Производная функции

Иллюстрация понятия производной

Произво́дная функции — понятие дифференциального исчисления, характеризующее скорость изменения функции в данной точке. Определяется как предел отношения приращения функции к приращению её аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю, если такой предел существует. Функцию, имеющую конечную производную (в некоторой точке), называют дифференцируемой (в данной точке).

Процесс вычисления производной называется дифференци́рованием. Обратный процесс — нахождение первообразной — интегрирование.

История

В классическом дифференциальном исчислении производная чаще всего определяется через понятие предела, однако исторически теория пределов появилась позже дифференциального исчисления. Ньютон называл производную флюксией, школа Лейбница предпочитала в качестве базового понятия дифференциал.

Русский термин в форме «производная функция» впервые употребил В. И. Висковатов, переведя на русский язык соответствующий французский термин dérivée, используемый Лагранжем.

Определение

Пусть в некоторой окрестности точки $x_{0}\in \mathbb {R}$ определена функция $f\colon U(x_{0})\subset \mathbb {R} \to \mathbb {R} .$ Производной функции называется такое число $A$, что функцию в окрестности $U(x_{0})$ можно представить в виде

$f(x_{0}+h)=f(x_{0})+Ah+o(h)$

если $A$ существует.

Определение производной функции через предел

Пусть в некоторой окрестности точки $x_{0}\in \mathbb {R}$ определена функция $f\colon U(x_{0})\subset \mathbb {R} \to \mathbb {R} .$ Производной функции $f$ в точке $x_{0}$ называется предел, если он существует,

$f'(x_{0})=\lim \limits _{x\to x_{0}}{\frac {f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}}=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {f(x_{0}+\Delta x)-f(x_{0})}{\Delta x}}=\lim \limits _{{\Delta x}\to 0}{\frac {\Delta {f(x)}}{\Delta x}}.$

Общепринятые обозначения производной функции $y=f(x)$ в точке $x_{0}$

$f'(x_{0})=f'_{x}(x_{0})=\mathrm {D} \!f(x_{0})={\frac {df}{dx}}(x_{0})=\left.{\frac {dy}{dx}}\right\vert _{x=x_{0}}={\dot {y}}(x_{0}).$

Заметим, что последнее обычно обозначает производную по времени (в теоретической механике).

Таблица производных

Производные степенных функций	Производные тригонометрических функций	Производные обратных тригонометрических функций
$\left(c\right)'=0$	$\left(\sin x\right)'=\cos x$	$\left(\arcsin x\right)'={\dfrac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}$
$\left(x^{a}\right)'=ax^{a-1}$	$\left(\cos x\right)'=-\sin x$	$\left(\arccos x\right)'=-{\dfrac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}$
$\left(a^{x}\right)'=a^{x}\ln a$	$\left(\operatorname {tg} x\right)'={\dfrac {1}{\cos ^{2}x}}$	$\left(\operatorname {arctg} x\right)'={\dfrac {1}{1+x^{2}}}$
$\left(\log _{a}x\right)'={\dfrac {1}{x\ln a}}$	$\left(\operatorname {ctg} x\right)'=-{\dfrac {1}{\sin ^{2}x}}$	$\left(\operatorname {arcctg} x\right)'=-{\dfrac {1}{1+x^{2}}}$

$\left(c\right)=\left(\mathrm {const} \right)$
$\left(e^{x}\right)^{\left(n\right)}=e^{x}$

Дифференцируемость

Основная статья: Дифференцируемая функция

Производная $f'(x_{0})$ функции $f$ в точке $x_{0}$, будучи пределом, может не существовать или существовать и быть конечной или бесконечной. Функция $f$ является дифференцируемой в точке $x_{0}$ тогда и только тогда, когда её производная в этой точке существует и конечна:

$f\in {\mathcal {D}}(x_{0})\Leftrightarrow \exists f'(x_{0})\in (-\infty ;\infty ).$

Для дифференцируемой в $x_{0}$ функции $f$ в окрестности $U(x_{0})$ справедливо представление

