub>0</sub>'',''V<sub>0</sub>''). Точная формула зависит от нашего выбора промежуточных состояний. Для примера, если первоначальное состояние имеет такое же давление, как и конечное состояние, то |
|||
{{EF|:|<math> S = S(U,\{x_i\},\{m_j\}) </math>|style=|ref= Энтропия открытой однородной системы по Гиббсу; ''фундаментальное уравнение Гиббса в энтропийном выражении''|center=}} |
|||
:<math> S(P,V) = S(P, V_0) + \int^{T(P,V)}_{T(P,V_0)} \frac{C_P(P,V(T,P))}{T} dT </math> |
|||
как функции состояния, при неизменности масс компонентов совпадающей с {{eqref|Энтропия однородной закрытой системы|энтропией однородной закрытой системы}}. Из фундаментального уравнения Гиббса в дифференциальной форме{{sfn|Мюнстер А., Химическая термодинамика|1971|с=69}} |
|||
В добавление, если путь между первым и последним состояниями лежит сквозь любой [[фазовый переход|фазовый переход первого рода]], [[скрытая теплота]], ассоциированнае с переходом, должна также учитываться. |
|||
{{EF|:|<math>d S = \frac {1} {T} d U - \frac {1} {T} \sum_i X_i d x_i - \frac {1} {T} \sum_j \mu_j d m_j </math>|style=|ref= Дифференциальная форма фундаментального уравнения Гиббса для энтропии|center=}} |
|||
находим значения частных производных энтропии: |
|||
: <math> \left (\frac {\partial S}{\partial U} \right)_{ \{x_i\},\{m_j\} } = \frac {1} {T} , </math> |
|||
: <math> \left (\frac {\partial S}{\partial x_r} \right)_{U, \{x_{i \neq r} \},\{m_j\} } = - \frac {X_r} {T} , </math> |
|||
: <math> \left (\frac {\partial S}{\partial V} \right)_{x_i \neq V,\{m_j\} } = \frac {P} {T} . </math> |
|||
Химический потенциал <math>k</math>-го компонента выразим через частную производную энтропии по массе этого компонента{{sfn|Мюнстер А., Химическая термодинамика|1971|с=70}}: |
|||
{{EF|:|<math> \mu_k \equiv - T \left (\frac {\partial S}{\partial m_k} \right)_{U,\{x_i\},\{m_{j \neq k} \} } . </math>|style= |ref= Дефиниция химического потенциала компонента|center= }} |
|||
== Энтропия в термодинамике Гиббса == |
|||
Построение теории на основе постулирования существования энтропии как функции состояния, в состав независимых переменных которой входят массы компонентов, составляет главное содержание ''термодинамики Гиббса''{{sfn|Мюнстер А., Химическая термодинамика|1971|с=67}}, а способ, каким выполнено распространение термодинамики Клаузиуса на открытые системы, позволяет говорить об [[Аксиоматика термодинамики#Вклад Гиббса в аксиоматику термодинамики|аксиоматике Гиббса]]{{sfn|Петров Н., Бранков Й., Современные проблемы термодинамики|1986|с=43}}{{sfn|Tisza|1966}}. В термодинамике Гиббса вводят понятия компонента системы, [[Термодинамическая фаза|фазы]] и многофазной [[Гетерогенная система|гетерогенной системы]], постулируют существование внутренней энергии <math>U</math> и энтропии <math>S</math> как [[Аддитивность (математика)|аддитивных переменных состояния]], постулируют связь этих величин с независимыми переменными состояния в виде фундаментальных уравнений Гиббса в энергетическом и энтропийном выражениях, постулируют аддитивность входящих в эти фундаментальные уравнения независимых переменных, постулируют, что <math>T</math> есть термодинамическая температура, вводят химический потенциал <math>\mu</math> и постулируют общее условие [[Термодинамическое равновесие|термодинамического равновесия]] в системе<ref>Сам Гиббс эти [[постулат]]ы в своей основной термодинамической работе «О равновесии гетерогенных веществ» формулировал по мере необходимости, как бы мимоходом, и не называл принимаемые им без доказательства утверждения ни [[аксиома]]ми, ни постулатами.</ref>, рассматриваемое далее в числе свойств энтропии. |
|||
Обратите внимание, что содержательную дефиницию температуры по Гиббсу{{sfn|Гиббс Дж. В., Термодинамика. Статистическая механика|1982|с =93}}{{sfn|Guggenheim|1985|p =15}}{{sfn|Callen|1985|p =35}} |
|||
{{EF|:|<math> T \equiv \left ( \frac { \partial U}{ \partial S} \right )_{V,\{x_i\}} </math>|style=|ref=Термодинамическая температура по Гиббсу|center=}} |
|||
можно, с другой стороны, рассматривать и как описательную дефиницию энтропии. А именно, энтропия в термодинамике Гиббса есть такая экстенсивная переменная состояния, что производная внутренней энергии по энтропии представляет собой интенсивную переменную состояния, обладающую всеми положенными термодинамической температуре свойствами. |
|||
== Энтропия в рациональной термодинамике == |
|||
{{main|Рациональная термодинамика|l1=Рациональная термодинамика}} |
|||
Рациональная термодинамика не подразделяет термодинамику на равновесную и неравновесную; обе эти дисциплины рассматриваются как единая часть физики сплошных сред{{sfn|Трусделл К., Термодинамика для начинающих | 1970}}{{sfn|Трусделл К., Первоначальный курс рациональной механики сплошных сред | 1975}}{{sfn|Truesdell, 1984|1984}}{{sfn|Жилин П. А., Рациональная механика сплошных сред | 2012}}. Равновесная рациональная термодинамика есть результат применения общей теории к системам в состоянии равновесия{{sfn| Максимов | 2009}}. Исходные неопределяемые понятия теории — энергия <math>E</math>, объём <math>V</math> и число [[Моль (единица измерения)|молей]] компонента <math>n</math>. По аналогии с давлением |
|||
: <math> P = - \frac {\partial E}{\partial V} </math> |
|||
при механическом равновесии имеющем одинаковое значение во всех частях системы, вводят химический потенциал <math> \mu </math> |
|||
: <math> \mu \equiv \frac {\partial E}{\partial n} , </math> |
|||
как интенсивную величину, имеющую при химическом равновесии одно и то же значение во всех частях системы{{sfn| Максимов | 2009| с=5}}. |
|||
Абсолютную термодинамическую температуру вводят посредством следующей аксиомы: существует интенсивная термодинамическая величина, температура |
|||
: <math> T = T(E,V,n) , </math> |
|||
которая характеризует степень нагретости тел и обладает следующими свойствами{{sfn| Максимов | 2009| с=5—6}}: |
|||
* в выбранном за начало отсчёта состоянии температура равна нулю |
|||
: <math> T_{E=0} = 0 </math> ; |
|||
* температура монотонно растёт с увеличением энергии системы |
|||
: <math> \frac {\partial T}{\partial E} > 0 </math> ; |
|||
* при термодинамическом равновесии имеет одно и то же значение во всех частях системы. |
|||
Энтропию в рациональной термодинамике задают как аддитивную величину, равную{{sfn| Максимов | 2009| с=7}} |
|||
: <math> S(E) \equiv \int^{E}_{0} \frac{1}{T(E)} dE .</math> |
|||
Свойства энтропии, вытекающие из этого определения{{sfn| Максимов | 2009| с=7}}: |
|||
: <math> S_{E=0} = S_{T=0} = 0</math> ; |
|||
: <math> \frac {\partial S}{\partial E} = \frac {1}{T} > 0 </math> ; |
|||
<br> |
|||
: <math> \frac {\partial^2 S}{\partial E^2} = -\frac {1}{T^2 C_V} < 0 </math> ; |
|||
где <math> C_V </math> — теплоёмкость системы при постоянном объёме. Из определения энтропии и её свойств следует, что при условии постоянства энергии энтропия системы максимальна, когда все части системы имеют одинаковую температуру — вариационный принцип максимальности энтропии в состоянии равновесия{{sfn| Максимов | 2009| с=7}}. Таким образом, энтропия есть монотонная выпуклая функция энергии, достигающая максимума в состоянии термодинамического равновесия; состояние системы, принятое за начало шкалы отсчёта энергии, есть одновременно состояние для начальных точек отсчёта температуры и энтропии. |
|||
== Свойства энтропии == |
|||
Перечисление свойств энтропии дано применительно к термодинамике Гиббса; примеры, приводимые для иллюстрации перечисляемых свойств энтропии, относятся, как правило, к открытым однородным термодеформационным системам, для которых справедливо ''[[Фундаментальное уравнение Гиббса|фундаментальное уравнение Гиббса в энтропийном выражении]]''{{sfn|Петров Н., Бранков Й., Современные проблемы термодинамики|1986|с=71–72}}{{sfn|Мюнстер А., Химическая термодинамика|1971|с=90–91}}: |
|||
{{EF|:|<math> S = S(U,V,\{m_j\}) . </math>|style= |ref= Фундаментальное уравнение Гиббса в энтропийном выражении для открытой термодеформационной системы|center= }} |
|||
* Энтропия в {{eqref|Энтропия открытой однородной системы по Гиббсу; ''фундаментальное уравнение Гиббса в энтропийном выражении''|фундаментальном уравнении в энтропийном выражении}} есть однозначная [[дифференцируемая функция]] [[Аддитивность (математика)|аддитивных независимых переменных]]{{sfn|Callen|1985|p =28}}{{sfn|Петров Н., Бранков Й., Современные проблемы термодинамики|1986|с=66}}{{sfn|Мюнстер А., Химическая термодинамика|1971|с=92}} с непрерывными первыми и кусочно-непрерывными вторыми производными. |
|||
* Энтропия есть [[Аддитивность (математика)|величина аддитивная]]{{sfn|Сорокин В. С., Макроскопическая необратимость и энтропия. Введение в термодинамику|2004|с=55}}{{sfn|Воронин Г. Ф., Основы термодинамики|1987|с=51}}{{sfn|Петров Н., Бранков Й., Современные проблемы термодинамики|1986|с=67}}{{sfn|Callen|1985|p =28}}{{sfn|Кубо Р., Термодинамика|1970|с=85—86}}{{sfn|Buchdahl H. A., The Concepts of Classical Thermodynamics|1966|p =74}}{{sfn|Зоммерфельд А., Термодинамика и статистическая физика|1955|с=52}}<ref>В термодинамике различают аддитивность по размерам системы (длине упругого стержня или пружины, площади поверхности раздела, объёму) и аддитивность по массе. Ясно, что последнее понятие не универсально, и даже аддитивность экстенсивных переменных по объёму не гарантирует, что к этим переменным применимо представление об аддитивности по массе. Например, оно непригодно для аддитивных по объёму переменных [[Фотонный газ|фотонного газа]] — системы с нулевой массой.</ref>, то есть энтропия термодинамической системы равна сумме энтропий всех её частей. Аддитивность энтропии позволяет распространить это понятие на термодинамические системы любой сложности. |
|||
: Как следствие аддитивности получаем, что энтропия в {{eqref|Энтропия открытой однородной системы по Гиббсу; ''фундаментальное уравнение Гиббса в энтропийном выражении''|фундаментальном уравнении в энтропийном выражении}} есть [[однородная функция]] первого порядка всех независимых переменных{{sfn|Петров Н., Бранков Й., Современные проблемы термодинамики|1986|с=62}}{{sfn|Мюнстер А., Химическая термодинамика|1971|с=92}}, то есть для <math> \lambda > 0 </math> |
|||
{{EF|:|<math>S(\lambda U,\lambda V,\{\lambda m_j\}) = \lambda S(U,V,\{m_j\}) , </math>|style= |ref= |center= }} |
|||
: и для неё справедливо [[Список объектов, названных в честь Леонарда Эйлера#Тождества|тождество (теорема) Эйлера]]{{sfn|Тер Хаар Д., Вергеланд Г., Элементарная термодинамика|1968|с=117}}: |
|||
{{EF|:|<math> S=U \left (\frac {\partial S}{\partial U} \right)_{V,\{m_j\} } ~+~ V \left (\frac {\partial S}{\partial V} \right)_{U,\{m_j\} } ~+~ \sum_j m_j \left (\frac {\partial S}{\partial m_j} \right)_{U,V,\{m_{j \neq k} \} }=\frac {1} {T} U ~~+~~ \frac {1} {T} PV ~~-~~ \frac {1} {T} \sum_j \mu_j m_j. </math>|style= |ref= |center= }} |
|||
* Для однородной системы частная производная энтропии по внутренней энергии есть величина, обратная абсолютной термодинамической температуре (термодинамическая дефиниция температуры как следствие второго начала термодинамики){{sfn|Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М., Статистическая физика. Часть 1|2002|с=51}}{{sfn|Guggenheim|1985|p =15}}{{sfn|Callen|1985|p =35}}{{sfn|Falk, Jung|1959| S =156}}: |
|||
{{EF|:|<math> T \equiv \left [ \left ( \frac { \partial S}{ \partial U} \right )_{V,\{x_i\}} \right ]^{-1} . </math>|style=|ref=Термодинамическая дефиниция температуры|center=}} |
|||
: В соответствии с ''теоремой об обратных величинах''{{sfn|Сычёв|1991|с=15}} это определение совпадает с дефиницией равновесной температурой по Гиббсу{{sfn|Гиббс Дж. В., Термодинамика. Статистическая механика|1982|с=93}}{{sfn|Guggenheim|1985|p =15}}{{sfn|Callen|1985|p =35}}: |
|||
{{EF|:|<math> T \equiv \left ( \frac { \partial U}{ \partial S} \right )_{V,\{x_i\}} . </math>|style=|ref=Термодинамическая температура по Гиббсу|center=}} |
|||
* Энтропия есть монотонная функция внутренней энергии <math>U</math>, то есть абсолютная термодинамическая температура не может менять свой знак{{sfn|Петров Н., Бранков Й., Современные проблемы термодинамики|1986|с=71–72}}. В [[Абсолютная температурная шкала|шкале Кельвина]] абсолютная термодинамическая температура всегда положительна{{sfn|Воронин Г. Ф., Основы термодинамики|1987|с=53}}. Использование [[Температура#Отрицательные абсолютные температуры|отрицательных по шкале Кельвина температур]] есть удобный математический приём описания [[Термодинамическая система|неравновесных подсистем систем с особыми свойствами]]<ref name="otriztemp">{{cite web | url = http://alcala.ru/bse/izbrannoe/slovar-O/O12531.shtml | title = Отрицательная температура | author = | publisher = | work = БСЭ, 3-е изд., 1975, т. 19 | lang = ru | access-date = 2015-06-18 | archive-date = 2015-04-02 | archive-url = https://web.archive.org/web/20150402105827/http://alcala.ru/bse/izbrannoe/slovar-O/O12531.shtml | url-status = live }}</ref>. |
|||
* Энтропия есть величина полуограниченная. Традиционно принимают, что энтропия ограничена снизу, то есть для каждой термодинамической системы существует состояние с наименьшей энтропией{{sfn|Петров Н., Бранков Й., Современные проблемы термодинамики|1986|с=68}}. |
|||
* Температура есть величина полуограниченная. [[Абсолютная температурная шкала]] [[Томсон, Уильям (лорд Кельвин)|Кельвина]] построена так, что |
|||
: <math> 0 < T < \infty . </math> |
|||
: Нуль и бесконечность допустимы в качестве пределов{{sfn|Петров Н., Бранков Й., Современные проблемы термодинамики|1986|с=68}}. |
|||
* Для любой термодинамической системы состояния с наименьшей энтропией и наименьшей температурой совпадают ([[Третье начало термодинамики|постулат Планка]]){{sfn|Петров Н., Бранков Й., Современные проблемы термодинамики|1986|с=68}}{{sfn|Callen|1985|p =30}}. С приближением температуры к абсолютному нулю энтропия перестаёт зависеть от температуры и приближается к определённому постоянному значению, которое можно положить равным нулю{{sfn|Базаров И. П., Термодинамика|2010|с=92}} и принять за начало отсчёта энтропии, устранив тем самым упомянутый в разделе [[#Энтропия простой системы|Энтропия простой системы]] произвол в выборе постоянной интегрирования для энтропии: |
|||
{{EF|:|<math> \lim \limits_{T \to \, 0} S = 0 . </math>|style=|ref= Третье начало термодинамики; ''тепловая теорема [[Нернст, Вальтер|Нернста]]''|center=}} |
|||
: Согласно [[Постулат Тиссы|постулату Тиссы]] внутренняя энергия ограничена и эта граница соответствует абсолютному нулю температуры{{sfn|Петров Н., Бранков Й., Современные проблемы термодинамики|1986|с=68}}{{sfn|Tisza|1966|p =125}}. Таким образом, состояние системы при абсолютном нуле температуры, когда все термодинамические величины, характеризующие равновесное состояние, перестают зависеть от температуры{{sfn|Новиков И. И., Термодинамика|1984|с=106}}, наилучшим образом подходит в качестве стандартного состояния начала отсчёта основных термодинамических величин. |
|||
* Энтропия изолированной системы в состоянии термодинамического равновесия имеет максимальное значение (''постулат Гиббса''){{sfn|Базаров И. П., Термодинамика|2010|с=121}}{{sfn|Новиков И. И., Термодинамика|1984|с=106}}, то есть для равновесия изолированной системы необходимо и достаточно, чтобы при всех возможных (не нарушающих постоянства внутренней энергии, обобщённых координат и масс компонентов) изменениях её состояния [[Вариация (математика)|вариация]] энтропии <math> \Delta S </math> системы не была положительной{{sfn|Воронин Г. Ф., Основы термодинамики|1987|с=102}}: |
|||
{{EF|:|<math> (\Delta S)_{U,\{x_i\},\{m_j\} } \leqslant 0 . </math>|style=|ref= Условие равновесия изолированной системы|center=}} |
|||
: Поскольку речь идёт об изолированной системе, внешнее воздействие на которую запрещено, понятие вариации в данном случае означает ''виртуальное изменение'' энтропии<ref>Мысленное допустимое (не противоречащее условиям существования системы) изменение энтропии, не зависящее от времени. Встречающееся в литературе определение вариации как отклонения от равновесия, допускаемого наложенными на систему связями (условиями), означает то же самое.</ref>. Знак равенства в этом выражении относится к [[Механическое равновесие#Виды равновесия#Безразличное равновесие|безразличному равновесию]]. |
