Теорема Вейерштрасса о функции на компакте

Теоре́ма Вейерштра́сса — теорема математического анализа и общей топологии, которая гласит, что функция, непрерывная на компакте, ограничена на нём и достигает своих точных верхней и нижней граней.

Иногда (в учебных курсах) два утверждения (об ограниченности и достижимости границ) разделяются на две теоремы Вейерштрасса — первую и вторую соответственно.

Формулировка теоремы

Теорема Вейерштрасса формулируется для непрерывных функций, действующих из заданного метрического пространства в множество вещественных чисел.

Теорема Вейерштрасса для непрерывных функций

В математическом анализе рассматриваются числовые пространства, для которых компактными являются произвольные замкнутые и ограниченные множества. На вещественной прямой связные компактные множества — это отрезки, то теорема Вейерштрасса формулируется для отрезков:

Если функция $f$ непрерывна на отрезке $[a,b]$, то она ограничена на нём и притом достигает своих минимального и максимального значений, т. е. существуют $x_{m},x_{M}\in [a,b]$ такие, что $f(x_{m})\leqslant f(x)\leqslant f(x_{M})$ для всех $x\in [a,b]$.

Теорема Вейерштрасса для полунепрерывных функций

• Пусть функция $f\colon [a,\;b]\to \mathbb {R}$ ограничена и полунепрерывна сверху. Тогда

  $M=\sup \limits _{x\in [a,\;b]}f(x)<+\infty$ и $\exists x_{M}\in [a,\;b]\colon f(x_{M})=M.$

• Пусть функция $f\colon [a,\;b]\to \mathbb {R}$ ограничена и полунепрерывна снизу. Тогда

  $m=\inf \limits _{x\in [a,\;b]}f(x)>-\infty$ и $\exists x_{m}\in [a,\;b]\colon f(x_{m})=m.$

Доказательство

Доказательство теоремы для непрерывных функций

В силу полноты действительных чисел существует (конечная или бесконечная) точная верхняя грань $M=\sup _{x\in [a,b]}f(x)$. Поскольку $M$ — точная верхняя грань, существует последовательность $x_{n}$ такая, что $\lim f(x_{n})=M$. По теореме Больцано — Вейерштрасса из ограниченной последовательности $x_{n}$ можно выделить сходящуюся подпоследовательность $x_{n_{k}}$, предел которой (назовем его $x_{M}$) также принадлежит отрезку $[a,b]$. В силу непрерывности функции $f$ имеем $f(x_{M})=\lim f(x_{n_{k}})$, но с другой стороны $\lim f(x_{n_{k}})=\lim f(x_{n})=M$. Таким образом, точная верхняя грань $M$ конечна и достигается в точке $x_{M}$.

Для нижней грани доказательство аналогично.

Доказательство теоремы в общем случае

Пусть $A$ — компакт, и функция $f$ непрерывна на $A$. Рассмотрим совокупность множеств $V_{n}=f^{-1}{\big (}(-n,n){\big )}$, где $(-n,n)\subset \mathbb {R}$ — открытый интервал. Эти множества суть открытые (как полные прообразы открытого множества при непрерывном отображении), и, очевидно, образуют покрытие $A$. По определению компакта из этого покрытия можно выделить конечное подпокрытие $V_{n_{k}}$, откуда имеем $\forall x\in A:f(x)<\max n_{k}$, ограниченность доказана. Достижение максимума и минимума легко доказать от противного, если рассмотреть функции $[f(x)-\sup f(A)]^{-1}$, $[f(x)-\inf f(A)]^{-1}$, и применить к ним только что доказанное утверждение.

Замечания

В предположениях теоремы отрезок нельзя заменить на открытый интервал. Например, функция тангенс

$\operatorname {tg} \colon \left(-{\frac {\pi }{2}},\;{\frac {\pi }{2}}\right)\to \mathbb {R}$

непрерывна в каждой точке области определения, но не ограничена.