Задача о перемещении дивана: различия между версиями
| [непроверенная версия] | [отпатрулированная версия] |
Нет описания правки |
→Поиски решения: человечество не стоит на месте |
||
| (не показано 79 промежуточных версий 41 участника) | |||
| Строка 1: | Строка 1: | ||
[[ |
[[Файл:Hammersley sofa animated.gif|right|300px|thumb|Анимация перемещения дивана Хаммерсли с константой 2,2074]] |
||
'''Задача о перемещении дивана''' была сформулирована [[Канада|канадским]] математиком австрийского происхождения {{не переведено|Мозер, Лео|Мозером|en|Leo Moser}} в [[1966 год]]у. |
|||
| ⚫ | |||
== Постановка задачи == |
|||
Так как полукруг единичного радиуса легко проводится за угол «коридора», нижняя граница 'константы дивана' выше, чем <math>\pi/2</math> (1.570796327...). Простая оценка сверху показывает также, что 'константa дивана' не превышает 2√2 (2.828427124...). |
|||
| ⚫ | Задача сводится к двумерной идеализации житейской проблемы о перемещении мебели. В двумерном пространстве определите жёсткое тело наибольшей площади ''А'', которое может быть перемещено в Г-образном «коридоре», образованном «тоннелями» шириной в единицу измерения, сходящимися под прямым углом. Полученное значение ''А'' принято называть ''константой дивана'' (в альтернативных формулировках той же самой задачи этот предмет является идеализацией стола, или же баржи или корабля в Г-образном канале). |
||
== Поиски решения == |
|||
[[John Hammersley|Джон Хаммерсли]] <ref>H.T. Croft, K.J. Falconer, and R.K. Guy, Unsolved Problems in Geometry, Springer-Verlag, 1994</ref><ref>[http://www.mathsoft.com/mathsoft_resources/mathsoft_constants/Geometry_Constants/2025.aspx Задача о перемещении дивана на Mathsoft] содержит диаграмму дивана Гервера</ref> существенно повысил оценку снизу до <math>\scriptstyle A\, =\, \pi/2 + 2/\pi</math> (2.207416099...) с помощью фигуры, напоминающей телефонную трубку (см.рис.), состоящей из двух четвертей кругов единичного радиуса по обеим сторонам от прямоугольника 1 • <math>4/\pi</math> с удаленным полукругом радиуса <math>2/\pi</math>. |
|||
[[Файл:Gerver.svg|thumb|200px|Диван с константой 2,2195; нижняя оценка Джозефа Гервера]] |
|||
Так как полукруг единичного радиуса легко проводится за угол «коридора», оценкой снизу для константы дивана является <math>\pi/2\approx 1{,}570796327</math>. Простая оценка сверху{{как}} показывает также, что константа дивана не превышает <math>2\sqrt2 \approx 2{,}828427124</math><ref>{{статья |заглавие=The Sofa Problem |издание=The [[American Mathematical Monthly]] |том=83 |страницы=188—189 |doi=10.2307/2977022 |ссылка=http://www.cs.utsa.edu/~wagner/pubs/corner/corner_final.pdf |язык=en |автор=Neal R. Wagner |год=1976 |archivedate=2015-04-20 |archiveurl=https://web.archive.org/web/20150420160001/http://www.cs.utsa.edu/~wagner/pubs/corner/corner_final.pdf }}</ref><ref>[[Ян Стюарт|Я. Стюарт]], ''Another Fine Math You’ve Got Me Into'', Courier Dover Publications, 2004.</ref>, где величина <math>2\sqrt2</math> является наибольшей длиной отрезка, который может быть перемещен в данном коридоре. |
|||