|||
: Условие равновесия Гиббса вытекает из входящего в состав второго начала термодинамики постулата Клаузиуса о неубывании энтропии адиабатно изолированной системы{{sfn|Воронин Г. Ф., Основы термодинамики|1987|с=102}} |
|||
* Энтропия в {{eqref|Энтропия открытой однородной системы по Гиббсу; ''фундаментальное уравнение Гиббса в энтропийном выражении''|фундаментальном уравнении в энтропийном выражении}} есть [[Характеристическая функция (термодинамика)|характеристическая функция]], то есть фундаментальное уравнение содержит все термодинамические сведения о данной системе{{sfn|Мюнстер А., Химическая термодинамика|1971|с=92}}. |
|||
== Энтропия как характеристическая функция == |
|||
{{main|Характеристическая функция (термодинамика)#Энтропия как характеристическая функция|l1=Энтропия как характеристическая функция}} |
|||
== Энтропия и теплота квазистатического (равновесного) процесса == |
|||
Из {{eqref|Первое начало для равновесного процесса в открытой однородной системе|выражения для первого начала в открытой однородной системе}} и {{eqref|Дифференциальная форма фундаментального уравнения Гиббса для энтропии|дифференциальной формы фундаментального уравнения Гиббса для энтропии}} получаем выражение для элементарной теплоты равновесного (квазистатического) процесса{{sfn|''Базаров И. П. и др.'', Термодинамика и статистическая физика|1986|с =26}}{{sfn|Базаров И. П., Термодинамика|2010|с =29}}: |
|||
{{EF|:|<math> \delta Q ~=~ TdS </math>|style=|ref= Теплота элементарного равновесного процесса|center=}} |
|||
(для простой равновесной системы это выражение непосредственно вытекает из {{eqref|Дефиниция энтропии простой равновесной системы|дефиниции энтропии}}). |
|||
Данное {{eqref|Дефиниция энтропии простой равновесной системы|соотношение}}, связывающее термодинамику Клаузиуса с термодинамикой Гиббса, представляет интерес для пользователей, которым требуется изложить материал из старой учебной и научной литературы с применением терминологии, либо вовсе не использующей понятие «теплота», либо использующей его как определяемое через энтропию и абсолютную температуру вторичное понятие. |
|||
== Энтропия как характеристика изотермического процесса == |
|||
[[Файл:Зависимость удельной энтропии воды от температуры.png|thumb|360px|right|Зависимость удельной энтропии воды от температуры]] |
|||
Для равновесного [[Изотермический процесс|изотермического процесса]] с нулевой [[Термодинамическая работа|работой]] интегрирование выражения для {{eqref|Теплота элементарного равновесного процесса|теплоты равновесного процесса}} даёт следующее выражение для изменения внутренней энергии: |
|||
: <math> \Delta U ~=~ Q ~+~ W ~=~ T \Delta S , </math> |
|||
то есть в любом равновесном изотермическом процессе с нулевой работой энергия расходуется на увеличение энтропии системы и выделяется при уменьшении энтропии. Преобразуем это уравнение к виду |
|||
: <math> S_2 - S_1 ~=~ \frac{U_2}{T} - \frac{U_1}{T}</math> |
|||
и назовём отношение <math>\frac{U}{T}</math> ''приведённой внутренней энергией''. Отсюда вытекает следующая трактовка — одна из нескольких существующих — физического смысла энтропии: энтропия есть приведённая внутренняя энергия изотермической системы. |
|||
Рассмотрим в качестве примера [[Фазовый переход|фазовые переходы]] в воде при атмосферном давлении (см. рисунок). При таянии льда подводимая к системе энергия расходуется на увеличение энтропии системы вследствие изменения структуры H{{sub|2}}O, тогда как температура системы лёд + вода остаётся близкой к 0 °C (273 К) до полного исчезновения льда. При замерзании воды имеет место обратная ситуация: энергия выделяется в окружающую среду при 0 °C. Нагрев воды, образовавшейся при таянии льда, ведёт к повышению температуры воды вплоть до её закипания при 100 °C (373 К). Кипение воды при постоянном давлении есть процесс изотермический: подводимая энергия расходуется на испарение воды и увеличение энтропии системы вода + водяной пар, тогда как температура остаётся близкой к 100 °C до полного исчезновения жидкой воды. |
|||
[[Файл:Nicaragua 1971 Mi 1620 stamp and back (The Ten Mathematical Equations that Changed the Face of the Earth. Boltzman's equation - movement of gases).jpg|thumb|300px|[[Десять математических формул, изменивших облик Земли (серия марок)|Почтовая марка Никарагуа 1971 года и её оборот]]. Уравнение Больцмана (движение газов)]] |
|||
== Статистическое определение энтропии: принцип Больцмана == |
|||
В [[1877 год]]у [[Больцман, Людвиг|Людвиг Больцман]] установил связь энтропии с вероятностью данного состояния. Позднее эту связь представил в виде формулы [[Планк, Макс|Макс Планк]]: |
|||
: <math>S=k\cdot\ln(\Omega),</math> |
|||
где константа <math>k=</math>1,38{{e|−23}} Дж/К названа Планком [[постоянная Больцмана|постоянной Больцмана]], а <math>\Omega</math> — [[статистический вес]] состояния, является числом возможных микросостояний (способов), с помощью которых можно составить данное макроскопическое состояние. Этот постулат, названный [[Эйнштейн, Альберт|Альбертом Эйнштейном]] принципом Больцмана, положил начало [[статистическая механика|статистической механике]], которая описывает термодинамические системы, используя статистическое поведение составляющих их компонентов. Принцип Больцмана связывает микроскопические свойства системы (<math>\Omega</math>) с одним из её термодинамических свойств (<math>S</math>). |
|||
Рассмотрим, например, [[идеальный газ]] в сосуде. Микросостояние определено как позиции и импульсы (моменты движения) каждого составляющего систему атома. Связность предъявляет к нам требования рассматривать только те микросостояния, для которых: |
|||
(I) месторасположения всех частей расположены в рамках сосуда, |
|||
(II) для получения общей энергии газа кинетические энергии атомов суммируются. |
|||
Согласно определению, энтропия является функцией состояния, то есть не зависит от способа достижения |
|||
этого состояния, а определяется параметрами этого состояния. Так как <math>\Omega</math> может быть только [[натуральное число|натуральным числом]] (1, 2, 3, …), то энтропия Больцмана должна быть ''неотрицательной'' — исходя из свойств [[логарифм]]а. |
|||
== Понимание энтропии как меры беспорядка == |
|||
Существует мнение, что мы можем смотреть на энтропию и как на меру беспорядка в системе. В определённом смысле это может быть оправдано, потому что мы думаем об «упорядоченных» системах как о системах, имеющих очень малую возможность конфигурирования, а о «беспорядочных» системах как об имеющих очень много возможных состояний. Собственно, это просто переформулированное определение энтропии как числа микросостояний на данное макросостояние. |
|||
Рассмотрим, например, распределение молекул идеального газа. В случае идеального газа наиболее вероятным состоянием, соответствующим максимуму энтропии, будет равномерное распределение молекул. При этом реализуется и максимальный «беспорядок», так как при этом будут максимальные возможности конфигурирования. |
|||
Получившее повсеместное распространение понимание энтропии как меры беспорядка в термодинамической системе не является, тем не менее, общепринятым{{sfn|''Хайтун С. Д.'', Кризис теории познания|2014|с =98}}: «Тождественность энтропии с беспорядком не только никем никогда не была доказана и не только не может быть доказана в принципе, но и прямо противоречит реально наблюдаемым фактам…»{{sfn|''Хайтун С. Д.'', Кризис теории познания|2014|с =98}}; «…''применительно к реальным системам энтропия не является мерой беспорядка''»{{sfn|''Хайтун С. Д.'', Кризис теории познания|2014|с =100}}; «…в ходе роста энтропии Вселенной общая её (Вселенной) сложность растёт, однако для составляющих Вселенную реальных (под)систем энтропия мерой беспорядка/сложности не является»{{sfn|''Хайтун С. Д.'', Кризис теории познания|2014|с =102}}. |
|||
=== Границы применимости понимания энтропии как меры беспорядка === |
|||
Подобное определение беспорядка термодинамической системы как количества возможностей конфигурирования системы фактически дословно соответствует определению энтропии как числа микросостояний на данное макросостояние. Проблемы начинаются в двух случаях: |
|||
* когда начинают смешивать различные понимания беспорядка, и энтропия становится мерой беспорядка вообще; |
|||
* когда понятие энтропии применяется для систем, не являющихся термодинамическими. |
|||
В обоих этих случаях применение понятия термодинамической энтропии совершенно неправомерно<ref>''Lambert Frank L.'' [http://entropysite.oxy.edu/ A Brief Introduction to the Second Law and to Entropy for Chemistry Students] {{Wayback|url=http://entropysite.oxy.edu/ |date=20130114223933 }}</ref>. |
|||
Рассмотрим оба пункта подробнее. |
|||
Рассмотрим пример термодинамической системы — распределение молекул в поле тяготения. В этом случае наиболее вероятным распределением молекул будет распределение согласно [[барометрическая формула|барометрической формуле]] Больцмана. Другой пример — учёт электромагнитных сил взаимодействия между ионами. В этом случае наиболее вероятным состоянием, соответствующим минимуму свободной энергии, будет упорядоченное кристаллическое состояние, а совсем не «хаос», хотя в состоянии «хаоса» значение конфигурационной энтропии системы и ниже. (Термин «хаос» здесь понимается в смысле беспорядка — в наивном смысле. К [[теория хаоса|хаосу]] в математическом смысле как сильно неустойчивой нелинейной системе это не имеет отношения, конечно.) |
|||
Рассмотрим случай с кристаллической решёткой более подробно. Кристаллическая решётка может быть и в равновесном, и в неравновесном состоянии, как и любая термодинамическая система. Скажем, возьмём следующую модель — совокупность взаимодействующих осцилляторов. Рассмотрим некоторое неравновесное состояние: все осцилляторы имеют одинаковое отклонение от положения равновесия. С течением времени эта система перейдёт в состояние ТД равновесия, в котором отклонения (в каждый момент времени) будут подчинены некоторому распределению типа Максвелла (только это распределение будет для отклонений, и оно будет зависеть от типа взаимодействия осцилляторов). В таком случае максимум энтропии будет действительно реализовывать максимум возможностей конфигурирования, то есть — беспорядок согласно вышеуказанному определению. Но данный «беспорядок» вовсе не соответствует «беспорядку» в каком-либо другом понимании, например, информационному. Такая же ситуация возникает и в примере с кристаллизацией переохлаждённой жидкости, в которой образование структур из «хаотичной» жидкости идёт параллельно с увеличением энтропии. |
|||
То есть при образовании кристалла из переохлаждённой жидкости энтропия увеличивается с одновременным ростом температуры. Если кристаллизация сопровождается отводом тепла из системы, то энтропия при этом уменьшится. |
|||
Это неверное понимание энтропии появилось во время развития [[теория информации|теории информации]], в связи с парадоксом термодинамики, связанным с мысленным экспериментом так называемый «[[демон Максвелла|демона Максвелла]]». Суть парадокса заключалась в том, что рассматривалось два сосуда с разными температурами, соединённых узкой трубкой с затворками, которыми управлял так называемый «демон». «Демон» мог измерять скорость отдельных летящих молекул, и таким образом избирательно пропускать более быстрые в сосуд с высокой температурой, а более медленные — в сосуд с низкой. Из этого мысленного эксперимента вытекало кажущееся противоречие со вторым началом термодинамики. |
|||
Парадокс может быть разрешён при помощи теории информации. Для измерения скорости молекулы «демон» должен был бы получить информацию о её скорости. Но всякое получение информации — материальный процесс, сопровождающийся возрастанием энтропии. Количественный анализ<ref>[[Бриллюэн, Леон|Бриллюэн Л.]] Наука и теория информации. — М., 1960.</ref> показал, что приращение энтропии при измерении превосходит по абсолютной величине уменьшение энтропии, вызванное перераспределением молекул «демоном». |
|||
== Измерение энтропии == |
|||
В реальных [[эксперимент]]ах очень трудно измерить энтропию системы. Техники измерения базируются на термодинамическом определении энтропии и требуют экстремально аккуратной [[калориметрия|калориметрии]]. |
|||
Для упрощения мы будем исследовать механическую систему, термодинамические состояния которой будут определены через её объём <math>V</math> и давление <math>P</math>. Для измерения энтропии определённого состояния мы должны сначала измерить [[теплоёмкость]] при постоянных объёме и давлении (обозначенную <math>C_V</math> и <math>C_P</math>'' соответственно), для успешного набора состояний между первоначальным состоянием и требуемым. Тепловые ёмкости связаны с энтропией <math>S</math> и с температурой <math>T</math> согласно формуле: |
|||
: <math>C_X = T \left(\frac{\partial S}{\partial T}\right)_X,</math> |
|||
где нижний индекс <math>X</math> относится к постоянным объёму и давлению. Мы можем проинтегрировать для получения изменения энтропии: |
|||
: <math>\Delta S = \int \frac{C_X}{T} dT.</math> |
|||
Таким образом, мы можем получить значение энтропии любого состояния (<math>P</math>, <math>V</math>) по отношению к первоначальному состоянию (<math>P_0</math>, <math>V_0</math>). Точная формула зависит от нашего выбора промежуточных состояний. Для примера, если первоначальное состояние имеет такое же давление, как и конечное состояние, то |
|||
: <math> S(P,V) = S(P_0, V_0) + \int^{T(P,V)}_{T(P_0,V_0)} \frac{C_P(P,V(T,P))}{T} dT. </math> |
|||
В добавление, если путь между первым и последним состояниями лежит сквозь любой [[фазовый переход|фазовый переход первого рода]], [[скрытая теплота]], ассоциированная с переходом, должна также учитываться. |
|||
Энтропия первоначального состояния должна быть определена независимо. В идеальном варианте выбирается первоначальное состояние как состояние при экстремально высокой температуре, при которой система существует в виде газа. Энтропия в этом состоянии подобна энтропии классического идеального газа плюс взнос от молекулярных вращений и колебаний, которые могут быть определены [[спектроскопия|спектроскопически]]. |
Энтропия первоначального состояния должна быть определена независимо. В идеальном варианте выбирается первоначальное состояние как состояние при экстремально высокой температуре, при которой система существует в виде газа. Энтропия в этом состоянии подобна энтропии классического идеального газа плюс взнос от молекулярных вращений и колебаний, которые могут быть определены [[спектроскопия|спектроскопически]]. |
||
== Построение графика изменения энтропии == |
== Построение графика изменения энтропии == |
||
{{main|адиабатический процесс}} |
|||
Следующее уравнение может быть использовано для построения графика изменения энтропии на диаграмме <math>P-V</math> для [[Идеальный газ|идеального газа]]: |
|||
: <math> S = n\ \ln (P^{C_V} V^{C_P}). </math> |
|||
Здесь два замечания: |
|||
* это не определение энтропии (но выведено из него для случая идеального газа); |
|||
* предполагается, что <math>C_V</math> и <math>C_P</math> постоянные, что на самом деле не всегда так. |
|||
== «Что такое энтропия?» == |
|||
Следующее уравнение может быть использовано для построения графика изменения энтропии на диаграмме P-V: |
|||
[[Файл:Что сложнее — паровоз или лошадь.png|мини|640px|слева|'''Что сложнее: паровоз или лошадь?''' Когда появились первые паровозы, путеец рассказал обратившимся к нему ошеломлённым крестьянам об устройстве и действии паровой машины и закончил объяснение вопросом: «Всё понятно?» — «Всё! Кроме того, где же внутри находится лошадь?» Крестьяне с детства знают лошадь, она для них в объяснении не нуждается. С научной точки зрения лошадь несравненно более сложна, чем тепловая машина, так что наука пыталась представить лошадь как тепловую машину, а не наоборот]] |
|||
