Унитарное пространство

Унитарное пространство — векторное пространство над полем комплексных чисел с эрмитовым скалярным произведением.

Эрмитовым скалярным произведением в линейном пространстве $\mathbb {L}$ над полем комплексных чисел называется функция $\langle \cdot ,\cdot \rangle :\mathbb {L} \times \mathbb {L} \to \mathbb {C} ,$ удовлетворяющая следующим условиям:

• 1) (полуторалинейность скалярного произведения)

$\forall ~x_{1},x_{2},y\in \mathbb {L}$ и $\forall ~\alpha ,\beta \in \mathbb {C}$ справедливы равенства:

$\langle \alpha x_{1}+\beta x_{2},y\rangle =\alpha \langle x_{1},y\rangle +\beta \langle x_{2},y\rangle ,$

$\langle y,\alpha x_{1}+\beta x_{2}\rangle ={\bar {\alpha }}\langle y,x_{1}\rangle +{\bar {\beta }}\langle y,x_{2}\rangle ,$

• 2) (эрмитовость скалярного произведения)

$\forall ~x,~y\in \mathbb {L}$ справедливо равенство $\langle y,x\rangle ={\overline {\langle x,y\rangle }}$,

• 3) (положительная определенность скалярного произведения)

$\forall ~x\in \mathbb {L} ~$ имеем $~\langle x,x\rangle \geq 0,~$ причем $\langle x,x\rangle =0$ только при $~x=0$.

Другими словами, скалярным произведением называется положительно определенная полуторалинейная эрмитова функция $\langle \cdot ,\cdot \rangle :\mathbb {L} \times \mathbb {L} \to \mathbb {C}$. Отметим, что над действительным пространством условие полуторалинейности эквивалентно билинейности, а эрмитовость - симметричности, а скалярное произведение становится положительно определенной билинейной симметричной функцией $\langle \cdot ,\cdot \rangle :\mathbb {L} \times \mathbb {L} \to \mathbb {R}$.