{{iw|Хаммерсли, Джон|Джон Хаммерсли|en|John Hammersley}} существенно повысил оценку снизу до <math>\pi/2 + 2/\pi\approx 2{,}207416099</math> с помощью фигуры, напоминающей телефонную трубку (см. рис.), состоящей из двух четвертей кругов единичного радиуса по обеим сторонам от прямоугольника <math>1\times4/\pi</math> с удалённым полукругом радиуса <math>2/\pi</math><ref>{{книга |заглавие=Unsolved Problems in Geometry |издательство=Springer |год=1994 |страницы=198 |isbn=9780387975061 |язык=en |автор=H. T. Croft, K. J. Falconer, R. K. Guy}}</ref><ref>[https://web.archive.org/web/20080107101427/http://mathcad.com/library/constants/sofa.htm Задача о перемещении дивана на Mathsoft] (содержит диаграмму дивана Гервера)</ref><ref>[http://www.gambler.ru/forum/index.php?showtopic=472358&st=420 Форум Gambler.ru — Тема: Коридор, Г] {{Wayback|url=http://www.gambler.ru/forum/index.php?showtopic=472358&st=420 |date=20120314081042 }} (содержит диаграмму дивана Гервера)</ref>. |
|||
| ⚫ | В 1992 |
||
| ⚫ | В [[1992 год]]у [[Joseph Gerver|Джозеф Гервер]] дополнительно улучшил оценку константы дивана снизу до <math>2{,}2195</math>. Его фигура ограничена восемнадцатью дугами аналитических кривых<ref>{{статья |заглавие=On Moving a Sofa Around a Corner |издание=[[Geometriae Dedicata]] |том=42 |номер=3 |страницы=267—283 |doi=10.1007/BF02414066 |язык=en |автор=Joseph L. Gerver |год=1992}}</ref><ref>{{MathWorld|MovingSofaProblem|Задача о перемещении дивана}}</ref>. |
||
== Ссылки == |
|||
<references/> |
|||
В июне [[2017]] Йоав Каллус и Дэн Ромик улучшили оценку сверху для константы дивана до <math>2{,}37</math>.<ref>{{Статья|автор=Yoav Kallus, Dan Romik|заглавие=Improved upper bounds in the moving sofa problem|ссылка=http://arxiv.org/abs/1706.06630|издание=arXiv:1706.06630 [math]|год=2017-06-21|archivedate=2017-08-21|archiveurl=https://web.archive.org/web/20170821173211/https://arxiv.org/abs/1706.06630}}</ref> |
|||
| ⚫ | |||
В 2024 году был опубликован препринт, согласно которому решение Гервера является оптимальным<ref>{{cite arXiv|eprint=2411.19826|author=Jineon Baek|title=Optimality of Gerver's Sofa}}</ref>. |
|||
[[da:Sofaproblemet]] |
|||
[[en:Moving sofa problem]] |
|||
=== Численная оптимизация === |
|||
Численная оптимизация позволяет определить константы дивана для различных стандартных кривых. |
|||
[[Файл:Обобщенный диван Хаммерсли animation.gif|thumb|200px|Численный поиск константы обобщенного дивана Хаммерсли]] |
|||
В диване Хаммерсли используются внешние круги единичного радиуса, но если снять это ограничение, то константу дивана можно повысить до ~2.21302924761374 при этом внешние четверти кругов будут иметь радиус ~0.91363796343492 и общая длина будет равна ~3.21033227646884. Назовем такой диван обобщенным диваном Хаммерсли. |
|||
Разбив внешний круг на два круга, с точкой касания при касательной в 45 градусов, можно получить константу дивана ~2.21918785. Радиус окружности при основании R1~1.16134066, а её центр смещен вниз на B~0.01740046. Радиус верхней окружности равен R2~0.71499114, а длина дивана L~3.22797195. Если дополнительно произвести оптимизацию с учётом угла наклона касательной, в точке касания внешних кругов, то можно получить константу дивана ~2.219237814, при этом R1~1.19650, B~0.02777, R2~0.72655, касательная при 39.86407 градусах и L~3.22848. |
|||
== Примечания == |
|||
{{примечания}} |
|||
| ⚫ | |||
[[Категория:Математические гипотезы]] |
|||
[[Категория:Открытые математические проблемы]] |
|||
Текущая версия от 12:28, 2 декабря 2024
Задача о перемещении дивана была сформулирована канадским математиком австрийского происхождения Мозером[англ.] в 1966 году.