Однозначного ответа на этот вопрос не существует по той простой причине, что разных энтропий много — представление об энтропии используется в различных научных дисциплинах: термодинамике, статистической физике, теории информации и др. Но и внутри каждой из перечисленных дисциплин единообразия также нет и в помине: в теории информации рассматривают [[Информационная энтропия|энтропию Шеннона]], [[Энтропия Реньи|энтропию Реньи]], [[Энтропия#''f''-энтропия|энтропию Чисара]], энтропию Хаврда — Чарват — Дароши{{sfn|''Зарипов Р. Г.'', Новые меры и методы в теории информации| 2005|с =175}}; статистическая физика оперирует энтропиями Больцмана, [[Энтропия Гиббса|Гиббса]], [[Энтропия Цаллиса|Цаллиса]]; существуют различные дефиниции термодинамической энтропии. Содержательная дефиниция той или иной конкретной энтропии зависит от [[Формальная система|аксиоматики]] системы построения/изложения, использующей эту энтропию. По указанной причине не существует универсальной дефиниции термодинамической энтропии, ибо для различных [[Аксиоматика термодинамики|аксиоматических систем]] термодинамики ответ на вынесенный в заголовок вопрос будет различен. |
|||
:<math> S = n R \ \ln (1 + P^{C_V \over R} V^{C_P \over R}) </math> |
|||
Студенты, приступающие к изучению термодинамики, часто жалуются на непонятность энтропии, связанную с отсутствием наглядности (рисунок иллюстрирует относительность представлений людей о наглядности, понятности и простоте термодинамических систем{{#tag:ref|Наглядность, понятность, очевидность и простота есть суждения относительные, зависящее как от обыденности понятия, так и от уровня знаний человека. Крестьяне с детства знали лошадь, и она для них наглядна и понятна. Для теплотехников наглядна и понятна тепловая машина, а не лошадь. [[Томсон, Уильям (лорд Кельвин)|В. Томсон]] как-то на лекции спросил студентов: «Знаете ли вы, кто такой математик?» Написав на аудиторной доске: <math>\int\limits_{-\infty}^{+\infty}\ e^{-x^2}{\mathrm{d}x} = \sqrt{\pi}</math>, Томсон повернулся к студентам и, указывая на эту формулу, сказал: «Математик — тот, для кого это так же очевидно, как для вас то, что дважды два — четыре»{{sfn|''Кричевский И. Р., Петрянов И. В.'' Термодинамика для многих|1975|с =146}}.|group=K}}). |
|||
Здесь два замечания: (1) это не определение энтропии (но выведено из него), (2) предполагается, что ''C<sub>V</sub>'' и ''C<sub>P</sub>'' постоянные, что на самом деле не так. |
|||
Для описания термических явлений в физике вводят новые комплементарные (взаимодополняющие) физические величины — температуру и энтропию, — содержательные дефиниции которым не дают ни в механике, ни в электродинамике. В термодинамике Клаузиуса — Каратеодори энтропию вводят как приведённую внутреннюю энергию изотермической системы, то есть разность энтропий равна приведённой теплоте изотермического процесса. |
|||
В термодинамике Гиббса и в системе [[Гухман, Александр Адольфович|А. А. Гухмана]] энтропия представляет собой неопределяемое базовое понятие — таков в этих системах содержательный ответ на рассматриваемый вопрос{{#tag:ref|Описательная характеристика энтропии как ''термической (тепловой) координаты состояния'' не отменяет того факта, что в системе Гухмана энтропия входит в число основных неопределяемых понятий теории.|group=K}}. В термодинамической аксиоматике [[Гухман, Александр Адольфович|А. А. Гухмана]] {{sfn|Гухман|2010|с =11}}{{sfn|Ляшков В. И., Теоретические основы теплотехники|2015|с =10}}{{sfn|Цирлин А. М., Методы оптимизации в необратимой термодинамике и микроэкономике|2003|с =19}}{{sfn|Исаев С. И., Курс химической термодинамики|1986|с =18}}{{sfn|Жуковский В. С., Термодинамика|1983|с =11}}{{sfn|Леонова В. Ф., Термодинамика|1968|с =19—20}} и рациональной термодинамике в трактовке П. А. Жилина{{sfn|Жилин П. А., Рациональная механика сплошных сред | 2012}}{{#tag:ref|Вот цитата из статьи [[Трусделл, Клиффорд Амброуз|К. Трусделла]], демонстрирующая совпадение его взглядов с подходом П. А. Жилина: «Я повторяю в течение уже многих лет, пренебрегая насмешками людей, наделённых физической интуицией, что температура и энтропия являются наряду с массой, положением и временем первоначальными неопределяемыми переменными. Они описываются только такими свойствами, которые можно выразить языком математики»{{sfn|Трусделл К., Термодинамика для начинающих| 1970|с =117}}. Эти воззрения на температуру и энтропию отличаются от тех, которые сейчас принято рассматривать как отличительную особенность «рациональной термодинамике в трактовке школы Трусделла».|group=K}} и температуру, и энтропию вводят как неопределяемые базовые переменные, несводимые к более простым{{#tag:ref|Чтобы дать содержательную дефиницию какому-либо понятию, нужно указать, частным случаем какого более общего понятия оно является. Если более фундаментального понятия не существует, то понятие в конце цепочки дефиниций является неопределяемым — базовым (первичным, исходным, начальным) понятием аксиоматической системы, несводимым к более простым. В любой науке имеются такие первичные понятия, те элементарные кирпичики, из которых строятся все остальные, производные понятия, и которым не даются содержательные дефиниции в самой научной дисциплине. Примерами неопределяемых базовых понятий служат: в математике — множество, в физике — пространство, время, масса, энергия и др. Невозможность дать понятию или переменной содержательной дефиниции без выхода за границы изучаемой дисциплины, во-первых, не означает запрета на использование для базового понятия/переменной описательных дефиниций, и, во-вторых, свойства базовых понятий/переменных описываются аксиомами рассматриваемой теории. Иными словами, набор базовых понятий/переменных научной дисциплины зависит от выбора системы изложения/построения этой дисциплины, а полный набор её аксиом образует систему содержательных дефиниций базовых понятий/переменных теории.|group=K}}. Пояснительное дополнение к дефиниции энтропии по Гухману разъясняет, что энтропия есть [[Термодинамические величины#Термодинамические координаты состояния и потенциалы взаимодействия|координата состояния]] при термическом взаимодействии (теплообмене), которое выражается в переносе энтропии от одного объекта к другому{{sfn|Свиридов В. В., Свиридов А. В., Физическая химия|2016|с =113}}. |
|||
В рациональной термодинамике в трактовке школы [[Трусделл, Клиффорд Амброуз|Трусделла]] в качестве базовой термической переменной используют температуру <math>T</math>, то есть привычную и по этой причине всем понятную физическую величину. Энтропию <math>S</math> вводят как полезную вспомогательную функцию энергии <math>E</math> и температуры{{sfn|Максимов|2009| с=7}}: |
|||
: <math> S \equiv \int^{E}_{0} \frac{1}{T} dE ,</math> |
|||
но, в отличие от другой функции энергии и температуры, — теплоёмкости <math>C</math>{{sfn|Максимов|2009| с=6}} |
|||
: <math> C \equiv \frac {\partial E}{\partial T} , </math> |
|||
в формулу, служащую дефиницией энтропии, входит не производная, а интеграл. Пояснительное дополнение к ответу, пригодное почти{{#tag:ref|Слово «почти» служит напоминанием о том, что любую систему построения/изложения термодинамики, в которой энтропия есть понятие вторичное (выводимое из понятий более общих), можно в принципе преобразовать в другую систему — «безэнтропийную термодинамику», — в которой энтропию как понятие необязательное уже не используют{{sfn|''Игнатович В. Н.'', Введение в диалектико-материалистическое естествознание|2007|с =411}}. В связи со сказанным упомянем, что автор [[Третий закон термодинамики|третьего закона термодинамики]] [[Нернст, Вальтер Герман|Вальтер Нернст]] в своих работах не «пользовался понятием энтропии, которое он считал неясным и потому попросту не любил его»{{sfn|''Гельфер Я. М.'', История и методология термодинамики и статистической физики|1981|с =228}} (Нернст использовал [[Свободная энергия Гельмгольца|свободную энергию Гельмгольца]], связанную с [[Свободная энергия Гельмгольца#Свободная энергия Гельмгольца и максимальная работа|максимальной работой]], то есть энтропию он заменял взятой со знаком «минус» производной от энергии Гельмгольца по температуре{{sfn|''Nernst Walther'', Theoretische Chemie|1900|S =29}}). |group=K}} для любого способа изложения термодинамики, сообщает, что энтропия необходима для построения математического аппарата термодинамики и, следовательно, привлечение термодинамики к решению любой научной или практической задачи явно или неявно подразумевает использование энтропии. Польза, приносимая людям от обращения к термодинамике, есть польза от ввода энтропии в понятийный аппарат науки. Дополнительно к сказанному можно провести аналогию с теплоёмкостью: если для неизотермических процессов нагрева льда, жидкой воды и водяного пара затраты энергии равны произведению теплоёмкости на разность температур, то для изотермических процессов таяния и кипения затраты энергии равны произведению температуры на разность энтропий. |
|||
Понять энтропию и её значение для термодинамики означает, что необходимо знать происхождение этой величины, понимать её связи с другими термодинамическими переменными и уметь применять энтропию на практике{{#tag:ref|В связи со сказанным представляют интерес воспоминания [[Кикоин, Исаак Константинович|И. К. Кикоина]], посещавшего в студенческие годы семинар [[Фок, Владимир Александрович|В. А. Фока]] и рассказавшего историю про поиск решения сложной задачи по электростатике: «…в конце концов, получили длиннющее дифференциальное уравнение. Оно занимало всю доску. За математическими выкладками мы следили очень внимательно, так что с математикой всё было в порядке, а вот усмотреть физический смысл, скрытый за этой длинной формулой, мы не могли. Кто-то из студентов спросил Владимира Александровича: “А какой физический смысл имеет это уравнение?”. — Он на нас посмотрел с укором и сказал: “А физический смысл этого уравнения заключается в том, что оно имеет решение”»{{sfn|''Кикоин И. К.'' Рассказы о физике и физиках|1986|с =33}}.|group=K}}{{sfn|''Кричевский И. Р., Петрянов И. В.'' Термодинамика для многих|1975|с =146}}. |
|||
== См. также == |
== См. также == |
||
{{кол|4}} |
|||
* [[Чёрная дыра]] |
|||
* [[Аксиоматика термодинамики]] |
|||
* [[Тепловая смерть]] |
|||
* [[Внутренняя энергия]] |
|||
* [[Демон Максвелла]] |
* [[Демон Максвелла]] |
||
* [[Негэнтропия]] |
|||
* [[Термодинамические потенциалы]] |
|||
* [[ |
* [[Стрела времени]] |
||
* [[Тепловая смерть]] |
|||
* [[Информационная энтропия]] |
|||
* [[Температура]] |
|||
*[http://www.wikiznanie.ru/ru-wz/index.php/%D0%A2%D0%B5%D1%80%D0%BC%D0%BE%D0%B4%D0%B8%D0%BD%D0%B0%D0%BC%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%B0%D1%8F_%D1%8D%D0%BD%D1%82%D1%80%D0%BE%D0%BF%D0%B8%D1%8F Энергетическое определение энтропии] |
|||
* [[Термодинамика чёрных дыр]] |
|||
* [[Характеристическая функция (термодинамика)|Характеристическая функция]] |
|||
* [[Энтропия]] |
|||
* [[Энтропия Гиббса]] |
|||
* [[Энтропия Реньи]] |
|||
* [[Энтропия Цаллиса]] |
|||
* [[Энтропия#''f''-энтропия|Энтропия Чисара]] |
|||
* [[Информационная энтропия|Энтропия Шеннона]] |
|||
{{кол|конец}} |
|||
== Комментарии == |
|||
{{примечания|group=K}} |
|||
== Примечания == |
|||
{{примечания|45em}} |
|||
== Литература == |
== Литература == |
||
{{refbegin2}} |
|||
* [[Ферми, Энрико|Fermi, E.]], ''Thermodynamics'', Prentice Hall (1937) |
|||
* {{книга|автор =Buchdahl H. A.|заглавие =The Concepts of Classical Thermodynamics|место =Cambridge|издательство =Cambridge University Press|год = 1966|allpages =XI + 223|ref =Buchdahl H. A., The Concepts of Classical Thermodynamics}} |
|||
* Reif, F., ''Fundamentals of statistical and thermal physics'', McGraw-Hill (1965) |
|||
* {{книга|автор = Callen H. B. |заглавие = Thermodynamics and an Introduction to Thermostatistics |ссылка= |язык= |издание = 2nd ed | место= N. Y. e. a. |издательство= John Wiley |год =1985|том= |allpages =xvi + 493|серия= |isbn= 0471862568, 9780471862567 |ref =Callen}} |
|||
<references/> |
|||
* {{книга|автор= [[Клаузиус, Рудольф Юлиус Эммануэль|Clausius R.]]|заглавие= Die mechanische Wärmetheorie. Band 1|издание= 3 Auflage|место= Braunschweig|издательство= Druck und Verlag von Friedrich Vieweg und Sohn|год =1887|allpages =XVI + 403|страниц= |ref =Clausius}} |
|||
* {{статья|автор =[[Афанасьева, Татьяна Алексеевна|Ehrenfest-Afanassjewa T.]]|заглавие =Zur Axiomatisierung des zweiten Hauptsatzes der Thermodynamik|ссылка= |язык=de|издание =Zeitschrift für Physik|издательство= |год =1925|volume=33|номер=1|pages =933–945|doi= |ref= }} |
|||
* {{статья|автор =[[Афанасьева, Татьяна Алексеевна|Ehrenfest-Afanassjewa T.]]|заглавие =Berichtigung zu der Arbeit: Zur Axiomatisierung des zweiten Hauptsatzes der Thermodynamik|ссылка= |язык=de|издание= Zeitschrift für Physik|издательство= |год= 1925|volume= 34|номер= 1|pages = 638|doi= |ref= }} |
|||
* {{книга|автор =[[Афанасьева, Татьяна Алексеевна|Ehrenfest-Afanassjewa T.]]|заглавие =Die Grundlagen der Thermodynamik|издание= |место=Leiden|издательство=E.J. Brill|год=1956|том= |страниц=XII + 131|ref= }} |
|||
* {{статья|автор =Falk G., Jung H.|заглавие =Axiomatik der Thermodynamik|ссылка= |язык=de|издание=Flügge S. (ed.). Encyclopedia of Physics / Flügge S. (Hrsg.). Handbuch der Physik|издательство=Springer-Verlag|год=1959|volume =III/2. Principles of Thermodynamics and Statistics / Band III/2. Prinzipien der Thermodynamik und Statistik, S. 119–175|ref=Falk, Jung}} |
|||
* {{книга |автор =Guggenheim E. A. |заглавие= Thermodynamics: An Advanced Treatment for Chemists and Physicists|издание =7th ed |ссылка= |место= Amsterdam |издательство= North-Holland |год =1985|том= |allpages =xxiv + 390|серия= |isbn= 0 444 86951 4 |ref =Guggenheim}} |
|||
* {{книга|автор = Lebon G., Jou D., Casas-Vázquez J.|заглавие =Understanding Non-equilibrium Thermodynamics: Foundations, Applications, Frontiers|ссылка= |язык= |издание =|место= Berlin — Heidelberg |издательство =Springer|год =2008|том= |allpages =xiii + 325 |серия= |isbn =978-3-540-74251-7, 978-3-540-74252-4 |doi = 10.1007/978-3-540-74252-4 |ref =Lebon}} |
|||
* {{книга|автор =[[Нернст, Вальтер Герман|Nernst Walther]]|заглавие =Theoretische Chemie vom Standpunkte der avogadro’schen Regel und der Thermodynamik|ссылка = |язык = |издание =Dritte Auflage|место =Stuttgart|издательство =Verlag von Ferdinand Enke|год =1900|том = |allpages =xiv + 710|серия = |isbn = |ref =''Nernst Walther'', Theoretische Chemie}} |
|||
* {{книга|автор=Noll W.|заглавие=The Foundations of Mechanics and Thermodynamics: Selected Papers|ответственный= |издание= |место=Berlin — Heidelberg — New York|издательство=Springer-Verlag|год=1974. — X + 324 p|том= |страниц= |серия= |isbn=978-3-642-65819-8|ref=Noll W., The Foundations of Mechanics and Thermodynamics|1975}} |
|||
* ''Reif F.'' Fundamentals of statistical and thermal physics. — McGraw-Hill, 1965. |
|||
* {{книга|автор= [[Тисса, Ласло|Tisza Laszlo]]|заглавие =Generalized Thermodynamics|ответственный= |издание= |место =Cambridge (Massachusetts) — London (England)|издательство =The M.I.T. Press|год =1966|том= |allpages =xi + 384|серия= |isbn= |ref =Tisza}} |
|||
* {{книга|автор=[[Трусделл, Клиффорд Амброуз|Truesdell C.]]|заглавие= The Tragicomical History of Thermodynamics, 1822–1854|ответственный= |издание= |место=New York — Heidelberg — Berlin|издательство=Springer-Verlag|год =1980|том= |allpages =xii + 372|серия=Studies in the History of Mathematics and Physical Sciences. Vol. 4|isbn=978-1-4613-9446-4|ref=Truesdell, 1980}} |
|||
* {{книга|автор=[[Трусделл, Клиффорд Амброуз|Truesdell C.]], Bharatha S.|заглавие=The Concepts and Logic of Classical Thermodynamics as a Theory of Heat Engines|ответственный= |издание= |место=New York — Heidelberg — Berlin|издательство=Springer-Verlag|год=1977|том = |allpages =xvii + 154|серия= |isbn=3-540-07971-8|ref=Truesdell, 1977}} |
|||
* {{книга|автор= [[Трусделл, Клиффорд Амброуз|Truesdell C.]]|заглавие= Rational Thermodynamics |ответственный= |издание= |место= New York—Berlin—Heidelberg—Tokyo|издательство= Springer-Verlag |год= 1984 |том= |allpages =xviii + 578|серия= |isbn= 0-387-90874-9 |ref =Truesdell, 1984}} |
|||
* {{статья|автор=Wehrl Alfred|заглавие=General properties of entropy|ссылка= http://www.webcitation.org/6OnwNIDN7|язык =en|издание =Reviews of Modern Physics|издательство =American Physical Society|год =1978|volume =50|номер =2|pages =221–260|doi=10.1103/RevModPhys.50.221}} |
|||
