Ломаная

Ло́маная (ло́маная ли́ния) — геометрическая фигура на плоскости, образованная конечным набором отрезков, расположенных так, что конец первого является началом второго, конец второго — началом третьего и т. д.; причём соседние отрезки не должны лежать на одной прямой.

Сами отрезки называются сторонами ломаной, а их концы — вершинами ломаной. Ломаная обозначается последовательным указанием её вершин.

Определение

Ломаной $A_{1}A_{2}\dots A_{n}$ называется фигура, которая состоит из отрезков $[A_{1}A_{2}]$, $[A_{2}A_{3}]$, …, $[A_{n-1}A_{n}]$.

Точки $A_{1}$, …$A_{n}$, называются вершинами ломаной, а отрезки $[A_{1}A_{2}]$, $[A_{2}A_{3}]$, …, $[A_{n-1}A_{n}]$ — сторонами (звеньями) ломаной.

Ломаная называется невырожденной, если для любого $k\in \{1,2,\dots ,n-2\}$ отрезки $[A_{k}A_{k+1}]$ и $[A_{k+1}A_{k+2}]$ не лежат на одной прямой;

в противном случае — вырожденной.

Невырожденная ломаная A₁A₂A₃A₄A₅A₆

Типы ломаных

• Ломаная имеет самопересечение, если хотя бы два её звена имеют общую точку помимо общей вершины:

Самопересекающаяся ломаная A₁A₂A₃A₄A₅A₆

Изображённую здесь ломаную следует называть «ломаная A₁A₂A₃A₄A₅A₆».

• Ломаная называется замкнутой, если первая и последняя точки ломаной совпадают; в этом случае дополнительно требуют, чтобы отрезки $A_{1}A_{2}$ и $A_{n-1}A_{n}$ также не лежали на одной прямой:

Замкнутая ломаная A₁A₂A₃A₄A₅A₁

Замкнутую плоскую ломаную часто называют многоугольником: в этом случае изображённая ломаная A₁A₂A₃A₄A₅A₁ будет называться «многоугольник A₁A₂A₃A₄A₅A₁», а звенья будут называться сторонами многоугольника. В ряде случаев, например, при рассмотрении многогранников, стороны многоугольника называются рёбрами.

Свойства ломаной

Длиной ломаной называется сумма длин её сторон.

• Длина ломаной не меньше длины отрезка, соединяющего её концы.

Свойство простых замкнутых ломаных

Замкнутую ломаную, у которой точками самопересечения являются только начальная и конечная точки, также называют простой.

Одной из наиболее важных теорем, относящихся к общим свойствам простых замкнутых ломаных на плоскости, является теорема Жордана.

Всякая простая замкнутая ломаная на плоскости разбивает точки плоскости на две области – внутреннюю и внешнюю. При этом всякие две точки из одной области могут быть соединены ломаной, целиком содержащейся в этой области, а две точки из разных областей – нет, т. е. если две точки принадлежат разным областям, то любая ломаная, их соединяющая, пересекается с исходной ломаной.

Камиль Жордан, 1887 год

См. также

• Многоугольник