Эпиморфизм: различия между версиями

[отпатрулированная версия]

Содержимое удалено Содержимое добавлено

Линейный

Текущая версия от 14:54, 5 февраля 2023

Эпиморфи́зм в категории ― морфизм $m:A\to B$ , такой что из всякого равенства $f\circ m=h\circ m$ следует $f=h$ (другими словами, на $m$ можно сокращать справа).

Эпиморфизмы представляют собой категорный аналог понятия сюръективной функции, но это не одно и то же. Двойственным к понятию эпиморфизм является понятие мономорфизма; эпиморфизм, являющийся одновременно и мономорфизмом, называется биморфизмом.

Примеры

Каждый морфизм в конкретной категории, которому соответствует сюръективная функция, является эпиморфизмом. Например, сюръективный гомоморфизм групп или графов. Во многих категориях обратное тоже верно. Например, это верно в категориях множеств, групп, абелевых групп, векторных пространств, правых модулей и топологических пространств. Однако, например, в категории колец вложение $\mathbb {Z} \to \mathbb {Q}$ — несюръективный эпиморфизм (и, кроме того, биморфизм, не являющийся изоморфизмом).

Свойства

Любой морфизм, имеющий обратный справа, является эпиморфизмом. Действительно, если существует морфизм $j:Y\to X$ , такой что $m\circ j=\mathrm {Id} _{Y}$ , то легко проверить, что $m$ — эпиморфизм, домножив равенство $f\circ m=h\circ m$ на $j$ справа. Композиция двух эпиморфизмов — снова эпиморфизм. Если композиция $m\circ j$ двух морфизмов — эпиморфизм, то $m$ должен быть эпиморфизмом.

Как и многие концепции в теории категорий, эпиморфность сохраняется при эквивалентности категорий, $m$ является эпиморфизмом в одной категории тогда и только тогда, когда он является эпиморфизмом в другой.

Определение эпиморфизма можно переформулировать таким способом: $m:X\to Y$ — эпиморфизм тогда и только тогда, когда индуцированное отображение:

{\begin{matrix}\operatorname {Hom} (Y,Z)&\rightarrow &\operatorname {Hom} (X,Z)\\g&\mapsto &gm\end{matrix}}

инъективно для всех $Z$ .

Литература

Маклейн С. Категории для работающего математика = Categories for the working mathematician / Пер. с англ. под ред. В. А. Артамонова. — М.: Физматлит, 2004. — 352 с. — ISBN 5-9221-0400-4.

Bergman, George M. (1998), An Invitation to General Algebra and Universal Constructions, Harry Helson Publisher, Berkeley. ISBN 0-9655211-4-1.

@@ Строка 2: / Строка 2: @@
 Эпиморфизмы представляют собой категорный аналог понятия [[сюръективность|сюръективной функции]], но это не одно и то же.
-Двойственным к понятию эпиморфизм является понятие [[мономорфизм]]а.
+[[Двойственность (теория категорий)|Двойственным]] к понятию эпиморфизм является понятие [[мономорфизм]]а; эпиморфизм, являющийся одновременно и мономорфизмом, называется [[биморфизм]]ом.
 == Примеры ==
-Каждый морфизм в [[конкретная категория|конкретной категории]], которому соответствует сюрьективная функция, является эпиморфизмом. Во многих категориях обратное тоже верно. Например, это верно в категориях множеств, групп, абелевых групп, векторных пространств, правых [[модуль над кольцом|модулей]] и топологических пространств. Однако, например, в категории колец вложение '''Z''' → '''Q''' — несюръективный эпиморфизм. Чтобы доказать, что он является эпиморфизмом, достаточно заметить, что любой гомоморфизм из '''Q''' определяется своими значениеми на целых числах (точнее, образом единицы). Аналогичным образом показывается, что естественный гомоморфизм из кольца в одну из его [[локализация кольца|локализаций]] является эпиморфизмом.
+Каждый морфизм в [[конкретная категория|конкретной категории]], которому соответствует сюръективная функция, является эпиморфизмом. Например, сюръективный [[гомоморфизм]] [[Группа_(математика) | групп]] или [[Граф_(математика) | графов]]. Во многих категориях обратное тоже верно. Например, это верно в категориях множеств, групп, [[Абелева группа|абелевых групп]], [[Векторное пространство|векторных пространств]], правых [[модуль над кольцом|модулей]] и топологических пространств. Однако, например, в [[Категория колец|категории колец]] вложение <math>\Z \to \Q</math> — несюръективный эпиморфизм (и, кроме того, [[биморфизм]], не являющийся [[изоморфизм]]ом).
 == Свойства ==
-Любой морфизм, имеющий обратный справа, является эпиморфизмом. Действительно, если существует морфизм ''j'' : ''Y'' → ''X'', такой что ''fj'' = id<sub>''Y''</sub>, то легко проверить, что ''f'' — эпиморфизм, домножив на ''j'' справа. Композиция двух эпиморфизмов — снова эпиморфизм. Если композиция ''fg'' двух морфизмов — эпиморфизм, то ''f'' должен быть эпиморфизмом.
+Любой морфизм, имеющий обратный справа, является эпиморфизмом. Действительно, если существует морфизм <math>j : Y \to X</math>, такой что <math>m \circ j = \mathrm{Id}_Y</math>, то легко проверить, что <math>m</math> — эпиморфизм, домножив равенство <math>f\circ m=h\circ m</math> на <math>j</math> справа. Композиция двух эпиморфизмов — снова эпиморфизм. Если композиция <math>m \circ j</math> двух морфизмов — эпиморфизм, то <math>m</math> должен быть эпиморфизмом.
-Как и многие концепции в теории категорий, эпиморфность сохраняется при [[эквивалентность категорий|эквивалентности категорий]], ''f'' является эпиморфизмом в одной категории тогда и только тогда, когда он является эпиморфизмом в другой.
+Как и многие концепции в теории категорий, эпиморфность сохраняется при [[эквивалентность категорий|эквивалентности категорий]], <math>m</math> является эпиморфизмом в одной категории тогда и только тогда, когда он является эпиморфизмом в другой.
-Определение эпиморфизма можно переформулировать таким способом: ''f'' : ''X'' → ''Y'' — эпиморфизм тогда и только тогда, когда индуцированное отображение
+Определение эпиморфизма можно переформулировать таким способом: <math>m : X \to Y</math> — эпиморфизм тогда и только тогда, когда индуцированное отображение:
 : <math>\begin{matrix}\operatorname{Hom}(Y,Z) &\rightarrow& \operatorname{Hom}(X,Z)\\
-g &\mapsto& gf\end{matrix}</math>
+g &\mapsto& gm\end{matrix}</math>
-[[инъективность|инъективно]] для всех ''Z''.
+[[инъективность|инъективно]] для всех <math>Z</math>.
-== См. также ==
-* [[мономорфизм]]
-* [[подобъект]]
 == Литература ==
-* ''С. Мак Лейн'' Категории для работающего математика. — {{М}}: Физматлит, 2004 [1998].
+* {{Книга:Категории для работающего математика}}
 * Bergman, George M. (1998), ''An Invitation to General Algebra and Universal Constructions'', Harry Helson Publisher, Berkeley. ISBN 0-9655211-4-1.
-{{algebra-stub}}
 [[Категория:Теория категорий]]
+[[Категория:Морфизмы]]

Эпиморфизм: различия между версиями

Текущая версия от 14:54, 5 февраля 2023

Примеры

Свойства

Литература

Навигация

Поиск