* {{книга|автор= Алексеев Г. Н. |заглавие = Энергия и энтропия|ответственный = |издание= |место =М.|издательство = Знание|год =1978|том= |страниц =192|серия= Жизнь замечательных идей|isbn = |ref =Алексеев Г. Н., Энергия и энтропия|1978}} |
|||
* {{книга|автор=Архаров А. М., Исаев С. И., Кожинов И. А. и др.|заглавие =Теплотехника|ответственный =Под. общ. ред. В. И. Крутова |издание= |место =М.|издательство =Машиностроение |год =1986 |том= |страниц =432 |серия= |isbn = |ref =Архаров А. М. и др., Теплотехника|1986}} |
|||
* {{книга|автор =Ауэрбах Ф.|заглавие = Царица мира и её тень|ответственный = |издание= 6-е изд|место = Одесса|издательство = Матезис|год = 1913|том= |страниц = VIII + 50|серия= |isbn = |ref =Ауэрбах Ф., Царица мира и её тень|1913}} |
|||
* {{статья|автор =[[Афанасьева, Татьяна Алексеевна|Афанасьева-Эренфест Т. А.]]|заглавие =Необратимость, односторонность и второе начало термодинамики|ссылка= |язык =ru|издание =Журнал прикладной физики|издательство= |год =1928|volume =5|номер =3–4|pages =3—30|doi= |ref=Афанасьева-Эренфест Т. А., Необратимость, односторонность и второе начало термодинамики}} |
|||
* {{книга|автор =Базаров И. П., Геворкян Э. В., Николаев П. Н.|заглавие =Термодинамика и статистическая физика. Теория равновесных систем|место =М.|издательство =Издательство [[Московский государственный университет|Московского университета]]|год =1986|страниц =311|isbn = |ref =''Базаров И. П. и др.'', Термодинамика и статистическая физика}} |
|||
* {{книга|автор =Базаров И. П.|заглавие =Термодинамика|издание =5-е изд|место =СПб.—М.—Краснодар|издательство =Лань|год =2010|том= |страниц =384|серия =Учебники для вузов. Специальная литература|isbn =978-5-8114-1003-3|ref =Базаров И. П., Термодинамика|2010}} |
|||
* {{книга|автор =[[Белоконь, Николай Иович|Белоконь Н. И.]]|заглавие =Термодинамика|издание= |место =М.|издательство =Госэнергоиздат|год =1954|том= |страниц =416|серия= |isbn= |ref =Белоконь Н. И., Термодинамика|1954}} |
|||
* {{книга|автор =[[Белоконь, Николай Иович|Белоконь Н. И.]]|заглавие =Основные принципы термодинамики|издание= |место =М.|издательство =Недра|год =1968|том= |страниц =112|серия= |isbn= |ref =Белоконь Н. И., Основные принципы термодинамики|1968}} |
|||
* {{статья|автор= [[Борн, Макс|Борн М.]]|заглавие= Критические замечания по поводу традиционного изложения термодинамики|ссылка= |язык= ru|издание= Развитие современной физики|издательство= М.: Наука|год= 1964|страницы=223—256|volume= |номер= |с= |doi= |ref= Борн}} |
|||
* {{книга|автор =Бэр Г. Д.|заглавие =Техническая термодинамика|издание= |место =М.|издательство =Мир|год=1977|том= |страниц =519|серия= |isbn= |ref =Бэр Г. Д., Техническая термодинамика|1977}} |
|||
* {{книга|автор =[[Волькенштейн, Михаил Владимирович|Волькенштейн М. В.]]|заглавие =Энтропия и информация|издание= |место =М.|издательство =Наука|год =1986|том= |страниц =192|серия= Проблемы науки и технического прогресса|isbn= |ref =Волькенштейн М. В., Энтропия и информация|1986}} |
|||
* {{книга|автор =Воронин Г. Ф.|заглавие =Основы термодинамики|ответственный= |издание= |место =М.|издательство =Издательство Моск. университета|год =1987|том= |страниц =192|серия= |isbn= |ref =Воронин Г. Ф., Основы термодинамики|1987}} |
|||
* {{книга|автор= Гельфер Я. М.|заглавие= История и методология термодинамики и статистической физики|издание= 2-е изд., перераб. и доп|издательство= Высшая школа|год= 1981|место= М.|страниц= 536|ref= Гельфер Я. М., История и методология термодинамики и статистической физики|1981}} |
|||
* {{книга|автор= Герасимов Я. И., Древинг В. П., Ерёмин Е. Н. и др.|заглавие= Курс физической химии|ответственный= Под общ. ред. Я. И. Герасимова|издание=2-е изд|место=М.|издательство=Химия|год =1970|том=I|страниц=592|серия= |isbn= |ref =Герасимов Я. И. и др., Курс физической химии, т. 1|1970}} |
|||
* {{книга|автор =Гиббс Дж. В.|заглавие =Термодинамические работы|ответственный =Пер. с англ. под ред. проф. В. К. Семенченко|издание= |место =М. — Л.|издательство =Гостехтеориздат|год =1950|том= |страниц=492|серия =Классики естествознания|isbn= |ref =Гиббс Дж. В., Термодинамические работы|1950}} |
|||
* {{книга|автор =[[Гиббс, Джозайя Уиллард|Гиббс Дж. В.]]|заглавие =Термодинамика. Статистическая механика|ответственный =Отв. ред. Д. Н. Зубарев|издание= |место =М.|издательство =Наука|год =1982|том = |страниц =584|серия =Классики науки|isbn= |ref =Гиббс Дж. В., Термодинамика. Статистическая механика|1982}} |
|||
* {{книга|автор =Глазов В. М.|заглавие =Основы физической химии|ответственный= |издание= |место =М|издательство =Высшая школа|год =1981|том= |страниц =456|серия= |isbn= |ref =Глазов В. М., Основы физической химии|1981}} |
|||
* {{книга|автор =Гленсдорф П., Пригожин И.|заглавие =Термодинамическая теория структуры, устойчивости и флуктуаций|место =М.|издательство =Мир|год =1973|страниц =280|ref =Гленсдорф П., Пригожин И., Термодинамическая теория структуры, устойчивости и флуктуаций}} |
|||
* {{книга|автор =Гухман А. А.|заглавие =Об основаниях термодинамики|издание =2-е изд., испр|место =М.|издательство =Издательство ЛКИ|год =2010|том= |страниц =384|серия= |isbn =978-5-382-01105-9|ref =Гухман}} |
|||
* {{книга|автор =[[Гроот, Сибрен Руурдс де|Де Гроот С.]], Мазур П.|заглавие =Неравновесная термодинамика|место =М.|издательство =Мир|год =1964|страниц =456|ref =Де Гроот С., Мазур П., Неравновесная термодинамика}} |
|||
* {{книга|автор =Жариков В. А.|заглавие =Основы физической геохимии|ссылка = http://geo.web.ru/db/msg.html?mid=1180354&uri=index.html |ответственный= |издание =|место =М.|издательство =Наука; Издательство МГУ|год =2005|том= |страниц =656|серия =Классический университетский учебник|isbn =5-211-04849-0, 5-02-035302-7 |ref =Жариков}} |
|||
* {{книга|автор=Жилин П. А.|заглавие=Рациональная механика сплошных сред|ответственный= |издание=2-е изд|место=СПб.|издательство=Издательство Политехн. университета|год=2012|том= |страниц=584|серия= |isbn=978-5-7422-3248-3|ref= Жилин П. А., Рациональная механика сплошных сред|2012}} |
|||
* {{книга|автор =Жуковский В. С.|заглавие =Термодинамика|ответственный =Под ред. [[Гухман, Александр Адольфович|А. А. Гухмана]]|место =М.|издательство =[[Энергоатомиздат]]|год =1983|страниц =304|ref =Жуковский В. С., Термодинамика}} |
|||
* {{книга|автор =Залевски К.|заглавие =Феноменологическая и статистическая термодинамика: Краткий курс лекций|ответственный =Пер. с польск. под. ред. Л. А. Серафимова|издание= |место =М.|издательство =Мир|год =1973|том= |страниц =168|серия= |isbn= |ref =Залевски К., Феноменологическая и статистическая термодинамика|1973}} |
|||
* {{книга|автор =Зарипов Р. Г.|заглавие =Новые меры и методы в теории информации|ссылка = http://www.imm.knc.ru/zaripov-measures.html|ответственный = |место =[[Казань]]|издательство =Издательство [[Казанский национальный исследовательский технический университет|Казан. гос. техн. университета]]|год = 2005|страниц =364|ref =''Зарипов Р. Г.'', Новые меры и методы в теории информации}} |
|||
* {{книга|автор= [[Зоммерфельд, Арнольд|Зоммерфельд А.]]|заглавие=Термодинамика и статистическая физика|ответственный=Пер. с нем.|издание= |место=М.|издательство=Издательство иностр. литературы|год=1955|том= |страниц=480|серия= |isbn= |ref=Зоммерфельд А., Термодинамика и статистическая физика|1955}} |
|||
* {{книга|автор =Игнатович В. Н.|заглавие =Введение в диалектико-материалистическое естествознание|ответственный = |издание = |место =[[Киев]]|издательство =Экмо|год =2007|страниц =468|isbn =978-966-8555-78-7|ref =''Игнатович В. Н.'', Введение в диалектико-материалистическое естествознание}} |
|||
* {{книга|автор =Исаев С. И.|заглавие =Курс химической термодинамики|ответственный = |издание=2-е изд., перераб. и доп|место =М.|издательство = [[Высшая школа (издательство)|Высшая школа]]|год =1986|том = |страниц =272|серия = |isbn = |ref =Исаев С. И., Курс химической термодинамики}} |
|||
* {{книга|автор =Квасников И. А.|заглавие =Молекулярная физика|издание = |издательство =Эдиториал УРСС|год =2009|место =М.|страниц =232|isbn =978-5-901006-37-2|ref=Квасников И. А., Молекулярная физика|2009}} |
|||
* {{книга|автор =Квасников И. А.|заглавие =Термодинамика и статистическая физика. Т. 1: Теория равновесных систем: Термодинамика|издание =2-е изд., сущ. перераб. и доп|издательство =Едиториал УРСС|год =2002|место=М.|страниц =240|isbn =5-354-00077-7|ref =Квасников}} |
|||
* {{статья|автор =[[Каратеодори, Константин|Каратеодори К.]]|заглавие =Об основах термодинамики (1909)|ссылка= |язык =ru|издание =Развитие современной физики — Отв. ред. Б. Г. Кузнецов|место =М.|издательство =Наука, 1964. — 331 с|том = |номер = |страницы =223—256|doi= |ref =Каратеодори}} |
|||
* {{книга|автор =[[Кикоин, Исаак Константинович|Кикоин И. К.]]|заглавие =Рассказы о физике и физиках|издание = Библиотечка «Квант». Выпуск 53|место =М.|издательство =[[Наука (издательство)|Наука]]|год =1986|страниц =160|ref =''Кикоин И. К.'' Рассказы о физике и физиках}} |
|||
* {{статья|автор=[[Клаузиус, Рудольф Юлиус Эммануэль|Клаузиус Р.]]|заглавие=Механическая теория тепла|ссылка= |язык=ru|издание=Второе начало термодинамики|издательство=М.—Л.: Гостехиздат|год=1934|страницы=70—158|volume= |номер= |с= |doi= |ref=Клаузиус}} |
|||
* {{книга|автор = [[Кричевский, Исаак Рувимович|Кричевский И. Р.]]|заглавие =Понятия и основы термодинамики|ответственный= |издание= 2-е изд., пересмотр. и доп|место= М.|издательство= Химия|год= 1970|том= |страниц= 440|серия= |isbn= |ref= Кричевский И. Р., Понятия и основы термодинамики|1970}} |
|||
* {{книга|автор = [[Кричевский, Исаак Рувимович|Кричевский И. Р.]], [[Петрянов-Соколов, Игорь Васильевич|Петрянов И. В.]]|заглавие =Термодинамика для многих|ответственный = |издание = |место =М.|издательство =[[Педагогика (издательство)|Педагогика]]|год =1975|том = |страниц =160|серия =Библиотечка Детской энциклопедии «Учёные — школьнику» |isbn = |ref =''Кричевский И. Р., Петрянов И. В.'' Термодинамика для многих}} |
|||
* {{книга|автор =[[Кубо, Рёго|Кубо Р.]]|заглавие =Термодинамика|издание= |место =М.|издательство= Мир|год =1970|том= |страниц =304|серия= |isbn= |ref =Кубо Р., Термодинамика|1970}} |
|||
* {{книга|автор =[[Ландау, Лев Давидович|Ландау Л. Д.]], [[Лифшиц, Евгений Михайлович|Лифшиц Е. М.]]|заглавие =Статистическая физика. Часть 1|ответственный= |издание= 5-е изд|место= М.|издательство =Физматлит|год =2002|страниц =616|серия =Теоретическая физика в 10 томах. Том 5|том= |isbn =5-9221-0054-8|ref =Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М., Статистическая физика. Часть 1|2002}} |
|||
* {{книга|автор= Леонова В. Ф.|заглавие= Термодинамика|издательство= Высшая школа|год= 1968|место= М.|страниц= 159|ref= Леонова В. Ф., Термодинамика|1968}} |
|||
* {{книга|автор =Ляшков В. И.|заглавие =Теоретические основы теплотехники|издание = |издательство =Курс; Инфра-М|год =2015 |место= М.|страниц =328|isbn =<nowiki>978-5-905554-85-8, 978-5-16-0І0639-7</nowiki>|ref =Ляшков В. И., Теоретические основы теплотехники}} |
|||
* {{книга|автор= Максимов Л. А., Михеенков А. В., Полищук И. Я. |заглавие= [https://mipt.ru/education/chair/theoretical_physics/upload/adf/Maks_Mikh_Polish-arpfux56987.pdf Лекции по статистической физике] |ответственный= |издание= |место= Долгопрудный |издательство= МФТИ |год= 2009 |том= |страниц= 224 |серия= |isbn= |ref= Максимов | 2009}} |
|||
* {{книга|автор =Морачевский А. Г., Смирнова Н. А., Пиотровская Е. М. и др.|заглавие =Термодинамика равновесия жидкость—пар|ответственный =Под ред. А. Г. Морачевского|издание= |место =Л.|издательство =Химия|год =1989|том= |страниц =344|серия= |isbn= 5-7245-0363-8|ref =Морачевский А. Г. и др., Термодинамика равновесия жидкость—пар|1989}} |
|||
* {{книга|автор =Мюнстер А.|заглавие =Химическая термодинамика|ответственный =Пер. с нем. под. ред. чл.-корр. АН СССР Я. И. Герасимова|издание= |место =М.|издательство =Мир|год =1971|том= |страниц =296|серия= |isbn= |ref =Мюнстер А., Химическая термодинамика|1971}} |
|||
* {{книга|автор =[[Новиков, Иван Иванович|Новиков И. И.]]|заглавие =Термодинамика|издание= |место =М.|издательство =Машиностроение|год =1984|том= |страниц =592|серия= |isbn = |ref =Новиков И. И., Термодинамика|1984}} |
|||
* {{статья |автор=Осипов А.И., Уваров А.В. |заглавие=Энтропия и её роль в науке |издание=[[Сетевой образовательный журнал]] |год=2004 |том=8 |номер=1 |страницы=70—79 |ссылка=http://window.edu.ru/window/catalog?p_rid=21215}} |
|||
* {{книга|автор= Петров Н., Бранков Й.|заглавие=Современные проблемы термодинамики|издание=Пер. с болг|место=М.|издательство=Мир|год=1986|том= |страниц=287|серия= |isbn= |ref= Петров Н., Бранков Й., Современные проблемы термодинамики|1986}} |
|||
* {{книга|автор=Полянин А. Д., Полянин В. Д., Попов В. А. и др.|заглавие=Краткий справочник для инженеров и студентов|ответственный = |издание= |место=М.|издательство=Международная программа образования|год=1996|том= |страниц=432|серия= |isbn=5-7753-0001-7|ref=Полянин А. Д. и др., Краткий справочник для инженеров и студентов|1996}} |
|||
* {{книга|автор= Пригожин И., Кондепуди Д.|заглавие= Современная термодинамика. От тепловых двигателей до диссипативных структур |ответственный = Пер. с англ|издание= |место= М.|издательство= Мир |год= 2002 |том= |страниц= 462 |серия= |isbn= |ref= Пригожин И., Кондепуди Д., Современная термодинамика|2002}} |
|||
* {{книга|автор =[[Пригожин, Илья Романович|Пригожин И.]], Стенгерс И.|заглавие =Порядок из хаоса: Новый диалог человека с природой|место =М.|издательство =Прогресс|год =1986|страниц =461|ref =Пригожин И., Стенгерс И., Порядок из хаоса}} |
|||
* {{книга|автор=Путилов К. А.|заглавие=Термодинамика|ответственный=Отв. ред. М. Х. Карапетьянц|издание= |место=М.|издательство=Наука|год=1971|том= |страниц=376|серия= |isbn= |ref =Путилов К. А., Термодинамика|1971}} |
|||
* {{книга|автор =Радушкевич Л. В.|заглавие =Курс термодинамики|издание = |издательство =Просвещение|год =1971|место =М.|страниц =288|isbn = |ref =Радушкевич Л. В., Курс термодинамики|1971}} |
|||
* {{книга|автор= |заглавие=Развитие современной физики. Сборник статей|ответственный=Отв. ред. Кузнецов Б. Г.|издание= |место=М.|издательство=Наука|год=1964|том= |страниц=331|серия= |isbn= |ref=Развитие современной физики}} |
|||
* {{книга|автор =Свиридов В. В., Свиридов А. В.|заглавие =Физическая химия|издание = |место =СПб.|издательство =Лань|год =2016|страниц =597| isbn =978-5-8114-2262-3|ссылка = |ref =Свиридов В. В., Свиридов А. В., Физическая химия}} |
|||
* {{статья|автор =Свиридонов М. Н.|заглавие =Развитие понятия энтропии в работах Т. А. Афанасьевой-Эренфест|ссылка= |язык=ru|издание =История и методология естественных наук. Выпуск X. Физика|издательство =Издательство МГУ|год =1971|volume= |номер= |pages=112—129|doi= |ref =Свиридонов М. Н., Развитие понятия энтропии в работах Т. А. Афанасьевой-Эренфест}} |
|||
* {{книга|автор =Сейдж Б. Х.|заглавие =Термодинамика многокомпонентных систем|издание = |издательство =Недра|год =1969|место =М|страниц =304|isbn = |ref =Сейдж Б. Х., Термодинамика многокомпонентных систем|1969}} |
|||
* {{книга|автор =[[Семенченко, Владимир Ксенофонтович|Семенченко В. К.]]|заглавие =Избранные главы теоретической физики|ссылка =www.libgen.io/book/index.php?md5=FB60848D6D70A19DBF1154ECCAE49E7F|издание =2-е изд., испр. и доп|издательство =Просвещение|год =1966|место =М.|страниц =396|isbn =|ref =Семенченко}}{{Недоступная ссылка|date=Январь 2020 |bot=InternetArchiveBot }} |
|||
* {{книга|автор =[[Сивухин, Дмитрий Васильевич|Сивухин Д. В.]]|заглавие =Общий курс физики. Т. II. Термодинамика и молекулярная физика|издание =5-е изд., испр|издательство =ФИЗМАТЛИТ|год =2005|место =М.|страниц =544|isbn =5-9221-0601-5|ref =Сивухин Д. В., Термодинамика и молекулярная физика|2005}} |
|||
* {{книга|автор =Сорокин В. С.|заглавие =Макроскопическая необратимость и энтропия. Введение в термодинамику|издание = |место =М.|издательство =ФИЗМАТЛИТ|год =2004|том= |страниц =174|серия= |isbn =5-9221-0507-8|ref=Сорокин В. С., Макроскопическая необратимость и энтропия. Введение в термодинамику|2004}} |
|||
* {{книга|автор =Сычёв В. В.|заглавие=Дифференциальные уравнения термодинамики|издание =2-е изд., перераб|место =М.|издательство =Высшая школа|год =1991|том= |страниц =224|серия= |isbn =5-06-002071-1|ref =Сычёв}} |
|||