$f(x)=f(x_{0})+f'(x_{0})(x-x_{0})+o(x-x_{0})$ при $x\to x_{0}.$

Замечания

• Назовём $\Delta x=x-x_{0}$ приращением аргумента функции, а $\Delta y=f(x)-f(x_{0})$ или $\Delta y=f(x_{0}+\Delta x)-f(x_{0})$ приращением значения функции в точке $x_{0}.$ Тогда

  $f'(x_{0})=\lim \limits _{\Delta x\to 0}{\frac {\Delta y}{\Delta x}}.$

• Пусть функция $f\colon (a,b)\to \mathbb {R}$ имеет конечную производную в каждой точке $x_{0}\in (a,b).$ Тогда определена произво́дная фу́нкция

  $f'\colon (a,b)\to \mathbb {R} .$

• Функция, имеющая производную в точке, непрерывна в ней. Обратное не всегда верно.
• Если производная функция сама является непрерывной, то функцию $f$ называют непреры́вно дифференци́руемой и пишут: $f\in C^{(1)}{\bigl (}(a,b){\bigr )}.$

Геометрический и физический смысл производной

Тангенс угла наклона касательной прямой

Геометрический смысл производной. На графике функции выбирается абсцисса x₀ и вычисляется соответствующая ордината f(x₀). В окрестности точки x₀ выбирается произвольная точка x. Через соответствующие точки на графике функции F проводится секущая (первая светло-серая линия C₅). Расстояние Δx = x — x₀ устремляется к нулю, в результате секущая переходит в касательную (постепенно темнеющие линии C₅ — C₁). Тангенс угла α наклона этой касательной — и есть производная в точке x₀.

Основная статья: Касательная прямая

Если функция $f\colon U(x_{0})\to \mathbb {R}$ имеет конечную производную в точке $x_{0},$ то в окрестности $U(x_{0})$ её можно приблизить линейной функцией

$f_{l}(x)\equiv f(x_{0})+f'(x_{0})(x-x_{0}).$

Функция $f_{l}$ называется касательной к $f$ в точке $x_{0}.$ Число $f'(x_{0})$ является угловым коэффициентом (угловым коэффициентом касательной) или тангенсом угла наклона касательной прямой.

Скорость изменения функции

Пусть $s=s(t)$ — закон прямолинейного движения. Тогда $v(t_{0})=s'(t_{0})$ выражает мгновенную скорость движения в момент времени $t_{0}.$ Вторая производная $a(t_{0})=s''(t_{0})$ выражает мгновенное ускорение в момент времени $t_{0}.$

Вообще производная функции $y=f(x)$ в точке $x_{0}$ выражает скорость изменения функции в точке $x_{0}$, то есть скорость протекания процесса, описанного зависимостью $y=f(x).$

Анимация, дающая первоначальное интуитивное представление о производной, как "размах" изменения функции при изменении аргумента (нажмите для воспроизведения).

Производные высших порядков

Понятие производной произвольного порядка задаётся рекуррентно. Полагаем

$f^{(0)}(x_{0})\equiv f(x_{0}).$

Если функция $f$ дифференцируема в $x_{0}$, то производная первого порядка определяется соотношением

$f^{(1)}(x_{0})\equiv f'(x_{0}).$

Пусть теперь производная $n$-го порядка $f^{(n)}$ определена в некоторой окрестности точки $x_{0}$ и дифференцируема. Тогда

$f^{(n+1)}(x_{0})=\left(f^{(n)}\right)'(x_{0}).$

Если функция $u=f(x,y,z)$ имеет в некоторой области D частную производную по одной из переменных, то названная производная, сама являясь функцией от $x,y,z,$  может иметь в некоторой точке $(x_{0},y_{0},z_{0})$ частные производные по той же или по любой другой переменной. Для исходной функции $u=f(x,y,z)$ эти производные будут частными производными второго порядка (или вторыми частными производными).

