Модели рассеивания примеси

Модели рассеивания примеси — математические модели распространения примесей в атмосфере.

Гауссовы модели

Гауссовы модели основаны на гипотезе о том, что распределение частиц в струе или облаке близко к нормальному.

Нестационарная Гауссова модель

Уравнение, описывающее распределение загрязняющего вещества для нестационарного случая
$C(x,y,z,t)={\frac {Q}{(2\pi )^{3/2}\sigma _{x}\sigma _{y}\sigma _{z}}}\exp[-{\frac {((x-x_{0})-ut)^{2}}{2\sigma _{x}^{2}}}]\exp[-{\frac {(y-y_{0})^{2}}{2\sigma _{y}^{2}}}]\{\exp[-{\frac {(z-H)^{2}}{2\sigma _{z}^{2}}}]+\exp[-{\frac {(z+H)^{2}}{2\sigma _{z}^{2}}}]\}$

• $C(x,y,z,t)$ - Концентрация загрязняющего вещества в точке с координатами $x,y,z$ в момент времени $t$, [г/м³]
• $Q$ - мощность непрерывного точечного источника загрязнения, [г/с](здесь просто количество загрязнения [г])
• $u$ - скорость ветра на высоте H метров, [м/с]
• $H$ - эффективная высота источника загрязнения, [м]
• $t$ - время транспорта, [с]
• $\sigma _{x},\sigma _{y}$ - горизонтальные дисперсии, [м]
• $\sigma _{z}$ - вертикальная дисперсия, [м]
• $x_{0},y_{0},H$ - координаты точечного источника загрязнения, [м]

Параметры $\sigma _{x},\sigma _{y},\sigma _{z}$ увеличиваются с расстоянием $x-x_{0}$, скорость увеличения зависит от интенсивности турбулентности и тем самым от стабильности атмосферы. Для практического использования зависимости $\sigma _{x},\sigma _{y},\sigma _{z}$ от расстояния определяются на основании экспериментальных данных.

Стационарная Гауссова модель

Интегрируя по времени концентрацию загрязнений, выбрасываемых из непрерывного источника, можно получить установившееся распределение концентрации для стационарной модели Гаусса

$C(x,y,z)={\frac {Q}{2\pi u\sigma _{y}\sigma _{z}}}\exp[-{\frac {(y-y_{0})^{2}}{2\sigma _{y}^{2}}}]\{\exp[-{\frac {(z-H)^{2}}{2\sigma _{z}^{2}}}]+\exp[-{\frac {(z+H)^{2}}{2\sigma _{z}^{2}}}]\}$

В обоих случаях направление ветра совпадает с направлением оси $x$ В гауссовой модели также предполагается, что имеет место отражение загрязняющего вещества от поверхности земли. Отражение характеризуется членом в фигурных скобках. Модель построена в предположении однородности и устойчивости атмосферы.

Представленная модель имеет ряд недостатков:

• Не учитывает рельеф поверхности
• Не учитывает изменение метеорологических параметров в пространстве и во времени
• Не описывает работу источников загрязнения работающих ограниченное время
• Используются характеристики полученные для наземных, а не приподнятых источников
• Не учитывает вертикальную структуру пограничного слоя

Гауссовы модели могут адекватно описывать распределение загрязняющего вещества только в горизонтальном направлении, для расчета вертикального профиля они применимы на очень коротких расстояниях.

Модель Пасквилла-Бриггса

Значения дисперсий задаются в виде:

$\sigma _{y}=p_{1}x(1+q_{1}x)^{-0.5}$

$\sigma _{z}=p_{2}x(1+q_{2}x)^{-1}$

• $p_{i},q_{i}$ - задаются таблично для каждого класса устойчивости атмосферы

Для расстояний от 100 м до 10 км в случае ровной открытой местности
$\sigma _{y}={\frac {\alpha _{x}x}{\sqrt {1+10^{-4}x}}}$
$\sigma _{z}={\frac {\alpha _{z}x}{s_{z}(x)}}$