* {{книга|автор =Сычёв В. В.|заглавие =Дифференциальные уравнения термодинамики|издание =3-е изд|место =М.|издательство =Издательство МЭИ|год =2010|том= |страниц =256|серия= |isbn =978-5-383-00584-2|ref=Сычёв}} |
|||
* {{книга|автор = Сычёв В. В.|заглавие =Сложные термодинамические системы|издание = 5-е изд., перераб. и доп.|место = М.|издательство= Издательский дом МЭИ|год= 2009|том= |страниц =296|серия= |isbn= 978-5-383-00418-0|ref=Сычёв}} |
|||
* {{книга|автор =Тамм М. Е., Третьяков Ю. Д.|заглавие =Неорганическая химия. Том 1. Физико-химические основы неорганической химии|ответственный= Под. ред. акад. Ю. Д. Третьякова|место =М.|издательство =Академия|год =2004|страниц =240|серия =Высшее профессиональное образование|isbn =5-7695-1446-9|ref =Тамм М. Е., Третьяков Ю. Д., Физико-химические основы неорганической химии}} |
|||
* {{книга|автор =Тер Хаар Д., Вергеланд Г.|заглавие =Элементарная термодинамика|ответственный= Пер. с англ.|издание = |место =М.|издательство =Мир|год =1968|том= |страниц =220|серия = |isbn = |ref =Тер Хаар Д., Вергеланд Г., Элементарная термодинамика|1968}}. |
|||
* {{книга|автор= |заглавие=Термодинамика необратимых процессов. Лекции в летней международной школе физики им. Энрико Ферми|ответственный=Под ред. Д. Н. Зубарева|издание= |место=М.|издательство=Издательство иностранной литературы|год=1962|том= |страниц=427|серия= |isbn= |ref=Термодинамика необратимых процессов}} |
|||
* {{книга|автор=Трайбус М.|заглавие=Термостатика и термодинамика|издание= |место=М|издательство=Энергия|год=1971|том= |страниц=503|серия= |isbn= |ref=Трайбус М., Термостатика и термодинамика}} |
|||
* {{статья|автор=[[Трусделл, Клиффорд Амброуз|Трусделл К.]]|заглавие=Термодинамика для начинающих|ссылка= |язык= ru|издание= Механика. Периодический сборник переводов иностранных статей|издательство= М.: Мир|год= 1970|volume= |номер= 3 (121), с. 116—128|с= |doi= |ref= Трусделл К., Термодинамика для начинающих|1970}} |
|||
* {{книга|автор=[[Трусделл, Клиффорд Амброуз|Трусделл К.]]|заглавие= [http://eqworld.ipmnet.ru/ru/library/books/Truesdell1975ru.djvu Первоначальный курс рациональной механики сплошных сред] |ответственный=Пер. с англ. под. ред. П. А. Жилина и А. И. Лурье|издание= |место=М.|издательство=Мир|год=1975|том= |страниц=592|серия= |isbn= |ref=Трусделл К., Первоначальный курс рациональной механики сплошных сред}} |
|||
* {{книга|автор= Фен Дж. |заглавие= Машины, энергия, энтропия |ответственный= |издание= |место= М. |издательство= Мир |год= 1986 |том= |страниц= 335 |серия= |isbn= |ref=Фен Дж., Машины, энергия, энтропия|1986}} |
|||
* [[Ферми, Энрико|Fermi, E.]], ''Thermodynamics'', Prentice Hall (1937). — Русский перевод: [[Ферми, Энрико]], ''Термодинамика'', Харьков: Издательство Харьковского университета, 1969. — 140 с. |
|||
* {{книга|заглавие=Физическая энциклопедия|ответственный=Гл. ред. [[Прохоров, Александр Михайлович|А. М. Прохоров]]|издание= |место=М.|издательство=[[Большая Российская энциклопедия (издательство)|Большая Российская энциклопедия]]|год=1998|том=5|страниц=760|серия= |isbn=5-85270-101-7|ref=Физическая энциклопедия, т. 5|1998}} |
|||
* {{книга|автор=Хаазе Р.|заглавие=Термодинамика необратимых процессов|издание= |место=М.|издательство=Мир|год=1967|том= |страниц=544|серия= |isbn= |ref=Хаазе Р., Термодинамика необратимых процессов}} |
|||
* {{книга|автор=Черноуцан А. И. |заглавие=Краткий курс физики |ответственный= |издание= |место=М |издательство=ФИЗМАТЛИТ |год=2002|том= |страниц=320 |серия= |isbn=5-9921-0292-3 |ref=Черноуцан А. И., Краткий курс физики|2002}} |
|||
* {{книга|автор=Хазен А. М.|заглавие=Разум природы и разум человека|ответственный= |издание= |место=М.|издательство=РИО «Мособлполиграфиздата»; НТЦ «Университетский»|год=2000|том= |страниц=600|серия= |isbn=5-7953-0044-6|ref=Хазен}} |
|||
* {{книга|автор =[[Хайтун, Сергей Давыдович|Хайтун С. Д.]]|заглавие =Кризис науки как зеркальное отражение кризиса теории познания: Кризис теории познания|ссылка =www.libgen.io/book/index.php?md5=BB7A4DF3D04E410AB163CF2D15B4501C|издание =|место =М.|издательство =[[Издательская группа URSS|Ленанд]]|год =2014|страниц =448|isbn =978-5-9710-1296-2|ref =''Хайтун С. Д.'', Кризис теории познания}}{{Недоступная ссылка|date=Январь 2020 |bot=InternetArchiveBot }} |
|||
* {{книга|автор =Цирлин А. М.|заглавие =Методы оптимизации в необратимой термодинамике и микроэкономике|место =М.|издательство =Физматлит|год =2003|страниц =416|ref =Цирлин А. М., Методы оптимизации в необратимой термодинамике и микроэкономике}} |
|||
* {{книга|автор =Шамбадаль П.|заглавие =Развитие и приложение понятия энтропии|ответственный =Пер. с франц|издание= |место =М.|издательство =Наука|год =1967|том= |страниц =279|серия= |isbn= |ref= Шамбадаль П., Развитие и приложение понятия энтропии}} |
|||
{{refend}} |
|||
== Ссылки == |
== Ссылки == |
||
{{Навигация |
|||
* [http://fn.bmstu.ru/phys/bib/physbook/tom2/ch3/texthtml/ch3_8.htm Термодинамическая энтропия] |
|||
| Портал = |
|||
* [http://www.draaisma.net/rudi/entropy_chaos.html Entropy and chaos]{{ref-en}} |
|||
| Викисловарь = |
|||
* [http://www.poluekt.com/2.html Роль Термодинамики в современном мире. Второе начало термодинамики] |
|||
| Викиучебник = |
|||
* [http://elementy.ru/lib/430413 Статья "Эволюция как сопротивление энтропии"] |
|||
| Викицитатник = Термодинамика |
|||
| Викитека = |
|||
| Викивиды = |
|||
| Викиновости = |
|||
| Метавики = |
|||
}} |
|||
* [https://web.archive.org/web/20071123194713/http://fn.bmstu.ru/phys/bib/physbook/tom2/ch3/texthtml/ch3_8.htm Термодинамическая энтропия] |
|||
* [http://elementy.ru/lib/430413 Статья «Эволюция как сопротивление энтропии»] |
|||
{{rq|refless|style|isbn|topic=physics}} |
|||
[[Категория:Термодинамика]] |
[[Категория:Термодинамика]] |
||
[[Категория:Статистическая физика]] |
|||
[[Категория:Физические величины]] |
|||
[[Категория:Энтропия]] |
|||
{{спам-ссылки|1= |
|||
[[ar:إنتروبية]] |
|||
* www.libgen.io/book/index.php?md5=BB7A4DF3D04E410AB163CF2D15B4501C |
|||
[[bg:Ентропия]] |
|||
* www.libgen.io/book/index.php?md5=FB60848D6D70A19DBF1154ECCAE49E7F |
|||
[[bs:Entropija]] |
|||
}} |
|||
[[ca:Entropia]] |
|||
[[cs:Entropie]] |
|||
[[da:Entropi]] |
|||
[[de:Entropie]] |
|||
[[el:Εντροπία]] |
|||
[[en:Entropy]] |
|||
[[eo:Entropio]] |
|||
[[es:Entropía (termodinámica)]] |
|||
[[fa:انتروپی]] |
|||
[[fi:Entropia]] |
|||
[[fr:Entropie]] |
|||
[[gl:Entropía]] |
|||
[[he:אנטרופיה]] |
|||
[[hi:उत्क्रम]] |
|||
[[hr:Entropija]] |
|||
[[hu:Entrópia]] |
|||
[[ia:Entropia]] |
|||
[[it:Entropia (termodinamica)]] |
|||
[[ja:エントロピー]] |
|||
[[ko:엔트로피]] |
|||
[[lt:Entropija]] |
|||
[[lv:Entropija]] |
|||
[[nl:Entropie]] |
|||
[[nn:Entropi]] |
|||
[[no:Entropi]] |
|||
[[pl:Entropia (termodynamika)]] |
|||
[[pt:Entropia]] |
|||
[[sh:Entropija]] |
|||
[[sk:Entropia]] |
|||
[[sl:Entropija]] |
|||
[[sr:Ентропија]] |
|||
[[sv:Entropi]] |
|||
[[tr:Entropi]] |
|||
[[uk:Термодинамічна ентропія]] |
|||
[[vi:Entropy]] |
|||
[[zh:熵 (熱力學)]] |
Текущая версия от 17:03, 28 апреля 2024
Энтропия | |
---|---|
Размерность | |
Единицы измерения | |
СИ | Дж/К |
СГС | эрг/К |
Термодинамическая энтропия , часто именуемая просто энтропией, — физическая величина, используемая для описания термодинамической системы, одна из основных термодинамических величин; энтропия и температура — сопряжённые термодинамические величины, необходимые для описания термических свойств системы и тепловых процессов в ней. Энтропия является функцией состояния и широко используется в термодинамике, в том числе технической (анализ работы тепловых машин и холодильных установок) и химической (расчёт равновесий химических реакций).
Утверждение о существовании энтропии и перечисление её свойств составляют содержание второго и третьего начал термодинамики. Значимость данной величины для физики обусловлена тем, что наряду с температурой её используют для описания термических явлений и термических свойств макроскопических объектов. Качественные представления о термическом состоянии системы связаны с тепловыми ощущениями, выражаемыми понятиями «теплее», «холоднее», «нагрев», «охлаждение», «степень нагретости». К термическим относят свойства, характеризующие поведение вещества при его нагреве или охлаждении: термические коэффициенты, теплоёмкость и другие калорические коэффициенты, постоянную Кюри, показатели термостойкости, пределы огнестойкости и т. д.; примерами термических явлений служат термическое расширение, пироэлектричество, электрокалорический эффект, теплопроводность, изменение агрегатного состояния — кристаллизация и замерзание, плавление и таяние, испарение, кипение, сублимация (возгонка), конденсация и другие процессы.
Историческая справка
[править | править код]Понятие энтропии, её обозначение и название были введены Р. Клаузиусом (1865). Абстрактность этого понятия — одного из краеугольных камней термодинамики — и разнообразие подходов к обоснованию существования энтропии как термодинамической величины привели к появлению аксиоматики термодинамики.
Термодинамическая дефиниция энтропии
[править | править код]В термодинамике энтропию вводят, обосновывая её существование, перечисляя её свойства и строя для неё шкалу измерения на основании первого, второго и третьего начал термодинамики.
В термодинамических формализмах Клаузиуса[1] и Каратеодори[2] энтропию вводят одновременно с абсолютной термодинамической температурой. Математический аппарат термодинамики Гиббса[3] основан на использовании энтропии в качестве независимой термодинамической переменной, тогда как температура — естественный кандидат на эту роль, вводится как функция внутренней энергии и энтропии. Наконец, в рациональной термодинамике энтропию выражают через внутреннюю энергию и температуру, которые рассматривают как основные неопределяемые переменные теории.
Энтропия простой системы
[править | править код]Первое начало (закон) термодинамики устанавливает связь между внутренней энергией, работой и теплотой: одна из этих физических величин задаётся с помощью двух других, которые, будучи исходными объектами теории, в рамках самой этой теории определены быть не могут просто потому, что не существует понятий более общих, под которые их можно было бы подвести[4]. Термодинамика заимствует понятия энергии и работы из других разделов физики[5][6], тогда как определение количеству теплоты, наоборот, даётся только и именно в термодинамике. Согласно Клаузиусу, теплоту определяют через внутреннюю энергию и работу [7][8]. При использовании термодинамического правила знаков[9] математическое выражение для первого начала термодинамики в формулировке Клаузиуса имеет вид[10]:
(Дефиниция теплоты по Клаузиусу) |
Первое начало в этой формулировке вводит теплоту как физическую характеристику процесса, поведение которой определяется законом сохранения энергии, но не определяет её как математический объект. Детализировать дефиницию теплоты проще всего для равновесного процесса, когда работу, а следовательно и теплоту, можно выразить через переменные состояния. Для бесконечно малого[11] равновесного процесса в простой системе[12] возможен единственный вид работы — работа расширения/сжатия :
(Работа расширения/сжатия для равновесного процесса в простой системе) |
где — давление, — объём; символ означает, что соответствующая величина относится к бесконечно малому процессу. Таким образом, для первого начала термодинамики в формулировке Клаузиуса получаем[13][14]:
(Первое начало для равновесного процесса в простой системе) |
где — элементарная (бесконечно малая) теплота процесса.
Это выражение, определяющее элементарную теплоту как математический объект, есть линейная дифференциальная форма (форма Пфаффа) для двух независимых переменных. Для данной пфаффовой формы условие интегрируемости Эйлера не выполняется, то есть есть функционал[15], а не полный дифференциал несуществующей функции [14]. Из теории дифференциальных форм известно, однако, что если выполняется условие Фробениуса[16], то пфаффова форма имеет интегрирующий множитель/делитель, превращающий эту форму в полный дифференциал и представляющий собой функцию тех же независимых переменных, которые входят в форму Пфаффа[17]. Пфаффовы формы, имеющие интегрирующий множитель/делитель называют голономными; пфаффова форма двух переменных всегда голономна (теорема Коши)[18][19]. Поэтому для простых равновесных систем существует функция состояния , полный дифференциал которой равен
(Дефиниция энтропии простой равновесной системы) |
где
есть интегрирующий делитель для формы Пфаффа. Клаузиус назвал функцию состояния энтропией (от греческого ἐντροπία — изменение, превращение, преобразование). Второе начало термодинамики утверждает, что энтропия существует для любых равновесных систем, а не только простых, и что интегрирующий делитель есть абсолютная термодинамическая температура[20][21][22][19]. Неравновесная термодинамика распространяет представление о локальной энтропии и локальной температуре на любые термодинамические системы.
Интегрирование уравнения для энтропии приводит к появлению в выражении для функции произвольной постоянной, зависящей от выбора начальной точки отсчёта энтропии. Произвол в выборе начального состояния для энтропии устраняет третий закон термодинамики.
Энтропия закрытой системы в термодинамике Клаузиуса — Каратеодори
[править | править код]Традиционный подход к построению термодинамики (аксиоматика Клаузиуса — Каратеодори) основан на использовании представления о внутренней энергии как базовом понятии теории, заимствовании формул для вычисления термодинамической работы из механики и электродинамики сплошных сред, и первом начале термодинамики в формулировке Клаузиуса.
Помимо работы расширения/сжатия система может одновременно выполнять другие виды работ, например работу по изменению площади поверхности раздела фаз, работу перемещения в поле тяготения, работу поляризации диэлектрика в электрическом поле и т. д. Объединяет все эти виды работ формальная структурная идентичность расчётных формул друг с другом и с выражением для работы расширения/сжатия[23][24][25]:
где — элементарная работа -го типа, — обобщённая координата, сопряжённая с обобщённой силой Каждой обобщённой координате соответствует своя обобщённая сила; физические переменные, соответствующие обобщённым координатам и силам, конкретизируют применительно к решаемой задаче[26][27].
Если однородная система одновременно совершает несколько различных видов работ, то они суммируются и полная работа системы равна[23][28][29]
(Суммарная работа для равновесного процесса в однородной системе) |
а для первого начала термодинамики получаем соотношение[30][31]:
(Первое начало для равновесного процесса в однородной системе) |
которое как и в случае простой системы представляет собой форму Пфаффа. Следствием второго начала термодинамики в любой его формулировке является вывод о том, что пфаффова форма при любом числе переменных всегда голономна[21] и, следовательно, для любой закрытой термодинамической системы существуют энтропия
(Энтропия однородной закрытой системы) |
и абсолютная термодинамическая температура
Выражение есть сокращение для перечисления переменных определённого типа, в данном случае — обобщённых координат.
Энтропия открытой системы
[править | править код]Принимая, что теплота и работа являются двумя единственно возможными формами передачи энергии[32][33][34], а изменение энергии, связанное с переносом вещества в открытой системе, есть составная часть общей работы, называемая химической работой (работой перераспределения масс веществ[35]), в случае однородной открытой системы дифференциальную форму для закрытой системы следует дополнить слагаемым, учитывающим элементарную химическую работу [36][37][38][39][40]:
(Химическая работа для равновесного процесса в открытой однородной системе) |
где — масса -го компонента[41], — химический потенциал этого компонента.
Пфаффова форма для открытой однородной системы равна[29]
(Первое начало для равновесного процесса в открытой однородной системе) |
Дальнейшие рассуждения о существовании энтропии
и абсолютной термодинамической температуры
для открытой системы ничем не отличаются от соображений, высказанных при рассмотрении закрытой системы, поэтому ниже перечислены причины, по которым открытые системы потребовали отдельного рассмотрения.
