Равенство Парсеваля: различия между версиями

[отпатрулированная версия]

Содержимое удалено Содержимое добавлено

Линейный

Текущая версия от 20:30, 19 января 2022

Ра́венство Парсева́ля — это аналог теоремы Пифагора в векторных пространствах со скалярным произведением. Названо по аналогии с теоремой для периодических функций, сформулированной Парсевалем в 1799 году.

Формулировка

Пусть $H$ — гильбертово пространство со скалярным произведением $\langle \cdot ,\cdot \rangle$ . Обозначим $\|x\|={\sqrt {\langle x,x\rangle }}$ индуцированную этим скалярным произведением норму. Тогда если $\{e_{k}\}_{k=1}^{\infty }$ — ортонормированный базис в $H$ , то

\|x\|^{2}=\sum _{k=1}^{\infty }\left|\langle x,e_{k}\rangle \right|^{2}.

См. также

Литература

Богачёв В. И., Смолянов О. Г., Действительный и функциональный анализ: университетский курс Архивная копия от 29 июля 2021 на Wayback Machine. — М.-Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», Институт компьютерных исследований, 2009. — 724 с.

Садовничий В. А., Теория операторов. — 2-е изд. — М.: Изд-во Моск. ун-та, 1986. — 368 c.

@@ Строка 1: / Строка 1: @@
 '''Ра́венство Парсева́ля''' — это аналог [[Теорема Пифагора|теоремы Пифагора]] в векторных пространствах
-со [[Скалярное произведение|скалярным произведением]]. Названо по аналогии с [[Теорема Парсеваля|теоремой]] для [[Периодическая функция|периодических функций]], сформулированой [[Парсеваль, Марк-Антуан|Парсевалем]] в [[1799 год]]у.
+со [[Скалярное произведение|скалярным произведением]]. Названо по аналогии с [[Теорема Парсеваля|теоремой]] для [[Периодическая функция|периодических функций]], сформулированной [[Парсеваль, Марк-Антуан|Парсевалем]] в [[1799 год]]у.
 == Формулировка ==
+Пусть <math>H</math> — [[гильбертово пространство]]  со [[скалярное произведение|скалярным произведением]] <math>\langle \cdot, \cdot \rangle</math>.
-Пусть дано [[гильбертово пространство]] <math>(H,\langle \cdot, \cdot\rangle)</math>, где <math>\langle \cdot, \cdot \rangle</math> — [[скалярное произведение]], определённое на [[Множество|множестве]] <math>H</math>. Обозначим <math>\|x\| = \sqrt{\langle x,x \rangle}</math> индуцированную этим скалярным произведением [[Норма (математика)|норму]]. Тогда если <math>\{e_k\}_{k=1}^{\infty}</math> — [[ортонормированный базис]] в <math>H</math>, то
+Обозначим <math>\|x\| = \sqrt{\langle x,x \rangle}</math> индуцированную этим скалярным произведением [[Норма (математика)|норму]].
+Тогда если <math>\{e_k\}_{k=1}^{\infty}</math> — [[ортонормированный базис]] в <math>H</math>, то
 : <math>\|x\|^2=\sum_{k=1}^{\infty}\left|\langle x,e_k\rangle\right|^2.</math>
 == См. также ==
 * [[Ряд Фурье]]
+* [[Неравенство Бесселя]]
 == Литература ==
-* ''Богачев В.И., Смолянов О.Г.'', [http://www.dp5.ru/index.php/-1/38417-bogachev-v-i-smolyanov-o-g-dejstvitelnyj-i-2.html Действительный и функциональный анализ: университетский курс.] — М.-Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», Институт компьютерных исследований, 2009. — 724 с.
+* ''[[Богачёв, Владимир Игоревич|Богачёв В. И.]], [[Смолянов, Олег Георгиевич|Смолянов О. Г.]]'', [https://publications.hse.ru/en/books/115653644 Действительный и функциональный анализ: университетский курс] {{Wayback|url=https://publications.hse.ru/en/books/115653644 |date=20210729083723 }}. — М.-Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», Институт компьютерных исследований, 2009. — 724 с.
-* ''Садовничий В.А.'', Теория операторов. — 2-е изд. — М.: Изд-во Моск. ун-та, 1986. — 368 c.
+* ''[[Садовничий, Виктор Антонович|Садовничий В. А.]]'', Теория операторов. — 2-е изд. — М.: Изд-во Моск. ун-та, 1986. — 368 c.
 {{rq|sources|topic=math}}
@@ Строка 21: / Строка 23: @@
 [[Категория:Функциональный анализ]]
 [[Категория:Тождества]]
+[[Категория:Теоремы функционального анализа]]

Равенство Парсеваля: различия между версиями

Текущая версия от 20:30, 19 января 2022

Формулировка

См. также

Литература

Навигация

Поиск