$u''_{x^{2}}=f''_{x^{2}}(x_{0},y_{0},z_{0})$  или  ${\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}={\frac {\partial ^{2}f(x_{0},y_{0},z_{0})}{\partial x^{2}}}$

$u''_{xy}=f''_{xy}(x_{0},y_{0},z_{0})$  или  ${\frac {\partial ^{2}u}{\partial x\partial y}}={\frac {\partial ^{2}f(x_{0},y_{0},z_{0})}{\partial x\partial y}}$

Частная производная второго или более высокого порядка, взятая по различным переменным, называется смешанной частной производной. Например,

$u''_{xy}=f''_{xy}(x_{0},y_{0},z_{0})$

Класс функций, у которых производная $n$-порядка является непрерывной, обозначается как $C^{(n)}$.

Способы записи производных

В зависимости от целей, области применения и используемого математического аппарата используют различные способы записи производных. Так, производная n-го порядка может быть записана в нотациях:

• Лагранжа $f^{(n)}(x_{0})$, при этом для малых n часто используют штрихи и римские цифры:

$f^{(1)}(x_{0})=f'(x_{0})=f^{I}(x_{0}),$

$f^{(2)}(x_{0})=f''(x_{0})=f^{II}(x_{0}),$

$f^{(3)}(x_{0})=f'''(x_{0})=f^{III}(x_{0}),$

$f^{(4)}(x_{0})=f^{IV}(x_{0}),$ и т. д.

Такая запись удобна своей краткостью и широко распространена; однако штрихами разрешается обозначать не выше третьей производной.

• Лейбница, удобная наглядной записью отношения бесконечно малых (только в случае, если $x$ — независимая переменная; в противном случае обозначение верно лишь для производной первого порядка):

${\frac {d^{n}\!f}{dx^{n}}}(x_{0})$

• Ньютона, которая часто используется в механике для производной по времени функции координаты (для пространственной производной чаще используют запись Лагранжа). Порядок производной обозначается числом точек над функцией, например:

${\dot {x}}(t_{0})$ — производная первого порядка $x$ по $t$ при $t=t_{0}$, или ${\ddot {f}}(x_{0})$ — вторая производная $f$ по $x$ в точке $x_{0}$ и т. д.

• Эйлера, использующая дифференциальный оператор (строго говоря, дифференциальное выражение, пока не введено соответствующее функциональное пространство), и потому удобная в вопросах, связанных с функциональным анализом:

$\mathrm {D} ^{n}\!f(x_{0})$, или иногда $\partial ^{n}\!f(x_{0})$.

• В вариационном исчислении и математической физике часто применяется обозначение $f_{x}$, $f_{xx}$; для значения производной в точке — $f_{x}\vert _{x=x_{0}}$. Для частных производных обозначение то же, поэтому смысл обозначения определяют из контекста.

Конечно, при этом необходимо не забывать, что служат все они для обозначения одних и тех же объектов:

$f^{(n)}(x_{0})={\frac {d^{n}\!f}{dx^{n}}}(x_{0})={\overset {\overbrace {\cdot \cdot ...\cdot } ^{n\ \mathrm {PA} 3}}{f}}(x_{0})=\mathrm {D} ^{n}\!f(x_{0})=f{\underbrace {_{xx\ldots x}} _{n\ \mathrm {PA} 3}}\vert _{x=x_{0}}.$

Примеры

• Пусть $f(x)=x^{2}$. Тогда

$f'(x_{0})=\lim \limits _{x\to x_{0}}{\frac {x^{2}-x_{0}^{2}}{x-x_{0}}}=\lim \limits _{x\to x_{0}}{\frac {(x-x_{0})(x+x_{0})}{x-x_{0}}}=\lim \limits _{x\to x_{0}}(x+x_{0})=2x_{0}.$

• Пусть $f(x)=|x|$. Тогда если $x_{0}\neq 0,$ то

$f'(x_{0})=\operatorname {sgn} x_{0},$

где $\operatorname {sgn}$ обозначает функцию знака. А если $x_{0}=0,$ то $f'_{+}(x_{0})=1,\;f'_{-}(x_{0})=-1,$ а следовательно $f'(x_{0})$ не существует.