Таблица классов устойчивости Пасквилла

Скорость ветра, м/с	Классы устойчивости атмосферы A-F
	Дневное время. Уровень солнечного освещения			Ночное время. Облачность
	Сильный	Средний	Слабый	>50%	<50%
<2	A	A-B	B	E	F
2-3	A-B	B	C	E	F
3-5	B	B-C	C	D	E
5-6	C	C-D	D	D	D
>6	C	D	D	D	D

Модель Сеттона

Первоначально Сеттон получил формулу для наземных источников загрязнений, которая подтвердилась результатами наблюдений в Портоне (Англия) при равновесных условий для сравнительно небольших расстояний (несколько сотен метров). Распределение примеси вблизи точечного источника в разных направлениях описывается гауссовским законом. Концентрация примеси в точке $(x,y,z)$ от источника, расположенного в начале координат, пропорциональна произведению
$p_{y}={\frac {1}{\sigma _{y}{\sqrt {2\pi }}}}\exp(-{\frac {y^{2}}{2\sigma _{y}^{2}}})$
на аналогичные функции $p_{z}$ и $p_{x}$

• $\sigma _{y}^{2}$ дисперсия распределения примеси в направлении $y$

$\sigma _{i}^{2}={\frac {1}{2}}c_{i}^{2}({\overline {u}}t)^{2-n}$

• $c_{i}$ некоторые коэффициенты
• ${\overline {u}}$ средняя по высоте скорость ветра
• $t$ время после момента действия источника (в случае мгновенного источника), для непрерывного источника полагается, что $t=x/{\overline {u}}$
• $i=1,2,3$ соответствует $x,y,z$
• параметр $n$ можно определить вертикальному профилю скорости ветра, тем самым косвенно учесть условия стратификации

Модель турбулентной диффузии

Полное уравнение массопереноса в общем виде описывается уравнением турбулентной диффузии
${\frac {\partial C}{\partial t}}+{\frac {\partial }{\partial x}}u\cdot C+{\frac {\partial }{\partial y}}v\cdot C+{\frac {\partial }{\partial z}}\omega \cdot C={\frac {\partial }{\partial x}}D_{x}{\frac {\partial C}{\partial x}}+{\frac {\partial }{\partial y}}D_{y}{\frac {\partial C}{\partial y}}+{\frac {\partial }{\partial z}}D_{z}{\frac {\partial C}{\partial z}}$

Граничное условие
$D_{z}{\frac {\partial C}{\partial z}}+\omega C=\beta C$

• $C$ - концентрация загрязняющего вещества [г/м³]
• $D_{x},D_{y},D_{z}$ - коэффициенты турбулентной диффузии [м²/с]
• $u$ - средняя скорость ветра вдоль оси $x$, [м/с]
• $v$ - средняя скорость ветра вдоль оси $y$, [м/с]
• $\omega$ - средняя скорость седиментации частиц загрязняющего вещества, [м/с]
• $\beta$ - постоянная [м/с]. При $\beta =0$ граничное условие означает, что поток на поверхности равен нулю, все загрязняющее вещество остается в атмосфере "отражаясь" от поверхности земли. При $\beta =\infty$ загрязняющее вещество "прилипает" к поверхности. В промежуточном случае $0<\beta <\infty$ вещество частично "отражается" частично "прилипает", обычно рассматриваются лишь две крайние возможности - "отражение" или "прилипание".

Аналитическое решение уравнение турбулентной диффузии имеет в частных случаях в предположениях конкретных функций коэффициентов диффузии от координат.

пример решения 3D-уравнения турбулентной диффузии - метод конечных элементов

пример решения 3D-уравнения турбулентной диффузии - метод конечных элементов

Решение уравнения турбулентной диффузии при постоянных коэффициентах диффузии и однородных граничных условиях

Решение уравнения турбулентной диффузии при постоянных коэффициентах турбулентной диффузии $D_{x},D_{y},D_{z}$ при действии постоянного точечного источника загрязнения с учетом однородных граничных условий
$u{\frac {\partial C}{\partial x}}=D({\frac {\partial C}{\partial x}}+{\frac {\partial C}{\partial y}}+{\frac {\partial C}{\partial z}})+Q\delta (r)$