Первая из этих причин состоит в том, что использование в понятийном аппарате термодинамики химической работы как части общей работы делает неэквивалентными представления об адиабатной изоляции как накладывающей запрет на обмен веществом (то есть любая адиабатно изолированная система есть система закрытая или, говоря иначе, масса есть адиабатически заторможенная величина)[42][43][44][45], и адиабатной изоляции как допускающей обмен энергией только в форме работы[46][47]. Восстановить эквивалентность приведённых выше формулировок об адиабатной изоляции удаётся, если модифицировать дефиницию теплоты по Клаузиусу, добавив к теплоте и работе третью форму передачи энергии — энергию переноса массы [48][49]:
(Модифицированная дефиниция теплоты для открытой системы) |
где задаётся выражением для химической работы.
Вторая причина отдельного рассмотрения вопроса об энтропии открытых систем заключается в следующем. За исключением химического потенциала все входящие в пфаффову форму для открытой системы переменные в рамках термодинамического формализма представляют собой неопределяемые величины, заимствуемые из других разделов физики, что подразумевает необязательность их описания в самой термодинамике. Химический потенциал вводится в термодинамике и либо должен быть отнесён к базовым неопределяемым понятиям, для которых возможно только пояснительное описание, либо же от термодинамики требуется точная дефиниция химического потенциала. Как неопределяемую величину химический потенциал можно вводить одновременно с температурой и энтропией (более, того П. А. Жилин[50] считает такой подход единственно правильным[51]), но традиционно химический потенциал предпочитают вводить в рассмотрение как вторичную переменную на основе предварительно сформированного представления об энтропии открытой системы. Для этого вслед за У. Гиббсом[52][45] без доказательства принимают утверждение о существовании энтропии открытой системы[53][54][55]
(Энтропия открытой однородной системы по Гиббсу; фундаментальное уравнение Гиббса в энтропийном выражении) |
как функции состояния, при неизменности масс компонентов совпадающей с энтропией однородной закрытой системы. Из фундаментального уравнения Гиббса в дифференциальной форме[55]
(Дифференциальная форма фундаментального уравнения Гиббса для энтропии) |
находим значения частных производных энтропии:
Химический потенциал -го компонента выразим через частную производную энтропии по массе этого компонента[56]:
(Дефиниция химического потенциала компонента) |
Энтропия в термодинамике Гиббса
[править | править код]Построение теории на основе постулирования существования энтропии как функции состояния, в состав независимых переменных которой входят массы компонентов, составляет главное содержание термодинамики Гиббса[57], а способ, каким выполнено распространение термодинамики Клаузиуса на открытые системы, позволяет говорить об аксиоматике Гиббса[52][45]. В термодинамике Гиббса вводят понятия компонента системы, фазы и многофазной гетерогенной системы, постулируют существование внутренней энергии и энтропии как аддитивных переменных состояния, постулируют связь этих величин с независимыми переменными состояния в виде фундаментальных уравнений Гиббса в энергетическом и энтропийном выражениях, постулируют аддитивность входящих в эти фундаментальные уравнения независимых переменных, постулируют, что есть термодинамическая температура, вводят химический потенциал и постулируют общее условие термодинамического равновесия в системе[58], рассматриваемое далее в числе свойств энтропии.
Обратите внимание, что содержательную дефиницию температуры по Гиббсу[59][60][61]
(Термодинамическая температура по Гиббсу) |
можно, с другой стороны, рассматривать и как описательную дефиницию энтропии. А именно, энтропия в термодинамике Гиббса есть такая экстенсивная переменная состояния, что производная внутренней энергии по энтропии представляет собой интенсивную переменную состояния, обладающую всеми положенными термодинамической температуре свойствами.
Энтропия в рациональной термодинамике
[править | править код]Рациональная термодинамика не подразделяет термодинамику на равновесную и неравновесную; обе эти дисциплины рассматриваются как единая часть физики сплошных сред[62][63][64][65]. Равновесная рациональная термодинамика есть результат применения общей теории к системам в состоянии равновесия[66]. Исходные неопределяемые понятия теории — энергия , объём и число молей компонента . По аналогии с давлением
при механическом равновесии имеющем одинаковое значение во всех частях системы, вводят химический потенциал
как интенсивную величину, имеющую при химическом равновесии одно и то же значение во всех частях системы[67]. Абсолютную термодинамическую температуру вводят посредством следующей аксиомы: существует интенсивная термодинамическая величина, температура
которая характеризует степень нагретости тел и обладает следующими свойствами[68]:
- в выбранном за начало отсчёта состоянии температура равна нулю
- ;
- температура монотонно растёт с увеличением энергии системы
- ;
- при термодинамическом равновесии имеет одно и то же значение во всех частях системы.
Энтропию в рациональной термодинамике задают как аддитивную величину, равную[69]
Свойства энтропии, вытекающие из этого определения[69]:
- ;
- ;
- ;
где — теплоёмкость системы при постоянном объёме. Из определения энтропии и её свойств следует, что при условии постоянства энергии энтропия системы максимальна, когда все части системы имеют одинаковую температуру — вариационный принцип максимальности энтропии в состоянии равновесия[69]. Таким образом, энтропия есть монотонная выпуклая функция энергии, достигающая максимума в состоянии термодинамического равновесия; состояние системы, принятое за начало шкалы отсчёта энергии, есть одновременно состояние для начальных точек отсчёта температуры и энтропии.
Свойства энтропии
[править | править код]Перечисление свойств энтропии дано применительно к термодинамике Гиббса; примеры, приводимые для иллюстрации перечисляемых свойств энтропии, относятся, как правило, к открытым однородным термодеформационным системам, для которых справедливо фундаментальное уравнение Гиббса в энтропийном выражении[70][71]:
(Фундаментальное уравнение Гиббса в энтропийном выражении для открытой термодеформационной системы) |
- Энтропия в фундаментальном уравнении в энтропийном выражении есть однозначная дифференцируемая функция аддитивных независимых переменных[72][44][73] с непрерывными первыми и кусочно-непрерывными вторыми производными.
- Энтропия есть величина аддитивная[74][75][76][72][77][78][79][80], то есть энтропия термодинамической системы равна сумме энтропий всех её частей. Аддитивность энтропии позволяет распространить это понятие на термодинамические системы любой сложности.
- Как следствие аддитивности получаем, что энтропия в фундаментальном уравнении в энтропийном выражении есть однородная функция первого порядка всех независимых переменных[81][73], то есть для
- и для неё справедливо тождество (теорема) Эйлера[82]:
- Для однородной системы частная производная энтропии по внутренней энергии есть величина, обратная абсолютной термодинамической температуре (термодинамическая дефиниция температуры как следствие второго начала термодинамики)[83][60][61][84]:
(Термодинамическая дефиниция температуры) |
- В соответствии с теоремой об обратных величинах[85] это определение совпадает с дефиницией равновесной температурой по Гиббсу[59][60][61]:
(Термодинамическая температура по Гиббсу) |
- Энтропия есть монотонная функция внутренней энергии , то есть абсолютная термодинамическая температура не может менять свой знак[70]. В шкале Кельвина абсолютная термодинамическая температура всегда положительна[86]. Использование отрицательных по шкале Кельвина температур есть удобный математический приём описания неравновесных подсистем систем с особыми свойствами[87].
- Энтропия есть величина полуограниченная. Традиционно принимают, что энтропия ограничена снизу, то есть для каждой термодинамической системы существует состояние с наименьшей энтропией[88].
- Температура есть величина полуограниченная. Абсолютная температурная шкала Кельвина построена так, что
- Нуль и бесконечность допустимы в качестве пределов[88].
- Для любой термодинамической системы состояния с наименьшей энтропией и наименьшей температурой совпадают (постулат Планка)[88][89]. С приближением температуры к абсолютному нулю энтропия перестаёт зависеть от температуры и приближается к определённому постоянному значению, которое можно положить равным нулю[90] и принять за начало отсчёта энтропии, устранив тем самым упомянутый в разделе Энтропия простой системы произвол в выборе постоянной интегрирования для энтропии:
(Третье начало термодинамики; тепловая теорема Нернста) |
- Согласно постулату Тиссы внутренняя энергия ограничена и эта граница соответствует абсолютному нулю температуры[88][91]. Таким образом, состояние системы при абсолютном нуле температуры, когда все термодинамические величины, характеризующие равновесное состояние, перестают зависеть от температуры[92], наилучшим образом подходит в качестве стандартного состояния начала отсчёта основных термодинамических величин.
- Энтропия изолированной системы в состоянии термодинамического равновесия имеет максимальное значение (постулат Гиббса)[93][92], то есть для равновесия изолированной системы необходимо и достаточно, чтобы при всех возможных (не нарушающих постоянства внутренней энергии, обобщённых координат и масс компонентов) изменениях её состояния вариация энтропии системы не была положительной[94]:
(Условие равновесия изолированной системы) |
- Поскольку речь идёт об изолированной системе, внешнее воздействие на которую запрещено, понятие вариации в данном случае означает виртуальное изменение энтропии[95]. Знак равенства в этом выражении относится к безразличному равновесию.
- Условие равновесия Гиббса вытекает из входящего в состав второго начала термодинамики постулата Клаузиуса о неубывании энтропии адиабатно изолированной системы[94]
- Энтропия в фундаментальном уравнении в энтропийном выражении есть характеристическая функция, то есть фундаментальное уравнение содержит все термодинамические сведения о данной системе[73].
Энтропия как характеристическая функция
[править | править код]Энтропия и теплота квазистатического (равновесного) процесса
[править | править код]Из выражения для первого начала в открытой однородной системе и дифференциальной формы фундаментального уравнения Гиббса для энтропии получаем выражение для элементарной теплоты равновесного (квазистатического) процесса[96][97]:
(Теплота элементарного равновесного процесса) |
(для простой равновесной системы это выражение непосредственно вытекает из дефиниции энтропии).
Данное соотношение, связывающее термодинамику Клаузиуса с термодинамикой Гиббса, представляет интерес для пользователей, которым требуется изложить материал из старой учебной и научной литературы с применением терминологии, либо вовсе не использующей понятие «теплота», либо использующей его как определяемое через энтропию и абсолютную температуру вторичное понятие.
Энтропия как характеристика изотермического процесса
[править | править код]Для равновесного изотермического процесса с нулевой работой интегрирование выражения для теплоты равновесного процесса даёт следующее выражение для изменения внутренней энергии:
то есть в любом равновесном изотермическом процессе с нулевой работой энергия расходуется на увеличение энтропии системы и выделяется при уменьшении энтропии. Преобразуем это уравнение к виду
и назовём отношение приведённой внутренней энергией. Отсюда вытекает следующая трактовка — одна из нескольких существующих — физического смысла энтропии: энтропия есть приведённая внутренняя энергия изотермической системы.
Рассмотрим в качестве примера фазовые переходы в воде при атмосферном давлении (см. рисунок). При таянии льда подводимая к системе энергия расходуется на увеличение энтропии системы вследствие изменения структуры H2O, тогда как температура системы лёд + вода остаётся близкой к 0 °C (273 К) до полного исчезновения льда. При замерзании воды имеет место обратная ситуация: энергия выделяется в окружающую среду при 0 °C. Нагрев воды, образовавшейся при таянии льда, ведёт к повышению температуры воды вплоть до её закипания при 100 °C (373 К). Кипение воды при постоянном давлении есть процесс изотермический: подводимая энергия расходуется на испарение воды и увеличение энтропии системы вода + водяной пар, тогда как температура остаётся близкой к 100 °C до полного исчезновения жидкой воды.
Статистическое определение энтропии: принцип Больцмана
[править | править код]В 1877 году Людвиг Больцман установил связь энтропии с вероятностью данного состояния. Позднее эту связь представил в виде формулы Макс Планк:
где константа 1,38⋅10−23 Дж/К названа Планком постоянной Больцмана, а — статистический вес состояния, является числом возможных микросостояний (способов), с помощью которых можно составить данное макроскопическое состояние. Этот постулат, названный Альбертом Эйнштейном принципом Больцмана, положил начало статистической механике, которая описывает термодинамические системы, используя статистическое поведение составляющих их компонентов. Принцип Больцмана связывает микроскопические свойства системы () с одним из её термодинамических свойств ().
Рассмотрим, например, идеальный газ в сосуде. Микросостояние определено как позиции и импульсы (моменты движения) каждого составляющего систему атома. Связность предъявляет к нам требования рассматривать только те микросостояния, для которых: (I) месторасположения всех частей расположены в рамках сосуда, (II) для получения общей энергии газа кинетические энергии атомов суммируются.
Согласно определению, энтропия является функцией состояния, то есть не зависит от способа достижения этого состояния, а определяется параметрами этого состояния. Так как может быть только натуральным числом (1, 2, 3, …), то энтропия Больцмана должна быть неотрицательной — исходя из свойств логарифма.
Понимание энтропии как меры беспорядка
[править | править код]Существует мнение, что мы можем смотреть на энтропию и как на меру беспорядка в системе. В определённом смысле это может быть оправдано, потому что мы думаем об «упорядоченных» системах как о системах, имеющих очень малую возможность конфигурирования, а о «беспорядочных» системах как об имеющих очень много возможных состояний. Собственно, это просто переформулированное определение энтропии как числа микросостояний на данное макросостояние.
Рассмотрим, например, распределение молекул идеального газа. В случае идеального газа наиболее вероятным состоянием, соответствующим максимуму энтропии, будет равномерное распределение молекул. При этом реализуется и максимальный «беспорядок», так как при этом будут максимальные возможности конфигурирования.
Получившее повсеместное распространение понимание энтропии как меры беспорядка в термодинамической системе не является, тем не менее, общепринятым[98]: «Тождественность энтропии с беспорядком не только никем никогда не была доказана и не только не может быть доказана в принципе, но и прямо противоречит реально наблюдаемым фактам…»[98]; «…применительно к реальным системам энтропия не является мерой беспорядка»[99]; «…в ходе роста энтропии Вселенной общая её (Вселенной) сложность растёт, однако для составляющих Вселенную реальных (под)систем энтропия мерой беспорядка/сложности не является»[100].
Границы применимости понимания энтропии как меры беспорядка
[править | править код]Подобное определение беспорядка термодинамической системы как количества возможностей конфигурирования системы фактически дословно соответствует определению энтропии как числа микросостояний на данное макросостояние. Проблемы начинаются в двух случаях:
- когда начинают смешивать различные понимания беспорядка, и энтропия становится мерой беспорядка вообще;
- когда понятие энтропии применяется для систем, не являющихся термодинамическими.
В обоих этих случаях применение понятия термодинамической энтропии совершенно неправомерно[101].
Рассмотрим оба пункта подробнее.
Рассмотрим пример термодинамической системы — распределение молекул в поле тяготения. В этом случае наиболее вероятным распределением молекул будет распределение согласно барометрической формуле Больцмана. Другой пример — учёт электромагнитных сил взаимодействия между ионами. В этом случае наиболее вероятным состоянием, соответствующим минимуму свободной энергии, будет упорядоченное кристаллическое состояние, а совсем не «хаос», хотя в состоянии «хаоса» значение конфигурационной энтропии системы и ниже. (Термин «хаос» здесь понимается в смысле беспорядка — в наивном смысле. К хаосу в математическом смысле как сильно неустойчивой нелинейной системе это не имеет отношения, конечно.)
Рассмотрим случай с кристаллической решёткой более подробно. Кристаллическая решётка может быть и в равновесном, и в неравновесном состоянии, как и любая термодинамическая система. Скажем, возьмём следующую модель — совокупность взаимодействующих осцилляторов. Рассмотрим некоторое неравновесное состояние: все осцилляторы имеют одинаковое отклонение от положения равновесия. С течением времени эта система перейдёт в состояние ТД равновесия, в котором отклонения (в каждый момент времени) будут подчинены некоторому распределению типа Максвелла (только это распределение будет для отклонений, и оно будет зависеть от типа взаимодействия осцилляторов). В таком случае максимум энтропии будет действительно реализовывать максимум возможностей конфигурирования, то есть — беспорядок согласно вышеуказанному определению. Но данный «беспорядок» вовсе не соответствует «беспорядку» в каком-либо другом понимании, например, информационному. Такая же ситуация возникает и в примере с кристаллизацией переохлаждённой жидкости, в которой образование структур из «хаотичной» жидкости идёт параллельно с увеличением энтропии.
То есть при образовании кристалла из переохлаждённой жидкости энтропия увеличивается с одновременным ростом температуры. Если кристаллизация сопровождается отводом тепла из системы, то энтропия при этом уменьшится.
Это неверное понимание энтропии появилось во время развития теории информации, в связи с парадоксом термодинамики, связанным с мысленным экспериментом так называемый «демона Максвелла». Суть парадокса заключалась в том, что рассматривалось два сосуда с разными температурами, соединённых узкой трубкой с затворками, которыми управлял так называемый «демон». «Демон» мог измерять скорость отдельных летящих молекул, и таким образом избирательно пропускать более быстрые в сосуд с высокой температурой, а более медленные — в сосуд с низкой. Из этого мысленного эксперимента вытекало кажущееся противоречие со вторым началом термодинамики.
Парадокс может быть разрешён при помощи теории информации. Для измерения скорости молекулы «демон» должен был бы получить информацию о её скорости. Но всякое получение информации — материальный процесс, сопровождающийся возрастанием энтропии. Количественный анализ[102] показал, что приращение энтропии при измерении превосходит по абсолютной величине уменьшение энтропии, вызванное перераспределением молекул «демоном».
Измерение энтропии
[править | править код]В реальных экспериментах очень трудно измерить энтропию системы. Техники измерения базируются на термодинамическом определении энтропии и требуют экстремально аккуратной калориметрии.
