Интегрированный временной ряд

Интегрированный временной ряд - нестационарный временной ряд, разности некоторого порядка от которого, являются стационарным временным рядом. Такие ряды также называют разностно-стационарными (DS-рядами, Diference Stationary).

Определение

Для определения интегрированных временных рядов необходимо определить класс временных рядов, называемых стационарными относительно тренда рядами (TS-рядами, trend stationary). Ряд $x_{t}$ называется TS-рядом, если существует некоторая детерминированная функция f(t), такая что разность $x_{t}-f(t)$ является стационарным процессом. В частности, к TS-рядам относятся все стационарные ряды. Однако, многие TS-ряды являются нестационарными. К TS рядам относится, например, также модель линейного (детерминированного) тренда $x_{t}=a+bt+\varepsilon _{t}$ где ошибка модели - стационарный процесс (обычно белый шум).

Временной $X_{t}$ ряд называется интегрированным порядка k (обычно пишут $X_{t}\sim I(k)$), если разности ряда порядка $k$ являются стационарными, в то время как разности меньшего порядка (включая нулевого порядка, то есть сам временной ряд) не являются TS-рядами. В частности I(0)-это стационарный процесс.

Пример

Рассмотрим пример - процесс случайного блуждания со сносом (дрейфом) - интегрированный процесс первого порядка $I(1)$

$x_{t}=a+x_{t-1}+\varepsilon _{t}$

Последняя запись внешне может быть похожа на обычную модель детерминированного линейного тренда, однако особенность этой модели в том, что случайная ошибка этой модели имеет дисперсию, пропорциональную времени, то есть эта случайная ошибка нестационарна. Обычный метод детрендирования (исключения тренда) данного временного ряда не приводит к стационарному процессу, а приводит к т.н. стохастичекому тренду.