Гипоциклоида: различия между версиями

Интерактивная навигация по истории

[отпатрулированная версия]

← Предыдущая правка

Содержимое удалено Содержимое добавлено

ВизуальныйВики-текст

Линейный

Текущая версия от 11:38, 14 сентября 2024

Гипоцикло́ида (греч. ὑπό (под, внизу) + греч. κύκλος (круг, окружность)) — плоская кривая, образуемая точкой окружности, катящейся по внутренней стороне другой окружности без скольжения^[1].

История

Впервые частный случай гипоциклодиды, который сейчас известен как пара Туси, был описан астрономом и математиком Насир ад-Дином ат-Туси в его труде Тахрир аль-Маджисти в 1247 году^[3]^[4]. Позднее немецкий художник и теоретик эпохи Ренессанса Альбрехт Дюрер описал эпитрохоиды в 1525 году, а Рёмер и Бернулли сосредоточились на изучении некоторых специфических гипоциклоид, таких как астроиды, в 1674 и 1691 годах соответственно.

Уравнения

Параметрические уравнения:

{\begin{cases}x=r(k-1)\left(\cos t+{\frac {\cos((k-1)t)}{k-1}}\right)\\y=r(k-1)\left(\sin t-{\frac {\sin((k-1)t)}{k-1}}\right)\end{cases}}

где $\textstyle k={\frac {R}{r}}$ , где $R$ — радиус неподвижной окружности, $r$ — радиус катящейся окружности.

Вывод уравнений

Пусть в начальный момент окружности касаются в точке $A$ , лежащей на оси $OX$ , где точка $O$ — центр большой окружности. Координаты точки $A$ при этом - $(kr,0)$ , где $k={\frac {R}{r}}$ . Рассмотрим, как меняются координаты точки $A$ , привязанной к катящейся окружности ( $A$ переходит в $A'$ ). Пусть маленькая окружность прокатилась так, что её центр перешел из точки $C'$ в точку $C'$ и повернулся относительно точки $O$ на угол $t$ . Во-первых, можно показать, что поворот маленькой окружности относительно своего центра при этом (т.е. угол между $CA$ и $C'A'$ ) равен $t-kt=-(k-1)t$ . Во-вторых, координаты точки $C'$ будут такими: $(cos(t)(k-1)r,sin(t)(k-1)r)$ . Тогда, зная, куда перейдет центр катящейся окружности, и на какой угол она повернулась относительно этого центра, можно записать координаты точки $A'$ :

{\begin{cases}x=cos(t)(k-1)r+cos((k-1)t)r\\y=sin(t)(k-1)r-sin((k-1)t)r\end{cases}}

Модуль величины $k$ определяет форму гипоциклоиды. При $k=2$ гипоциклоида описывается парой Туси — это диаметр неподвижной окружности, при $k=4$ является астроидой. Если модуль $k$ — несократимая дробь вида ${\frac {m}{n}}$ ( $m,n\in \mathbb {N}$ ), то $m$ — это количество каспов данной гипоциклоиды, а $(m-n)$ — количество полных вращений катящейся окружности. Если модуль $k$ иррациональное число, то кривая является незамкнутой и имеет бесконечное множество несовпадающих каспов.

Примеры гипоциклоид

$k=3$ — Дельтоида
$k=1.5={\frac {3}{2}}$
$k=4$ — Астроида
$k={\frac {4}{3}}$
$k=5$
$k=6$
$k=5.5={\frac {11}{2}}$
$k={\frac {5}{3}}$
$k=3.6={\frac {18}{5}}$

См. также

Примечания

↑ Гипоциклоиды и эпициклоиды // Большая советская энциклопедия : в 66 т. (65 т. и 1 доп.) / гл. ред. О. Ю. Шмидт. — М. : Советская энциклопедия, 1926—1947.
↑ Vatican Library, Vat. ar. 319 fol. 28 verso math19 NS.15 Архивировано 24 декабря 2014 года., fourteenth-century copy of a manuscript from Tusi
↑ Weisstein, Eric W. Tusi Couple (англ.). mathworld.wolfram.com. Дата обращения: 27 февраля 2023.
↑ Blake, Stephen P. Astronomy and Astrology in the Islamic World : [англ.]. — Edinburgh University Press, 2016-04-08. — ISBN 978-0-7486-4911-2.