Правила дифференцирования

Операция нахождения производной называется дифференцированием. При выполнении этой операции часто приходится работать с частными, суммами, произведениями функций, а также с «функциями функций», то есть сложными функциями. Исходя из определения производной, можно вывести правила дифференцирования, облегчающие эту работу. Если $C$ — постоянное число и $f=f(x),g=g(x)$ — некоторые дифференцируемые функции, то справедливы следующие правила дифференцирования:

• $C'=0$
• $x'=1$
• $\left(f+g\right)'=f'+g'$

Доказательство

$y(x)=f(x)+g(x)$

$y'(x)=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {y(x+\Delta {x})-y(x)}{\Delta x}}=$

$=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {(f(x+\Delta {x})+g(x+\Delta {x}))-(f(x)+g(x))}{\Delta x}}=$

$=\lim _{\Delta x\to 0}{({\frac {f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}}+{\frac {g(x+\Delta x)-g(x)}{\Delta x}})}=$

$=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}}+\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {g(x+\Delta x)-g(x)}{\Delta x}}=$

$=f'(x)+g'(x)$■

• $\left(fg\right)'=f'g+fg'$

Доказательство

$y(x)=f(x)g(x)$

$\Delta f(x)=f(x+\Delta x)-f(x)$

$\Delta g(x)=g(x+\Delta x)-g(x)$

$y'(x)=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {y(x+\Delta x)-y(x)}{\Delta x}}=$

$=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {f(x+\Delta x)g(x+\Delta x)-f(x)g(x)}{\Delta x}}=$

$=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {(f(x)+\Delta f(x))(g(x)+\Delta g(x))-f(x)g(x)}{\Delta x}}=$

$=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {f(x)g(x)+f(x)\Delta g(x)+\Delta f(x)g(x)+\Delta f(x)\Delta g(x)-f(x)g(x)}{\Delta x}}=$

$=\lim _{\Delta x\to 0}(f(x){\frac {\Delta g(x)}{\Delta x}}+g(x){\frac {\Delta f(x)}{\Delta x}}+\Delta g(x){\frac {\Delta f(x)}{\Delta x}})=$

$=f(x)g'(x)+g(x)f'(x)+0f'(x)=$

$=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)$■

• $\left(Cf\right)'=Cf'$
• $\left({\frac {f}{g}}\right)'={\frac {f'g-fg'}{g^{2}}}$ …(g ≠ 0)

Доказательство

$y(x)={\frac {f(x)}{g(x)}}$

$\Delta f(x)=f(x+\Delta x)-f(x)$

$\Delta g(x)=g(x+\Delta x)-g(x)$

$y'(x)=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {y(x+\Delta x)-y(x)}{\Delta x}}=$

$=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {{\frac {f(x+\Delta x)}{g(x+\Delta x)}}-{\frac {f(x)}{g(x)}}}{\Delta x}}=$

$=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {f(x+\Delta x)g(x)-f(x)g(x+\Delta x)}{g(x+\Delta x)g(x)\Delta x}}=$

$={\frac {1}{g^{2}(x)}}\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {(f(x)+\Delta f(x))g(x)-f(x)(g(x)+\Delta g(x))}{\Delta x}}=$

$={\frac {1}{g^{2}(x)}}\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {f(x)g(x)+\Delta f(x)g(x)-f(x)g(x)-f(x)\Delta g(x)}{\Delta x}}=$

$={\frac {1}{g^{2}(x)}}\lim _{\Delta x\to 0}{(g(x){\frac {\Delta f(x)}{\Delta x}}-f(x){\frac {\Delta g(x)}{\Delta x}})}=$

$={\frac {1}{g^{2}(x)}}(g(x)f'(x)-f(x)g'(x))=$

$={\frac {f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{g^{2}(x)}}$■

• $\left({\frac {C}{g}}\right)'=-{\frac {Cg'}{g^{2}}}$ (g ≠ 0)
• Если функция задана параметрически:

$\left\{{\begin{matrix}x=x(t),\\y=y(t),\end{matrix}}\;\;t\in \left[T_{1};T_{2}\right]\right.$, то $y'_{x}={\frac {dy}{dx}}={\frac {dy}{dt}}\cdot {\frac {dt}{dx}}=y'_{t}\cdot t'_{x}={\frac {y'_{t}}{x'_{t}}}$