Постановка задачи
[править | править код]Задача сводится к двумерной идеализации житейской проблемы о перемещении мебели. В двумерном пространстве определите жёсткое тело наибольшей площади А, которое может быть перемещено в Г-образном «коридоре», образованном «тоннелями» шириной в единицу измерения, сходящимися под прямым углом. Полученное значение А принято называть константой дивана (в альтернативных формулировках той же самой задачи этот предмет является идеализацией стола, или же баржи или корабля в Г-образном канале).
Поиски решения
[править | править код]
Так как полукруг единичного радиуса легко проводится за угол «коридора», оценкой снизу для константы дивана является . Простая оценка сверху[как?] показывает также, что константа дивана не превышает [1][2], где величина является наибольшей длиной отрезка, который может быть перемещен в данном коридоре.
Джон Хаммерсли[англ.] существенно повысил оценку снизу до с помощью фигуры, напоминающей телефонную трубку (см. рис.), состоящей из двух четвертей кругов единичного радиуса по обеим сторонам от прямоугольника с удалённым полукругом радиуса [3][4][5].
В 1992 году Джозеф Гервер дополнительно улучшил оценку константы дивана снизу до . Его фигура ограничена восемнадцатью дугами аналитических кривых[6][7].
В июне 2017 Йоав Каллус и Дэн Ромик улучшили оценку сверху для константы дивана до .[8]
В 2024 году был опубликован препринт, согласно которому решение Гервера является оптимальным[9].
Численная оптимизация
[править | править код]Численная оптимизация позволяет определить константы дивана для различных стандартных кривых.
В диване Хаммерсли используются внешние круги единичного радиуса, но если снять это ограничение, то константу дивана можно повысить до ~2.21302924761374 при этом внешние четверти кругов будут иметь радиус ~0.91363796343492 и общая длина будет равна ~3.21033227646884. Назовем такой диван обобщенным диваном Хаммерсли.
Разбив внешний круг на два круга, с точкой касания при касательной в 45 градусов, можно получить константу дивана ~2.21918785. Радиус окружности при основании R1~1.16134066, а её центр смещен вниз на B~0.01740046. Радиус верхней окружности равен R2~0.71499114, а длина дивана L~3.22797195. Если дополнительно произвести оптимизацию с учётом угла наклона касательной, в точке касания внешних кругов, то можно получить константу дивана ~2.219237814, при этом R1~1.19650, B~0.02777, R2~0.72655, касательная при 39.86407 градусах и L~3.22848.
Примечания
[править | править код]- ↑ Neal R. Wagner. The Sofa Problem (англ.) // The American Mathematical Monthly. — 1976. — Vol. 83. — P. 188—189. — doi:10.2307/2977022. Архивировано 20 апреля 2015 года.
- ↑ Я. Стюарт, Another Fine Math You’ve Got Me Into, Courier Dover Publications, 2004.
- ↑ H. T. Croft, K. J. Falconer, R. K. Guy. Unsolved Problems in Geometry (англ.). — Springer, 1994. — P. 198. — ISBN 9780387975061.
- ↑ Задача о перемещении дивана на Mathsoft (содержит диаграмму дивана Гервера)
- ↑ Форум Gambler.ru — Тема: Коридор, Г Архивная копия от 14 марта 2012 на Wayback Machine (содержит диаграмму дивана Гервера)
- ↑ Joseph L. Gerver. On Moving a Sofa Around a Corner (англ.) // Geometriae Dedicata. — 1992. — Vol. 42, no. 3. — P. 267—283. — doi:10.1007/BF02414066.
- ↑ Weisstein, Eric W. Задача о перемещении дивана (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
- ↑ Yoav Kallus, Dan Romik. Improved upper bounds in the moving sofa problem // arXiv:1706.06630 [math]. — 2017-06-21. Архивировано 21 августа 2017 года.
- ↑ Jineon Baek. "Optimality of Gerver's Sofa". arXiv:2411.19826.