Литература

Гипоциклоида // Казахстан. Национальная энциклопедия (рус.). — Алматы: Қазақ энциклопедиясы, 2005. — Т. II. — ISBN 9965-9746-3-2. (CC BY-SA 3.0)

[БСЭ1-1] Гипоциклоиды и эпициклоиды // Большая советская энциклопедия : в 66 т. (65 т. и 1 доп.) / гл. ред. О. Ю. Шмидт. — М. : Советская энциклопедия, 1926—1947.

[2] Vatican Library, Vat. ar. 319 fol. 28 verso math19 NS.15 Архивировано 24 декабря 2014 года., fourteenth-century copy of a manuscript from Tusi

[3] Weisstein, Eric W. Tusi Couple (англ.). mathworld.wolfram.com. Дата обращения: 27 февраля 2023.

[4] Blake, Stephen P. Astronomy and Astrology in the Islamic World : [англ.]. — Edinburgh University Press, 2016-04-08. — ISBN 978-0-7486-4911-2.

[1]

[2]

[3]

[4]

@@ Строка 1: / Строка 1: @@
 [[Файл:HypocycloidK1,66.gif|безрамки|справа]]
-'''Гипоцикло́ида''' (от греческих слов ὑπό — под, внизу и κύκλος — круг, окружность) — плоская кривая, образуемая точкой [[окружность|окружности]], катящейся по внутренней стороне другой окружности без скольжения.
+'''Гипоцикло́ида''' ({{lang-el|ὑπό}} (под, внизу) + {{lang-el|κύκλος}} (круг, окружность)) — плоская кривая, образуемая точкой [[окружность|окружности]], катящейся по внутренней стороне другой окружности без скольжения<ref name="БСЭ1">{{ВТ-БСЭ1|Гипоциклоиды и эпициклоиды}}</ref>.
+== История ==
+[[Файл:Tusi_couple.jpg|мини|Схема гипоциклоиды с k=2 ([[пара Туси]]), сделанная ат-Туси в XIII-м веке<ref>Vatican Library, [https://wps.prenhall.com/esm_chaisson_astronomytoday_5/0,9185,1383966-content,00.html Vat. ar. 319 fol. 28 verso math19 NS.15] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20141224122410/https://wps.prenhall.com/esm_chaisson_astronomytoday_5/0,9185,1383966-content,00.html|date=2014-12-24}}, fourteenth-century copy of a manuscript from Tusi</ref>]]
+Впервые частный случай гипоциклодиды, который сейчас известен как [[пара Туси]], был описан [[Исламская астрономия|астрономом]] и [[Математика исламского Средневековья|математиком]] [[Насир ад-Дин ат-Туси|Насир ад-Дином ат-Туси]] в его труде ''Тахрир аль-Маджисти'' в 1247 году<ref>{{Cite web|url=https://mathworld.wolfram.com/|title=Tusi Couple|language=en|first=Eric W.|last=Weisstein|website=mathworld.wolfram.com|access-date=2023-02-27}}</ref><ref>{{Cite book|last=Blake|first=Stephen P.|title=Astronomy and Astrology in the Islamic World|url=https://books.google.com/books?id=3dJVDwAAQBAJ&dq=Tusi+couple+al+majisti&pg=PA67|publisher=Edinburgh University Press|date=2016-04-08|isbn=978-0-7486-4911-2|language=en}}</ref>. Позднее немецкий художник и теоретик [[Возрождение|эпохи Ренессанса]] [[Альбрехт Дюрер]] описал [[Эпитрохоида|эпитрохоиды]] в 1525 году, а [[Рёмер, Оле|Рёмер]] и Бернулли сосредоточились на изучении некоторых специфических гипоциклоид, таких как [[Астроида|астроиды]], в 1674 и 1691 годах соответственно.
 == Уравнения ==
-[[Файл:Fiery hypocycloid.jpg|thumb|<small>Внутри воздушного шарика катится маленькая батарейка с прикреплённым светодиодом, видна гипоциклоида с k=9</small>]]
+[[Файл:Fiery hypocycloid.jpg|thumb|Внутри воздушного шарика катится маленькая батарейка с прикреплённым светодиодом, видна гипоциклоида с k=9|слева]]
 [[Параметрическое представление функции|Параметрические уравнения]]:
 : <math>\begin{cases}x = r(k-1) \left( \cos t+ \frac{\cos((k-1)t)}{k-1} \right)\\ y = r (k-1) \left( \sin t- \frac{\sin((k-1)t)}{k-1} \right)\end{cases}</math>
@@ Строка 17: / Строка 21: @@
   content-style = text-align: left; |
   content =
-Пусть в начальный момент окружности касаются в точке <math>A</math>, лежащей на оси <math>OX</math>, где точка <math>O</math> - центр большой окружности. Координаты точки <math>A</math> при этом - <math>(kr, 0)</math>, где <math>k=\frac{R}{r}</math>. Рассмотрим, как меняются координаты точки <math>A</math>, привязанной к катящейся окружности (<math>A</math> переходит в <math>A'</math>).
+Пусть в начальный момент окружности касаются в точке <math>A</math>, лежащей на оси <math>OX</math>, где точка <math>O</math> — центр большой окружности.
+Координаты точки <math>A</math> при этом - <math>(kr, 0)</math>, где <math>k=\frac{R}{r}</math>.
+Рассмотрим, как меняются координаты точки <math>A</math>, привязанной к катящейся окружности (<math>A</math> переходит в <math>A'</math>).
 Пусть маленькая окружность прокатилась так, что её центр перешел из точки <math>C'</math> в точку <math>C'</math> и повернулся относительно точки <math>O</math> на угол <math>t</math>. Во-первых, можно показать, что поворот маленькой окружности относительно своего центра при этом (т.е. угол между <math>CA</math> и <math>C'A'</math>) равен <math>t - kt = -(k-1)t</math>. Во-вторых, координаты точки <math>C'</math> будут такими: <math>(cos(t)(k-1)r, sin(t)(k-1)r)</math>. Тогда, зная, куда перейдет центр катящейся окружности, и на какой угол она повернулась относительно этого центра, можно записать координаты точки <math>A'</math>:
 : <math>\begin{cases}
@@ Строка 26: / Строка 32: @@
  |}
-Модуль величины <math>k</math> определяет форму гипоциклоиды. При <math>k=2</math> гипоциклоида представляет собой [[диаметр]] неподвижной окружности, при <math>k=4</math> является [[астроида|астроидой]].
+Модуль величины <math>k</math> определяет форму гипоциклоиды.
+При <math>k=2</math> гипоциклоида описывается [[Пара Туси|парой Туси]] — это [[диаметр]] неподвижной окружности, при <math>k=4</math> является [[астроида|астроидой]].
-Если модуль <math>k</math> — [[рациональное число|несократимая дробь]] вида <math>\frac{m}{n}</math> (<math>m,n \in \mathbb{N}</math>), то <math>m</math> — это количество [[касп]]ов данной гипоциклоиды, а <math>n</math> — количество полных вращений катящейся окружности. Если модуль <math>k</math> [[иррациональное число]], то кривая является незамкнутой и имеет бесконечное множество несовпадающих каспов.
+Если модуль <math>k</math> — [[рациональное число|несократимая дробь]] вида <math>\frac{m}{n}</math> (<math>m,n \in \mathbb{N}</math>), то <math>m</math> — это количество [[касп]]ов данной гипоциклоиды, а <math>(m-n)</math> — количество полных вращений катящейся окружности. Если модуль <math>k</math> [[иррациональное число]], то кривая является незамкнутой и имеет бесконечное множество несовпадающих каспов.
 == Примеры гипоциклоид ==
@@ Строка 55: / Строка 62: @@
 == Литература ==
+{{Навигация|Викисловарь = гипоциклоида|Викитека = |}}
 * {{Из КНЭ|2|75|Гипоциклоида}}
-{{КНЭ}}
+{{ВС}}
 {{Кривые}}

Ссылки на внешние ресурсы
Тематические сайты	MathWorld
Словари и энциклопедии	Большая каталанская Большая норвежская Большая советская (1 изд.) Математическая