Основная статья: Дифференцирование сложной функции

• ${\frac {d}{dx}}f(g(x))={\frac {df(g)}{dg}}\cdot {\frac {dg(x)}{dx}}=f'_{g}g'_{x}$
• Формулы производной произведения и отношения обобщаются на случай n-кратного дифференцирования (формула Лейбница):

$(fg)^{(n)}=\sum \limits _{k=0}^{n}{C_{n}^{k}f^{(n-k)}g^{(k)}},$ где $C_{n}^{k}$ — биномиальные коэффициенты.

Следующие свойства производной служат дополнением к правилам дифференцирования:

• если функция дифференцируема на интервале $(a,b)$, то она непрерывна на интервале $(a,b)$. Обратное, вообще говоря, неверно (например, функция $y(x)=|x|$ на $[-1,1]$);
• если функция имеет локальный максимум/минимум при значении аргумента, равном $x$, то $f'(x)=0$ (это так называемая лемма Ферма);
• производная данной функции единственна, но у разных функций могут быть одинаковые производные.
• $(f(x)^{g(x)})'=f(x)^{g(x)}\left(g'(x)\ln f(x)+{\frac {g(x)f'(x)}{f(x)}}\right)(\forall x\in D_{f}:f(x)>0)$

Доказательство

$y=f(x)^{g(x)}$

$\ln y=g(x)\ln f(x)$

${\frac {y'}{y}}=g'(x)\ln f(x)+{\frac {g(x)f'(x)}{f(x)}}$

$y'=y\left(g'(x)\ln f(x)+{\frac {g(x)f'(x)}{f(x)}}\right)$

$y'=f(x)^{g(x)}(g'(x)\ln f(x)+{\frac {g(x)f'(x)}{f(x)}})$ ■

Таблица производных некоторых функций

Основная статья: Таблица производных

Функция $f(x)$	Производная $f'(x)$	Примечание
$x^{\alpha }$	$\alpha \cdot x^{\alpha -1}$	Доказательство                                  Фиксируем $x\in \mathbb {D} (f)$, придадим приращение аргументу $\Delta x$. Вычислим приращение функции: $\Delta y=(x+\Delta x)^{\alpha }-x^{\alpha }=x^{\alpha }((1+{\frac {\Delta x}{x}})^{\alpha }-1)$, т.о $(x^{\alpha })'=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {\Delta y}{\Delta x}}=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {x^{\alpha }((1+{\frac {\Delta x}{x}})^{\alpha }-1)}{\Delta x}}=$См.$=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {\alpha \cdot x^{\alpha }\cdot {\frac {\Delta x}{x}}}{\Delta x}}=\alpha \cdot x^{\alpha -1}$
$a^{x}$	$a^{x}\cdot \ln {a}$	Доказательство                                  Фиксируем $x\in \mathbb {D} (f)$, придадим приращение аргументу $\Delta x$. Вычислим приращение функции: $\Delta y=a^{x+\Delta x}-a^{x}=a^{x}(a^{\Delta x}-1)$, т.о $(a^{x})'=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {\Delta y}{\Delta x}}=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {a^{x}(a^{\Delta x}-1)}{\Delta x}}=$См.$=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {a^{x}\cdot \Delta x\cdot \ln {a}}{\Delta x}}=a^{x}\cdot \ln {a}$
$\log _{a}{x}$	${\frac {1}{x\cdot \ln {a}}}$
$\sin x$	$\cos x$
$\cos x$	$-\sin x$
$\mathrm {tg} \ x$	${\frac {1}{\cos ^{2}{x}}}$
$\mathrm {ctg} \ x$	$-{\frac {1}{\sin ^{2}{x}}}$
$\arcsin {x}$	${\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}$
$\arccos {x}$	$-{\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}$
$\mathrm {arctg} \ x$	${\frac {1}{1+x^{2}}}$
$\mathrm {arcctg} \ x$	$-{\frac {1}{1+x^{2}}}$
$\mathrm {sh} \ x$	$\mathrm {ch} \ x$
$\mathrm {ch} \ x$	$\mathrm {sh} \ x$
$\mathrm {th} \ x$	${\frac {1}{\mathrm {ch} ^{2}\ x}}$
$\mathrm {cth} \ x$	$-{\frac {1}{\mathrm {sh} ^{2}\ x}}$