Для упрощения мы будем исследовать механическую систему, термодинамические состояния которой будут определены через её объём и давление . Для измерения энтропии определённого состояния мы должны сначала измерить теплоёмкость при постоянных объёме и давлении (обозначенную и соответственно), для успешного набора состояний между первоначальным состоянием и требуемым. Тепловые ёмкости связаны с энтропией и с температурой согласно формуле:
где нижний индекс относится к постоянным объёму и давлению. Мы можем проинтегрировать для получения изменения энтропии:
Таким образом, мы можем получить значение энтропии любого состояния (, ) по отношению к первоначальному состоянию (, ). Точная формула зависит от нашего выбора промежуточных состояний. Для примера, если первоначальное состояние имеет такое же давление, как и конечное состояние, то
В добавление, если путь между первым и последним состояниями лежит сквозь любой фазовый переход первого рода, скрытая теплота, ассоциированная с переходом, должна также учитываться.
Энтропия первоначального состояния должна быть определена независимо. В идеальном варианте выбирается первоначальное состояние как состояние при экстремально высокой температуре, при которой система существует в виде газа. Энтропия в этом состоянии подобна энтропии классического идеального газа плюс взнос от молекулярных вращений и колебаний, которые могут быть определены спектроскопически.
Построение графика изменения энтропии
[править | править код]Следующее уравнение может быть использовано для построения графика изменения энтропии на диаграмме для идеального газа:
Здесь два замечания:
- это не определение энтропии (но выведено из него для случая идеального газа);
- предполагается, что и постоянные, что на самом деле не всегда так.
«Что такое энтропия?»
[править | править код]Однозначного ответа на этот вопрос не существует по той простой причине, что разных энтропий много — представление об энтропии используется в различных научных дисциплинах: термодинамике, статистической физике, теории информации и др. Но и внутри каждой из перечисленных дисциплин единообразия также нет и в помине: в теории информации рассматривают энтропию Шеннона, энтропию Реньи, энтропию Чисара, энтропию Хаврда — Чарват — Дароши[103]; статистическая физика оперирует энтропиями Больцмана, Гиббса, Цаллиса; существуют различные дефиниции термодинамической энтропии. Содержательная дефиниция той или иной конкретной энтропии зависит от аксиоматики системы построения/изложения, использующей эту энтропию. По указанной причине не существует универсальной дефиниции термодинамической энтропии, ибо для различных аксиоматических систем термодинамики ответ на вынесенный в заголовок вопрос будет различен.
Студенты, приступающие к изучению термодинамики, часто жалуются на непонятность энтропии, связанную с отсутствием наглядности (рисунок иллюстрирует относительность представлений людей о наглядности, понятности и простоте термодинамических систем[K 1]).
Для описания термических явлений в физике вводят новые комплементарные (взаимодополняющие) физические величины — температуру и энтропию, — содержательные дефиниции которым не дают ни в механике, ни в электродинамике. В термодинамике Клаузиуса — Каратеодори энтропию вводят как приведённую внутреннюю энергию изотермической системы, то есть разность энтропий равна приведённой теплоте изотермического процесса.
В термодинамике Гиббса и в системе А. А. Гухмана энтропия представляет собой неопределяемое базовое понятие — таков в этих системах содержательный ответ на рассматриваемый вопрос[K 2]. В термодинамической аксиоматике А. А. Гухмана [105][106][107][108][109][110] и рациональной термодинамике в трактовке П. А. Жилина[65][K 3] и температуру, и энтропию вводят как неопределяемые базовые переменные, несводимые к более простым[K 4]. Пояснительное дополнение к дефиниции энтропии по Гухману разъясняет, что энтропия есть координата состояния при термическом взаимодействии (теплообмене), которое выражается в переносе энтропии от одного объекта к другому[112].
В рациональной термодинамике в трактовке школы Трусделла в качестве базовой термической переменной используют температуру , то есть привычную и по этой причине всем понятную физическую величину. Энтропию вводят как полезную вспомогательную функцию энергии и температуры[113]:
но, в отличие от другой функции энергии и температуры, — теплоёмкости [114]
в формулу, служащую дефиницией энтропии, входит не производная, а интеграл. Пояснительное дополнение к ответу, пригодное почти[K 5] для любого способа изложения термодинамики, сообщает, что энтропия необходима для построения математического аппарата термодинамики и, следовательно, привлечение термодинамики к решению любой научной или практической задачи явно или неявно подразумевает использование энтропии. Польза, приносимая людям от обращения к термодинамике, есть польза от ввода энтропии в понятийный аппарат науки. Дополнительно к сказанному можно провести аналогию с теплоёмкостью: если для неизотермических процессов нагрева льда, жидкой воды и водяного пара затраты энергии равны произведению теплоёмкости на разность температур, то для изотермических процессов таяния и кипения затраты энергии равны произведению температуры на разность энтропий.
Понять энтропию и её значение для термодинамики означает, что необходимо знать происхождение этой величины, понимать её связи с другими термодинамическими переменными и уметь применять энтропию на практике[K 6][104].
См. также
[править | править код]Комментарии
[править | править код]- ↑ Наглядность, понятность, очевидность и простота есть суждения относительные, зависящее как от обыденности понятия, так и от уровня знаний человека. Крестьяне с детства знали лошадь, и она для них наглядна и понятна. Для теплотехников наглядна и понятна тепловая машина, а не лошадь. В. Томсон как-то на лекции спросил студентов: «Знаете ли вы, кто такой математик?» Написав на аудиторной доске: , Томсон повернулся к студентам и, указывая на эту формулу, сказал: «Математик — тот, для кого это так же очевидно, как для вас то, что дважды два — четыре»[104].
- ↑ Описательная характеристика энтропии как термической (тепловой) координаты состояния не отменяет того факта, что в системе Гухмана энтропия входит в число основных неопределяемых понятий теории.
- ↑ Вот цитата из статьи К. Трусделла, демонстрирующая совпадение его взглядов с подходом П. А. Жилина: «Я повторяю в течение уже многих лет, пренебрегая насмешками людей, наделённых физической интуицией, что температура и энтропия являются наряду с массой, положением и временем первоначальными неопределяемыми переменными. Они описываются только такими свойствами, которые можно выразить языком математики»[111]. Эти воззрения на температуру и энтропию отличаются от тех, которые сейчас принято рассматривать как отличительную особенность «рациональной термодинамике в трактовке школы Трусделла».
- ↑ Чтобы дать содержательную дефиницию какому-либо понятию, нужно указать, частным случаем какого более общего понятия оно является. Если более фундаментального понятия не существует, то понятие в конце цепочки дефиниций является неопределяемым — базовым (первичным, исходным, начальным) понятием аксиоматической системы, несводимым к более простым. В любой науке имеются такие первичные понятия, те элементарные кирпичики, из которых строятся все остальные, производные понятия, и которым не даются содержательные дефиниции в самой научной дисциплине. Примерами неопределяемых базовых понятий служат: в математике — множество, в физике — пространство, время, масса, энергия и др. Невозможность дать понятию или переменной содержательной дефиниции без выхода за границы изучаемой дисциплины, во-первых, не означает запрета на использование для базового понятия/переменной описательных дефиниций, и, во-вторых, свойства базовых понятий/переменных описываются аксиомами рассматриваемой теории. Иными словами, набор базовых понятий/переменных научной дисциплины зависит от выбора системы изложения/построения этой дисциплины, а полный набор её аксиом образует систему содержательных дефиниций базовых понятий/переменных теории.
- ↑ Слово «почти» служит напоминанием о том, что любую систему построения/изложения термодинамики, в которой энтропия есть понятие вторичное (выводимое из понятий более общих), можно в принципе преобразовать в другую систему — «безэнтропийную термодинамику», — в которой энтропию как понятие необязательное уже не используют[115]. В связи со сказанным упомянем, что автор третьего закона термодинамики Вальтер Нернст в своих работах не «пользовался понятием энтропии, которое он считал неясным и потому попросту не любил его»[116] (Нернст использовал свободную энергию Гельмгольца, связанную с максимальной работой, то есть энтропию он заменял взятой со знаком «минус» производной от энергии Гельмгольца по температуре[117]).
- ↑ В связи со сказанным представляют интерес воспоминания И. К. Кикоина, посещавшего в студенческие годы семинар В. А. Фока и рассказавшего историю про поиск решения сложной задачи по электростатике: «…в конце концов, получили длиннющее дифференциальное уравнение. Оно занимало всю доску. За математическими выкладками мы следили очень внимательно, так что с математикой всё было в порядке, а вот усмотреть физический смысл, скрытый за этой длинной формулой, мы не могли. Кто-то из студентов спросил Владимира Александровича: “А какой физический смысл имеет это уравнение?”. — Он на нас посмотрел с укором и сказал: “А физический смысл этого уравнения заключается в том, что оно имеет решение”»[118].
Примечания
[править | править код]- ↑ Клаузиус, 1934.
- ↑ Каратеодори.
- ↑ Гиббс Дж. В., Термодинамика. Статистическая механика, 1982.
- ↑ Хазен, 2000, глава VI, раздел 4. Полная и замкнутая формулировка аксиоматического определения энтропии и начал термодинамики..
- ↑ Петров Н., Бранков Й., Современные проблемы термодинамики, 1986, с. 35.
- ↑ Семенченко, 1966, с. 54.
- ↑ Clausius, 1887, S. 33.
- ↑ Борн, 1964, с. 230–231.
- ↑ Знак или перед есть результат соглашения, какую работу считать положительной — совершаемую системой или совершаемую над системой. Встречающиеся в научной и учебной литературе варианты формулировок первого начала, отличающиеся знаками входящих в формулы величин, эквивалентны друг другу.
- ↑ Борн, 1964, с. 231.
- ↑ Элементарным (инфинитезимальным) называют процесс, для которого разница между начальным и конечным состояниями системы бесконечно мала.
- ↑ Простой называют закрытую термодеформационную систему, представляющую собой однородную изотропную среду (фазу) неизменного химического состава и массы, описываемую посредством переменных (давление), (объём) и (температура). Такая система обладает двумя термодинамическими степенями свободы, то есть только две переменные состояния из трёх перечисленных являются независимыми. К простым системам относятся, в частности, газы и жидкости (флюиды) в ситуации, когда поверхностными эффектами и наличием внешних силовых полей можно пренебречь. В более широкой трактовке под простой понимают любую термодеформационную систему с двумя степенями свободы, то есть такую термодинамическую систему, единственным видом работы которой является работа расширения (Сычёв В. В., Дифференциальные уравнения термодинамики, 1991, с. 9).
- ↑ Сивухин Д. В., Термодинамика и молекулярная физика, 2005, с. 59.
- ↑ 1 2 Радушкевич Л. В., Курс термодинамики, 1971, с. 36.
- ↑ Базаров И. П., Термодинамика, 2010, с. 37.
- ↑ Условия интегрируемости дифференциальных полиномов подробно рассмотрены в книге Белоконь Н. И., Термодинамика, 1954, с. 137—138.
- ↑ Кричевский И. Р., Понятия и основы термодинамики, 1970, с. 270.
- ↑ Сычёв, 1991, с. 22.
- ↑ 1 2 Путилов К. А., Термодинамика, 1971, с. 13.
- ↑ Квасников, 2002, с. 43.
- ↑ 1 2 Сычёв, 1991, с. 24.
- ↑ Радушкевич Л. В., Курс термодинамики, 1971, с. 111.
- ↑ 1 2 Базаров И. П., Термодинамика, 2010, с. 27.
- ↑ Сычёв, 2009, с. 13.
- ↑ Кубо Р., Термодинамика, 1970, с. 21.
- ↑ Базаров И. П., Термодинамика, 2010, с. 27–29.
- ↑ Семенченко, 1966, с. 55.
- ↑ Сычёв, 2009, с. 14.
- ↑ 1 2 Кубо Р., Термодинамика, 1970, с. 20.
- ↑ Базаров И. П., Термодинамика, 2010, с. 38.
- ↑ Радушкевич Л. В., Курс термодинамики, 1971, с. 38.
- ↑ Глазов В. М., Основы физической химии, 1981, с. 29.
- ↑ Путилов К. А., Термодинамика, 1971, с. 40.
- ↑ Сейдж Б. Х., Термодинамика многокомпонентных систем, 1969, с. 54.
- ↑ Тамм М. Е., Третьяков Ю. Д., Физико-химические основы неорганической химии, 2004, с. 11.
- ↑ Lebon, 2008, p. 14.
- ↑ Жариков, 2005, уравнение (2.4)..
- ↑ Callen, 1985, p. 36.
- ↑ Сычёв, 2009, с. 257.
- ↑ Путилов К. А., Термодинамика, 1971, с. 125.
- ↑ Использование масс компонентов, а не масс составляющих систему веществ в качестве обобщённых координат в выражении для химической работы означает отказ от прямого рассмотрения влияния химических реакций на массы веществ, ибо химические превращения в системе уже учтены при подсчёте числа компонентов.
- ↑ Квасников И. А., Молекулярная физика, 2009, с. 31.
- ↑ Квасников, 2002, с. 22.
- ↑ 1 2 Петров Н., Бранков Й., Современные проблемы термодинамики, 1986, с. 66.
- ↑ 1 2 3 Tisza, 1966.
- ↑ Бэр Г. Д., Техническая термодинамика, 1977, с. 73.
- ↑ Залевски К., Феноменологическая и статистическая термодинамика, 1973, с. 10.
- ↑ Пригожин И., Кондепуди Д., Современная термодинамика, 2002, с. 52.
- ↑ Кубо Р., Термодинамика, 1970, с. 16.
- ↑ Жилин П. А., Рациональная механика сплошных сред, 2012.
- ↑ «…Понятия энергии, температуры, энтропии и химического потенциала вводятся одновременно и по отдельности определить их принципиально нельзя» (с. 48), «…Нельзя сначала определить внутреннюю энергию, а затем химический потенциал и энтропию. Все эти понятия могут быть введены только одновременно» (с. 140).
- ↑ 1 2 Петров Н., Бранков Й., Современные проблемы термодинамики, 1986, с. 43.
- ↑ Воронин Г. Ф., Основы термодинамики, 1987, с. 50.
- ↑ Callen, 1985, p. 28—29.
- ↑ 1 2 Мюнстер А., Химическая термодинамика, 1971, с. 69.
- ↑ Мюнстер А., Химическая термодинамика, 1971, с. 70.
- ↑ Мюнстер А., Химическая термодинамика, 1971, с. 67.
- ↑ Сам Гиббс эти постулаты в своей основной термодинамической работе «О равновесии гетерогенных веществ» формулировал по мере необходимости, как бы мимоходом, и не называл принимаемые им без доказательства утверждения ни аксиомами, ни постулатами.
- ↑ 1 2 Гиббс Дж. В., Термодинамика. Статистическая механика, 1982, с. 93.
- ↑ 1 2 3 Guggenheim, 1985, p. 15.
- ↑ 1 2 3 Callen, 1985, p. 35.
- ↑ Трусделл К., Термодинамика для начинающих, 1970.
- ↑ Трусделл К., Первоначальный курс рациональной механики сплошных сред, 1975.
- ↑ Truesdell, 1984, 1984.
- ↑ 1 2 Жилин П. А., Рациональная механика сплошных сред, 2012.
- ↑ Максимов, 2009.
- ↑ Максимов, 2009, с. 5.
- ↑ Максимов, 2009, с. 5—6.
- ↑ 1 2 3 Максимов, 2009, с. 7.
- ↑ 1 2 Петров Н., Бранков Й., Современные проблемы термодинамики, 1986, с. 71–72.
- ↑ Мюнстер А., Химическая термодинамика, 1971, с. 90–91.
- ↑ 1 2 Callen, 1985, p. 28.
- ↑ 1 2 3 Мюнстер А., Химическая термодинамика, 1971, с. 92.
- ↑ Сорокин В. С., Макроскопическая необратимость и энтропия. Введение в термодинамику, 2004, с. 55.
- ↑ Воронин Г. Ф., Основы термодинамики, 1987, с. 51.
- ↑ Петров Н., Бранков Й., Современные проблемы термодинамики, 1986, с. 67.
- ↑ Кубо Р., Термодинамика, 1970, с. 85—86.
- ↑ Buchdahl H. A., The Concepts of Classical Thermodynamics, 1966, p. 74.
- ↑ Зоммерфельд А., Термодинамика и статистическая физика, 1955, с. 52.
- ↑ В термодинамике различают аддитивность по размерам системы (длине упругого стержня или пружины, площади поверхности раздела, объёму) и аддитивность по массе. Ясно, что последнее понятие не универсально, и даже аддитивность экстенсивных переменных по объёму не гарантирует, что к этим переменным применимо представление об аддитивности по массе. Например, оно непригодно для аддитивных по объёму переменных фотонного газа — системы с нулевой массой.
- ↑ Петров Н., Бранков Й., Современные проблемы термодинамики, 1986, с. 62.
- ↑ Тер Хаар Д., Вергеланд Г., Элементарная термодинамика, 1968, с. 117.
- ↑ Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М., Статистическая физика. Часть 1, 2002, с. 51.
- ↑ Falk, Jung, 1959, S. 156.
- ↑ Сычёв, 1991, с. 15.
- ↑ Воронин Г. Ф., Основы термодинамики, 1987, с. 53.
- ↑ Отрицательная температура . БСЭ, 3-е изд., 1975, т. 19. Дата обращения: 18 июня 2015. Архивировано 2 апреля 2015 года.
- ↑ 1 2 3 4 Петров Н., Бранков Й., Современные проблемы термодинамики, 1986, с. 68.
- ↑ Callen, 1985, p. 30.
- ↑ Базаров И. П., Термодинамика, 2010, с. 92.
- ↑ Tisza, 1966, p. 125.
- ↑ 1 2 Новиков И. И., Термодинамика, 1984, с. 106.
- ↑ Базаров И. П., Термодинамика, 2010, с. 121.
- ↑ 1 2 Воронин Г. Ф., Основы термодинамики, 1987, с. 102.
- ↑ Мысленное допустимое (не противоречащее условиям существования системы) изменение энтропии, не зависящее от времени. Встречающееся в литературе определение вариации как отклонения от равновесия, допускаемого наложенными на систему связями (условиями), означает то же самое.
- ↑ Базаров И. П. и др., Термодинамика и статистическая физика, 1986, с. 26.
- ↑ Базаров И. П., Термодинамика, 2010, с. 29.
- ↑ 1 2 Хайтун С. Д., Кризис теории познания, 2014, с. 98.
- ↑ Хайтун С. Д., Кризис теории познания, 2014, с. 100.