• $Q\delta$ - Действие постоянного точечного источника загрязнения, $\delta$ - дельта-функция Дирака
• $Q$ - Мощность точечного источника загрязнения, [г/с]
• $r$ - Расстояния от источника, [м]
• $D=D_{x}=D_{y}=D_{z}$ - Коэффициент турбулентной диффузии, [м²/с]

Решение уравнения
$C(x,y,z)={\frac {Q}{4\pi Dr}}\exp[-{\frac {u}{2D}}(r-x)]$
Согласно этой модели, зависимость концентрации от расстояния до источника носит гиперболический характер, в то время как по модели Гаусса эта зависимость носит характер экспоненциального закона убывания.

Решение уравнения турбулентной диффузии при постоянных коэффициентах диффузии при краевом условии "отражение"

Решение уравнения турбулентной диффузии при $u=const$, и наличие в точке $x=0,y=0,z=h$, стационарного точечного источника загрязнения и при краевом условии «отражения» на уровне $z=0$:
$D_{z}{\frac {\partial C}{\partial z}}+\omega C=0,z=0$
$C(x,y,z)={\frac {Q}{2\pi x{\sqrt {D_{y}D_{z}}}}}\exp[-{\frac {uy^{2}}{4D_{x}\cdot x}}]\{\exp[-{\frac {u(z-h)^{2}}{4D_{z}\cdot x}}]+\exp[-{\frac {u(z+h)^{2}}{4D_{z}\cdot x}}]\}$

Решение стационарного уравнения турбулентной диффузии при степенной зависимости вертикального коэффициента турбулентной диффузии

Математическая постановка задачи
$u{\frac {\partial C}{\partial x}}=D_{y}{\frac {\partial ^{2}C}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial }{\partial z}}D_{z}(z){\frac {\partial C}{\partial z}}$

Граничное условие либо "отражение", либо поглощение.

• Уравнение записано в пренебрежении диффузии вдоль направления ветра (ось $x$)
• $D_{y}=const$ коэффициент горизонтальной турбулентной диффузии, [м²/с]
• $D_{z}(z)=D_{1}({\frac {z}{z_{1}}})^{1-1/p}$ коэффициент вертикальной турбулентной диффузии м²/с]
• $p$ параметр термической устойчивости воздуха, $p=\infty$ - безразличная стратификация; $p>0$ - устойчивая стратификация; $p<0$ - конвекция

Методика ОНД - 86

В России и некоторых других странах бывшего СССР для расчета локального загрязнения атмосферы выбросами промышленных предприятий применяется методика ОНД-86, сводящая к последовательности аналитических выражений, полученных в результате аппроксимации разностного решения уравнения турбулентной диффузии. Методика ОНД-86 позволяет рассчитывать максимально возможное распределение концентрации выбросов в условиях умеренно неустойчивого состояния атмосферы и усредненные по 20-30 минутному интервалу, но не учитывает такие факторы, как класс устойчивости атмосферы и шероховатость подстилающей поверхности.Методика применима для расчёта концентраций примеси на удалении от источника не более 100 км.

Примечания

На сайте агентства защиты окружающей среды США представлены многочисленные альтернативные модели рассеяния примесей, в основном основанные на гауссовых моделях рассеивания.
Альтернативные модели рассеивания примесей
Специальный модуль Flotran программного комплекса ANSYS позволяет решать различные задачи распространения примеси на основе решений системы уравнений Навье - Стокса, уравнения непрерывности, уравнения теплопереноса и уравнения массопереноса.

Ссылки

• Materials of IAEA Meeting, 1987, Chapter 3 p. 26.
• Sun W.-Y. and C.-Z. Chang. Diffusion model for a convective layer. Part 2: Plume released from a continuous point source. J. Climate Appl. Meteorol. 1986, vol. 25, No 10, pp. 1454-1463
• Pasquill F. Atmospheric dispersion parameters in gaussian plume modeling: [part II. Possible Requirements for Change in the Turner Workbook Values]. / F. Pasquill // EPA-600/4-76-030b, U.S. Environmental Protection Agency, Research Triangle Park, North Carolina 27711. - 1976.