Производная вектор-функции по параметру

Определим производную вектор-функции $\mathbf {r} (t)$ по параметру:

${\frac {d}{dt}}\mathbf {r} (t)=\lim _{h\to 0}{\frac {\mathbf {r} (t+h)-\mathbf {r} (t)}{h}}$.

Если производная в точке $t$ существует, вектор-функция называется дифференцируемой в этой точке. Координатными функциями для производной будут $x'(t),\ y'(t),\ z'(t)$.

Свойства производной вектор-функции (всюду предполагается, что производные существуют):

• ${\frac {d}{dt}}(\mathbf {r_{1}} (t)+\mathbf {r_{2}} (t))={\frac {d\mathbf {r_{1}} (t)}{dt}}+{\frac {d\mathbf {r_{2}} (t)}{dt}}$ — производная суммы есть сумма производных.
• ${\frac {d}{dt}}(f(t)\mathbf {r} (t))={\frac {df(t)}{dt}}\mathbf {r} (t)+f(t){\frac {d\mathbf {r} (t)}{dt}}$ — здесь $f(t)$ — дифференцируемая скалярная функция.
• ${\frac {d}{dt}}(\mathbf {r_{1}} (t)\mathbf {r_{2}} (t))={\frac {d\mathbf {r_{1}} (t)}{dt}}\mathbf {r_{2}} (t)+\mathbf {r_{1}} (t){\frac {d\mathbf {r_{2}} (t)}{dt}}$ — дифференцирование скалярного произведения.
• ${\frac {d}{dt}}[\mathbf {r_{1}} (t),\mathbf {r_{2}} (t)]=\left[{\frac {d\mathbf {r_{1}} (t)}{dt}},\mathbf {r_{2}} (t)\right]+\left[\mathbf {r_{1}} (t),{\frac {d\mathbf {r_{2}} (t)}{dt}}\right]$ — дифференцирование векторного произведения.
• ${\frac {d}{dt}}(\mathbf {a} (t),\mathbf {b} (t),\mathbf {c} (t))=\left({\frac {d\mathbf {a} (t)}{dt}},\mathbf {b} (t),\mathbf {c} (t)\right)+\left(\mathbf {a} (t),{\frac {d\mathbf {b} (t)}{dt}},\mathbf {c} (t)\right)+\left(\mathbf {a} (t),\mathbf {b} (t),{\frac {d\mathbf {c} (t)}{dt}}\right)$ — дифференцирование смешанного произведения.

Способы задания производных

• Производная Джексона:

$D_{x}^{q}f(x)={\frac {f(qx)-f(x)}{(q-1)x}}.$

Вариации и обобщения

• Обобщения производных
  • Дробная производная
  • Производная Пеано
  • Частная производная

См. также

• Таблица производных
• Производная (математика)
• Дифференцирование сложной функции
• Производная обратной функции
• Дифференцируемая функция
• Основная теорема анализа
• Геометрический смысл производной
• Производная по направлению

Литература

• Виленкин Н., Мордкович А. Что такое производная // Квант. — 1975. — № 12.
• В. Г. Болтянский, Что такое дифференцирование?, «Популярные лекции по математике», Выпуск 17, Гостехиздат 1955 г., 64 стр.
• В. А. Гусев, А. Г. Мордкович «Математика»
• Г. М. Фихтенгольц «Курс дифференциального и интегрального исчисления», том 1
• В. М. Бородихин, Высшая математика, учеб. пособие, ISBN 5-7782-0422-1

Ссылки

• Онлайн калькулятор производных с подробным пошаговым решением на русском языке
• Таблица производных
• "Что такое производная — на примере с банковским счётом" — перевод статьи Understanding Calculus With A Bank Account Metaphor | BetterExplained (англ.)