- ↑ Хайтун С. Д., Кризис теории познания, 2014, с. 102.
- ↑ Lambert Frank L. A Brief Introduction to the Second Law and to Entropy for Chemistry Students Архивная копия от 14 января 2013 на Wayback Machine
- ↑ Бриллюэн Л. Наука и теория информации. — М., 1960.
- ↑ Зарипов Р. Г., Новые меры и методы в теории информации, 2005, с. 175.
- ↑ 1 2 Кричевский И. Р., Петрянов И. В. Термодинамика для многих, 1975, с. 146.
- ↑ Гухман, 2010, с. 11.
- ↑ Ляшков В. И., Теоретические основы теплотехники, 2015, с. 10.
- ↑ Цирлин А. М., Методы оптимизации в необратимой термодинамике и микроэкономике, 2003, с. 19.
- ↑ Исаев С. И., Курс химической термодинамики, 1986, с. 18.
- ↑ Жуковский В. С., Термодинамика, 1983, с. 11.
- ↑ Леонова В. Ф., Термодинамика, 1968, с. 19—20.
- ↑ Трусделл К., Термодинамика для начинающих, 1970, с. 117.
- ↑ Свиридов В. В., Свиридов А. В., Физическая химия, 2016, с. 113.
- ↑ Максимов, 2009, с. 7.
- ↑ Максимов, 2009, с. 6.
- ↑ Игнатович В. Н., Введение в диалектико-материалистическое естествознание, 2007, с. 411.
- ↑ Гельфер Я. М., История и методология термодинамики и статистической физики, 1981, с. 228.
- ↑ Nernst Walther, Theoretische Chemie, 1900, S. 29.
- ↑ Кикоин И. К. Рассказы о физике и физиках, 1986, с. 33.
Литература
[править | править код]- Buchdahl H. A. The Concepts of Classical Thermodynamics. — Cambridge: Cambridge University Press, 1966. — XI + 223 p.
- Callen H. B. Thermodynamics and an Introduction to Thermostatistics. — 2nd ed. — N. Y. e. a.: John Wiley, 1985. — xvi + 493 p. — ISBN 0471862568, 9780471862567.
- Clausius R. Die mechanische Wärmetheorie. Band 1. — 3 Auflage. — Braunschweig: Druck und Verlag von Friedrich Vieweg und Sohn, 1887. — XVI + 403 p.
- Ehrenfest-Afanassjewa T. Zur Axiomatisierung des zweiten Hauptsatzes der Thermodynamik (нем.) // Zeitschrift für Physik. — 1925. — Vol. 33, Nr. 1. — P. 933–945.
- Ehrenfest-Afanassjewa T. Berichtigung zu der Arbeit: Zur Axiomatisierung des zweiten Hauptsatzes der Thermodynamik (нем.) // Zeitschrift für Physik. — 1925. — Vol. 34, Nr. 1. — P. 638.
- Ehrenfest-Afanassjewa T. Die Grundlagen der Thermodynamik. — Leiden: E.J. Brill, 1956. — XII + 131 с.
- Falk G., Jung H. Axiomatik der Thermodynamik (нем.) // Flügge S. (ed.). Encyclopedia of Physics / Flügge S. (Hrsg.). Handbuch der Physik. — Springer-Verlag, 1959. — Vol. III/2. Principles of Thermodynamics and Statistics / Band III/2. Prinzipien der Thermodynamik und Statistik, S. 119–175.
- Guggenheim E. A. Thermodynamics: An Advanced Treatment for Chemists and Physicists. — 7th ed. — Amsterdam: North-Holland, 1985. — xxiv + 390 p. — ISBN 0 444 86951 4.
- Lebon G., Jou D., Casas-Vázquez J. Understanding Non-equilibrium Thermodynamics: Foundations, Applications, Frontiers. — Berlin — Heidelberg: Springer, 2008. — xiii + 325 p. — ISBN 978-3-540-74251-7, 978-3-540-74252-4. — doi:10.1007/978-3-540-74252-4.
- Nernst Walther. Theoretische Chemie vom Standpunkte der avogadro’schen Regel und der Thermodynamik. — Dritte Auflage. — Stuttgart: Verlag von Ferdinand Enke, 1900. — xiv + 710 p.
- Noll W. The Foundations of Mechanics and Thermodynamics: Selected Papers. — Berlin — Heidelberg — New York: Springer-Verlag, 1974. — X + 324 p. — ISBN 978-3-642-65819-8.
- Reif F. Fundamentals of statistical and thermal physics. — McGraw-Hill, 1965.
- Tisza Laszlo. Generalized Thermodynamics. — Cambridge (Massachusetts) — London (England): The M.I.T. Press, 1966. — xi + 384 p.
- Truesdell C. The Tragicomical History of Thermodynamics, 1822–1854. — New York — Heidelberg — Berlin: Springer-Verlag, 1980. — xii + 372 p. — (Studies in the History of Mathematics and Physical Sciences. Vol. 4). — ISBN 978-1-4613-9446-4.
- Truesdell C., Bharatha S. The Concepts and Logic of Classical Thermodynamics as a Theory of Heat Engines. — New York — Heidelberg — Berlin: Springer-Verlag, 1977. — xvii + 154 p. — ISBN 3-540-07971-8.
- Truesdell C. Rational Thermodynamics. — New York—Berlin—Heidelberg—Tokyo: Springer-Verlag, 1984. — xviii + 578 p. — ISBN 0-387-90874-9.
- Wehrl Alfred. General properties of entropy (англ.) // Reviews of Modern Physics. — American Physical Society, 1978. — Vol. 50, no. 2. — P. 221–260. — doi:10.1103/RevModPhys.50.221.
- Алексеев Г. Н. Энергия и энтропия. — М.: Знание, 1978. — 192 с. — (Жизнь замечательных идей).
- Архаров А. М., Исаев С. И., Кожинов И. А. и др. Теплотехника / Под. общ. ред. В. И. Крутова. — М.: Машиностроение, 1986. — 432 с.
- Ауэрбах Ф. Царица мира и её тень. — 6-е изд. — Одесса: Матезис, 1913. — VIII + 50 с.
- Афанасьева-Эренфест Т. А. Необратимость, односторонность и второе начало термодинамики // Журнал прикладной физики. — 1928. — Vol. 5, № 3–4. — P. 3—30.
- Базаров И. П., Геворкян Э. В., Николаев П. Н. Термодинамика и статистическая физика. Теория равновесных систем. — М.: Издательство Московского университета, 1986. — 311 с.
- Базаров И. П. Термодинамика. — 5-е изд. — СПб.—М.—Краснодар: Лань, 2010. — 384 с. — (Учебники для вузов. Специальная литература). — ISBN 978-5-8114-1003-3.
- Белоконь Н. И. Термодинамика. — М.: Госэнергоиздат, 1954. — 416 с.
- Белоконь Н. И. Основные принципы термодинамики. — М.: Недра, 1968. — 112 с.
- Борн М. Критические замечания по поводу традиционного изложения термодинамики // Развитие современной физики. — М.: Наука, 1964. — С. 223—256.
- Бэр Г. Д. Техническая термодинамика. — М.: Мир, 1977. — 519 с.
- Волькенштейн М. В. Энтропия и информация. — М.: Наука, 1986. — 192 с. — (Проблемы науки и технического прогресса).
- Воронин Г. Ф. Основы термодинамики. — М.: Издательство Моск. университета, 1987. — 192 с.
- Гельфер Я. М. История и методология термодинамики и статистической физики. — 2-е изд., перераб. и доп. — М.: Высшая школа, 1981. — 536 с.
- Герасимов Я. И., Древинг В. П., Ерёмин Е. Н. и др. Курс физической химии / Под общ. ред. Я. И. Герасимова. — 2-е изд. — М.: Химия, 1970. — Т. I. — 592 с.
- Гиббс Дж. В. Термодинамические работы / Пер. с англ. под ред. проф. В. К. Семенченко. — М. — Л.: Гостехтеориздат, 1950. — 492 с. — (Классики естествознания).
- Гиббс Дж. В. Термодинамика. Статистическая механика / Отв. ред. Д. Н. Зубарев. — М.: Наука, 1982. — 584 с. — (Классики науки).
- Глазов В. М. Основы физической химии. — М.: Высшая школа, 1981. — 456 с.
- Гленсдорф П., Пригожин И. Термодинамическая теория структуры, устойчивости и флуктуаций. — М.: Мир, 1973. — 280 с.
- Гухман А. А. Об основаниях термодинамики. — 2-е изд., испр. — М.: Издательство ЛКИ, 2010. — 384 с. — ISBN 978-5-382-01105-9.
- Де Гроот С., Мазур П. Неравновесная термодинамика. — М.: Мир, 1964. — 456 с.
- Жариков В. А. Основы физической геохимии. — М.: Наука; Издательство МГУ, 2005. — 656 с. — (Классический университетский учебник). — ISBN 5-211-04849-0, 5-02-035302-7.
- Жилин П. А. Рациональная механика сплошных сред. — 2-е изд. — СПб.: Издательство Политехн. университета, 2012. — 584 с. — ISBN 978-5-7422-3248-3.
- Жуковский В. С. Термодинамика / Под ред. А. А. Гухмана. — М.: Энергоатомиздат, 1983. — 304 с.
- Залевски К. Феноменологическая и статистическая термодинамика: Краткий курс лекций / Пер. с польск. под. ред. Л. А. Серафимова. — М.: Мир, 1973. — 168 с.
- Зарипов Р. Г. Новые меры и методы в теории информации. — Казань: Издательство Казан. гос. техн. университета, 2005. — 364 с.
- Зоммерфельд А. Термодинамика и статистическая физика / Пер. с нем.. — М.: Издательство иностр. литературы, 1955. — 480 с.
- Игнатович В. Н. Введение в диалектико-материалистическое естествознание. — Киев: Экмо, 2007. — 468 с. — ISBN 978-966-8555-78-7.
- Исаев С. И. Курс химической термодинамики. — 2-е изд., перераб. и доп. — М.: Высшая школа, 1986. — 272 с.
- Квасников И. А. Молекулярная физика. — М.: Эдиториал УРСС, 2009. — 232 с. — ISBN 978-5-901006-37-2.
- Квасников И. А. Термодинамика и статистическая физика. Т. 1: Теория равновесных систем: Термодинамика. — 2-е изд., сущ. перераб. и доп. — М.: Едиториал УРСС, 2002. — 240 с. — ISBN 5-354-00077-7.
- Каратеодори К. Об основах термодинамики (1909) // Развитие современной физики — Отв. ред. Б. Г. Кузнецов. — М.: Наука, 1964. — 331 с. — С. 223—256.
- Кикоин И. К. Рассказы о физике и физиках. — Библиотечка «Квант». Выпуск 53. — М.: Наука, 1986. — 160 с.
- Клаузиус Р. Механическая теория тепла // Второе начало термодинамики. — М.—Л.: Гостехиздат, 1934. — С. 70—158.
- Кричевский И. Р. Понятия и основы термодинамики. — 2-е изд., пересмотр. и доп. — М.: Химия, 1970. — 440 с.
- Кричевский И. Р., Петрянов И. В. Термодинамика для многих. — М.: Педагогика, 1975. — 160 с. — (Библиотечка Детской энциклопедии «Учёные — школьнику»).
- Кубо Р. Термодинамика. — М.: Мир, 1970. — 304 с.
- Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Статистическая физика. Часть 1. — 5-е изд. — М.: Физматлит, 2002. — 616 с. — (Теоретическая физика в 10 томах. Том 5). — ISBN 5-9221-0054-8.
- Леонова В. Ф. Термодинамика. — М.: Высшая школа, 1968. — 159 с.
- Ляшков В. И. Теоретические основы теплотехники. — М.: Курс; Инфра-М, 2015. — 328 с. — ISBN 978-5-905554-85-8, 978-5-16-0І0639-7.
- Максимов Л. А., Михеенков А. В., Полищук И. Я. Лекции по статистической физике. — Долгопрудный: МФТИ, 2009. — 224 с.
- Морачевский А. Г., Смирнова Н. А., Пиотровская Е. М. и др. Термодинамика равновесия жидкость—пар / Под ред. А. Г. Морачевского. — Л.: Химия, 1989. — 344 с. — ISBN 5-7245-0363-8.
- Мюнстер А. Химическая термодинамика / Пер. с нем. под. ред. чл.-корр. АН СССР Я. И. Герасимова. — М.: Мир, 1971. — 296 с.
- Новиков И. И. Термодинамика. — М.: Машиностроение, 1984. — 592 с.
- Осипов А.И., Уваров А.В. Энтропия и её роль в науке // Сетевой образовательный журнал. — 2004. — Т. 8, № 1. — С. 70—79.
- Петров Н., Бранков Й. Современные проблемы термодинамики. — Пер. с болг. — М.: Мир, 1986. — 287 с.
- Полянин А. Д., Полянин В. Д., Попов В. А. и др. Краткий справочник для инженеров и студентов. — М.: Международная программа образования, 1996. — 432 с. — ISBN 5-7753-0001-7.
- Пригожин И., Кондепуди Д. Современная термодинамика. От тепловых двигателей до диссипативных структур / Пер. с англ. — М.: Мир, 2002. — 462 с.
- Пригожин И., Стенгерс И. Порядок из хаоса: Новый диалог человека с природой. — М.: Прогресс, 1986. — 461 с.
- Путилов К. А. Термодинамика / Отв. ред. М. Х. Карапетьянц. — М.: Наука, 1971. — 376 с.
- Радушкевич Л. В. Курс термодинамики. — М.: Просвещение, 1971. — 288 с.
- Развитие современной физики. Сборник статей / Отв. ред. Кузнецов Б. Г.. — М.: Наука, 1964. — 331 с.
- Свиридов В. В., Свиридов А. В. Физическая химия. — СПб.: Лань, 2016. — 597 с. — ISBN 978-5-8114-2262-3.
- Свиридонов М. Н. Развитие понятия энтропии в работах Т. А. Афанасьевой-Эренфест // История и методология естественных наук. Выпуск X. Физика. — Издательство МГУ, 1971. — P. 112—129.
- Сейдж Б. Х. Термодинамика многокомпонентных систем. — М.: Недра, 1969. — 304 с.
- Семенченко В. К. [www.libgen.io/book/index.php?md5=FB60848D6D70A19DBF1154ECCAE49E7F Избранные главы теоретической физики]. — 2-е изд., испр. и доп. — М.: Просвещение, 1966. — 396 с. (недоступная ссылка)
- Сивухин Д. В. Общий курс физики. Т. II. Термодинамика и молекулярная физика. — 5-е изд., испр. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2005. — 544 с. — ISBN 5-9221-0601-5.
- Сорокин В. С. Макроскопическая необратимость и энтропия. Введение в термодинамику. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. — 174 с. — ISBN 5-9221-0507-8.
- Сычёв В. В. Дифференциальные уравнения термодинамики. — 2-е изд., перераб. — М.: Высшая школа, 1991. — 224 с. — ISBN 5-06-002071-1.
- Сычёв В. В. Дифференциальные уравнения термодинамики. — 3-е изд. — М.: Издательство МЭИ, 2010. — 256 с. — ISBN 978-5-383-00584-2.
- Сычёв В. В. Сложные термодинамические системы. — 5-е изд., перераб. и доп.. — М.: Издательский дом МЭИ, 2009. — 296 с. — ISBN 978-5-383-00418-0.
- Тамм М. Е., Третьяков Ю. Д. Неорганическая химия. Том 1. Физико-химические основы неорганической химии / Под. ред. акад. Ю. Д. Третьякова. — М.: Академия, 2004. — 240 с. — (Высшее профессиональное образование). — ISBN 5-7695-1446-9.
- Тер Хаар Д., Вергеланд Г. Элементарная термодинамика / Пер. с англ.. — М.: Мир, 1968. — 220 с..
- Термодинамика необратимых процессов. Лекции в летней международной школе физики им. Энрико Ферми / Под ред. Д. Н. Зубарева. — М.: Издательство иностранной литературы, 1962. — 427 с.
- Трайбус М. Термостатика и термодинамика. — М.: Энергия, 1971. — 503 с.
- Трусделл К. Термодинамика для начинающих // Механика. Периодический сборник переводов иностранных статей. — М.: Мир, 1970. — № 3 (121), с. 116—128.
- Трусделл К. Первоначальный курс рациональной механики сплошных сред / Пер. с англ. под. ред. П. А. Жилина и А. И. Лурье. — М.: Мир, 1975. — 592 с.
- Фен Дж. Машины, энергия, энтропия. — М.: Мир, 1986. — 335 с.
- Fermi, E., Thermodynamics, Prentice Hall (1937). — Русский перевод: Ферми, Энрико, Термодинамика, Харьков: Издательство Харьковского университета, 1969. — 140 с.
- Физическая энциклопедия / Гл. ред. А. М. Прохоров. — М.: Большая Российская энциклопедия, 1998. — Т. 5. — 760 с. — ISBN 5-85270-101-7.
- Хаазе Р. Термодинамика необратимых процессов. — М.: Мир, 1967. — 544 с.
- Черноуцан А. И. Краткий курс физики. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2002. — 320 с. — ISBN 5-9921-0292-3.
- Хазен А. М. Разум природы и разум человека. — М.: РИО «Мособлполиграфиздата»; НТЦ «Университетский», 2000. — 600 с. — ISBN 5-7953-0044-6.
- Хайтун С. Д. [www.libgen.io/book/index.php?md5=BB7A4DF3D04E410AB163CF2D15B4501C Кризис науки как зеркальное отражение кризиса теории познания: Кризис теории познания]. — М.: Ленанд, 2014. — 448 с. — ISBN 978-5-9710-1296-2. (недоступная ссылка)
- Цирлин А. М. Методы оптимизации в необратимой термодинамике и микроэкономике. — М.: Физматлит, 2003. — 416 с.
- Шамбадаль П. Развитие и приложение понятия энтропии / Пер. с франц. — М.: Наука, 1967. — 279 с.
Ссылки
[править | править код]Для улучшения этой статьи по физике желательно:
|
Некоторые внешние ссылки в этой статье ведут на сайты, занесённые в спам-лист |