Интегральный признак Коши — Маклорена

Интегральный признак Коши́ — Макло́рена — признак сходимости убывающего положительного числового ряда. Признак Коши — Маклорена даёт возможность свести проверку сходимости ряда к проверке сходимости несобственного интеграла соответствующей функции на $[1,\infty )$, последний часто может быть найден в явном виде.

Формулировка теоремы

Пусть для функции $f(x)$ выполняется:

1. $\forall x\geqslant 1\quad f(x)>0$ , т.е. функция принимает положительные значения на промежутке $[1,+\infty )$;
2. $\forall x_{1},x_{2}\geqslant 1\qquad x_{1}<x_{2}\Rightarrow f(x_{1})\geqslant f(x_{2})$ , т.е. функция является монотонно невозрастающей на $[1,+\infty )$;
3. $\forall n\in \mathbb {N} \quad f(n)=a_{n}$ (соответствие значения функции члену ряда).

Тогда ряд $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$ и несобственный интеграл $\int \limits _{1}^{\infty }\!f(x)\,dx$ сходятся или расходятся одновременно.

Набросок доказательства

1. Построим на графике $f(x)$ ступенчатые фигуры как показано на рисунке.
2. Площадь большей фигуры равна $S_{b}=f(1)+f(2)+f(3)+...+f(n-1)$ .
3. Площадь меньшей фигуры равна $S_{s}=f(2)+f(3)+f(4)+...+f(n)$ .
4. Площадь криволинейной трапеции под графиком функции равна $S_{tr}=\int \limits _{1}^{n}f(x)\,dx$
5. Получаем $S_{s}\leqslant S_{tr}\leqslant S_{b}\;\Rightarrow \;S_{n}-a_{1}\leqslant \int \limits _{1}^{n}f(x)\,dx\leqslant S_{n-1}$
6. Далее доказывается с помощью критерия сходимости знакоположительных рядов.

Полное доказательство

$\forall b>1$ $f(x)$ монотонна на $[1,b]$, следовательно $\int \limits _{1}^{b}f(x)dx$ существует.

$\forall x\in [n,n+1]$ $f(n)\geqslant f(x)\geqslant f(n+1)$, следовательно

$\forall n\in \mathbb {N} \qquad$ $\int \limits _{n}^{n+1}f(n)dx=f(n)\geqslant \int \limits _{n}^{n+1}f(x)dx\geqslant f(n+1)$.
Отсюда, если $\int \limits _{1}^{+\infty }f(x)\,dx$ сходится, то

$S_{n}-f(1)=f(2)+...+f(n)\leqslant \int \limits _{1}^{n}f(x)\,dx\leqslant \int \limits _{1}^{+\infty }f(x)\,dx<+\infty$.
Поэтому $S_{n}$ ограничена. А так как она неубывающая, то она сходится.

Если $\int \limits _{1}^{+\infty }f(x)\,dx$ расходится, то есть $\lim _{n\to \infty }\int \limits _{1}^{n}f(x)\,dx=+\infty$ , то

$S_{n}=f(1)+...+f(n)\geqslant \int \limits _{1}^{n+1}f(x)\,dx\to +\infty ,$ значит ряд расходится.

Теорема доказана.

Примеры ("эталонные" ряды)

• Обобщённый гармонический ряд $\sum {\frac {1}{n^{p}}}$ сходится при $p>1$ и расходится при $p\leqslant 1$, так как

$\int \limits _{1}^{\infty }{\frac {1}{x}}dx=\ln x|_{1}^{+\infty }=+\infty$ (случай $p=1$),

$\int \limits _{1}^{+\infty }{\frac {1}{x^{p}}}dx=\left.{\frac {1}{1-p}}x^{1-p}\right|_{1}^{+\infty }={\frac {1}{p-1}}$ при $p>1$,

$\int \limits _{1}^{+\infty }{\frac {1}{x^{p}}}dx=\left.{\frac {1}{1-p}}x^{1-p}\right|_{1}^{+\infty }=+\infty$ при $p<1$.

• $\sum \limits _{n=2}^{\infty }{\frac {1}{x\ln ^{q}x}}$ сходится при $q>1$ и расходится при $q\leqslant 1$. Для обоснования нужно рассмотреть $\int \limits _{2}^{+\infty }{\frac {1}{x\ln ^{q}x}}dx$.
• На основе сравнения с этими рядами основаны признаки Раабе, Гаусса, Бертрана и некоторые другие. Серию "эталонных" рядов можно продолжить, и на их основе построить семейство все более тонких признаков для медленно сходящихся рядов.

Оценка остатка ряда

Интегральный признак Коши позволяет оценить остаток $r_{n}$ знакоположительного ряда. Из полученного в доказательстве выражения

$S_{n}-a_{1}\leqslant \int \limits _{1}^{n}f(x)\,dx\leqslant S_{n-1}$

с помощью несложных преобразований получаем:

$\int \limits _{n+1}^{\infty }f(x)\,dx\leqslant r_{n}\leqslant \int \limits _{n}^{\infty }f(x)\,dx\leqslant a_{n}+\int \limits _{n+1}^{\infty }f(x)\,dx$.

См. также

• Признак Абеля
• Признак сходимости д’Аламбера
• Радикальный признак Коши
• Интеграл Коши