Билинейная форма

Пусть $\,L$ есть векторное пространство над полем $\,K$ (чаще всего рассматриваются поля $K=\mathbb {R}$ и $K=\mathbb {C}$).

Билинейной формой называется функция $F\colon L\times L\to K$, линейная по каждому из аргументов:

$~F(x+z,y)=F(x,y)+F(z,y)$,

$~F(x,y+z)=F(x,y)+F(x,z)$,

$~F(\lambda x,y)=\lambda F(x,y)$,

$~F(x,\lambda y)=\lambda F(x,y)$,

здесь $x,y,z\in L$ и $\lambda \in K.$

Связанные определения

• Билинейная форма $~F$ называется симметричной, если $~F(x,y)=F(y,x)$ для любых векторов $x,y\in L$.
• Билинейная форма $~F$ называется кососимметричной (антисимметричной), если $~F(x,y)=-F(y,x)$ для любых векторов $x,y\in L$.
• Вектор $x\in L$ называется ортогональным подпространству $M\subset L$ относительно $~F$, если $~F(x,y)=0$ для всех $y\in M$. Совокупность векторов $x\in L$, ортогональных подпространству $M\subset L$ относительно данной билинейной формы $~F$, называется ортогональным дополнением подпространства $M\subset L$ относительно $~F$.
• Радикалом билинейной формы $~F$ называется ортогональное дополнение самого пространства $~L$ относительно $~F$, то есть совокупность векторов $x\in L$, для которых $~F(x,y)=0$ при всех $y\in L$.

Свойства

• Множество всех билинейных форм $W(L,L)$, заданных на произвольном фиксированном пространстве, является линейным пространством.
• Любую билинейную форму можно представить в виде суммы симметричной и кососимметричной форм.
• При выбранном базисе $e_{1},\ldots ,e_{n}$ в $L$ любая билинейная форма $~F$ однозначно определяется матрицей

${\begin{pmatrix}F(e_{1},e_{1})&F(e_{1},e_{2})&\ldots &F(e_{1},e_{n})\\F(e_{2},e_{1})&F(e_{2},e_{2})&\ldots &F(e_{2},e_{n})\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\F(e_{n},e_{1})&F(e_{n},e_{2})&\ldots &F(e_{n},e_{n})\end{pmatrix}},$

так что для любых векторов $x=x^{1}e_{1}+x^{2}e_{2}+\cdots +x^{n}e_{n}$ и $y=y^{1}e_{1}+y^{2}e_{2}+\cdots +y^{n}e_{n}$

$F(x,y)={\begin{pmatrix}x^{1}&x^{2}&\ldots &x^{n}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}F(e_{1},e_{1})&F(e_{1},e_{2})&\ldots &F(e_{1},e_{n})\\F(e_{2},e_{1})&F(e_{2},e_{2})&\ldots &F(e_{2},e_{n})\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\F(e_{n},e_{1})&F(e_{n},e_{2})&\ldots &F(e_{n},e_{n})\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}y^{1}\\y^{2}\\\vdots \\y^{n}\end{pmatrix}},$

то есть

$~F(x,y)=\sum _{i,j=1}^{n}x^{i}F_{ij}\,y^{j}.$

Это также означает, что билинейная форма полностью определяется своими значениями на векторах базиса.

Таким образом, размерность пространства $\,W(L,L)$ есть $\,\dim W(L,L)=(\dim L)^{2}$.

Преобразование матрицы билинейной формы при переходе к новому базису

Матрица, представляющая билинейную форму в новом базисе, связана с матрицей, представляющей её в старом базисе, через матрицу, обратную матрице перехода к новому базису (матрице Якоби), через которую преобразуются координаты векторов.

Иными словами, если координаты вектора в старом базисе $~X^{i}$ выражаются через координаты в новом $~x^{i}$ через матрицу $~\beta$ $~X^{i}=\sum \beta _{j}^{i}x^{j}$, или в матричной записи $~X=\beta x$, то билинейная форма $~F$ на любых векторах $~x$ и $~y$ запишется, как

$F(x,y)=\sum _{i,j}F_{ij}X^{i}Y^{j}=\sum _{i,j,k,m}F_{ij}\beta _{k}^{i}\beta _{m}^{j}x^{k}y^{m}$,

то есть компоненты матрицы, представляющей билинейную форму в новом базисе, будут:

$f_{km}=\sum _{i,j}F_{ij}\beta _{k}^{i}\beta _{m}^{j}$,

или, в матричной записи:

$~f=\beta ^{T}F\beta$,

$~\beta =\alpha ^{-1}$, где $~\alpha$ — матрица прямого преобразования координат $~x=\alpha X$.

См. также

• Квадратичная форма
• Билинейная операция
• Билинейное преобразование

Литература

• Мальцев А. И. Основы линейной алгебры. М.: Наука, 1975.
• Гельфанд И. М. Лекции по линейной алгебре М.: Наука, 1971.
• Фаддеев Д. К. Лекции по алгебре. М.: Наука, 1984.
• Кострикин А. И. Введение в алгебру, М.: Наука, 1977.
• Беклемишев Д. В. Аналитическая геометрия и линейная алгебра.-М.: Высш. шк. 1998, 320с.
• Гельфанд И. М., Линейная алгебра. Курс лекций.
• Шафаревич И. Р., Ремизов А. О. Линейная алгебра и геометрия, — Физматлит, Москва, 2009.