Транспонированная матрица

Транспонированная матрица — матрица $A^{T}$, полученная из исходной матрицы $A$ заменой строк на столбцы.

Формально, транспонированная матрица для матрицы $A$ размеров $m\times n$ — матрица $A^{T}$ размеров $n\times m$, определённая как A^T[i, j] = A[j, i].

Например,

${\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}}^{\mathrm {T} }\!\!\;\!=\,{\begin{bmatrix}1&3\\2&4\end{bmatrix}}$      и      ${\begin{bmatrix}1&2\\3&4\\5&6\end{bmatrix}}^{\mathrm {T} }\!\!\;\!=\,{\begin{bmatrix}1&3&5\\2&4&6\end{bmatrix}}\;$

Свойства транспонированных матриц

1. $(A^{T})^{T}=A$
2. $(A+B)^{T}=A^{T}+B^{T}$
3. $(AB)^{T}=B^{T}A^{T}$
4. $\det A=\det A^{T}$