Эпиморфизм: различия между версиями

[непроверенная версия]

[отпатрулированная версия]

Содержимое удалено Содержимое добавлено

Линейный

Текущая версия от 14:54, 5 февраля 2023

Эпиморфи́зм в категории ― морфизм $m:A\to B$ , такой что из всякого равенства $f\circ m=h\circ m$ следует $f=h$ (другими словами, на $m$ можно сокращать справа).

Эпиморфизмы представляют собой категорный аналог понятия сюръективной функции, но это не одно и то же. Двойственным к понятию эпиморфизм является понятие мономорфизма; эпиморфизм, являющийся одновременно и мономорфизмом, называется биморфизмом.

Примеры

Каждый морфизм в конкретной категории, которому соответствует сюръективная функция, является эпиморфизмом. Например, сюръективный гомоморфизм групп или графов. Во многих категориях обратное тоже верно. Например, это верно в категориях множеств, групп, абелевых групп, векторных пространств, правых модулей и топологических пространств. Однако, например, в категории колец вложение $\mathbb {Z} \to \mathbb {Q}$ — несюръективный эпиморфизм (и, кроме того, биморфизм, не являющийся изоморфизмом).

Свойства

Любой морфизм, имеющий обратный справа, является эпиморфизмом. Действительно, если существует морфизм $j:Y\to X$ , такой что $m\circ j=\mathrm {Id} _{Y}$ , то легко проверить, что $m$ — эпиморфизм, домножив равенство $f\circ m=h\circ m$ на $j$ справа. Композиция двух эпиморфизмов — снова эпиморфизм. Если композиция $m\circ j$ двух морфизмов — эпиморфизм, то $m$ должен быть эпиморфизмом.

Как и многие концепции в теории категорий, эпиморфность сохраняется при эквивалентности категорий, $m$ является эпиморфизмом в одной категории тогда и только тогда, когда он является эпиморфизмом в другой.

Определение эпиморфизма можно переформулировать таким способом: $m:X\to Y$ — эпиморфизм тогда и только тогда, когда индуцированное отображение:

{\begin{matrix}\operatorname {Hom} (Y,Z)&\rightarrow &\operatorname {Hom} (X,Z)\\g&\mapsto &gm\end{matrix}}

инъективно для всех $Z$ .

Литература

Маклейн С. Категории для работающего математика = Categories for the working mathematician / Пер. с англ. под ред. В. А. Артамонова. — М.: Физматлит, 2004. — 352 с. — ISBN 5-9221-0400-4.

Bergman, George M. (1998), An Invitation to General Algebra and Universal Constructions, Harry Helson Publisher, Berkeley. ISBN 0-9655211-4-1.

@@ Строка 1: / Строка 1: @@
-'''Эпиморфи́зм''' в [[категория|категории]] ― [[морфизм]] <math>m:A\to B</math> категории <math>\mathcal C</math>, для которого из всякого равенства <math>mf=mh</math> следует, что <math>f=h</math> (другими словами, на <math>m</math> можно сокращать слева).
+'''Эпиморфи́зм''' в [[Теория категорий|категории]] ― [[морфизм]] <math>m:A\to B</math>, такой что из всякого равенства <math>f\circ m=h\circ m</math> следует <math>f=h</math> (другими словами, на <math>m</math> можно сокращать справа).
+Эпиморфизмы представляют собой категорный аналог понятия [[сюръективность|сюръективной функции]], но это не одно и то же.
-В категории множеств роль эпиморфизмов играют [[Сюръекция|сюръекции]], в [[Абстрактная алгебра|общей алгебре]] ― сюръективные [[гомоморфизм]]ы.
-Двойственным к понятию мономорфизм является понятие [[мономорфизм]]а.
+[[Двойственность (теория категорий)|Двойственным]] к понятию эпиморфизм является понятие [[мономорфизм]]а; эпиморфизм, являющийся одновременно и мономорфизмом, называется [[биморфизм]]ом.
-==Свойства==
-*Произведение двух эпиморфизмов является эпиморфизмом.
-*Каждый [[правый делитель эпиморфизма]] есть эпиморфизм.
-*Класс всех объектов и класс всех эпиморфизмов произвольной категории составляют подкатегорию.
+== Примеры ==
-[[Категория:Теория категорий]]
+Каждый морфизм в [[конкретная категория|конкретной категории]], которому соответствует сюръективная функция, является эпиморфизмом. Например, сюръективный [[гомоморфизм]] [[Группа_(математика) | групп]] или [[Граф_(математика) | графов]]. Во многих категориях обратное тоже верно. Например, это верно в категориях множеств, групп, [[Абелева группа|абелевых групп]], [[Векторное пространство|векторных пространств]], правых [[модуль над кольцом|модулей]] и топологических пространств. Однако, например, в [[Категория колец|категории колец]] вложение <math>\Z \to \Q</math> — несюръективный эпиморфизм (и, кроме того, [[биморфизм]], не являющийся [[изоморфизм]]ом).
+== Свойства ==
-[[en:Epimorphism]]
+Любой морфизм, имеющий обратный справа, является эпиморфизмом. Действительно, если существует морфизм <math>j : Y \to X</math>, такой что <math>m \circ j = \mathrm{Id}_Y</math>, то легко проверить, что <math>m</math> — эпиморфизм, домножив равенство <math>f\circ m=h\circ m</math> на <math>j</math> справа. Композиция двух эпиморфизмов — снова эпиморфизм. Если композиция <math>m \circ j</math> двух морфизмов — эпиморфизм, то <math>m</math> должен быть эпиморфизмом.
-[[de:Epimorphismus]]
-[[fr:Épimorphisme]]
+Как и многие концепции в теории категорий, эпиморфность сохраняется при [[эквивалентность категорий|эквивалентности категорий]], <math>m</math> является эпиморфизмом в одной категории тогда и только тогда, когда он является эпиморфизмом в другой.
-[[pl:Epimorfizm]]
-[[fi:Epimorfismi]]
+Определение эпиморфизма можно переформулировать таким способом: <math>m : X \to Y</math> — эпиморфизм тогда и только тогда, когда индуцированное отображение:
+: <math>\begin{matrix}\operatorname{Hom}(Y,Z) &\rightarrow& \operatorname{Hom}(X,Z)\\
+g &\mapsto& gm\end{matrix}</math>
+[[инъективность|инъективно]] для всех <math>Z</math>.
+== Литература ==
+* {{Книга:Категории для работающего математика}}
+* Bergman, George M. (1998), ''An Invitation to General Algebra and Universal Constructions'', Harry Helson Publisher, Berkeley. ISBN 0-9655211-4-1.
+[[Категория:Теория категорий]]
+[[Категория:Морфизмы]]

Эпиморфизм: различия между версиями

Текущая версия от 14:54, 5 февраля 2023

Примеры

Свойства

Литература

Навигация

Поиск